北京高二上学期数学知识点
高二上学期数学必掌握知识点
高二上学期数学必掌握知识点高二上学期数学课程内容广泛且深入，学生们需要掌握一系列重要的数学知识点，以便能够应对各种不同的数学问题和考试。
以下是高二上学期数学必须掌握的知识点：1. 代数与方程：a. 多项式运算：包括加减乘除运算、多项式展开等。
b. 因式分解：掌握将多项式分解成乘积的方法，例如提公因式法、配方法等。
c. 方程与不等式：解一次方程、二次方程、绝对值方程和不等式等，掌握解题的方法和策略。
d. 常见函数与图像：了解线性函数、二次函数和绝对值函数的性质，熟悉它们的图像和图像变换。
2. 几何与三角学：a. 平面几何：了解点、线、角等基本概念，熟悉平行线与垂直线的性质，以及等腰三角形、直角三角形等特殊三角形的性质。
b. 三角函数：掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义与性质，能够求解简单的三角方程。
c. 平面向量：了解向量的定义与性质，熟练进行向量的加减、数量积和向量积运算。
3. 数据与统计：a. 数据收集与整理：学会对数据进行收集和整理，熟悉数据表、频数表、直方图等数据展示形式。
b. 概率与统计：了解概率的基本概念，熟练进行事件的概率计算，掌握统计指标的计算和应用。
4. 解析几何与导数：a. 解析几何：了解平面直角坐标系和极坐标系的表示方法，能够解决相关的几何问题。
b. 导数与函数：理解导数的概念与几何意义，熟悉常见函数的导数计算方法，能够求解函数的最值和图像的变化规律。
5. 数列与数学归纳法：a. 数列与数列的通项公式：理解数列的概念，熟练计算等差数列和等比数列的通项公式。
b. 数学归纳法：了解数学归纳法的基本思想和应用，能够运用数学归纳法解决相关问题。
以上所列的知识点是高二上学期数学课程中最为重要的内容，掌握这些知识对学生们在解题过程中起到至关重要的作用。
为了更好地掌握这些知识点，学生们需要勤于练习，多做题目，并及时向老师请教和解答自己遇到的困惑。
只有通过不断的学习和实践，才能真正掌握这些数学知识点，并在实际应用中灵活运用。
高二上期数学知识点大纲
高二上期数学知识点大纲数学是一门抽象而又实用的学科，对于每个高中生来说，掌握好数学知识是至关重要的。
在高二上学期，学生将接触到一系列新的数学知识点和概念，包括代数、几何、函数、概率等方面。
本文将为大家整理总结高二上期数学知识点大纲，以便同学们更好地学习和复习。
第一部分：代数1. 多项式1.1 多项式的基本概念1.2 多项式的加减乘除运算1.3 多项式的因式分解与化简1.4 多项式的乘法公式和因式定理1.5 多项式方程的解法2. 分式2.1 分式的基本概念与性质2.2 分式的加减乘除运算2.3 分式方程的解法2.4 分式的化简与应用3. 高次方程3.1 二次方程的求解3.2 一元高次方程的求解（三次方程、四次方程等） 3.3 方程的根与系数之间的关系3.4 方程与函数的关系第二部分：几何1. 平面几何1.1 点、线、面的基本概念与性质1.2 直线与平面的关系1.3 平行线与垂直线的判定与性质1.4 三角形的分类与性质1.5 三角形的重心、外心、内心与垂心2. 向量与坐标2.1 向量的表示与运算2.2 坐标系与坐标变换2.3 点、向量与坐标的关系2.4 直线与向量的关系2.5 平面与向量的关系3. 相似与全等3.1 相似三角形的判定与性质3.2 相似三角形的应用3.3 全等三角形的判定与性质3.4 全等三角形的应用第三部分：函数1. 函数的基本概念1.1 函数的定义与性质1.2 函数的图像与性质1.3 函数的运算与复合1.4 函数的奇偶性与周期性2. 一元函数2.1 一次函数与二次函数2.2 指数函数与对数函数2.3 三角函数与反三角函数2.4 复合函数与反函数3. 函数的极限与连续性3.1 函数的极限与极限运算法则 3.2 函数的连续性与间断点3.3 导数与函数的变化率第四部分：概率与统计1. 概率的基本概念与性质1.1 随机事件与样本空间1.2 概率计算与概率性质1.3 条件概率与独立事件1.4 事件的组合与排列2. 统计与数据分析2.1 数据的收集与整理2.2 描述性统计与频率分布2.3 统计图表的绘制与分析2.4 抽样与抽样误差以上便是高二上期数学知识点大纲的整理总结。
高二上数学知识点归纳
高二上数学知识点归纳高二数学是整个高中数学学科中的重要阶段，该阶段的学习内容紧密联系，知识点较多。
下面将对高二上学期的数学知识点做一个分类归纳，以帮助同学们更好地理解和应用这些知识。
一、函数与方程1. 一元二次函数及其图像：顶点、对称轴、开口方向、零点等概念，函数图像的变形与平移等；2. 二次函数与一元二次方程的联系：方程求解与函数零点的关系；3. 一次函数与一元一次方程：斜率、截距、平行与垂直、解线性方程组等；4. 整式与分式的运算：加减乘除、整式的因式分解、分式的化简与合并等。
二、立体几何1. 空间几何图形：点、线、面的性质与关系；2. 等腰三角形与等边三角形：性质与判定；3. 直线与平面的位置关系：点到直线的距离、点到平面的距离；4. 球与球面：球冠的体积、表面积等。
三、数列与数学归纳法1. 等差数列与等差数列的求和：通项公式、前n项和的公式；2. 等比数列与等比数列的求和：通项公式、前n项和的公式；3. 数学归纳法的应用：证明等式的成立、数列问题的推导等。
四、概率与统计1. 随机事件与概率：样本空间、事件的概念、概率计算等；2. 条件概率与事件独立：条件概率的计算、事件独立的判定；3. 离散型随机变量与概率分布：期望、方差等概念；4. 统计图表与统计量：频数分布表、直方图、均值、中位数、众数等。
五、三角函数1. 单位圆与三角函数：正弦、余弦、正切等概念的引入；2. 角度与弧度的互相转换：度数制与弧度制的转换；3. 三角函数的性质与图像：奇偶性、周期性、函数图像的变化等；4. 三角函数的应用：角的解法、图像的分析等。
以上是高二上学期数学知识点的一个简单归纳，每个知识点都需要同学们进行深入理解和积极探究。
掌握这些基础知识对于高中后续数学学习以及应试都非常重要。
希望同学们在学习中扎实基础，理解透彻，灵活运用，为将来的发展打下坚实的数学基础。
高二数学上期全部知识点
高二数学上期全部知识点高二数学上期所学的内容非常广泛和深入，包括了多个重要的数学知识点。
在本文中，我们将回顾和总结这些知识点，以便对学习者进行复习和进一步加深理解。
一、函数与方程1. 函数的概念和性质：定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2. 一次函数与二次函数：方程、图像、性质和应用。
3. 高次函数与分式函数：方程、图像、性质和应用。
4. 反函数与复合函数：概念、性质及应用。
5. 一元二次方程与不等式：解法、判定、应用。
二、三角函数1. 弧度制与角度制：定义、转换及应用。
2. 正弦、余弦和正切函数：定义、性质、图像及应用。
3. 三角函数的诱导公式、和差化积、倍角公式、半角公式等。
4. 解三角形与三角方程：SAS、SSS、ASA、AAS 等解法。
三、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列：通项公式、前 n 项和、求和公式及应用。
2. 数列与数列的和的递推关系。
3. 数学归纳法的概念、基本步骤及应用。
四、平面向量1. 向量的概念：定义、模、共线性等。
2. 向量的运算：加法、减法、数量积、向量积及应用。
3. 向量的坐标表示与应用。
4. 向量的线性运算与向量方程。
五、立体几何1. 空间几何体：点、直线、平面、多面体等基本概念。
2. 空间位置关系：平行、垂直、相交等判定与性质。
3. 球、圆柱、圆锥、棱柱和棱锥的表面积与体积计算。
4. 空间几何图形的投影与旋转。
六、导数与微分1. 函数极限与连续性：定义、计算及应用。
2. 导数的概念与性质：定义、计算、可导函数与不可导函数等。
3. 导数的应用：函数的切线、极值与最值、函数图像的性质等。
4. 微分与高阶导数。
七、概率与统计1. 随机事件与概率的概念：频率与概率的关系。
2. 离散型随机变量与连续型随机变量的概念与性质。
3. 二项分布与正态分布的概念与应用。
4. 统计与数据分析：样本调查、数据整理、统计量计算等。
通过对高二数学上期知识点的整理和回顾，我们可以更好地理解和掌握这些重要内容。
高二上学期数学知识点总结
高二上学期数学知识点总结高二上学期是数学学科中的重要阶段，这个学期的数学内容非常丰富，涵盖了多个知识点。
在这篇文章中，我将对高二上学期的数学知识点进行总结，并帮助大家系统梳理这些知识点。
1. 函数与方程在高二上学期的数学课程中，函数与方程是最基础的知识点之一。
我们学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等不同类型的函数及其性质。
同时，我们也学习了一元二次方程、二元一次方程等各种类型的方程，并通过解方程来求解实际问题。
2. 三角函数与解三角形三角函数也是高二上学期的重点内容之一。
我们学习了正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数及其性质。
同时，我们还学习了如何利用三角函数来解决三角形的各类问题，比如用正弦定理、余弦定理求解三角形的边长和角度等。
3. 三角函数的图像与性质高二上学期还涉及了三角函数的图像与性质。
我们学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点，以及它们的周期、振幅和相位等性质。
这些知识点对于理解三角函数在实际问题中的应用具有重要意义。
4. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是高二上学期数学课程的一部分。
我们学习了等差数列、等比数列以及它们的性质，例如公式推导、前n 项和的求解等。
同时，我们还学习了数学归纳法的原理和应用，通过数学归纳法来证明数学命题。
5. 导数与函数的应用导数是高二上学期数学课程的重要内容之一。
我们学习了函数的导数概念，包括导数的定义、导数的计算法则以及导数在函数图像上的几何意义。
同时，我们还学习了函数的变化率、极值、最值等概念，并通过导数的应用来解决函数相关的实际问题。
6. 统计与概率高二上学期还涉及到了统计与概率的知识。
我们学习了图表的分析与应用、频率分布、概率的计算等内容。
通过统计与概率的学习，我们可以更好地理解和应用统计数据，并通过概率计算来解决实际问题。
7. 平面向量平面向量也是高二上学期数学课程的一部分。
我们学习了向量的概念、向量的加法和数乘，以及向量的线性运算和坐标表示等。
2023北京高二(上)期末数学汇编：一元函数的导数及其应用章节综合
2023北京高二（上）期末数学汇编 一元函数的导数及其应用章节综合一、单选题1．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知()f x 为奇函数，当x ＜0时，()2f x x =−，则曲线()y f x =在点()1,1处的切线斜率是（ ）A ．－2B ．2C ．－eD ．2e 1−+2．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln 2−+C ．()f x 在()1,−+∞上单调递增D ．()f x 有一个零点3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数3()e x f x −=，1()ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n －m 的最小值为（ ） A ．1ln 2−+ B ．1ln 2+ C ．2ln 2−+D ．2ln2+4．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点()1212,x x x x <，则（ ）A ．a <aB ．1x 是()f x 的极小值点C ．1213x x +=D ．1213x x =−5．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）设函数()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ） A ．10x y −−=B ．210x y −−=C ．20x y −−=D ．220x y −−=6．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()sin2(0)f x x xf '=−，则该函数的图象在π2x =处的切线方程为（ ） A ．3π0x y +−=B ．3π0x y −−=C ．3π0x y +−=D ．3π0x y ++=7．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()2e 1x f x ax x =+−+，则“()f x 有极值”是12a <−（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．曲线()y f x =在点(2,(2))f −−处的切线斜率小于零B ．函数()f x 在区间(1,1)−上单调递增C ．函数()f x 在1x =处取得极大值D ．函数()f x 在区间()3,3−内至多有两个零点9．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）函数2()f x x =在区间[]0,2上的平均变化率等于x m =时的瞬时变化率，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3210．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）下列结论中正确的个数为（ ） ①若y ln 2=，则12y；②若21y x=，则32|27x y ='=−；③若2x y =，则2ln 2x y '=；④若2log y x =，则1ln 2y x '=A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）函数()y f x =图像上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ−=叫曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ②设点A 、B 是抛物线21y x =+上任意不同的两点，则(),2A B ϕ≤；③设曲线e x y =上不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，且121x x −=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1−∞； ④3y x =与2yx 在原点处的“弯曲度”一样．以上正确命题的序号为______．（写出所有正确的）12．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，且当0x <时，()()20f x xf x '+<，则不等式2(2023)(2023)(1)0x f x f −−−−<的解集为______．13．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()()lg 1,104,0x x f x a x x x ⎧+−<<⎪=⎨+−>⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______．14．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）函数()x f x xe =的导函数()f x '=______. 三、解答题15．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数()(21)x f x e x ax a =−−+． (1)若a ＜1且仅存在两个的整数，使得()0f x <，求a 的取值范围； (2)讨论()f x 零点的个数；(3)证明123,,2x x ⎡⎫∀∈−+∞⎪⎢⎣⎭，()0,1t ∀∈，有()()()1212(1)(1)f tx t x tf x t f x +−≤+−．16．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数2()(21)ln f x ax a x x=−+−，R a ∈． (1)若函数()f x 在x ＝1处取得极值，求a 的值． (2)讨论函数()f x 的单调区间．17．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）设函数321()313f x x x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)当[0,4]x ∈时，求()f x 的最大值与最小值．18．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）已知函数()ln xf x x= (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点个数，并说明理由；(3)若对于任意()0,x ∈+∞，不等式()2f x ax <+恒成立，直接写出实数a 的取值范围．参考答案1．B【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当0x >时，因为()f x 为奇函数，所以有()()2f x f x x =−−=，则有()2f x x '=，所以有()12f '=，故选：B 2．D【分析】选项A 由定义域就可以判断，B ，C ，D 选项通过对函数求导逐一分析即可. 【详解】由函数的定义域为()1,x ∈−+∞，不关于原点对称， 故非奇非偶函数，故A 错误， 因为()()ln 11xf x x x'=+++， 所以11ln 11ln 2122f ⎛⎫⎛⎫'−=−−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即在点11,22f ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为ln 21−−，故B 错误，当()0,x ∈+∞时，()ln 10,01xx x+>>+，所以0f x ，当()1,0x ∈−时，()ln 10,01xx x+<<+，所以()0f x '<， 所以()f x 在()1,0−上单调递减，在()0,∞+上单调递增 所以函数在()1,x ∈−+∞有增有减，故选项C 错误，由C 选项知()f x 在()1,0−上单调递减，在()0,∞+上单调递增 且()00f =，所以当()1,0x ∈−，()0f x >， 当()0,x ∈+∞，()0f x >，故函数只有唯一一个零点0x =，故选项D 正确， 故选：D. 3．A【分析】令()()t f m g n ==，得到,m n 关于t 的函数式，进而可得n m −关于t 的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求n m −的最小值.【详解】令()()t f m g n ==，则3e m t −=，1ln 22nt +=，∴3ln m t =+，122e t n −=，即122e 3ln t n m t −−=−−， 若12()2e3ln t h t t −=−−，则121()2e(0)t h t t t−'=−>，∴()0h t '=，有12t =， 当102t <<时，()0h t '<，()h t 单调递减；当12t >时，()0h t '>，()h t 单调递增；∴min 1()()ln 212h t h ==−，即n m −的最小值为ln 21−.故选：A.【点睛】关键点睛：令()()t f m g n ==确定n m −关于t 的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 4．A【分析】根据函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点， 则导数为0有两个根,由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数32()1(R)f x x ax x a =+++∈有两个极值点()1212,x x x x <， 所以2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <, 所以122+=3a x x ,121=3x x ,故CD 选项错误;因为2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <,所以()2=24310a ∆−⨯⨯>,即得230a −>,解得a <a 故A 选项正确; 因为2()321=0f x x ax '=++有两个根()1212,x x x x <,()f x 在()1,x −∞上单调递增,在()12,x x 上单调递减,所以1x 是()f x 的极大值点,故B 选项错误;故选: A. 5．B【分析】利用导数的几何意义求在1x =处切线的斜率，进而即可得切线方程. 【详解】因为()ln f x x x =+，所以1()1f x x'=+，所以(1)2f '=， 即()y f x =在1x =处切线方程的斜率为2，又因为(1)1f =，所以切线方程为12(1)y x −=−，整理得210x y −−=， 故选：B 6．A【分析】先求出函数()sin2(0)f x x xf '=−的导数，再赋值法求出()'0f ，然后得到的函数解析式可得切点，后将数据代入点斜式方程可得答案.【详解】因为()2cos2(0)f x x f =−''，所以(0)2cos0(0)f f =−''，解得(0)1f '=，所以πππ()sin2,,()2cos21,3222f x x x f f x x f '⎛⎫⎛⎫=−=−=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即切点ππ,,3,22k ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭所以切线方程为：ππ322y x ⎛⎫+=−− ⎪⎝⎭，即3π0x y +−=. 故选：A. 7．B【分析】根据极值点的定义求出a 的范围，验证充分性和必要性即可.【详解】()f x 定义域为R ,由()2e 1xf x ax x =+−+得()e 21x f x ax '=+−，令()e 21x g x ax =+−，则()e 2x g x a '=+，当0a ≥时，()0g x '>恒成立，所以()f x '在R 上单调递增，又因为(0)0f '=， 所以当0a ≥时，()f x 有极值；当a<0时，令()0g x '=解得ln(2)x a =−，所以()g x '在(,ln(2))a −∞−上小于0，在(ln(2),)a −+∞上大于0， 所以()f x '在(,ln(2))a −∞−上单调递减，在(ln(2),)a −+∞上单调递增， 又因为当x →−∞时，()0f x '>，()f x 有极值则(ln(2))22ln(2)10f a a a a '−=−+−−<，令ln(2)a t −=，则e 2t a =−，()e e 1t t f t t '=−−，再令()e e 1t t h t t =−−，则()e e e e 0t t t t h t t t '=−−=−=，解得0=t ， 所以()f t '在(,0)t ∈−∞单调递增，在(0,)t ∈+∞单调递减，又(0)0f '=， 所以当()0f t '<时，0t ≠，即ln(2)0a −≠，解得12a ≠−，综上()f x 有极值，则0a ≥或12a <−或102a −<<，所以()f x 有极值是12a <−故选：B. 8．D【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.【详解】根据()f x '图像可知(2)=0f '−，故()y f x =在点(2,(2))f −−处的切线斜率等于零，A 错误；()0f x '<在()11−，，故()f x 在区间(1,1)−上单调递减，故B 错误，在1x =的左右两侧()0f x '<，故1x =不是极值点，故C 错误，()f x 在()32−−，单调递增，在()23−，单调递减，故()f x 在区间()3,3−内至多有两个零点，D 正确； 故选：D 9．B【分析】分别求出在区间[]0,2上的平均变化率和在x m =时的瞬时变化率，利用相等求解即可. 【详解】函数2()f x x =在区间[]0,2上的平均变化率等于(2)(0)4022020f f −−==−−，2()f x x =在x m =时的瞬时变化率为00()()limlim (2)2△△△△△x x f m x f m x m m x→→+−=+=，所以22m =，解得1m =. 故选：B 10．D【分析】运用求导公式求出导函数，再一一判断即可. 【详解】对于①，0y '=，所以①不正确；对于②，()2312y xx−''==−⋅，所以32|27x y ='=−，所以②正确； 对于③，2ln 2x y '=，所以③正确； 对于④，1ln 2y x '=，所以④正确； 综上，正确的有②③④. 故选：D【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导法则，属于基础题. 11．①②【分析】举例说明①正确；由新定义，利用导数求出函数21y x =+在点A 与点B 之间的“弯曲度”判断②；求出曲线e x y =上点A 与点B 之间的“弯曲度”，然后结合(,)1t A B ϕ<得不等式，举反例说明③错误； 求3y x =与2y x 在原点处的“弯曲度”比较大小判断④．【详解】命题①：如函数1y =，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数0，成立，①正确； 命题②：21y x =+，2y x '=，||(,)2||A B k k A B AB ϕ−=，②正确； 命题③：由e xy =，得e xy '=，，1212(,)x x x x A B ϕ．(,)1t A B ϕ<恒成立，即12|e e |x x t −1t =时该式成立，∴③错误．命题④：当3y x =时，23y x '=，设曲线上不同两点()0,0A ，()()3,B x x ∆∆，()23,A B k kx A B ABϕ−∆===lim 0x ∆→=，∴3y x =在原点处的“弯曲度”为0；当2yx 时，2y x '=，设曲线上不同两点()0,0A ，()()2,B x x ∆∆，(),A B k kA B ABϕ−====lim 2x ∆→=，∴2y x 在原点处的“弯曲度”为2； ④错误.故答案为：①②12．{|2022x x <或2024}x >【分析】构造函数()()2F x x f x =，根据题意可判断，()F x 是偶函数，在(),0∞−上是增函数，在()0,∞+减函数，把原不等式转化为解不等式()()20231F x F −<−，进而20231x −>，解之即得答案.【详解】令()()2F x x f x =，则()()()()()222F x xf x x f x x f x xf x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，由当0x <时， ()()20f x xf x '+<，所以当0x <时，()()()20F x x f x xf x ''=+>⎡⎤⎣⎦ 即()F x 在(),0∞−上是增函数， 由题意()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()f x f x −=，所以()()()()()22F x x f x x f x F x −=−−==， 所以()F x 是偶函数，在()0,∞+递减， 所以()()()2202320232023F x x f x −=−−，()()()()21111F f f −=−−=−，即不等式等价为()()20231F x F −<−， 所以20231x −>，所以2022x <或2024x >. 故答案为：{|2022x x <或2024}x >. 13．(],4∞−【分析】先求出10x −<<时，()lg 10x +<，再求解当0x >时，分类讨论，分0a =，a<0，0a >，利用导函数求解函数单调性，从而求出实数a 的取值范围. 【详解】10x −<<，所以011x <+<，所以()lg 10x +<，当0a =时，()4f x x =−单调递增，所以当0x >时，()44f x x =−>−，此时()()lg 1,104,0x x f x x x ⎧+−<<=⎨−>⎩值域为R ，符合题意； 当a<0时，当0x >时，()210a f x x '=−>，所以()4a f x x x =+−单调递增，当0x >时，()4af x x x =+−值域为R ，所以a<0满足题意；当0a >时，当0x >时，()2221a x af x x x −'=−=，当x 0fx ，当0x <()0f x '<，所以()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当0x >时，()()min 4f x f a ==，要想()()lg 1,104,0x x f x a x x x ⎧+−<<⎪=⎨+−>⎪⎩值域为R，则要满足40≤，解得：04a <≤，综上：实数a 的取值范围是(],4∞− 故答案为：(],4∞−. 14．(1)x x e +⋅【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果. 【详解】∵()x f x xe =，∴()()1x x xf x e xe x e '=+=+.故答案为：(1)x x e +⋅. 15．(1)2533e 2ea ≤< (2)答案见解析 (3)证明见解析【分析】（1）利用导数分析函数()()21e xg x x =−的单调性与极值，分析可知满足不等式()g x ax a <−的整数x 只有两个，数形结合可得出关于实数a 的不等式，解之即可；（2）考查直线y ax a =−与函数)g x 图象相切时实数a 的值，数形结合可得出实数a 在不同取值下函数()f x 的零点个数；（3）构造函数()()()()()()2211p x tf x t f x f tx t x =+−−+−，其中232x x −≤≤，利用导数分析函数()p x 在3,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性，由123,2x x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦以及函数()p x 的单调性可证得所证不等式成立. 【详解】（1）解：令()()21e xg x x =−，其中x ∈R ，则()()21e xg x x '=+，当12x <−时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当12x >−时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()min g x =12x <时，()0g x <；当12x >时，()0g x >.由()0f x <可得()()1g x a x <−，作出函数()f x 、()1y a x =−的图象如下图所示：因为有且只有两个整数x ，使得()0f x <，则满足不等式()g x ax a <−的整数x 只有两个，所以()()2312g ag a ⎧−≥−⎪⎨−<−⎪⎩，解得2533e 2ea ≤<. （2）解：考查当直线y ax a =−与函数()g x 相切时，实数a 的值，设切点坐标为()(),21e t t t −，则切线斜率为()21e tt +， 所求切线方程为()()()21e 21e t ty t t x t −−=+−，即()()221e 21e t ty t x t t =+−−+，所以，()()221e 21e t ta t t t =+=−+，解得0=t 或32t =，当0=t 时，1a =；当32t =时，324e a =.如下图所示：当0a ≤时，直线y ax a =−与函数()g x 的图象只有一个公共点； 当01a <<或324e a >时，直线y ax a =−与函数()g x 的图象有2个公共点；当1a =或324e a =时，直线y ax a =−与函数()g x 的图象只有1个公共点；当3214e a <<时，直线y ax a =−与函数()g x 的图象无公共点. 综上所述，当3214e a <<时，函数()f x 无零点； 当0a ≤或1a =或324e a =时，函数()f x 只有1个零点；当01a <<或324e a >时，函数()f x 只有2个零点.（3）证明：不妨设12x x ≤，构造函数()()()()()()2211p x tf x t f x f tx t x =+−−+−，其中232x x −≤≤，因为()()21e xf x x a '=+−，()()()()21p x tf x tf tx t x '''=−+− ()()()21221e 2211etx t x x t x t tx t x +−=+−+−+⎡⎤⎣⎦， 令()()21e xh x x =+，其中32x ≥−，则()()23e 0x h x x '=+≥且()h x '不恒为零，故函数()h x 在3,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，因为()()()22110tx t x x t x x +−−=−−≥，故()2312tx t x x +−≥≥−，所以，()()()21p x p tx t x ≤+−，故()()()()2··10p x t h x t h tx t x '=−+−≤， 所以，函数()p x 在3,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭故当232x ,x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，()()20p x p x ≥=，因为123,2x x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则()()120p x p x ≥=，因此，1x ∀、232x ,⎡⎫∈−+∞⎪⎢⎣⎭且()0,1t ∀∈，有()()()()()121211tf x t f x f tx t x +−≥+−.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x −>（或()()0f x g x −<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 16．(1)1a = (2)答案见解析【分析】（1）求定义域，求导，根据()01f '=求出1a =，验证后得到答案；（2）求定义域，求导并对导函数进行因式分解，分0a ≤，102a <<，12a =与12a >分类讨论，得到函数的单调区间.【详解】（1）2()(21)ln f x ax a x x=−+−定义域为()0,∞+， 2212()a f x a x x+'=−+，因为()f x 在x ＝1处取得极值， 所以(1)2120f a a '=−−+=，解得：1a =，经验证，此时x ＝1为极大值点，满足要求，故1a =；（2）()()()222221212212()ax a x ax x a f x a x x x x −++−−+'=−+==， 当0a ≤时，10ax 恒成立，令()()212()0ax x f x x −−'=>得：02x <<，令()()212()0ax x f x x −−'=<得：2x >，故()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞；当102a <<时，12a >，故令()()212()0ax x f x x −−'=>得：02x <<或1x a >，令()()212()0ax x f x x −−'=<得：12x a<<，故()f x 的单调递增区间为()0,2，⎫+∞⎪⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，()222()02x f x x−'=≥恒成立，故()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 当12a >时，102a <<，令()()212()0ax x f x x −−'=>得：10x a <<或2x >， 令()()212()0ax x f x x −−'=<得：12x a<<，故()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+； 当12a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；17．(1)单调递增区间是(],1−∞−,[)3,+∞，单调递减区间是()1,3− (2)最大值()01f =,最小值()38f =−【分析】（1）利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间； （2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【详解】（1）()()()22313f x x x x x '=−−=+−，当()0f x '≥，解得：3x ≥或1x ≤−，所以函数的单调递增区间是(],1−∞−,[)3,+∞， 当()0f x '<，解得：13x −<<，所以函数的单调递减区间是()1,3−， 所以函数的单调递增区间是(],1−∞−,[)3,+∞，单调递减区间是()1,3−； （2）由（1）可得下表所以函数的最大值是，函数的最小值是 18．(1)10x y −−=(2)曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点只有一个，证明见解析 (3)实数a 的取值范围是[)0,∞+【分析】（1）根据导数的几何意义，求切点坐标与切线斜率即可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）构造函数()ln 1xh x x x=−+，,()0x ∈+∞，确定函数()h x 的单调性与取值情况，从而可得()0h x =的根的个数，即可得曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点个数；（3）直线2y ax =+定点()0,2作曲线()y f x =的切线，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，通过导数的几何意义结合函数单调性与取值情况无法解出0x ,则直线2y ax =+不与曲线()y f x =相切，结合曲线()y f x =的图象分析直线2y ax =+与其交点情况即可求得实数a 的取值范围． 【详解】（1）解：函数()ln x f x x =的定义域是(0,)+∞，所以()21ln xf x x −'=， 则()10f =，()11f '=，∴切线方程是：0(1)y x −=−，故切线方程为：10x y −−=；（2）解：曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点只有一个，理由如下：设()ln 1x h x x x =−+，,()0x ∈+∞，则()2221ln 1ln 1x x xh x x x−−−'=−= 令()21ln g x x x =−−，则()120g x x x'=−−<恒成立，所以()h x '在,()0x ∈+∞上单调递减，又()221ln11101h '−−==，所以(0,1)x ∈，()0h x '>，函数()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 则()()max ln111101h x h ==−+=，故()0h x =，有且只有一个根1x =，即()1f x x =−有且只有一个根1x =，故曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点只有一个.（3）解：若对于任意()0,x ∈+∞，不等式()2f x ax <+恒成立，则ln 2xax x<+ 又直线2y ax =+过定点()0,2，则过点()0,2作曲线()y f x =的切线，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则斜率()00201ln x k f x x −='=， 则切线方程为()000200ln 1ln x x y x x x x −−=−，将()0,2代入得：()00000200ln 1ln 22ln 210x x x x x x x −−=−⇒−−=， 设()2ln 21m x x x =−−，()0,x ∈+∞，则()22220xm x x x−=−=='，得1x =， 所以当()0,1x ∈，()0m x '>，()m x 单调递增，当()1,x ∈+∞，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()max 12ln121130m x m ==−⨯−=−<，所以关于0x 的方程002ln 210x x −−=无解， 则说明过点()0,2的切线不存在，则直线2y ax =+不与曲线()y f x =相切， 又函数()ln xf x x =的定义域是(0,)+∞，所以()21ln 0x f x x−'==，得e x =， 所以当()0,e x ∈，0f x，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()max ln e 1e e ef x f ===，又()0f x =时，1x =，且(),0x f x ∞→+→，则可得()f x 的大致图象如下：根据上述结论结合函数图象可知当0a ≥时，直线2y ax =+与曲线()y f x =无交点，当0a <时，直线2y ax =+与曲线()y f x =总有交点，从而要使对于任意()0,x ∈+∞，不等式()2f x ax <+恒成立，实数a 的取值范围是[)0,∞+.。
高二上数学知识点总结
高二上数学知识点总结在高二上学期的数学学习中，我们学习了许多重要的数学知识点。
下面将对这些知识点进行总结，以帮助大家更好地回顾和巩固所学内容。
一、集合与函数1. 集合的概念与表示方法：集合是由一些确定的对象构成的整体，可以使用列举法、描述法和集合间关系表示。
2. 集合运算：交集、并集、差集与补集等。
3. 函数的概念与性质：函数是两个集合之间的一种特殊关系，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等概念。
二、三角函数与解三角形1. 弧度制与角度制：介绍了弧度制与角度制的相互转换关系。
2. 正弦定理与余弦定理：通过正弦定理与余弦定理可以求解任意三角形的边长和角度。
3. 解三角形：利用已知条件和三角函数的性质来求解三角形的各边长和角度。
三、平面向量1. 向量的概念与表示方法：向量是具有大小和方向的量，可以使用有向线段表示，也可以使用坐标表示。
2. 向量的运算：向量的加法、减法、数量积和向量积等。
3. 向量的应用：向量的平移、共线、垂直等应用。
四、导数与函数的应用1. 导数的定义与性质：介绍了导数的概念，导函数的性质以及一阶导数与高阶导数。
2. 函数的极值与最值：利用导数的应用来求解函数的极值和最值问题。
3. 函数与图像：介绍了函数的单调性、凹凸性等性质与函数图像的关系。
五、数列与数学归纳法1. 数列的概念与表示方法：数列是一系列按照一定规律排列的数。
2. 数列的通项与求和公式：数列的通项公式表示了数列中的任意一项与项号之间的关系，求和公式表示了数列前n项和的计算方法。
3. 数学归纳法：数学归纳法是证明数学命题的一种常用方法，包括基本步骤和归纳假设。
六、概率与统计1. 随机事件与概率：随机事件与样本空间、必然事件、不可能事件等概念的引入，及概率的计算方法。
2. 离散型随机变量与概率分布：介绍了离散型随机变量的概念，概率分布的计算和性质。
3. 统计学应用：对样本调查的数据进行统计分析，包括频数分布、频率分布、累积频率等。
高二上册数学知识点大全
高二上册数学知识点大全在高二上册的数学学习中，我们将会涉及到许多重要的知识点。
下面将为大家整理一个高二上册数学知识点的大全，以供参考。
一、集合与函数1. 集合的概念和表示方法2. 集合的运算：并集、交集、差集、补集3. 常用数集：自然数集、整数集、有理数集、实数集4. 函数的概念与性质5. 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的概念与性质2. 二次函数图像的性质与变换3. 解一元二次方程的方法：配方法、因式分解、求根公式4. 二次函数与一元二次方程的应用：最值问题、图像问题、实际问题三、立体几何1. 空间几何体的概念与性质：点、直线、平面、多面体、棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆柱、球等2. 空间几何体的展开图与表达3. 空间几何体的体积与表面积计算四、概率与统计1. 随机事件与样本空间2. 概率的基本性质与计算方法3. 条件概率与乘法定理4. 排列与组合的计算方法5. 古典概型、几何概型与统计概型6. 统计数据的收集与整理：频数表、频率表、频率分布直方图等五、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义、性质与基本关系式2. 三角函数的图像与变换3. 三角函数的计算：特殊角的正弦、余弦、正切值、任意角的正弦、余弦、正切值4. 解三角形的基本思路与方法：正弦定理、余弦定理、正切定理5. 三角函数与解三角形的应用六、导数与函数的应用1. 函数的极限与连续性2. 函数的导数与导数的性质3. 常用函数的导数计算方法与性质：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、复合函数等4. 函数的最值与单调性5. 函数图像的性质与变换6. 函数的应用：切线与法线、函数的最值问题、函数的模型建立七、数列与级数1. 数列的概念与性质2. 等差数列与等比数列的计算方法与性质3. 数列的求和公式与应用4. 级数的概念与性质5. 等差级数与等比级数的求和公式与应用以上是高二上册数学知识点的一个大致整理。
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北京高二上学期数学知识点第一章：函数与方程
一、函数及其性质
1. 定义函数：函数是一种特殊关系，每一个自变量都有唯一对应的因变量。
2. 定义域和值域：函数定义的自变量取值范围为定义域，因变量可能取的值范围为值域。
3. 奇偶性：函数关于 y 轴对称为偶函数，关于原点对称为奇函数，否则为既非奇函数又非偶函数。
4. 单调性：函数在定义域上递增或递减。
5. 周期性：函数满足 f(x + T) = f(x)，其中 T 为正常数。
二、二次函数
1. 基本形式：y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0。
2. 判别式与根的情况：
- 判别式 D = b² - 4ac：当 D > 0 时，函数有两个不相等的实数根；当 D = 0 时，函数有两个相等的实数根；当 D < 0 时，函数没有实数根。
- 根的情况：若 D > 0，则两根为实数；若 D = 0，则两根相
等且为实数；若 D < 0，则两根共轭，为复数。
3. 二次函数的图像：对称轴、顶点、开口方向等。
三、指数和对数函数
1. 指数函数：
- 定义：y = aᵐ，其中 a > 0 且a ≠ 1。
- 性质：指数函数有奇、偶性质，满足aªⁿ = a^(m+n) 和 (aᵐ)ⁿ = a^(mn)。
2. 对数函数：
- 定义：y = logₐx，其中 a > 0 且a ≠ 1。
- 性质：对数函数与指数函数互为反函数，满足logₐₓ = y 当且仅当aⁿ = x。
四、三角函数
1. 正弦、余弦、正切函数：
- 定义：sinθ、cosθ、tanθ 分别为直角三角形中对应角的边长比例。
- 周期性：正弦和余弦函数的周期均为2π，正切函数的周期为π。
- 正弦和余弦函数的关系：sin(π/2 - θ) = cosθ，cos(π/2 - θ) = sinθ。
2. 三角函数的图像与性质：
- 幅值和周期：正弦和余弦函数的幅值均为 1，正切函数的幅值不受限制；正弦和余弦函数的周期均为2π，正切函数的周期为π。
- 奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数。
第二章：平面几何
一、基本概念
1. 点、直线、线段和射线的定义及表示方法。
2. 共线与相交：若两个或多个点在同一直线上，则称它们共线；若两条直线有一个公共点，则称它们相交。
3. 垂直和平行关系：两条直线相交成直角时，称其垂直；两条
直线没有公共点且不相交时，称其平行。
二、三角形
1. 三角形的分类：按边长分类可分为等边三角形、等腰三角形
和普通三角形；按角度分类可分为钝角三角形、直角三角形和锐
角三角形。
2. 三角形内角和定理：三角形内角之和为 180°。
3. 三角形的外角和定理：三角形每个外角等于它所对的两个内
角之和。
4. 三角形的直角定理：若一个三角形的两条边的平方和等于第
三边的平方，则该三角形是直角三角形。
三、相似三角形
1. 相似三角形的定义：两个三角形对应角相等且对应边成比例，则称这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
3. 判断相似三角形的方法：AAA、AA、SAS、SSS。
四、三角形与圆
1. 内切圆：与三角形的三条边相切于一点的圆。
2. 外切圆：与三角形的三条边相切于一点的圆。
3. 定理：若一个角的顶点在圆上，那么这个角为圆心角，且角
的弧度等于它所对的弧长。
以上就是北京高二上学期数学的知识点概述，掌握这些内容能
够帮助你在学习和解题过程中更加顺利。
希望本文对你有所帮助。