高中数学选修2-2第一章第一节《变化率与导数》全套教案

变化率与导数

课时分配:

第一课变化率1个课时

第二课导数的概念1个课时

第三课导数的几何意义1个课时

1. 1.1 变化率

【教学目标】

1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；

2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义；

3.体会数形结合的思想方法；

4.让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．

【教学重点】

理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义

【教学难点】

通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义

【学前准备】：多媒体，预习例题

【教材分析】：平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。

从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：

2

10k k <<陡 峭 程 度 （越大） （越小）

y

A

B O

1k 2

k 12|

|||k k <

（1）、我们研究的是随着体积V 的变化，半径R 变化的快慢，引

入函数解析式

（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）

3、当空气容量从V 1增到加V 2时，气球的平均膨胀率是多少？

讨论得出： 观察图象，计算运动员在 0≤t≤这段时间内的平均速度，思考：

(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？

(2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议

3

34()V

r V π=

1

212

)

()(r v v v r v --

导数的概念

【教学目标】

（一）知识与技能

理解导数的形成过程，掌握函数在某点处的导数的概念.

（二）过程与方法

通过观看国家运功员跳水视频，引出瞬时速度，进而结合瞬时变化率及极限的思想得出导数的概念.

（三）情感、态度与价值观

学生通过观看运动员跳水视频，理解瞬时速度及瞬时变化率，从而过渡到导数，培养了学生自主观察、发现新知的能力

【教学重点难点】

重点：导数的概念

难点：导数的概念形成过程

【学前准备】：多媒体，预习例题

导数的几何意义

【教学目标】

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题

【教学重点】

曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义

【教学难点】

导数的几何意义

图3.1-2

我们发现，当点沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。

（2）曲线在某点处的切线： a ．与该点的位置有关；

b ．要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；

c ．曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个。

2．导数的几何意义：函数y=f （x ）在x=x 0处的导数等于在该点处的切线的斜率，

即

，

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：

（1）求出P 点的坐标；

容易知道，割线

的斜率是

，

当点沿着曲线无限接近点P 时，无限趋近于切线PT 的斜率

，即说明：（1）设切线的倾斜角为α，那么当Δx →0时，割线PQ 的斜率，称为曲线

在点P 处的切线的斜率。 这个概念： a ．提供了求曲线

上某点切线的斜率的一种方法；

b ．切线斜率的本质—函数在处的导数。

n P n PP 00(,())x f x 0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆n

PP 00

()()

n n n f x f x k x x -=

-n P n k k

0000()()

lim ()

x f x x f x k f x x

∆→+∆-'==∆0x x =

00lim lim (3)3x x x x x

→→===-∆=∆∆

附近曲线比较平坦，几乎

没有升降。

当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减。

当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减。

从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢。

四．小结

谈收获

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义。

五.布置作业

完成课后习题

1．求曲线y=f （x ）=x 3在点处的切线；

2．求曲线在点处的切线。

六．教学反思

教学课程 第三课

0t t =1t t =()h t 1

t 1l 1()0h t '<1t t =2() 4.9 6.510h x x x =-++1t t =2t t =()h t 2t 2l 2()0h t '<2t t =2() 4.9 6.510h x x x =-++2t t =1l 2l 1t 2t (1,1)y x =(4,2)