三角函数诱导公式

三角函数基本关系及诱导公式

一、知识梳理

1． 同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α

cos α

＝tan α.

2． 下列各角的终边与角α的终边的关系

关于直线y ＝x

3. 六组诱导公式

二、例题精讲

题型一 同角三角函数关系式的应用

例1 (1)已知cos(π＋x )＝3

5

，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.

(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.

变式训练1

(1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于

( )

A ．－43

B.54

C ．－34

D.45

(2)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x

sin x －1的值是

( ) A.12 B ．－12

C ．2

D ．－2

(3)已知sin θ＋cos θ＝7

13，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.

题型二 诱导公式的应用

例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝3

3，求cos ⎝⎛⎭

⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－3

5

，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值．

变式训练2 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝1

3，则cos ⎝⎛⎭

⎫α＋7π12的值为________．

(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝

⎛⎭⎫α－2π

3＝________. (3)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (3

2

π－α)

cos (π2－α)sin (π2

＋α)

·tan 2(π－α)

＝________.

题型三 三角函数式的求值与化简

例3 (1)已知tan α＝13，求1

2sin αcos α＋cos 2α

的值；

(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝

⎛⎭⎫－α＋3π

2cos (－α－π)sin (－π－α).

变式训练3 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2

3

，则这个三角形是

( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)

sin (3π－α)·cos (π－α)

＝________.

三、课后练习

A 组 基础训练

一、选择题

1． α是第四象限角，tan α＝－

5

12

，则sin α等于

( )

A.15 B ．－15 C.513 D ．－513

2． 已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π

3，则sin α等于

( )

A ．－

3

2

B.

3

2

C ．－12

D.12 3． 已知sin(π－α)＝－2sin(π

2

＋α)，则sin α·cos α等于

( )

A.25 B ．－25 C.25或－25 D ．－1

5

4． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)

，则f ⎝⎛⎭⎫－25π

3的值为

( )

A.12 B ．－12 C.32

D ．－

32 5． 已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)

cos α

(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是

( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}

C ．{2，－2}

D ．{1，－1,0,2，－2}

二、填空题

6． 化简：sin ⎝

⎛⎭⎫α＋3π

2·tan (α＋π)sin (π－α)

＝________.

7． 如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π

2)＝________.

8． 化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)

tan (π＋α)·sin 3

(π2

＋α)·sin (－α－2π)

＝________.

三、解答题

9． 已知sin θ＝45，π

2

<θ<π.

(1)求tan θ的值；

(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．

10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π

2

－θ)的值．

B 组 能力提升

1． 已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(3

2

π－θ)的值是

( )

A.22

9

B ．－229

C ．－19

D.19 2． 当0

cos x sin x －sin 2x 的最小值是

( )

A.14

B.12

C ．2

D ．4

3． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π

3－θ的值是________．

4． 已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )

cos 2[(2n ＋1)π－x ]

(n ∈Z )．

(1)化简f (x )的表达式； (2)求f (π2 014)＋f (503π

1 007)的值．

5． 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝1

5

.

(1)求sin A cos A 的值；