2018-2019学年八年级数学北师大版下册名师导学案：第一章 课题 直角三角形全等的判定
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教学设计：第一章 课题 直角三角形全等的判定
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教学设计：第一章课题直角三角形全等的判定一. 教材分析《北师大版八年级数学下册》第一章主要讲述了直角三角形全等的判定。
本章内容是学生学习几何全等的重要基础，也是学生进一步学习几何证明和几何变换的关键。
本章通过讲解直角三角形全等的判定方法，帮助学生掌握全等的概念，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初步的几何知识，对全等概念有一定的了解。
但学生在理解直角三角形全等时，可能会对边的对应关系和角的对应关系产生混淆。
因此，在教学过程中，需要引导学生明确直角三角形全等的判定条件，并通过大量的实例来巩固学生的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握直角三角形全等的判定方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。
2.教学难点：直角三角形全等判定条件的运用和理解。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题情境，引导学生观察、思考、讨论，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
同时，通过分析典型案例，使学生深入理解直角三角形全等的判定方法。
此外，学生进行小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教具准备：直角三角形模型、多媒体教学设备。
2.教学素材：相关案例、练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的直角三角形例子，如建筑工人使用的三角板、路由器的信号增强器等，引导学生思考：这些直角三角形有什么共同特点？如何判断两个直角三角形是否相同？2.呈现（10分钟）教师介绍直角三角形全等的概念，呈现直角三角形全等的判定方法，如HL（斜边-直角边）、SAS（边-角-边）和ASA（角-边-角）。
北师大版2019年春八年级数学下册全册配套教案设计1.2 第2课时 直角三角形全等的判定
第2课时 直角三角形全等的判定1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？ (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点：直角三角形全等的判定【类型一】 应用“HL ”证明三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可． 【类型二】 利用“HL ”证明线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE . 证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型三】 利用“HL ”证明角相等如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等． 证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型四】 利用“HL ”解决动点问题如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝10，PQ ＝AB .P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AM 上运动，且点P 不与点A ，C 重合．那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC 与△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝10，可据此求出P点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合，不合题意．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°，∴在Rt △ABC 与Rt △QP A 中，AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A (HL)，即AP ＝BC ＝10；②当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC ，不合题意．综上所述，当点P 运动到距离点A 为10时，△ABC 与△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型五】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)，∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有SSS 、SAS 、ASA 、AAS. 三、板书设计1．作直角三角形2．直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.。
8年级数学北师大版下册 教 案第1章《 直角三角形》
教学设计直角三角形一、教材的地位和作用“直角三角形（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第二节．本节课主要探究的是直角三角形全等判定的“斜边、直角边”定理，这是在学生已经学过的三角形全等的判定、直角三角形的性质和勾股定理等知识的基础上进行的，它既是前面学习的三角形全等判断方法的拓展与应用，又为证明三角形全等、研究矩形的性质等提供了新的方法．所以，本节课在教材中起着承上启下的作用．另外学生在本节课的动手操作、观察猜想、合作交流、反思质疑及归纳小结的过程中，进一步的提高了分析问题和解决问题的能力、感受了合情推理与演绎推理的紧密联系、养成了良好学习习惯以及形成了实事求是的科学态度．这对于学生对后续知识的研究起着很大的作用．二、学情分析就其知识掌握而言，学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理，且在以往的探究知识的过程中，具备了初步的合情推理和演绎推理能力，积累了一定的探究知识经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础．就其生理、心理特点而言，八年级学生的思维还是以形象思维为主，抽象思维虽然逐渐形成，但尚未成熟．八年级学生有较强的学习兴趣，学习独立性逐渐加强，可塑性大，是掌握基础知识、基本技能的最佳时期．但其认知水平和分析能力有一定的局限．所以在教学过程中，一方面教师要运用直观材料激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；另一方面教师要精心的设计教学活动，留足时间给学生操作、观察、思考、交流、质疑和归纳，引导学生用自己的语言归纳新的定理，让学生真正明白知识的产生过程，学会探究新知识的方法．三、教学目标探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”的判定定理．能熟练运用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题．已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形．经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力．四、教学重点与难点重点：掌握“斜边、直角边”定理；运用“斜边、直角边”定理解决一些简单的实际问题．难点：“斜边、直角边”定理的探究过程；“HL”和“SSA”的区别与联系．五、教学关键运用操作、观察、猜想得出结论，在独立思考和合作交流中突破难点．六、教学方法在学生动手操作、观察分析、独立思考、合作交流的基础上，运用直观教学法引导学生发现知识，再运用启发式教学法引导学生积极主动学习，以促进身心发展，同时利用多媒体辅助教学．七、教具学具准备课件、三角尺、圆规．八、教学设计（一）创设情境，激活思维1.学生回顾全等三角形的判定方法、勾股定理．2.思考：两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？带着这个问题，我们一起进入今天的课程．［设计意图：教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验之上．复习回顾旧知识有利于本节课探究过程的进行.］（二）问题探究，思维生长（教师出示探究活动）1.活动一：动手操作，猜想结论请同学们用尺规作图：已知：线段a、c（a＜c），直角α．求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c. 并认真观察，独立思考，解决以下问题．问题①：对比你和小伙伴作的三角形，全等吗？问题②：通过画图和观察，你发现了什么结论？写下来问题③：小组内交流，写下你认为正确的结论．你发现的结论小组内你认为正确的结论（教师引导学生归纳出“斜边、直角边”定理）结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）［设计意图：学生经历操作、观察、猜想、交流、验证等活动，获得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.］2.活动二：引导推理，论证结论（教师引导：孩子们，我们知道新知识的获得要经历操作、观察、猜想、交流、证明等活动，由猜想得到的命题只有经过证明才能成为定理.现在，我们一起来证明你的猜想吧.）（1）已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′证明：在△ABC中，∵∠C=90°∴BC2=AB2-AC2同理，BC′2=AB′2-AC′2∵AB=A′B′,AC=A′C′∴BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）（教师引导学生归纳定理．）（2）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）（3）几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).（强调：利用定理的前提是“在直角三角形中”，证明三角形全等又多了一种方法）［设计意图：学生经历了定理的发现、提出和证明的全过程，感受了合情推理与演绎推理的紧密联系.］3.活动三：反思质疑，深化知识两边分别相等且一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？［设计意图：通过此环节进一步理解“斜边、直角边”定理．养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度.］4.活动四：运用定理，解决问题（1）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）（2）下列不能使两个直角三角形全等的条件是（）A．三边对应相等B．两个锐角相等C．一条直角边和斜边对应相等D．两条直角边对应相等［设计意图：及时运用知识解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强应用意识、参与意识，巩固所学的“斜边、直角边”定理．］（三）典型例题，巩固新知（教师出示例题）1．如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．（1）△ABC与△DEF全等吗？（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE的大小有什么关系．［设计意图：运用变式练习，巩固所学的“斜边、直角边”定理，使学生对本节课所形成的概念有更深刻的理解．］（四）归纳小结，反思提高回忆本节课探究新知识的过程，谈谈你对收获？1.知识体系构建：(1)定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）(2)几何语言在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)2.探究新知识的方法：操作→观察→猜想→交流→证明→释疑→应用．［设计意图：通过学生谈本节课的感悟与收获, 引导学生反思学习过程，达到知识的概括与提升，激发学生学习成就感，使学生在知识、能力、情感三个纬度得到提高.．］（五）分层作业，深化新知1.必做题：学案第1、2、3、4题；2.选做题：学案第1题；［设计意图：作业以分层形式进行，保证基本要求的前提下，体现一定的弹性，以满足学生的不同需求，使不同的人在数学上得到不同的发展.］（六）板书设计 九、教学设计说明与反思：数学学习如果忽视了丰富多彩的人的生活及其需要，忽视了学生在一、教学设计说明与反思九、教学设计说明与反思教学目标的定位是教学设计的核心，教学问题的设计是教学设计的关键，教学活动的设计是教学设计的标志，教学评价的设计是教学设计的保证．教师在备课时要研读教材、教参与数学课程标准、研究学生的身心发展特点、研究学生的知识水平与认知水平．教师在设计时应明确教学目标、教学重难点，精心的设计教学活动、精心准备数学问题，上好每一节课．正如《数学课程标准》（2011年版）指出的：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想．为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识．”下面就“直角三角形（第二课时）”这一课堂教学为例，谈谈自己的一些做法与体会．1. 设计操作、观察等活动，培养几何直观1.2直角三角形（2） (1) 定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （“斜边、直角边”或“HL ”） (2) 几何语言在Rt △ABC 和Rt △DEF 中 ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL ) 投影区学生练习板演在数学发展历程中，对于数学中的很多问题的发现与解决，数学家的灵感往往发端于几何直观．数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借助于图形直观加以分析解决的问题，使直观变成数学发现的向导．正如《数学课程标准》（2011年版）指出的：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题．借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果．几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用．”本节课中，我设计的活动给足了学生动手操作、观察分析的时间，引导学生通过观察图形初步得出结论，形成初步的空间观念和一定的几何直观．2.设计猜想、证明等活动，培养推理能力推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．正如《数学课程标准》（2011年版）指出的：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算．在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论．”本节课中，我设计的教学活动给学生提供探索交流的空间，引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中．3.设计思考、归纳等活动，培养创新意识《数学课程标准》（2011年版）指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中．学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法．创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终．”本节课中，我设计的教学活动给学生留足了独立思考的时间，引导学生在观察分析过程中进行独立思考，在推理论证之后尝试用自己的语言归纳结论，在一定程度上培养了学生的创新意识．4.设计与生活息息相关的问题，培养应用意识《数学课程标准》（2011年版）指出：“应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决．在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体．”本节课，在典型例题的环节中，我设计了一个与生活息息相关的问题，使学生体会数学结论在实际中的应用.．在一定程度上培养了学生的应用意识．总之，本节课围绕着“直角三角形中全等的判定”这条主线，让学生经历操作、观察、猜想、质疑、交流、证明等学习过程．这既重视了知识的生成过程，又重视了学生思维的发展过程；既重视了能力的培养，又重视了学生情感的产生和保持．本节课到此是结束了，但是学生发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基础活动经验是一个漫长的过程．在今后的教学中，我们应精心备课、上好每一节课，争取达到“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标．。
【北师大版】2019年春八年级数学下册：全册配套教案设计 第2课 直角三角形全等的判定
第2课时 直角三角形全等的判定1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点：直角三角形全等的判定【类型一】 应用“HL ”证明三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt△ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．【类型二】 利用“HL ”证明线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型三】 利用“HL ”证明角相等如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型四】 利用“HL”解决动点问题如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝10，PQ ＝AB .P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AM 上运动，且点P 不与点A ，C 重合．那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC 与△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝10，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合，不合题意． 解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°，∴在Rt △ABC 与Rt △QP A 中，AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A (HL)，即AP ＝BC ＝10；②当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC ，不合题意．综上所述，当点P 运动到距离点A 为10时，△ABC 与△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)，∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计1．作直角三角形2．直角三角形全等的判定斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.。
新北师大版八年级数学下册导学案
第一章三角形的证明本章总体设计介绍本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论. 运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：1.等腰三角形的性质和判定定理；2.直角三角形的性质定理和判定定理；3.线段的垂直平分线性质和判定定理；4.角平分线性质定理和判定定理。
本章教学建议对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。
对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。
证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。
作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
1.等腰三角形（一）一、学生知识状况分析在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。
二、教学任务分析本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。
北师大版八年级下册数学第一章直角三角形教案
北师大版八年级下册数学第一章直角三角形教案一、学情分析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。
二、教学任务分析本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。
在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。
所以本节课的教学目标定位为：1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题2．水平目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理水平三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。
1：复习提问1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。
想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，使用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。
那么我们能否通1 / 5过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．要求学生完成，一位学生的过程如下：已知：在△ABC中， AB=AC．求证：∠B=∠C．证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，∴∠ADB=∠ADC=90°又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。
质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．能够画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．也有学生认同上述的证明。
八年级数学下册第一章三角形证明复习导学案1(新版)北师大版
学习目标第一章三角形的证明1、掌握等腰三角形、直角三角形的性质及其应用；2、进一步理解互抗命题之间的关系。
知识点一：等腰三角形的性质：等边同等角1、如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于()A．30° B ．40° C ．45° D ．36°知识点二：等腰三角形“三线合一”2、在等腰△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的高，则BD=_________.3、如图2,在△ABC中,∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,∠BAD=_________.知识点三：等腰三角形的判断：等角同等边4、如图3，在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD均分∠ABC，AD∥图图图图图图图图图图图图图图1图图图图图图2BC，以以下图，则图中的等腰三角形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个5、已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为45°，顶角的度数自图3为________________.知识点四：直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半6、在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=6，BC=_____________.导7、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_______________. 学知识点五：互抗命题8、全等三角形的面积相等,则其抗命题是()A．不全等三角形的面积不相等 B ．面积不相等的两个三角形不全等C．面积相等的两个三角形全等 D ．全等三角形的面积相等知识点六：直角三角形全等的判判定理：HL9、如图,四边形ABCD中,CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD,求证:CD=CB.1.以下命题的抗命题不正确的选项是( )A.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方B.两直线平行，内错角相等C.等腰三角形的两个底角相等D. 对顶角相等2.如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则以下结论必定正确的选项是( )A．AE＝ECB．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE巩 3.某城市几条道路的地点关系如右以下图所示，已知AB∥CD，AE与AB固的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为()A．48°B．40°C．30°D．24°作4.如图，0是∠BAC内一点，且点0到AB，AC的距离OE＝0F，则业AE0≌△AF0的依照是5.在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长.6.如图，在△ABC中，AB= AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；若B、C在DE的同侧（以以下图）且AD= CE．求证：AB⊥AC. 如图，M为△ABC边BC的中点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F．①当AB=AC时，求证：ME=MF②若ME=MF，试判断AB与AC的大小关系，并证明你的结论．。
八年级数学北师大版下册第一章1.2.2直角三角形全等的判定课件(共57张PPT)
归纳新知
1 知识小结
1．直角三角形的判定方法： 边边边、边角边、角边角、角角边、 斜边、直角边.
2. 判定直角三角形全等的“四种思路”： (1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，
用“HL”判定． (2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“AAS”判定． (3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边是锐
合作探究 知识点 2 判断两三角形全等方法的综合应用
直角三角形全等的判定既可以用“SSS” “SAS” “ASA”和“AAS”,有可以用 “HL”.
例3 〈 义 乌 〉 如 图 ， 已 知 ∠ B＝ ∠ C，添 加 一 个 条 件 使 △ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)， 你添加的条件是___A_B__＝__A_C_或__A__D_＝__A_E__或__B_D_＝__C__E_或____
(3)以B′为圆心，AB为半径画弧， B
交射线C′ N于点A′；
A
N A′
C
(4)连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
M B′
C′
新知小结
由上面可以得到判定两个直角三角形全等的一 个方法：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等(可以简写成“斜边、 直角边”或“HL”).
_B_E_＝__C__D_(_写__出__一__个__即__可__)____． 导引：本题给出∠B＝∠C，再加上公共角
∠A，有两个条件满足全等，根据全 等三角形的判定方法，有两个角全等 的判定方法有AAS，ASA，只要添加 其中任意一个角的对边相等即可，即AB＝AC或AD＝ AE或BD＝CE；如果从已知给定的全等条件中，通过添 加另外一个条件能够得到AB＝AC或AD＝AE或BD＝CE 中任意一个条件也可以，即BE＝CD.
11.2三角形全等的判定整章教师用导学案
课题：11.1 全等三角形【学习目标】1、 掌握全等形、全等三角形及相关概念和全等三角形性质。
2、 理解“平移、翻折、旋转”前后的图形全等。
3、 熟练 确定全等三角形的对应元素。
【前置学习】自学课本P2－3页，完成下列要求： 1、 理解并背诵全等形及全等三角形的定义。
2、 注意全等中对应点位置的书写。
3、 理解并记忆全等三角形的性质。
4、 自学后完成展示的内容，20分钟后，进行展示。
【学习探究】 1、＿＿＿＿＿＿＿＿相同的图形放在一起能够＿＿＿＿。
这样的两个图形叫做＿＿＿＿。
2、能够＿＿＿＿＿的两个三角形叫做全等三角形。
3、一个图形经过＿＿、＿＿、＿＿后位置变化了，但形状…大小都没有改变，即平移、翻折…旋转前后的图形＿＿＿＿。
4、＿＿＿＿＿＿叫做对应顶点。
＿＿＿＿＿＿＿叫做对应边。
＿＿＿＿＿叫做对应角。
5、全等三角形的对应边＿＿。
＿＿＿＿相等。
6、课本P4练习1、27、如图1，△ABC ≌△DEF ，对应顶点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，对应角是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，对应边是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿FEDCB ADCBA7题 8题笔 记 栏8、如图2，△ABC ≌△CDA ，AB 和CD ，BC 和DA 是对应边，写出其他对应边及对应角＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿9、如图3，△ABN ≌△ACM ，∠B ＝∠C ，AC ＝AB ，则BN ＝＿＿＿＿，∠BAN=______,_____=AN,_____= ∠AMC.N M CB AE DCBA9题 10题 10、如图，△ABC ≌△DEC ，CA 和CD ，CB 和CE 是对应边，∠ACD 和∠BCE 相等吗？为什么？课后反思：笔 记 栏课题：11.2三角形全等的判定（1）【学习目标】1、掌握三角形全等的判定（SSS ）2、初步体会尺规作图3、掌握简单的证明格式 【学习探究】认真阅读课本P6－8页，完成下列要求：1、小组讨论探究1。
八年级数学下册 1.2 直角三角形(第1课时)导学案 (新版)北师大版
八年级数学下册 1.2 直角三角形（第1课时）导学案（新版）北师大版1、2直角三角形【学习目标】课标要求：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立、目标达成：（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立、学习流程：【课前展示】观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。
让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。
活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。
活动时可以先让学生观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等、如果两个角相等，那么它们是对顶角、如果小明患了肺炎，那么他一定发烧、如果小明发烧，那么他一定患了肺炎、三角形中相等的边所对的角相等、三角形中相等的角所对的边相等、上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流、【创境激趣】通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。
[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?解：在Rt△ABC中，∠CAB=30，AB=10 cm，∴BC＝AB＝10＝5 cm、∵CB1⊥AB，∴∠B+∠BCB1＝90又∵∠A+∠B＝90∴∠BCB1 ＝∠A＝30在Rt△ACB1中，BB1＝BC＝5＝ cm＝2、5 cm、∴AB1＝AB＝BB1＝10—2、5＝7、5(cm)、∴在Rt△C1AB1中，∠A＝30∴B1C1 ＝AB1＝7、5＝3、75(cm)、【自学导航】阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读、（1）、勾股定理及其逆定理的证明、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90，BC ＝a，AC＝b，AB＝c、求证：a2+b2＝c2、证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED、∴∠BDE＝90，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)、∴四边形ACDE是直角梯形、∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2、∴∠ABE＝180－(∠ABC＋∠EBD)＝180－90＝90，AB＝BE、∴S△ABE＝c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴(a+b)2＝ c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2＝c2 + ab,∴a2+b2＝c2教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调、具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论、你能证明此结论吗?师生共同来完成、已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求证：△ABC是直角三角形、分析：要从边的关系，推出∠A＝90是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证、证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，则A′B′2＋A′C′2、(勾股定理)、∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′∴BC2＝B′C′2∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90(全等三角形的对应角相等)、因此，△ABC是直角三角形、总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形、【合作探究】教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30角的直角三角形。
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课题 直角三角形全等的判定
【学习目标】
1、理解并掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边、
2、经历探究斜边、直角边判定方法的过程,能运用“斜边、直角
边”判定方法解决有关问题、
【学习重点】
直角三角形“HL”全等判定定理推导及应用、
【学习难点】
证明“HL”定理的思路的探究和分析、
行为提示：点燃激情,引发学生思考本节课学什么、
行为提示：认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目,并在
练习中发现规律,从猜测到探索到理解知识、
方法指导：斜边直角边证明三角形全等强调首先必须证明是直角
三角形,书写时写明条件,与SAS要有区别、
学习笔记：选择适当的方法证明两个直角三角形全等的关键是看
已知条件的特点,概括起来有以下几种情况：
(1)当有一条直角边和斜边对应相等时,用“HL”判定其全等；
(2)当有两条直角边对应相等时,用“SAS”判定其全等；
(3)当有一个锐角和斜边对应相等时,用“AAS”判定其全等；
(4)当有一条直角边和一个锐角对应相等时,用“ASA”或“AAS”判
定其全等、情景导入 生成问题
旧知回顾：
1、判定两个三角形全等的方法有哪些？
答：SAS、ASA、AAS、SSS.
2、有两条边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形一定全
等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？
答：有两条边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定
全等、
自学互研 生成能力
知识模块一 直角三角形全等的判定
【自主探究】
阅读教材P18－19的内容,回答下列问题：
直角三角形全等的判定是什么？如何证明？
答：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简称
“HL”、
证明如下：如图∠C＝∠C′＝90°,AB＝A′B′,AC＝A′C′.求证：
△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC中,∵∠C＝90°,∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)、
同理B′C′2＝A′B′2－A′C′2,∵AB＝A′B′,AC＝A′C′,∴BC＝B′C′,∴△
ABC≌△A′B′C′(SSS)、
范例1：
如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD
＝AF,AC＝AE.求证：BC＝BE.
证明：∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD＝
AF,AC＝AE,∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)、∴CD＝EF.∵AD＝AF,AB
＝AB,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)、∴BD＝BF,∴BD－CD＝BF－EF,
即BC＝BE.
仿例：
如图,已知∠C＝∠D＝90°,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△
ABD,则还需补充条件( B )
A、∠BAC＝∠BAD B、AC＝AD或BC＝BD
C、AC＝AD且BC＝BD D、以上都不正确
归纳：根据题目条件,正确选用HL证明两直角三角形全等,注意
一定要为直角三角形、
知识模块二 直角三角形全等的综合运用
范例2：
如图,已知AC⊥BD于点P,AP＝CP,请增加一个条件,使
△ABP≌△CDP(不能添加辅助线),你增加的条件是BP＝DP(或AB＝
CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D)、
仿例1：如图1,BE、CF是△ABC的高,且BE＝CF＝8,BC＝10,
则EC＝6、
(图1)
(图2)
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务,各组在
展示过程中,老师引导其他组进行补充,纠错,最后进行总结评分、
学习笔记：
检测可当堂完成、
仿例2：如图2,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,分别过点
B、C作过点A的直线的垂线BD、CE,若BD＝4 cm,CE＝3 cm,则DE
＝7 cm.
仿例3：如图3,AB⊥AC,DC⊥AC,AD＝BC,则AD和BC的位置
关系是平行、
(图3)
(图4)
仿例4：如图4所示,过正方形ABCD的顶点B作直线a,过点A,C
作a的垂线,垂足分别为点E,F.若AE＝1,CF＝3,则AB的长度为10、
归纳：直角三角形全等是三角形全等中的重要内容,根据条件灵
活选用证明方法、
交流展示 生成新知
【交流预展】
1、将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”
得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑
板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑、
2、各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展
示在黑板上,通过交流“生成新知”、
【展示提升】
知识模块一 直角三角形全等的判定
知识模块二 直角三角形全等的综合运用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书、
课后反思 查漏补缺
1、收获：
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2、存在困惑：
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