中考数学压轴题 易错题测试综合卷检测
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一、中考数学压轴题
1.如图,在等边△ABC中,AB=BC=AC=6cm,点P从点B出发,沿B→C方向以1.5cm/s 的速度运动到点C停止,同时点Q从点A出发,沿A→B方向以1cm/s的速度运动,当点P停止运动时,点Q也随之停止运动,连接PQ,过点P作BC的垂线,过点Q作BC的平行线,两直线相交于点M.设点P的运动时间为x(s),△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y(cm2)(规定:线段是面积为0的图形).
(1)当x= (s)时,PQ⊥BC;
(2)当点M落在AC边上时,x= (s);
(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
2.在学习了轴对称知识之后,数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究,请你跟随兴趣小组的同学,一起完成下列问题.
(1)(课本习题)如图①,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.求证:DB=DE
(2)(尝试变式)如图②,△ABC是等边三角形,D是AC边上任意一点,延长BC至E,使CE=AD.
求证:DB=DE.
(3)(拓展延伸)如图③,△ABC是等边三角形,D是AC延长线上任意一点,延长BC至E,使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论.
3.如图1,正方形CEFG绕正方形ABCD的顶点C旋转,连接AF,点M是AF中点.(1)当点G在BC上时,如图2,连接BM、MG,求证:BM=MG;
(2)在旋转过程中,当点B、G、F三点在同一直线上,若AB=5,CE=3,则
MF=;
(3)在旋转过程中,当点G在对角线AC上时,连接DG、MG,请你画出图形,探究DG、MG的数量关系,并说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC ∆的斜边AB 在y 轴上,边AC 与x 轴交于点D ,AE 平分BAC ∠交边BC 于点E ,经过点A D E 、、的圆的圆心F 恰好在y 轴上,⊙F 与y 里面相交于另一点G .
(1)求证:BC 是⊙F 的切线 ;
(2)若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -,求⊙F 的半径及线段AC 的长; (3)试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
5.如图,在等边ABC ∆中,延长AB 至点D ,延长AC 交BD 的中垂线于点E ,连接BE ,DE .
(1)如图1,若310DE =,23BC =,求CE 的长;
(2)如图2,连接CD 交BE 于点M ,在CE 上取一点F ,连接DF 交BE 于点N ,且DF CD =,求证:12
AB EF =;
(3)在(2)的条件下,若45AED ∠=︒直接写出线段BD ,EF ,ED 的等量关系
6.如图,在ABC ∆中,14AB =,45B ∠=︒,4tan 3
A =,点D 为A
B 中点.动点P 从点D 出发,沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动,点P 关于点D 对称点为
点Q ,以PQ 为边向上作正方形PQMN .设点P 的运动时间为t 秒.
(1)当t =_______秒时,点N 落在AC 边上.
(2)设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ,当点N 在ABC ∆内部时,求S 关于t 的函数关系式.
(3)当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时,直接写出t 的值.
7.如图,直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,抛物线y =ax 2﹣32x+c 经过A ,B 两点,与x 轴的另一交点为C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)M 为抛物线上一点,直线AM 与x 轴交于点N ,当32
MN AN =时,求点M 的坐标; (3)P 为抛物线上的动点,连接AP ,当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.
8.如图,平面上存在点P 、点M 与线段AB .若线段AB 上存在一点Q ,使得点M 在以PQ 为直径的圆上,则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点.
已知点P (0,1),点A (﹣2,﹣1),点B (2,﹣1).
(1)在点O (0,0),C (﹣2,1),D (3,0)中,可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ;
(2)点K 为x 轴上一点,若点K 为点P 与线段AB 的共圆点,请求出点K 横坐标x K 的取值范围;
(3)已知点M (m ,﹣1),若直线y =
12
x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点,请直接写出m 的取值范围.
9.如图,抛物线2
y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ,()0,3C ,点M 是抛物线的顶点.
(1)求二次函数的关系式.
(2)点P 为线段MB 上一个动点,过点P 作PD x ⊥轴于点D .若OD m =,PCD 的面积为S .
①求S 与m 的函数关系式,写出自变量m 的取值范围.
②当S 取得最值时,求点P 的坐标.
(3)在MB 上是否存在点P ,使PCD 为直角三角形?如果存在,请直接写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.
10.如图1,抛物线2
3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ,与y 轴交于点C ,顶点D 的横坐标为1,对称轴交x 轴交于点E ,交BC 与点F .
(1)求顶点D 的坐标;
(2)如图2所示,过点C 的直线交直线BD 于点M ,交抛物线于点N .
①若直线CM 将BCD ∆分成的两部分面积之比为2:1,求点M 的坐标;
②若NCB DBC ∠=∠,求点N 的坐标.
11.问题背景:如图,四边形ABCD 中,AD BC ∥,8BC =,17AD =+