2013年6月数值分析
哈尔滨工业大学2013秋数值分析试题及答案
xi
f xi
-1 1
0 0
2 16
-1 , 2 1）试求 f ( x) 在 上的 Hermite 插值多项式 H ( x) ,使之满足下列条件：
H ( xi ) f ( xi ), i 0,1, 2
，
H ( x1 ) 0
R( x) f ( x) H ( x ) f ( 4 )( ) ( x 1) x 2 ( x 2) 4! ，
（1）求出该格式的局部截断误差首项和首项系数； （2）分析该格式的收敛性； （3）讨论该格式的绝对稳定性，指出绝对稳定区间。
Cr
（在局部截断误差中 （参考定理： 设
p p 1 r r 1 1 [ (i) ai r (i) bi ] , r 2,3, r! i 0 i 1
(1) 0, (0) 0, (2) 0, '(0) 0, ( x) 0
故 (t ) 有 5 个零点， (4) (t ) 至少有一个零点 ：
(4) ( ) f (4) ( ) 4!k ( x) 0
所以 k ( x)
f (4) ( ) ，余项表达式为 4!
0.15625 0.15625 x0 [1.6,1.2] ， H 0 F '[ x 0 ]1 0.208333 0.208333
x1 [1.58125,1.225] y 0 [0.000976562, 0.120273] r 0 [0.01875, 0.025] 0.154345 0.154345 H1 0.206428 0.210238 x 2 [1.58114,1.22474] y1 [0.000977866, 0.000291477] r1 [0.000108524, 0.000259077] 0.150145 0.150145 H2 0.202228 0.214438
数值分析综述报告
淮阴工学院《数值分析》考试──基于Matlab的方法综合应用报告班级：金融1121姓名：姚婷婷学号：1124104129成绩：数理学院2014年6月7日《数值分析》课程综述报告前言：数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。
数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。
正文：第一章 近似计算与误差分析1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。
2、四则运算的误差： ①加减法运算()()()****x y x y δδδ±=+②乘法运算()()()***************xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-⇒=+③ 除法运算：()()()()()**********************2**x x xy x y y y yy xy x y x y x yyy x x yy y x yy x y y x x y y δδδ--=-+-=-+-=+⎛⎫⇒≈⎪⎝⎭3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式：其中：是正整数，是整数，如果是数的近似值并且则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。
此时，该近似值的相对误差为另一方面，若已知()()*1111021nr x a δ-≤+那么，()()***1112110.10211102r m n n m n x x x x a a a a δ----≤⨯=+≤即：*x 至少有n 位有效数字。
例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x * =3.14159 x*=3.1415 x*=3.141**213100.314110.0016...0.005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**516100.314159110.0000026...0.000005101022x x π--=⨯-=<=⨯=⨯**314100.31415110.000092...0.0001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯**213100.3141110.00059...0.001101022x x π--=⨯-=<<⨯=⨯第二章 线性方程组在科学计算中，问题的本身就是求解线性方程组，许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。
兰州商学院2012—2013学年第一学期数值分析期末考试试卷
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0.5 0 2 0 0.5 ( L U ) = 0.5 1 0.5 0 2
1 0 0.5 2 BJ D 1 ( L U ) = 0.5 0 0.5 , 1 0.5 0 2
( k 1)
BX (k ) f
B P 1JP
其中 J 为 B 的 Jordan 标准型
J1 J
J2
1 0.5 1 2 b 相当于（I-B）x=f , I-B = A 0.5 1 0.5 , 1 0.5 1 2
第 4 页 共 17 页
1 x 3 0.5 x 1 0.5x 2 2 即 b. 0.5x 1 x 2 0.5x 3 1 1 x 1 0.5x 2 x 3 0.5 2 (k 1) 1 (k ) k) 0.5 0.5x ( x3 2 x 1 2 (k 1) (k ) k) 1 0.5x 1 0.5x ( b 的 Jacobi 迭代格式： x 2 3 1 (k ) k 1) k) x ( 0.5 x 1 0.5x ( 3 2 2
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if(err<delta)|(relerr<delta); return end end X=X'; end ②．gseid.m function X = gseid(A,B,P,delta,max1) N=length(B); for k=1:max1 for j=1:N if j==1 X(1)=(B(1)-A(1,2:N)*P(2:N))/A(1,1); elseif j==N X(N)=(B(N)-A(N,1:N-1)*(X(1:N-1))')/A(N,N); else X(j) = (B(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)'-A(j,j+1:N)*P(j+1:N))/A(j,j); end end err =abs(norm(X'-P)); relerr =err/(norm(X)+eps); P=X'; if(err<delta)|(relerr<delta); return end end X=X'; end ③．testjacobi_01.m A =[10 -1 2 0;1 -11 1 -3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8]; B = [6 25 -11 5]';P = [0 0 0 0]'; X = jacobi(A,B,P,10^-9,100) ④. testgseid_01.m A =[10 -1 2 0;1 -11 1 -3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8]; B = [6 25 -11 5]';P = [0 0 0 0]'; X = gseid(A,B,P,10^-9,100) ⑤．testjacobi_02.m A =[2 1 1;1 1 1;1 1 2]; B = [0 3 1]';P = [0 0 0]'; X = jacobi(A,B,P,10^-9,100) ⑥．testgseid_02.m
2013年终总结数据汇总
色差 7 0 1 8 5 8 9 8 14 17 4 7 88
分油 2 1 3 1 4 1 1 5 9 6 5 4 42
遮盖力差 流Biblioteka 差 颗粒 0 0 0 0 0 0 2 1 1 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 11 增幅
颗粒
开裂
ＰＥ底漆 其他
合计
颗粒 4 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 3 4 1 0 0 0 18
开裂 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4
ＰＥ底漆 其他 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 12
开裂 0 0 1 0 2 0 2 3 2 2 6 0 18 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 4
ＰＥ底漆 0 0 0 0 0 5 1 2 2 0 0 2 12
2012年 2013年 35 88 5 1 23 42 11 2 6 0 9 18 21 75 110 226
其他 1 0 2 6 8 9 1 7 10 1 1 1 47
合计 9 3 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 6 7 2 1 1 1 2 6 1 2 1 0 47 30 20 3 9 6 9 6 0 6 2 0 0 15 23 13 9 5 11 14 22 3 15 3 2 226
合计 11 1 7 18 26 26 14 25 37 31 16 14 226
2012年春季学期(本科生)数值分析课程考试试卷(A卷)答案及评分标准
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2012年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1.设T x )3,4,2(-=,则 2x 29= (1分) ∞x4= (1分).2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确（2分）.3.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ(2分).4. 设()1537++=x x x f ，则差商0]2,,2,2,2[821= f （2分）.5. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分) .6.矩阵范数),2,1(||||∞=p A p 与谱半径)(A ρ有一个不等式关系，表现为p A A ||||)(≤ρ（2分）.7.将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231264A 进行LU 分解(即Doolittle 分解),则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1301L (2分);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5064U (2分).二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x 解： +-+=221)1142(),(x x y x Q 221)353(--x x+-++221)62(x x 221)72(-+x x要使总残差达到最小，必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021x Q x Q⇒⎩⎨⎧-=-=-48463513182121x x x x⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9111327383021x x 或⎩⎨⎧≈≈24.104.321x x （10分）三、（10分）给定函数表84.087.090.092.094.096.097.098.099.011/sin 19.08.07.06.05.04.03.02.01.00x x x 利用所有数据，用复合辛普森（Simpson ）公式计算dxx xI ⎰=10sin 的近似值. 解: 用复合辛甫生Simpson 公式,小区间数5=n , 步长2.0)00.1(51=-⨯=h)90.094.097.099.0(21[62.05+++⨯+=≈S I]84.0)87.092.096.098.01(4++++++ 9453.0= （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号四、（12分）设nn ij Ra A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵, 试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组：⎩⎨⎧=+=+635310121022121x x x x 解: 由T LDL A =可得b Ax =的方程为b x LDL T=,令y x DL T =,则b Ly =.计算步骤： (1) 将A 直接分解TLDL A =，求出 D L , (2) 求解方程b Ly =(3) 求解方程y D x L T 1-= （4分）⎢⎣⎡102 ⎥⎦⎤5310⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10121l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10121l 比较矩阵两边的元素,可得: ,521=l ,21=d .32=d由b Ly =可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1501⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6312 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒31221y y 由y D x L T1-=得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=16 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒1112x x （12分）五、(12分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为 ()x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=1101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=. （8分） ())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()1)0(max 2110--≤≤≤x x x 令 ),1()(-=x x x h 由0)(='x h ，求得一个驻点得211=x于是 =≤≤|)(|max 10x h x 41)}1(),(),0({max 110=≤≤h x h h x 所以有())()(11x L x y x R -=)(max 2110x h x ≤≤≤81= （12分）六、(10分) 在区间[0,2]上利用压缩映像原理验证迭代格式1012.k x k +==，，，的敛散性. 解：(1) 记x x +=2)(ϕ，则xx +='221)(ϕ.当]2,0[∈x 时,];2,0[]2,2[)]2(),0([)(⊂=∈ϕϕϕx (5分) (2) .1221)0(|)(|<='≤'ϕϕx 因此,对]2,0[0∈∀x ,迭代格式1012.k x k +==，，， 产生的序列∞=0}{k k x 收敛. (10分)线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（12分）已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比(Jacobi)迭代法公式； （2）证明当4>a 时，雅可比(Jacobi)迭代法收敛； （3）取5=a ,T x)101,51,101()0(=，求出)2(x . 解：（1）对.,3,2,1 =i 从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1n x x a x x x a x x x a x n n n n n n n n n （5分） （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛. （10分）（3）取5=a ，Tx )101,51,101()0(= 由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x . 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x . （12分）八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤++='0)0(10,122y x y x y , (1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式. 解: （1）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的Euler 公式为；9,,1,0),1(1.0),(0221==++⨯+=+=+y n y x y y x hf y y n n n n n n n （5分）（2）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的改进Euler 公式为：)2(21.0)1(1.002121221221=⎪⎩⎪⎨⎧+++++=++⨯+=++++y y x y x y y y x y y n n n n n n n n n n （10分）九、（8分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.解: 答案略.。
湖南省教育厅关于公布2013年度湖南省普通高等学校省级精品课程复核结果的通知
湖南省教育厅关于公布2013年度湖南省普通高等学校省级精品课程复核结果的通知文章属性•【制定机关】湖南省教育厅•【公布日期】2013.06.21•【字号】湘教通[2013]276号•【施行日期】2013.06.21•【效力等级】地方规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】中等教育正文湖南省教育厅关于公布2013年度湖南省普通高等学校省级精品课程复核结果的通知（湘教通[2013]276号）各普通高等学校：根据我厅《关于2013年湖南省普通高等学校省级精品课程复核工作的通知》（湘教通〔2013〕89号）精神，我厅组织专家对2009年立项建设的省级精品课程、2012年度精品课程复核暂缓通过或申请延期复核的省级精品课程进行了复核。
现将有关情况通知如下：本次申请复核的课程共108门，其中，本科98门，专科5门，专科转本科复核的5门。
经专家复核评审，我厅同意，全省高校共有100门课程通过复核，继续保留省级精品课程荣誉。
其中，本科课程中有92门通过复核，6门暂缓通过；专科课程中有4门通过复核，1门取消；专科转本科复核评审的5门课程中，4门评审通过，转为本科精品课程建设，1门暂缓通过。
由于人员调离和退休等原因，8门课程更改课程主持人。
具体复核结果见附件。
本次复核后继续保留资格和专科转为本科建设的省级精品课程，我厅将继续予以资助建设，学校应按1：1的比例安排配套建设经费。
各高校要进一步加强精品课程的后续建设，着力为高校师生和社会学习者提供优质教学资源，积极促进现有省级精品课程逐步向精品资源共享课转型。
本次复核后暂缓通过的课程，各高校要针对课程复核中发现的问题，采取切实有效措施加强整改，全面提高课程建设质量，1年后再次复核，到期未参加复核的，不再受理复核申报。
为促进省内普通高校精品课程资源的共享，各高校应及时将课程建设过程中形成的各类教学资源上网，并在湖南省高等学校精品课程网（http：//）同步更新，充分发挥省级精品课程的示范和辐射作用。
数值分析课件2015xin王兵团-数值分析整理
数值分析课件2015xin王兵团-数值分析整理数值分析1. 数值分析的病态性是指因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化。
病态问题：因初始数据微小变化，导致计算结果剧烈变化的问题 良态问题：初始数据微小变化，只引起计算结果微小变化的计算问题。
数值不稳定算法：指算法进行计算的初始数据有误差，而计算过程中产生的舍入误差不断增长。
例子2. 误差的来源：①模型误差：在数学建模时，由于忽略了某些次要因素而产生的误差；②观测误差：在采集原始数据时，由仪器的精度或其他客观因素产生的误差；③截断误差：对产与计算的数学公式做简化处理后所产生的误差；④舍入误差：计算机因数系不全，由接受和运算数据的舍入引起的误差。
科学计算中值得注意的地方：①避免两个相近的数相减；②合理安排量级相差很大的数之间的运算次序，防止大数吃小数；③避免绝对值很小的数做分母；④简化运算步骤，减少运算次数。
3. 用计算机做科学计算时的溢出错误。
机器数系是有限的离散集，机器数系中有绝对值最大和最小的非零数M 和m ，若一个非零实数的绝对值大于M ，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m ，则计算机产生下溢错误。
上溢错误时，计算机中断程序处理；下溢错误时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。
4. 解非线性方程f x ()=0单根的牛顿法具有二阶收敛。
简单迭代法具有一阶收敛性。
当f 'x *()¹0且有2阶导数时，Newton 迭代法才有二阶敛速。
5. 对(n+1)个节点的Newton-cotes 求积公式，在n £7时，Cotes 系数大于0，而在n >7时，考虑到公式的稳定性不实用该公式。
6. 当系数矩阵A 是严格对角占优矩阵，Jacobi 格式、Seidel 格式都收敛。
7. 用高斯消元法求解线性方程组，一般使用选主元的技术是因为要减少舍入误差。
8. 解非线性方程组迭代法的整体收敛和局部收敛的主要区别是局部收敛在较小邻域内取初值，有初值限制。
数值分析第六章_数值插值方法
M n1 (n 1)!
n1 ( x)
说明：
n=1时，
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1)
n=2时，
( [x0 , x1])
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 )
( [x0 , x2 ])
,
x1,
Hale Waihona Puke xn)1
x1
x12
x1n
n
( xi
ni j1
xj)
1 xn xn2 xnn
因 xi x j (i j) 故上式不为0。
据Cramer法则，方程组解存在且唯一。 故Pn (x)存在且唯一。虽然直接求解上述方程组 可求得插值多项式，但繁琐复杂，一般不用。
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
a0 a1x0 a0 a1x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xnn yn
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 x0 x02 x0n
V
( x0
jk jk
(j,k=0,1)
称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。
2. 抛物插值：n=2情形
假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2) y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ， (x2, y2)三点的抛物线。 采用基函数方法，设
基于DMM加工图的7050铝合金热塑性变形参数优化识别_权国政
第6 期
权国政等： 基于 DMM 加工图的 7050 铝合金热塑性变形参数优化识别 表1 Table 1 通过 m 值响应曲面识别的失稳变形条件 the response surface of mvalue
Optimal identification of parameters for hot plastic deformation of 7050 aluminum alloy based on processing map
QUAN Guozheng， WANG Yang， YU Chuntang， DONG Xugang， ZHOU Jie， XIA Yufeng （ School of Materials Science and Engineering，Chongqing University，Chongqing 400030 ，China）
材料可加工性能包括两个方面： 应力状态可加工 性和内禀可加工性， 前者与加工工艺、 模具和摩擦等 外部条件有关； 后者则与一定温度、 应变速率和应变 条件下的微观组织演化机制紧密联系 ， 由基于动态材
［25 ］ 。 加工图技术构 料模型（ DMM ） 的加工图来表现 性能和变形机理与热塑性变形参 架了研究材料组织、
性能的预先评估及成形工艺参数的预先设计 ， 以及传 统热塑性成形工艺的不断优化改进。 作为一种典型 ZnMgCu 系 超 硬、 的 Al超 高 强 度 航 空 结 构 材 料， 7050 铝合金 （ Al5. 6Zn2. 5Mg1. 6 C 合金 ） 广泛应用 铰锁大梁等重要承载部件。目前该合 于飞机起落架、 金的研究主要集中在力学性能测试、 热成形工艺、 热 处理制度等方面， 对材料本身内禀可加工性能的全面 评估及从材料本身出发优化设计变形参数的研究还 鲜有报道， 而这方面的研究正可以辐射到该材质构件 各种热塑性成形工艺的数值分析优化方面 ， 因此具有 重要的理论意义和工程价值
数值分析2012总结
x ( k +1) = Mx ( k ) + g
(k=0,1,2,⋯ )
产生向量序列{ x ( k ) }，当k充分大时，以 x ( k )作为 方程组Ax = b的近似解，这就是求解线性方程组 的单步定常线性迭代法。 M 称为迭代矩阵。
收敛问题：
(Jacobi) 迭代法 雅可比 雅可比(Jacobi) (Jacobi)迭代法 高斯 —塞德尔迭代法 高斯—
� b 有扰动，A 无扰动
|| δ x || || δ b || ≤ (|| A |||| A−1 ||) || x || || b ||
� A 有扰动，b 有扰动
|| δ x ||≤|| ( I + A−1δ A)−1 |||| A−1 |||| δ A |||| x || || δ x || ≤ ( I + A−1δ A) −1 A−1 || x || || A−1 |||| A || || A−1 |||| δ A || δA ≤ 1− || A−1δ A ||
∞
A− 1 A
−1
∞
2
2
λmax ( AT A) = λmin ( AT A)
结论： 当条件数很大时 ,方程组 Ax = b 是病态问题 ;当条件数较小时 , 当条件数很大时, 是病态问题; 当条件数较小时, 方程组 Ax = b 是良态问题。
� || Ax || p � || A || p = max = max || Ax || p � � � � x≠0 || x || = 1 p || x || p
特别有： || A ||∞ = max ∑ | aij | （行和范数） 1≤ i ≤ n
j =1
n
n
|| A ||1 = max ∑| aij |
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大学期末考试试卷（A 卷）
学年第 2 学期 考试科目： 数值分析 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、 填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 1、用3.142作为π的近视值有___位有效数字。
2、用二分法求方程310x x +-=在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为____，进行二步后根所在区间为____。
3、牛顿迭代法的收敛阶为________，双点弦截法的收敛阶为________。
4、设有矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，23x ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
则A ∞=____，x ∞
=____。
5、线性方程组12123511405x x x x +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩的高斯-赛德尔迭代格式为________，该迭代格式
的迭代矩阵的谱半径为________，所以迭代格式________。
试求3[50,50]P ，并用3[50,50]P 计算'(50)f 的近似值。
（本题共10分）
三、给定方程
(1)10x x e --=
（1） 分析方程存在几个解，并找出解的范围；
（2） 试将方程改写为能用迭代法求解的形式，并说明理由。
（本题共15分）
四、分别讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程AX b =的收敛性，其
中
211111112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。
（本题共16分）
（2） 求函数的3次牛顿插值多项式。
（本题共14分）
六、采用龙贝格法计算1
2
041I dx
x =+⎰的值，要求误差不超过5
0.510-⨯。
（本题共15分）
大学期末考试试卷参考答案（A 卷）
学年第 2 学期 考试科目： 数值分析 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 1、用3.142作为π的近视值有_4__位有效数字。
2、用二分法求方程310x x +-=在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为
__[0.5,1]__，进行二步后根所在区间为__[0.5,0.75]__。
6、牛顿迭代法的收敛阶为___2_____，双点弦截法的收敛阶为___1
(12
+__
或1.618___。
7、设有矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，23x ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
则A ∞=_5___，x ∞
=_3___。
8、线性方程组1212351
1405
x x x x +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩的高斯-赛德尔迭代格式为
___(1)()
12(1)(1)
21(15)31()45k k k k x x x x +++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
_____，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径为____1
12
____，所以迭代格式__收敛的______。
试求3[50,50]P ，并用3[50,50]P 计算'(50)f 的近似值。
（本题共10分）
解：建立差商表如下：（6分）
3[60,65,50,50]P =-0.0000006（7分）
33[65,50,50]0.000065(5060)[60,65,50,50]710.0000P P =+-=-（8分） 33[50,50]0.00759(5065)[65,50,50]86550.00P P =+-=（9分） 所以3'(50)[50,50]0.008655f P ≈=（10分）。
三、给定方程
(1)10x x e --=
（1）分析方程存在几个解，并找出解的范围；
（2）试将方程改写为能用迭代法求解的形式，并说明理由。
（本题共15分） 解：（１）设()(1)1x f x x e =--，则'()x f x xe =，当0x >时递增，当0x <时递减，又(0)20,(1)10,(2)0f f f =-<=-<>，且lim [(1)1]1x x x e →-∞
--=-所以方程有１个
根，在区间[1,2]内。
（５分）
（２）构造迭代格式为11k x k x e -+=+，取0 1.5x =，得* 1.2785x ≈。
（10分） （３）将原方程改为1x x e -=+，()1x x e ϕ-=+，则'()x x e ϕ-=-，当[1,2]x ∈时，1|'()|1x x e e ϕ--=≤<，所以构造迭代公式11k x k x e -+=+该迭代方式收敛。
（1５分） 四、分别讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程AX b =的收敛性，其中
211111112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。
（本题共16分）
解：采用雅可比迭代法，其迭代矩阵的特征值λ满足
31122
11450112
2
λλλλλ
-
=+=--
，
因此有1230,,λλλ===，即()1A ρ>
，所以雅可比迭代法不收敛。
（８分）
采用高斯-赛德尔迭代法迭代法，其迭代矩阵的特征值μ满足
211102μμ
μμμ
μ
-=-，因此有1230,0.5μμμ===-，即()1B ρ<，所以高斯-赛德
尔迭代法收敛。
（８分）
（2）求函数的3次牛顿插值多项式。
（本题共14分） 解：（１）函数的3次拉格朗日插值多项式为
3(0.2)(0.4)(0.6)(0.0)(0.4)(0.6)
() 1.00000 1.22140
(00.2)(00.4)(00.6)(0.20.0)(0.20.4)(0.20.6)(0.0)(0.2)(0.6)(0.0)(0.2)(0.4)1.49182(0.40.0)(0.40.2)(0.40.6)(0.60.0x x x x x x P x x x x x x x ------=⨯+⨯------------+⨯+---- 1.82212)(0.60.2)(0.60.4)⨯--
（７分）
（２）方法一：建立差商表
三次牛顿插值多项式为
3()1 1.10700.61275(0.2)0.22625(0.2)(0.4)N x x x x x x x =++-+--（７分）
方法二：建立差分表
三次牛顿插值多项式为
323
0.221400.049020.01086
()1(0.2)(0.2)(0.4)1!0.22!0.23!0.2
N x x x x x x x =+
+-+--（７分） 六、采用龙贝格法计算1204
1I dx x =+⎰的值，要求误差不超过50.510-⨯。
（本题共15分）
解：11
((0)(1))32T f f =+=（1.5分）
211
((0)(1)2()) 3.142T f f f =++=（3分）
2114 3.31333333T T
S -==（4.5分）
41113
((0)(1)2()2()2()) 3.131********T f f f f f =++++=（6分）
4224 3.14156873T T
S -==（7.5分）
21
116 3.142117915
S S C -==（9分）
8 3.1389885T ==（10.5分）
4841
(4) 3.14159253
S T T =-=（12分）
42
216 3.1415915
S S C -==（13.5分）
524||0.510C S --<⨯ 所以 3.14159I ≈。
（15分）。