微积分A(下)第五章第一节

它表示向量
r a
和
r b
说明：当不考虑向量的起点时，称之为自由向量。 说明：当不考虑向量的起点时，称之为自由向量。 自由向量 若不加说明， 若不加说明，我们这里所讨论的向量都是 自由向量。 自由向量。
如果两个向量方向相同或相反， 如果两个向量方向相同或相反，r r 则称之为平行 共线， 平行或 则称之为平行或共线，记为a // b。 零向量平行于任何向量。 零向量平行于任何向量。 如果 个向量的起点和终点在同一平面上， k 个向量的起点和终点在同一平面上， （1）写出以下平行四边形中相等的向量： 写出以下平行四边形中相等的向量：
r r a r ea = r a
r a r (1) r 表示与 a 同方向的单位向量，记作： 同方向的单位向量 记作： 单位向量， a
r r r 大小相同，方向相反的向量， (2) − b = (−1)b 表示与 b 大小相同，方向相反的向量， r 称为 b 的反向量或负向量。 反向量或负向量。 r r r r 如下图， 如下图，则 a ± b 分别表示以 a , b 为邻边的平行
四边形的两条对角线向量。 四边形的两条对角线向量。
r b
r r a+b
r a
r r a−b
根据三角形的性质，不难得到以下不等式： 根据三角形的性质，不难得到以下不等式：
r r r r r r a − b ≤ a±b ≤ a + b
r 如下图 , 在平形四边形 ABCD中, 设 AB = a , 例2 、 r r r AD = b .试用 a和b 表示向量 MA, MB , MC , MD , 这里M是平形四边形对角线的 交点. D C r
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 纯量：以数字来表示的量，如质量、体积等。 纯量：以数字来表示的量，如质量、体积等。 向量：既有大小又有方向的量，也称矢量 矢量， 向量：既有大小又有方向的量，也称矢量， 如力、速度等。 如力、速度等。 向量的两个要素：大小和方向。 向量的两个要素：大小和方向。 向量的表示：有向线段， 向量的表示：有向线段，如：
r a
M
N
向量的记法： 向量的记法： 用小写字母记为
r r r a, f , v
等。
用大写字母记为 MN , OA 等。 r 特别地， 特别地，零向量记为 0, 它表示方向任意的一个点。 它表示方向任意的一个点。
r r 两个向量相等 向量相等记为 两个向量相等记为 a = b ,
大小相等，方向相同。 大小相等，方向相同。
作业 习题5-1：4、5 习题5
b
A
r a
M
B
r 如下图 , 在∆ABC中 , AB + BC + CA = 0
C
A
B
r r r r 定理：设向量 a ≠ 0, 则向量 b // a 的充要条件是 定理：
r r 存在唯一实数 λ , 使 b = λa . r r r r 说明： 说明： b = λ a 也称 b 可用 a 线性表示。 线性表示。 r 向量 a 的起点在原点，终点在 x 轴上， 的起点在原点， 轴上， r 且坐标为 a , i 为与 x 轴正向同向的单 a, r r 位向量， 位向量，试用 a , i 表达向量 a . r r 答案： 答案： a = ai
满足如下规定： 满足如下规定：
r r ( 2)当λ > 0时, λ a与a同方向; r r 当λ < 0时, λa与a反方向; r r 当λ = 0时, λ a = 0.
r r r 对任意向量 a , b , c 及实数 λ , µ , 有如下运算律： 有如下运算律： r r r r 加法交换律： 加法交换律： a + b = b + a r r r r r r 加法结合律： 加法结合律： a + (b + c ) = (a + b ) + c r r r r 数乘分配律： λ ( a + b ) = λ a + λ b 数乘分配律： r r r (λ + µ )a = λa + µa r r 数乘结合律： 数乘结合律： λ (µa ) = ( λµ )a
D A
C
共面。 则称之为共面 则称之为共面。
o
B
1 = CD AB 2
二、向量的加法与数乘运算 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算。 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算。 加法 统称为向量的线性运算 1、向量的加法 （1）平行四边形法则 （2）三角形法则
r a
r b
r r a+b
r r a+b
r a
r b
例1、证明：对角线互相平分的四边形为平行四边形。 证明：对角线互相平分的四边形为平行四边形。 试证：平行四边形对角线互相平分。 试证：平行四边形对角线互相平分。 2、向量与数的乘法（数乘） 向量与数的乘法（数乘）
r r 实数 λ 和向量 a 的数乘 λ a r r (1) λa = λ ⋅ a ;