泛函分析大纲

《泛函分析》教学大纲

数学与应用数学（师范类）专业用

一、说明部分

（一）课程性质、目的和教学任务

泛函分析是数学学科的一门专业限选课程。本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。

泛函分析的前期课程是《数学分析》《高等代数》《实变函数》。泛函分析课程主要讲授第一章度量空间和赋泛线性空间，第二章有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间三章内容。通过泛函分析的教学，具体使学生了解和掌握度量空间，赋泛线性空间，有界线性算子，连续线性泛函的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础。

（二）课程的教学原则和方法

本课程的教学原则是逻辑推理和理论分析相结合、讲解法与自学相结合的原则。

教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论

法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。

（三）课程的主要内容学时分配

本课程为一学期课程，总学时为48学时，其中授课38学时，习题课10学时，各章节安排如下

第一章度量空间和赋范线性空间 32学时第二章有界线性算子和连续线性泛函 10学时第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间 6学时

（四）课程大纲的编写执笔人

执笔人孙丽男黑河学院数学系函数论教研室审定。

二、正文部分

第一章度量空间和赋范线性空间

（一）教学的目的和要求

1.理解泛函分析研究的对象，掌握度量空间的定义及度量空间中极限,稠密集,可分空间的概念，能够对具体的问题进行判断；

2.进一步了解连续映射的概念；

3.掌握完备的度量空间；

4.理解压缩映射原理，掌握压缩映射原理，能够应用压缩映射原理证明实际问题；

5.掌握线性空间、赋范线性空间和Banach空间；

（二）教学重点

1.度量空间

2.完备度量空间

3.压缩映射原理

4.赋范线性空间

5.Banach空间

（三）教学难点

1.完备度量空间

2.压缩映射原理

3.赋范线性空间

（四）主要教学内容及学时分配

1.度量空间 2学时

2.度量空间的极限,稠密集,可分空间 4学时

3.连续映射 4学时

4.柯西点列和完备度量空间 4学时

5.度量空间的完备化 2学时

6.压缩映射原理及其应用 2学时

7.线性空间 4学时

8.赋范线性空间和Banach空间 4学时

9.习题课 6学时

第二章有界线性算子和连续线性泛函

（一）教学的目的和要求

1.掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念；

2.掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间；

3.掌握线性同构的概念；

（二）教学重点

1.有界线性算子

2.连续线性泛函

3.有界线性算子空间

4.共轭空间

（三）教学难点

1.有界线性算子空间

2.共轭空间

（四）主要教学内容及学时分配

1.有界线性算子和连续线性泛函 4学时

2.有界线性算子空间和共轭空间 4学时

3.习题课 2学时

第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间

（一）教学的目的和要求

1.熟练掌握内积空间中的基本概念

2.了解逼近理论并熟练掌握投影定理及其应用

（二）教学重点

1.内积空间的基本概念

2.投影定理

（三）教学难点

1.投影定理

（四）主要教学内容及学时分配

1.内积空间的基本概念 2学时

2.投影定理 2学时

3.习题课 2学时

三、考核方式和成绩记载说明

考核方式为考试。严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。平时成绩占30％，期末成绩占70％。

四、推荐的教材和参考书目

教材：

程其襄等编，《实变函数与泛函分析》，第二版，北京：高等教育出版社。

主要参考书：

[1]刘培德编，《泛函分析基础》，第一版，武汉：武汉大学出版社。

[2]张恭庆编，《泛函分析讲义》，第一版，北京：北京大学出版社。

[3]夏道行等编，《实变函数论与泛函分析》，北京：人民教育出版社。

[4] 王声望编,《实变函数论与泛函分析概要》, 第二版，高等教育出版社。