北京大学2017年自主招生试题

北京大学2017年自主招生数学试卷

选择题共20小题,在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填写在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.实数,a b 满足2

2

(4)(1)5(21)a b ab ++=-，则1

()b a a

+

的值为 () 1.5A () 2.5B () 3.5C ()

D 前三个答案都不对

解答：由柯西不等式

()()()()()2

2

2

221054126930ab a b ab ab ab ab -=++≥+⇒-+=-≤,

所以13 3.5ab a b b a a ⎛

⎫=⇒==

⇒+= ⎪⎝

⎭. 答案：C. 2.函数21

212

y x x x =--

+-在区间[]1,2-上的最大值与最小值的差位于的区间是 5()32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()32B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 7()42C ⎛⎫

⎪⎝⎭， ()D 前三个答案都不对

解答：222221

3,10233,01

1221121,121

22

x x x x x x y x x x x x x x x x ⎧--+-≤<⎪⎪

⎪--+≤<⎪=--+-=⎨⎪-++≤<⎪⎪+-≤≤⎪⎩,

当14x =-

时，max 4916

y =；

当x =

时，min 12y =-;

最大值与最小值的差为6516-,在732⎛⎫

⎪⎝⎭

，内.

3.由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域的面积为

()6A 33()

5B 36()5

C ()

D 前三个答案都不对

解答：画出平面区域,由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域面积为：

636

6=55

⨯，答案C. 4. 3(1cos

)(1cos

)5

5

π

π

++的值为

(A 1

()14B +

()C ()

D 前三个答案都不对

解答：3331cos

1cos 1cos cos cos cos 555555

ππππππ⎛

⎫⎛

⎫++=+++ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭ 2221cos

cos

2cos cos 1cos cos

5

55555

π

πππππ

=-+=+ 24sin

cos

cos

sin

155

5

551144

sin

sin 5

5

π

π

ππ

π

π=+

=+⋅=, 答案：B.

5.在圆周上逆时针摆放了

4个点,,,A B C D 已知1BA =，2BC =，3BD =，

ABD DBC ∠=∠，则该圆的直径为

()

A

()

B

()

C ()

D 前三个答案都不对

解答：由ABD DBC ∠=∠，得AD DC =.在,ABD DBC ∆∆内，由余弦定理得

:

22

9194612

AD CD AD CD +-+-=⇒==所以

1cos 23

ABD ABD π

∠=

⇒∠=,在ABD ∆内由正弦定理可得，

2sin 3AD

R ABD

=

=

∠, 答案：D. 6.已知三角形三条中线长度分别为9,12,15，则三角形的面积为

()69A ()72B ()75C ()D 前三个答案都不对

解答：在AIE ∆中，6,5AI IE ==，在AIE ∆中，8,5CI IE ==，AEI CEI π∠+∠=，

由余弦定理可得

2225362564

01010AE CE AE CE

+-+-+=，其中AE CE =，得=5AE CE =，则10AC =，

同理可得另外两条边长分别为

所以三角形面积为72.答案B. 7.已知x 为实数，使得2

2,,x x 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的2倍，则这样的实数x 的个数为

()3A ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对

解答：2

221,1x x x =⇒==，不符合题意；2

2

2211x x x =⇒=⇒=-符合题意；

24,16x x ==，符合题意；242,2x x x =⇒==-，舍去2x =；

21

20,2

x x x x =⇒==，舍去0x =；2

20,2x x x x =⇒==，舍；综上，x 的值可以为4，-2，-1，0.5. 答案B.

8.设整数,,a m n

=

(,,)a m n 的个数为

()A 无穷个 ()4B ()2C ()

D 前三个答案都不对

解答：

=

2a m n -=+-由于,,a m n 都是整数，所以20mn =，则2a m n =+，且m n >所以整数组(,,)a m n 可以为()()3,5,4,3,5,4-，答案C. 9.设11112

3

5

7

1111

log log log log S ππππ

=

+++

，则不超过S 且与S 最接近的整数为 ()5A - ()4B ()5C ()

D 前三个答案都不对

解答：()11112

3

5

7

111111111log log 5,4log log log log 2357210S ππππππ⎛⎫

=

+++=⋅⋅⋅=∈-- ⎪⎝⎭

,

答案A.

10.已知复数z 满足2

z z

+

是实数，则z i +的最小值等于

()

3

A

()2

B ()1

C ()

D 前三个答案都不对

解答： 由2z z +

是实数可得22

z z z z +=+，即22z z z z

+=+，整理得

2()10z z z z ⎛

⎫--= ⎪⋅⎝⎭

，所以z z =

或z =

若z z =，则z 为实数，当0z =时，z i +有最小值1；

若z =z i +

1; 综上可得z i +

1. 答案D. 11.已知正方形

ABCD 的边长为1，1234,,,P P P P 是正方形内部的4个点使得

1234,,ABP BCP CDP DAP ∆∆∆∆和都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于

()

2A

()

B

()C ()

D 前三个答案都不对

解答：四边形1234PP P P

为边长为

)

12

的正方形，故面积为2.答案：A.

12.已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度取值区间为