碎石运输方案设计

碎石运输方案设计

摘要：

本文对运输碎石的方案设计建立数学模型。这是一个道路改造项目中安排石料运输的规划问题，目标是在给定的条件下寻求使碎石运输总费用最少的规划方案。问题的关键是给出两个石料供应点的运量，恰当选择铺设临时道路的路线，确定设置码头的数量及位置。注意到通过水运运输碎石时，必须有装有卸，所有如果需要建临时码头，码头数应不小于2。由于S2处离河道处太远，又由于桥的造价很高，所以S2处运的碎石全部通过陆地运输。

为了使总费用在17亿元左右，我们在S1附近建设一个装碎石码头M

，

可能建设装碎石码头M

1、M

2

、M

3

，从码头M

1

修建的临时道路与AB路的

交点为L

1，从码头M

3

修建的临时道路与AB路的交点为L

2

。从S2处铺设临

时道路到临界点Q

1。可能在点C处铺设临时道路到临界点Q

2

。

路线图为

关键词：最优解lingo软件

一、问题重述

在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km 运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：A（0,100），B（200,100），

s1(20,120)，s2(180,157)。河与AB的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。此地区没有其它可以借用的道路。为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。

二、符号说明

w ：修路的总花费；

000(,)M x y ：卸碎石码头0M 的坐标；

(,)i i i M x y ：第i 个装碎石码头i M 的坐标，1,2,

,i k =；

(,100)i i L l ：从码头i M 修建的临时道路与AB 路的交点i L 的坐标，1,2,

,i k =；

(,100)Q q ：AB 上的一点（我们称它为临界点），修建它左边的道路需要的碎石取自S1, 修建它右边的道路需要的碎石取自S2；

(,100)i i Q q ：从2S 修建的临时道路与AB 路的交点i Q 的坐标，1,2,,i t =；

1s ：临时道路的横截面面积，等于620.410km -⨯；

2s ：正式铺设的AB 道路的横截面面积，等于627.510km -⨯；

L ：AB 直线形公路的总长度；

1b ：从采石点S1运出的仅用于修建AB 公路的碎石数；

2b ：从采石点S2运出的仅用于修建AB 公路的碎石数。

三、问题假设

1）河有足够的跨度，可以满足在两岸都修建码头； 2）假设每个码头通向AB 的临时道路只有一条； 3）除水路外，假设所有的运输道路均为直线型； 4）把河流的上游和下游分别看作两条抛物线的一部分；

5）不考虑题目所涉及范围以外的其他不确定因素产生的费用。

四、模型准备

考虑到在运输方案设计的数学模型中涉及大量的计算公式，为了方便，我们首先用一个示意图表示运输线路，并且逐步依次对各种量的表达式进行讨论。

3w ：修建码头的费用

总费用w =码头建设费0w +铺设道路的碎石成本费1w +碎石运输费2w 。

1）码头建设费w 0：

修建一个码头的费用为105元，修建K 个码头的费用为w 0=k105

2）碎石成本费1w =铺设AB 的碎石成本费10w +铺设临时道路的碎石成本费11w ：

铺设AB 的碎石成本费：10w =922006010s ⨯⨯⨯元 铺设临时道路的碎石成本费：

11w =901122121[(1)(222)]6010k k t s M M L M L M L s Q s Q s Q s +++

++++

+⨯⨯⨯

其中，6210.410km s -=⨯，01s M =

11,M L =

k k M L =

12s Q =

,2t s Q =

而20001

2512008

x y y =-+-,

211112512008x y y =-+-,2

2

2223312650,

,1265050

50

k k k x y y x y y =-+=

-+. 3）碎石运输费2w =铺设临时道路的碎石运输费21w +铺设AB 的碎石运输费20w :

首先计算铺设临时道路的碎石运输费20011k t w f f f r r =++

++++：

下面依次计算各段道路的运输费。 从S1出发的临时路段的碎石运费计算：

为计算修建01s M 段道路的运输费，第一步，计算把碎石从s1运到M 0的运费。如果把碎石分成无数小份，则每一份的运费与其将来被铺设的位置与采石点之间的距离成正比，所以这段路的运费可以用一个积分式求出来：

192901010

201010110s M f x s dx s M s =

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⎰

，

修建11M L

段道路需要的碎石要经过M0运到M 1的河流，由于

(1

ln ]2

a b

a

b

dy y

=

，

利用第一型曲线积分可以计算这段河的长度为：

01

111100[(100)2ln ]84y y y y y c dy y ⎛-==⋅-+

⎝⎰其他河段的长度i c 可以类似计算：

i

y i y c dy dy =

+⎰

⎰

. 这里，我们假定了M 2在下游抛物线上。 所以，修建11M L 段道路需要的碎石运费为：

929101111111(2016)101010;f s M c M L s M L s =⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

同样得到修建22M L 段道路需要的碎石运费为：