亥姆霍兹线圈磁感应强度空间分布及其均匀性分析

亥姆霍兹线圈磁感应强度空间分布及其均

匀性分析

蒋悦090602117 网络一班

摘要：根据亥姆霍兹线圈磁感应强度分布表达式，用 MATLA即矩阵实验室

（Matrix Laboratory）软件对其进行数值计算，对亥姆霍兹线圈磁感应强度空

间分布图象及匀强特性进行了分析。重点讨论YOZ 平面的磁感应强度匀强特性、匀强磁场区域的三维图象、磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系以及亥

姆霍兹线圈半径R对匀强磁场区空间分布的影响。

关键词：亥姆霍兹线圈，MATLAB软件，磁感应强度空间分布，匀强特性Abstract: Based on the functions of magnetic field intensity of

Helmholtz loop , using the MATLAB did numerical analysis to study the distribution of magnetic field intensity of Helmholtz loop. The paper mainly studied the area of equivalent magnetizing filed, discussed the characteristics of the equivalent magnetization, drew the 3D picture and analyzed the approximately equivalent magnetizing field to the correspondence request. Studying the impact of changing radius of the Helmholtz loop to distribution of the equivalent magnetizing filed.

Key words: Helmholtz loop、 MATLAB、 Distribution of the magnetic field intensity、Characteristic of the equivalent magnetizing filed

引言

如果有一对相同的载流圆线圈彼此平行且共轴，通以同方向电流，当线圈

间距等于线圈半径时，两个载流线圈的总磁场在轴的中点附近的较大范围内是均

匀的。故在生产和科研中有较大的实用价值，也常用于弱磁场的计量标准。这对

线圈就是亥姆霍兹线圈。

根据毕奥-萨伐尔定律，通过积分运算得到；在过圆心而且垂直于线圈平面

的轴线上，距离圆心X处，磁场大小为B=u*R2*I/2[R2+X2][3/2],其中I为电流

大小，R为圆圈半径，u为一个常数。亥姆霍兹线圈是两个彼此平行且连通的共

轴圆形线圈，它的磁场分布是两个通电圆圈磁场的叠加。半径和两个圆圈的距离

不同，叠加的结果也不同。两个线圈之外是逐渐减弱的，但是两个线圈之间可能

是中间最弱，也可以是中间最强，还可以是匀强磁场。可以验证磁场叠加原理。研究清楚亥姆霍兹线圈的用途具有重要的意义，所以，本次实验将主要研究、验

证亥姆霍兹线圈磁感应强度空间分布及其均匀性分析。

概述

我们都知道，在亥姆霍兹线圈轴线上的磁场是近似的匀强磁场。亥姆霍兹线圈的结构如图1所示，图中R 为亥姆霍兹线圈的半径，I 为亥姆霍兹线圈中的电流，A1、A2 是圆线圈上对称于XOY 平面的任意两点，P （0，y 0，z 0）是YOZ 平面

内的一点。由于亥姆霍兹线圈具有关于Z 轴的旋转对称性和关于XOY 平面对称性，因此，只需要分析YOZ 平面内的磁场分布。在其空间任意点磁感应强度微积分表

达式由式（1）~（5）给出 。【1】r 1，r

2则为A1、A2处电流元到点P 的位置矢量，B x 、B y 、B z 是A1、A2处电流元在P 点产生的磁感应强度在X 、Y 、Z 轴方向

的分量。

[][]()2020212/sin cos R z R y R r -+-+=

θθ（1） [][]()2020222/sin cos R z R y R r -+-+=θθ（2） ()()θθθπμπd r R z R r R z R I dB

B x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-==⎰⎰3203102002/cos 2/cos 4（3） ()()θθθπμπd r R z R r R z R I dB B y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-==⎰⎰32031020

02/sin 2/sin 4（4） ()()θθθπμπd r y R R r y R R I dB B z z ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-==⎰⎰320310200sin sin 4（5）

其中，X轴的磁感应强度分量积分为0【1】。

那么，横截Z轴的各截面匀强磁场的磁感应强度大小是如何分布的，是什么图象呢？

从上面各式可以看出，其中的式（4）、（5）的积分是困难的，所以，本次实验采用MATLAB 软件对其进行数值积分，对沿着 Z 轴的各匀强磁场的截面情况进行了分析。MATLAB工具对空间磁感应强度计算表明：沿着Z轴方向，自下而上的各截面匀强磁场的截面大小并不相同，也就是说，虽然亥姆霍兹线圈具有关于Z 轴的旋转对称性，但其旋转而成的立体图形并不是一个圆柱型。匀强磁场的大小及随Z方向位置变化的特性对于最大程度地利用有效匀强磁场具有重要的应用价值。

本次实验重点研究了匀强磁场区域特性，讨论了亥姆霍兹线圈匀强磁场区域的三维图象、磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系以及亥姆霍兹线圈半径 R 对匀强磁场区空间分布的影响。

亥姆霍兹线圈匀强磁场区域的三维图象

将YOZ 平面上的匀强磁场分布图绕Z 轴旋转，可以得到亥姆霍兹线圈中磁场匀强区的三维图象。图8 是均匀度为 1%区域的三维图象。为了能够显示立体图象中间的下凹形貌，Z 轴的计算步长取为 0.025，但这导致了图象边缘呈锯齿状，如果减小Z 轴计算步长，则图象边缘将逐渐光滑。图2 非常直观地显示出亥姆霍兹线圈内部磁感应强度的分布，可以看出从两线圈平面开始，有一管道形匀强磁场区。精度要求不同，可利用的磁场范围大小也会有一定的变化。下面将以管道形匀强磁场区域半径尺寸为研究对象，重点研究当均匀度标准变化时匀强磁场区域的变化情况。

磁感应强度均匀性要求与准匀强磁场区域关系分析为分析均匀度要求对准匀强磁场区域面积的影响，本文对于不同均匀度要