西方经济学计算题

四、计算题

1、已知某消费者每年用于商品1和的商品2的收入为540元，两商品的价格分

别为=20元和=30元，该消费者的效用函数为U=3X

1X

2

2，该消费者每年购买这两

种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？

解：根据消费者的效用最大化的均衡条件：

MU1/MU2=P1/P2

其中，由可得：

MU1=dTU/dX1 =3X22

MU2=dTU/dX2 =6X1X2

于是，有：3X22/6X1X2 = 20/30

整理得X2=4/3X1 (1)

将（1）式代入预算约束条件20X1+30X2=540，得：X1=9，X2=12

因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为：U=3X1X22=3888

2、假定某厂商的边际成本函数MC=3Q2-30Q+100,且生产10单位产量时的总成本为1000。

求（1）固定成本的值。（2）总成本，总可变成本函数，以及平均成本函数，平均可变成本函数。

解:MC= 3Q2-30Q+100

所以TC(Q)=Q3-15Q2+100Q+M

当Q=10时,TC=1000 =500

固定成本值:500

TC(Q)=Q3-15Q2+100Q+500

TVC(Q)= Q3-15Q2+100Q

AC(Q)= Q2-15Q+100+500/Q

AVC(Q)= Q2-15Q+100

3、已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为

STC=0.1Q3+2Q2+15Q+10 。试求：

（1）当市场上产品的价格为P=55时，厂商的短期均衡产量和利润。

（2）当市场价格下降为多少时，厂商必须停产。

（3）厂商的短期供给函数。

解答：

（1）因为STC=0.1Q3-2Q2+15Q+10 ，

所以SMC==0.3Q3-4Q+15 。

根据完全竞争厂商实现利润最大化原则P=SMC，

且已知P=55，于是有：0.3Q2-4Q+15=55

整理得：0.3Q2-4Q-40=0

解得利润最大化的产量Q*=20（负值舍去了）

以Q*=20代入利润等式有：

=TR-STC=PQ-STC

=（55×20）-（0.1×203-2×202+15×20+10）

=1100-310=790

即厂商短期均衡的产量Q*=20，利润л=790

（2）当市场价格下降为P小于平均可变成本AVC即PAVC时，厂商必须停产。而此时的价格P必定小于最小的可变平均成本AVC。

根据题意，有：

AVC==0.1Q2-2Q+15

令：

解得Q=10

且

故Q=10时，AVC（Q）达最小值。

以Q=10代入AVC（Q）有：

最小的可变平均成本AVC=0.1×102-2×10+15=5

于是，当市场价格P<5时，厂商必须停产。

（3）根据完全厂商短期实现利润最大化原则P=SMC，有：0.3Q2-4Q+15=p

整理得0.3Q2-4Q+（15-P）=0

解得

根据利润最大化的二阶条件的要求，取解为：

Q=

考虑到该厂商在短期只有在P才生产，而P＜5时必定会停产，所以，该厂商的短期供给函数Q=f（P）为：

Q=，P

Q=0 P＜5

4、已知某垄断厂商利用一个工厂生产一种产品，其产品在两个分割的市场上出售，他的成本函数为TC=Q2＋40Q，两个市场的需求函数分别为Q1=12-0.1P1，Q2=20-0.4P2。求：

（1）当该厂商实行三级价格歧视时，他追求利润最大化前提下的两市场各自的销售量、价格以及厂商的总利润。

（2）当该厂商在两个市场实行统一的价格时，他追求利润最大化前提下的销售量、价格以及厂商的总利润。

（3）比较(1)和(2)的结果。

解答：（1）由第一个市场的需求函数Q1=12-0.1P1可知，该市场的反需求函数为P1=120-10Q1，边际收益函数为MR1=120-20Q1.

同理，由第二个市场的需求函数Q2=20-0.4P2可知，该市场的反需求函数为

P2=50-2.5Q2，边际收益函数为MR2=50-5Q2.

而且，市场需求函数Q=Q1+Q2=（12-0.1P）+（20-0.4P）=32-0.5P，且市场反需求函数为P=64-2Q，市场的边际收益函数为MR=64-4Q.

此外，厂商生产的边际成本函数MC= .

该厂商实行三级价格歧视时利润最大化的原则可以写为MR1=MR2=MC.

于是：

关于第一个市场：

根据MR1=MC，有：

120-20Q1=2Q+40 即22Q1+2Q2=80

关于第二个市场：

根据MR2=MC，有：

50-5Q2=2Q+40 即2Q1+7Q2=10

由以上关于Q1、Q2的两个方程可得，厂商在两个市场上的销售量分别为：

Q1=3.6，Q2=0.4 可求得P1=84，P2=49.

在实行三级价格歧视的时候，厂商的总利润为：

л=（TR1+TR2）-TC

=P1Q1+P2Q2-（Q1+Q2）2-40（Q1+Q2）

=84×3.6+49×0.4-42-40×4=146

（2）当该厂商在两个上实行统一的价格时，根据利润最大化的原则即该统一市场的MR=MC有：

64-4Q=2Q+40

解得Q=4

以Q=4代入市场反需求函数P=64-2Q，得：

P=56

于是，厂商的利润为：

л=P.Q-TC

=(56×4)-(42+40×4)=48

所以，当该垄断厂商在两个市场上实行统一的价格时，他追求利润最大化的销售量为Q=4，价格为P=56，总的利润为л=48.

（3）比较以上（1）和（2）的结果，可以清楚地看到，将该垄断厂商实行三级价格歧视和在两个市场实行统一作价的两种做法相比较，他在两个市场制定不同的价格实行三级价格歧视时所获得的利润大于在两个市场实行统一定价时所获得的利润（因为146>48）.这一结果表明进行三级价格歧视要比不这样做更为有利可图.

5、假定下表是需求函数Qd=500-100P在一定价格范围内的需求表：

（1）求出价格2元和4元之间的需求的价格弧弹性。

（2）根据给出的需求函数，求P=2是的需求的价格点弹性。

（3）根据该需求函数或需求表作出相应的几何图形，利用几何方法求出P=2 时的需求的价格点弹性。它与（2）的结果相同吗？