2019届高考数学文科(人教新课标版)一轮复习练习：第11章 复数、算法、推理与证明 章末总结 Word版含解析
2019版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.2数系的扩充与复数的引入课件文
复平面内的点_Z_(_a_，__b_)_ (a，
b∈R)．
(4)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量 O→Z1 ，O→Z2 不共线，则复数z1＋z2是以O→Z1 ，O→Z2 为两邻边的 平行四边形的对角线O→Z所对应的复数． ②复数减法的几何意义：复数z1－z2是O→Z1－O→Z2＝Z→2Z1 所对应的复数． 4．模的运算性质：①|z|2＝| z |2＝z· z ；②|z1·z2|＝ |z1||z2|；③zz12＝||zz12||.
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒ z ＝a－bi＝ a∈R，所以p4为真命题．故选B.
2．(2018·安徽安庆模拟)设i是虚数单位，如果复数
a＋i 2－i
的实部与虚部相等，那么实数a的值为( )
1 A.3
B．－13
C．3
D．－3
解析
a＋i 2－i
＝
2a－1＋a＋2i 5
，由题意知2a－1＝a＋
解析 由题意得z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝ －5，故选A.
2．若复数z满足①|z|≥1；②|z＋i|≤|－1－2i|，则z在复 平面内所对应的图形的面积为___4_π____．
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|≥1及|z＋i|≤|－1－ 2i|易得x2＋y2≥1及x2＋(y＋1)2≤5知z在复平面内对应图形的 面积为5π－π＝4π.
冲关针对训练 －1＋2 23＋3ii＋1－2i2018＝___2_i____. 解析 原式＝i11＋＋22 33ii＋1－2i21009 ＝i＋－22i1009＝i＋i1009＝i＋i4×252＋1＝i＋i＝2i.
真题模拟闯关
1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题 p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝ z 2； p4：若复数z∈R，则 z ∈R. 其中的真命题为( ) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
2019高考数学文一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明第1讲 Word版含解析
高考数学文一轮分层演练：[学生用书P283(单独成册)]一、选择题1．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5iD ．7＋5i解析：选C ．(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i ，故选C ．2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i1－2i (a ∈R )是纯虚数，则a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选D ．因为a ＋5i1－2i ＝a ＋5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a ＋－10＋5i5＝a －2＋i 是纯虚数，所以a ＝2．故选D ．3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ．因为z ＝1＋i ，所以2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＋2i ＋i 2＝2（1－i ）2＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A ．4．(2018·福建基地综合测试)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D ．x1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以⎩⎨⎧12x ＝1，－12x ＝－y ，解得x ＝2，y ＝1，所以x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为2－i 故选D ．5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A ．2－12 B ．2－1 C ．1 D ．2＋12解析：选A ．由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A ． 6．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4解析：选A ．因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A ． 二、填空题7．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于________． 解析：因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34．答案：－348．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z －＝________． 解析：因为z ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ． 所以⎝⎛⎭⎫z ＋1z ·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6． 答案：69．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________．解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2．答案：210．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则实数m ＝________．解析：z ＝4＋2i（1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5．答案：－5 三、解答题 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO →、BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)B 点对应的复数．解：(1)AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i ． 因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i ．(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i ． (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i ．12．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i ． 因为z ＋5z 是实数，所以b －5ba 2＋b2＝0．又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5．① 又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0．②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ．。
2019版高考数学(文)一轮狂刷练：第11章算法、复数、推理与证明11-1a含解析
C．i≤31？；p＝p＋iD．i≤30？；p＝p＋i
答案D
解析由于要计算30个数的和，
故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，
即①中应填写“i≤30？”；
又由第1个数是1；
第2个数比第1个数大1即1＋1＝2；
第3个数比第2个数大2即2＋2＝4；
第4个数比第3个数大3即4＋3＝7；
故②中应填写p＝p＋i.故选D.
二、填空题
13．定义n！＝1×2×3×…×n，如图是求10！的程序框图，其中k为整数，则k＝________.
答案11
解析因为10！＝1×2×…×10，所以判断框内的条件为“i<11？”，故k＝11.
14．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求5次多项式f(x)＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0当x＝x0(x0是任意实数)时的值的过程，若输入a0＝2，a1＝－5，a2＝6，a3＝－4，a4＝7，a5＝2，Байду номын сангаас0＝3，则输出的v的值为________．
A．－29
B．－5
C．7
D．19
答案D
解析程序执行过程如下：n＝1，x＝－2×1＋9＝7；
n＝2，x＝－2×7＋9＝－5；
n＝3，x＝－2×(－5)＋9＝19；
n＝4>3，终止循环，输出x＝19.
故选D.
4．某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为()
A．[15,60) B．(15,60]
答案986
解析执行程序框图，输入a0＝2，a1＝－5，a2＝6，a3＝－4，a4＝7，a5＝2，x0＝3，经过第1次循环得v＝13，n＝2；经过第2次循环得v＝35，n＝3；经过第3次循环得v＝111，n＝4；经过第4次循环得v＝328，n＝5；经过第5次循环得v＝986，n＝6，退出循环．故输出的v的值为986.
2019高考数学文一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明第3讲 Word版含解析
[学生用书P286(单独成册)]一、选择题1．观察下列各式:a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析:选B ．法一:令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123．法二:由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123．2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55解析:选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55．3．已知“整数对”按如下规律排成一列:(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7，5)B ．(5，7)C ．(2，10)D ．(10，2)解析:选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为:(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出:EF ＝ma ＋nbm ＋n ，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC ．S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD ．S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n解析:选C ．在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nbm ＋n 类比到关于△OEF的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n，故选C ．5．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人解析:选B ．假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人．6．已知数列{a n }:11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A ．3724B ．76C ．1115D ．715解析:选A ．通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数:11，分子、分母之和为2；第二组有两个数:21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数:31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，以此类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以 a 99＝78，a 100＝69．故a 99＋a 100＝3724．二、填空题7．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说:我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说:我没去过C 城市； 丙说:我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析:由题意可推断:甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A ．答案:A8．(2018·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说:“主要责任在乙”；乙说:“丙应负主要责任”；丙说:“甲说的对”；丁说:“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．解析:若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．答案:甲9．设A 和B 是抛物线上的两个动点，且在A 和B 处的抛物线的切线相互垂直，已知由A 、B 及抛物线的顶点所组成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为L 1，对L 1重复以上过程，又得一抛物线L 2，依此类推．设如此得到抛物线的序列为L 1，L 2，L 3，L 4，…，L n ，若抛物线的方程为y 2＝6x ，经专家计算得，L 1:y 2＝2(x －1)，L 2:y 2＝23(x －1－13)＝23(x －43)，L 3:y 2＝29(x －1－13－19)＝29(x －139)，L 4:y 2＝227(x －1－13－19－127)＝227(x －4027)，…，L n :y 2＝2S n (x －T nS n )，则2T n －3S n ＝________．解析:由题意知T 1＝1，T 2＝4，T 3＝13，T 4＝40，…，分析得1，4，13，40，…组成一个数列，数列的前后两项之差是一个等比数列，即T n －T n －1＝3n －1， …T 3－T 2＝32， T 2－T 1＝3，把上述式子相加得到T n －1＝3＋32＋…＋3n －1， 所以T n ＝3n －12，由题意知S 1＝1，S 2＝3，S 3＝9，S 4＝27，…，分析得1，3，9，27，…组成的数列{S n }的通项是S n ＝3n －1，所以2T n －3S n ＝2×3n －12－3×3n －1＝－1．答案:－110．如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．解析:观察题图可知， 第一个拐弯处2＝1＋1， 第二个拐弯处4＝1＋1＋2， 第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3， 第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4， 第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律:拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211．答案:211 三、解答题11．已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a ＞0，且a ≠1)．(1)证明:函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解:(1)证明:函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )． 由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ， 所以－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称． (2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1．所以f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1．故f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3．12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解:(1)选择②式，计算如下:sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下:sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α· (cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34．。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第11章算法、复数、推理与证明 11-3a
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2016＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a 2016＝a 6＝－3.故选B.3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋≥2，x ＋＝＋＋≥3，1x 4x 2x 2x 24x 2x ＋＝＋＋＋≥4，…，27x 3x 3x 3x 327x 3类比有x ＋≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( )a xn A ．n B ．2n C ．n 2 D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .故选D.4．已知a n ＝n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：(13)a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.67 B.68(13)(13)C.111 D.112(13)(13)答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝112.故选D.(13)5．(2017·阳山县校级一模)下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“＝＋(c ≠0)”a ＋bc a c b c D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案 C解析 对于A “若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B “若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C 将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“＝＋”是正确的；对于D “(ab )n ＝a n b n ”类推出a ＋b c a c b c “(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”是错误的；如(1＋1)2＝12＋12.故选C.6．(2017·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2017＝( )A ．502B ．503C ．504D ．505答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝.所以a 2017＝x 1009＝505.故选D.n ＋127．(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个2＋2＋2＋…定值x ，这可以通过方程＝x 确定x ＝2，则1＋＝( )2＋x 11＋11＋…A. B.C. D.－5－125－121＋521－52答案 C 解析 1＋＝x ，即1＋＝x ，即x 2－x －1＝0，解得11＋11＋…1x x ＝，故1＋＝，故选C.1＋52(x ＝1－52舍)11＋11＋…1＋528．(2017·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝，类比这个结论可知，2S a ＋b ＋c 四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R 等于( )A. B.V S 1＋S 2＋S 3＋S 42VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C. D.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 44VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R 的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V ＝V 四面体S －ABC ＝(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，13所以R ＝.故选C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 49．(2018·鹰潭模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3.S 1＝[]＋[]＋[]＝3123S 2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝1045678S 3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，9101112131415…依此规律，那么S 10等于( )A ．210B ．230C ．220D ．240答案 A解析 ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴S 1＝[]＋[]＋[]＝1×3＝3，123S 2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5＝10，45678S 3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]9101112131415＝3×7＝21，…S n ＝[]＋[]＋[]＋…＋[]＋[]n 2n 2＋1n 2＋2n 2＋2n －1n 2＋2n＝n ×(2n ＋1)，∴S 10＝10×21＝210.故选A.10．(2017·龙泉驿区模拟)对于问题：“已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝2，求＋的最小值”，给出如下一种解法：1x 4y ∵x ＋y ＝2，∴＋＝(x ＋y )＝，1x 4y 12(1x ＋4y )12(5＋y x ＋4x y )∵x >0，y >0，∴＋≥2＝4，y x 4x y y x ·4x y ∴＋≥(5＋4)＝，1x 4y 1292当且仅当Error!即Error!时，＋取最小值.1x 4y 92参考上述解法，已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则＋1A 的最小值为( )9B ＋C A. B. C. D.16π8π4π2π答案 A解析 A ＋B ＋C ＝π，设A ＝α，B ＋C ＝β，则α＋β＝π，＝1，α＋βπ参考题干中解法，则＋＝＋＝·(α＋β)＝1A 9B ＋C 1α9β(1α＋9β)1π1π≥(10＋6)＝，当且仅当＝，即3α＝β时等号成(10＋βα＋9αβ)1π16πβα9αβ立．故选A.二、填空题11．(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________．(2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设A 1(xA 1，yA 1)，B 1(xB 1，yB 1)，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝yA 1＋yB 1＝2y 1.因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．又p 1＝＝＝＝，其几何意义为线段A 1B 1的yA 1＋yB 1xA 1＋xB 12y 12x 1y 1x 1y 1－0x 1－0中点E 1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．12．(2018·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3.应用合情推理，若四维空间中，43“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr, 即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表43面积)S ＝4πr 2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.13．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关121314收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，1516恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .答案 172解析 第1关收税金：x ；12第2关收税金：x ＝＝；13(1－12)x 6x 2×3第3关收税金：x ＝＝；14(1－12－16)x 12x 3×4第8关收税金：＝.x 8×9x 7214．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2016是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．答案 (1)5040 (2)5k (5k －1)2解析 观察知这些三角形数满足a n ＝，n ∈N *，当n (n ＋1)2n ＝5k －1或n ＝5k ，k ∈N *时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b 2016是第1008组的后面一项，即b 2016是数列{a n }中的第5×1008＝5040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝.5k (5k －1)2三、解答题15．(2017·未央区校级期中)阅读以下求1＋2＋3＋…＋n 的值的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋122－12＝2×1＋1以上各式相加得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n所以1＋2＋3＋…＋n ＝＝.n 2＋2n －n 2n (n ＋1)2类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n 2的值．解 ∵23－13＝3·22－3·2＋1，33－23＝3·32－3·3＋1，…，n 3－(n －1)3＝3n 2－3n ＋1，把这n －1个等式相加得n 3－1＝3·(22＋32＋…＋n 2)－3·(2＋3＋…＋n )＋(n －1)，由此得n 3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n 2)－3·(1＋2＋3＋…＋n )＋(n －1)，即12＋22＋…＋n 2＝.13[n 3－1＋32n (n ＋1)－(n －1)]16．(2018·南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a n }、{b n }是两个等差数列，它们的前n 项的和分别是S n ，T n ，则＝.an bn S 2n －1T 2n －1(1)请你证明上述命题；(2)请你就数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．解 (1)证明：在等差数列{a n }中，a n ＝(n ∈N *)，那a 1＋a 2n －12么对于等差数列{a n }、{b n }有：＝＝＝.an bn 12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)12(a 1＋a 2n －1)(2n －1)12(b 1＋b 2n －1)(2n －1)S 2n －1T 2n －1(2)猜想：数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，它们的前n项的积分别是X n，Y n，则2n－1＝.(anbn)X2n－1Y2n－1证明：在等比数列{a n}中，a＝a1a2n－1＝a2a2n－2＝…(n∈N*)，2n(a n)2n－1＝a1a2a3…a2n－1(n∈N*)，那么对于等比数列{a n}、{b n}有2n－1＝＝.(anbn)a1a2a3…a2n－1b1b2b3…b2n－1X2n－1Y2n－1。
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习-第十一章 推理与证明、算法、复数 第1节 合情推理与演绎
答案 C
4.(2018·咸阳模拟)观察下列式子： 1×2<2， 1×2＋ 2×3<92， 1×2＋ 2×3＋ 3×4<8， 1×2＋ 2×3＋ 3×4＋ 4×5<225，…，根据以上规律，第 n(n∈N*)个不等式是
______________________.
解析 根据所给不等式可得第 n 个不等式是 1×2＋ 2×3＋…＋ n·（n＋1） （n＋1）2 <2. 答案 1×2＋ 2×3＋…＋ n·（n＋1）<（n＋21）2
诊断自 1.思考辨析(在括号内打“√”或“测×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为 合适.( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )
解析
(1)令 1＋1＋11＋1…＝x(x>0)，即 1＋1x＝x，即 x2－x－1＝0，解得 x＝1＋2
5 (x
＝1－2 5舍)，故 1＋1＋11＋1…＝1＋2 5，故选 C. (2)利用类比推理，猜想应有OVVV11＋OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝1. 用“体积法”证明如下：
OVVV11＋OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝VVOV－－BBCCDD＋VVOB－－VVCCDD＋VVOC－－VVBBDD＋VVOD－－VVBBCC＝VVVV－－BBCCDD＝1. 答案 (1)C (2)OVVV11＋OBBB11＋OCCC11＋ODDD11＝1
解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，
推出x－20＝12，所以x＝32.
2019高考数学文一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明第3讲 Word版含解析
[学生用书P286(单独成册)]一、选择题1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B ．法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123．法二：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123．2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55．3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7，5)B ．(5，7)C ．(2，10)D ．(10，2)解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nbm ＋n ，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC ．S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD ．S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n解析：选C ．在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nbm ＋n 类比到关于△OEF的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n，故选C ．5．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人解析：选B ．假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A ，B ，C 表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC ，CA ，BB ，所以最多有3人．6．已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A ．3724B ．76C ．1115D ．715解析：选A ．通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，以此类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以 a 99＝78，a 100＝69．故a 99＋a 100＝3724．二、填空题7．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A ．答案：A8．(2018·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．解析：若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．答案：甲9．设A 和B 是抛物线上的两个动点，且在A 和B 处的抛物线的切线相互垂直，已知由A 、B 及抛物线的顶点所组成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为L 1，对L 1重复以上过程，又得一抛物线L 2，依此类推．设如此得到抛物线的序列为L 1，L 2，L 3，L 4，…，L n ，若抛物线的方程为y 2＝6x ，经专家计算得，L 1：y 2＝2(x －1)，L 2：y 2＝23(x －1－13)＝23(x －43)，L 3：y 2＝29(x －1－13－19)＝29(x －139)，L 4：y 2＝227(x －1－13－19－127)＝227(x －4027)，…，L n ：y 2＝2S n (x －T nS n)，则2T n －3S n ＝________．解析：由题意知T 1＝1，T 2＝4，T 3＝13，T 4＝40，…，分析得1，4，13，40，…组成一个数列，数列的前后两项之差是一个等比数列，即T n －T n －1＝3n －1， …T 3－T 2＝32， T 2－T 1＝3，把上述式子相加得到T n －1＝3＋32＋…＋3n －1， 所以T n ＝3n －12，由题意知S 1＝1，S 2＝3，S 3＝9，S 4＝27，…，分析得1，3，9，27，…组成的数列{S n }的通项是S n ＝3n －1，所以2T n －3S n ＝2×3n －12－3×3n －1＝－1．答案：－110．如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．解析：观察题图可知， 第一个拐弯处2＝1＋1， 第二个拐弯处4＝1＋1＋2， 第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3， 第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4， 第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211．答案：211 三、解答题11．已知函数f (x )＝－a a x ＋a (a ＞0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )． 由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，所以－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫12，－12对称． (2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1．所以f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1．故f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3．12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°． (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α· (cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α3＝4．。
2019版高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案
第4讲直接证明与间接证明板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 直接证明考点2 间接证明1．反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．2．利用反证法证题的步骤(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(3)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．[必会结论]分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(3)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．( )(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法答案 B解析从要证明的结论——比较两个无理数大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法，故选B.3．[课本改编]用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案 B解析注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”，故选B.4．[2018·包头模拟]若实数a，b满足a＋b＜0，则( )A．a，b都小于0B．a，b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于0答案 D解析假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b＜0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.5．[2018·扬州调研]设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．答案m<n解析 解法一：(取特殊值法)取a ＝2，b ＝1，得m <n .解法二：(分析法)a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件的序号是________．答案 ①③④解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b>0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋a b≥2成立．板块二 典例探究·考向突破考向综合法证明例 1 已知sin θ，sin x ，cos θ成等差数列，sin θ，sin y ，cos θ成等比数列．证明：2cos2x ＝cos2y .证明 ∵sin θ与cos θ的等差中项是sin x ，等比中项是sin y ， ∴sin θ＋cos θ＝2sin x ，① sin θcos θ＝sin 2y ，②①2－②×2，可得(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝4sin 2x －2sin 2y ，即4sin 2x －2sin 2y ＝1.∴4×1－cos2x 2－2×1－cos2y 2＝1，即2－2cos2x －(1－cos2y )＝1.故证得2cos2x ＝cos2y . 触类旁通综合法证明的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．【变式训练1】 已知f (x )＝12x ＋2，证明：f (x )＋f (1－x )＝22.证明 ∵f (x )＝12x＋2， ∴f (x )＋f (1－x )＝12x＋2＋121－x＋2＝12x＋2＋2x2＋2·2x＝22＋2·2x＋2x2＋2·2x＝2＋2x 2＋2·2x ＝2＋2x2(2＋2x )＝12＝22. 故f (x )＋f (1－x )＝22成立．考向分析法证明例 2 已知a >0，证明： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)． 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)>0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)2，即2(2－2)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a≥2.因为a >0，a ＋1a≥2显然成立⎝⎛当且仅当a ＝1a＝1时等号成立 )，所以要证的不等式成立．触类旁通分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．【变式训练2】 已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1. 求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 证明 欲证a ＋b ＋c ≤3， 则只需证(a ＋b ＋c )2≤3，即证a ＋b ＋c ＋2(ab ＋bc ＋ac )≤3， 即证ab ＋bc ＋ac ≤1. 又ab ＋bc ＋ac ≤a ＋b 2＋b ＋c 2＋a ＋c2＝1，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”， ∴原不等式a ＋b ＋c ≤3成立．考向反证法的应用命题角度1 证明否定性命题例 3 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？解 (1)证明：若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， ∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾，故数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3， 2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2， ∵q ≠1，∴q ＝0，这与q ≠0相矛盾．综上可知，当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．命题角度2 证明存在性问题例 4 设x 、y 、z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，求证：a 、b 、c 三数至少有一个不小于2.证明 假设a 、b 、c 都小于2， 则a ＋b ＋c <6.而事实上a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6(当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取“＝”)与a ＋b ＋c <6矛盾，∴a ，b ，c 中至少有一个不小于2.命题角度3 证明唯一性命题例 5 已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2， ∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ，∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立． 故不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD . 触类旁通反证法的适用范围及证明的关键(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【变式训练3】 (1)若三个方程x 2＋4mx －4m ＋3＝0，x 2＋(m －1)x ＋m 2＝0，x 2＋2mx －2m ＝0中至少有一个方程有实数根，求实数m 的取值范围．解 当三个方程都没有实根时， ⎩⎪⎨⎪⎧(4m )2－4(3－4m )<0，(m －1)2－4m 2<0，4m 2＋8m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧4m 2＋4m －3<0，3m 2＋2m －1>0，m 2＋2m <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32<m <12，m <－1或m >13，－2<m <0，所以－32<m <－1.所以，三个方程中至少有一个方程有实根时，m 的取值范围为m ≥－1或m ≤－32.(2)若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．①设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值；②是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解 ①由已知得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3. 因为b >1，所以b ＝3. ②假设函数h (x )＝1x ＋2在区间[a ，b ](a >－2)上是“四维光军”函数，因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．核心规律1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．3.分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．满分策略1.当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法，但在证明中，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律．2.当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．3.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.板块三启智培优·破译高考创新交汇系列10——分析法与综合法的交汇整合[2018·长沙模拟]已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．解题视点(1)先判断它们的大小，可用特例法．(2)用分析法探寻证题思路．(3)用综合法完成证明．事实上，取a＝1，b＝2，c＝4，则f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log218，2f(b)＝2f(2)＝log216，于是由log218>log216，猜测f(a)＋f(c)>2f(b)．要证f(a)＋f(c)>2f(b)，则只需证log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，即证log2[(a ＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，也即证(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.展开整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b.因为b2＝ac，所以只要证a＋c>2ac，显然是成立的．解f(a)＋f(c)>2f(b)．证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以a＋c>2ac.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.因为f(x)＝log2x是增函数，所以log2[(a＋2)(c＋2)]>log2(b＋2)2，即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．故f(a)＋f(c)>2f(b)．答题启示(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程.有时要把分析法和综合法结合起来交替使用，才能成功.,(2)本题易错的原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不会用综合法表述，从而导致解题格式不规范.将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.跟踪训练[2018·安徽模拟](1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)1<a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以要证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只要证明：xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2，只要证明：(xy )2－1＋(x ＋y )－xy (x ＋y )≥0， 只要证明：(xy －1)(xy ＋1－x －y )≥0， 只要证明：(xy －1)(x －1)(y －1)≥0.由于x ≥1，y ≥1，上式显然成立，所以原命题成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，则log c a ＝1log b c log a b ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy ，∴所要证明不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .∵c ≥b ≥a >1，∴x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1， 由(1)知所证明的不等式成立．板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·绵阳周测]设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则下列关于t 和s 的大小关系中正确的是( )A ．t >sB ．t ≥sC ．t <sD ．t ≤s 答案 D解析 s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t ，选D 项． 2．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2C.1a <1bD.b a >a b答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a <b <0，∴a －b <0， ∴a 2－ab >0， ∴a 2>ab .①又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，②由①②得a 2>ab >b 2.3．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x >2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1<1(x ∈R ) 答案 C解析 对于A ，当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故A 不正确；对于B ，当x ≠k π时，sin x 正负不定，不能用基本不等式，所以B 不正确； 对于D ，当x ＝0时，1x 2＋1＝1，故D 不正确． 由基本不等式可知选项C 正确．4．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．ab ≤14C.1a ＋1b≥4D.a ＋b ≤1答案 D解析 a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，∴A 成立；ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴B 成立．又1a ＋1b＝a ＋b a＋a ＋b b＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ＋ab＝4，∴C 成立，∴应选D. 5．[2018·邹平期末]若a >b >c ，则使1a －b ＋1b －c ≥k a －c恒成立的最大的正整数k 为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， 且a －c ＝a －b ＋b －c . 又a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2＝4， ∴k ≤a －c a －b ＋a －cb －c，k ≤4，故k 的最大整数为4.故选C.6．[2018·邯郸模拟]设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)答案 ③解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾， 因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：a 3＋a 2c ＋b 2c －abc ＋b 3＝0. 证明 运用“立方和”公式证明：a 3＋b 3＝(a ＋b )·(a 2－ab ＋b 2)，∴原式＝a 3＋b 3＋(a 2c ＋b 2c －abc ) ＝(a ＋b )·(a 2－ab ＋b 2)＋c (a 2－ab ＋b 2) ＝(a ＋b ＋c )·(a 2－ab ＋b 2) ∵a ＋b ＋c ＝0， ∴原式＝0，即当a ＋b ＋c ＝0时，a 3＋a 2c ＋b 2c －abc ＋b 3＝0.8．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明 由函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，可知f (x ＋1)＝f (－x )．将x 换成x －12代入上式可得f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＋1＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋12，由偶函数的定义可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)，得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ⇒(p －r )2＝0.所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明：方程f (x )＝0没有负数根．[B 级 知能提升]1．已知x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 M －N ＝x 2＋y 2＋1－(x ＋y ＋xy )＝12[(x 2＋y 2－2xy )＋(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)] ＝12[(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2]≥0.故M ≥N . 2．已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n的最大值为________．答案 －4解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋n m ≤－2－2m n ·nm＝－4， 当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.3．[2018·清水期末]设a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证： (1)c 2>ab ；(2)c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .证明 (1)∵a >0，b >0,2c >a ＋b ≥2ab ， ∴c >ab ， 平方得c 2>ab .(2)要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 只要证－c 2－ab <a －c <c 2－ab . 即证|a －c |<c 2－ab ， 即(a －c )2<c 2－ab ，∵(a －c )2－c 2＋ab ＝a (a ＋b －2c )<0成立， ∴原不等式成立．4．[2018·正定模拟]设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c .若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证： (1)a >0且－2<ba<－1；(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．证明 (1)∵f (0)>0，f (1)>0，∴c >0,3a ＋2b ＋c >0. 由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0， ∴－2<b a<－1.(2)解法一：∵Δ＝4b 2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋34c 2>0， ∴方程f (x )＝0有两个实根．设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2b 3a >0，x 1x 2＝c3a >0，故两根为正．又∵(x 1－1)＋(x 2－1)＝－2b3a－2<0，(x 1－1)(x 2－1)＝3a ＋2b ＋c3a>0，故两根均小于1，命题得证．解法二：∵Δ＝4b 2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c 24>0， 由(1)知－2<b a <－1，∴12<－b2a<1，已知f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．5．[2015·陕西高考]设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n的各项和，其中x >0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明．解 (1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n－2， 则F n (1)＝n －1>0，F n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12－2＝－12n <0， 所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内至少存在一个零点． 又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1>0，故F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内单调递增， 所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0， 即1－x n ＋1n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1n . (2)由题设，g n (x )＝(n ＋1)(1＋x n)2.设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n－(n ＋1)(1＋x n)2，x >0.当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )． 当x ≠1时，h ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1－n (n ＋1)x n －12.若0<x <1，h ′(x )>x n －1＋2xn －1＋…＋nxn －1－n (n ＋1)2x n －1＝n (n ＋1)2x n －1－n (n ＋1)2x n －1＝0.若x >1，h ′(x )<xn －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n (n ＋1)2·xn －1＝n (n ＋1)2x n －1－n (n ＋1)2·x n －1＝0.所以h (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 所以h (x )<h (1)＝0，即f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．。
2019高考数学文一轮分层演练：第11章复数、算法、推理与证明第4讲 Word版含解析
[学生用书P288(单独成册)]一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( )A ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．自然数a ，b ，c 都是奇数D ．自然数a ，b ，c 都是偶数解析:选B ．“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B ． 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证:b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析:选C ．b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2 ⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0．故选C ．3．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析:选A ．因为a ＝3－2＝13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝17＋6， 且7＋6＞6＋5＞3＋2＞0， 所以a ＞b ＞c ．4．设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析:选C ．假设三个数都小于2， 则y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋xy<6， 由于y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋x z ＋⎝⎛⎭⎫y z ＋z y ≥2＋2＋2＝6， 所以假设不成立，所以y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy中至少有一个不小于2．故选C ．5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析:选A ．因为a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ． 6．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是( ) A ．m >n B ．m ≥n C ．m <nD ．m ≤n解析:选C ．a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立，故m <n ．选C ．二、填空题7．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )的函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．解析:由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n ． 答案:c n ＋1<c n8．关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0，1)内有实根，则实数a 的取值范围是________． 解析:①当a ＝0时，方程无解．②当a ≠0时，令f (x )＝ax ＋a －1，则f (x )在区间(0，1)上是单调函数，依题意，得f (0)f (1)<0，所以(a －1)(2a －1)<0， 所以12<a <1．答案:⎝⎛⎭⎫12，19．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是________．解析:易知f (x )＝e x ＋x －a 在定义域内是增函数，由f (f (b ))＝b ，猜想f (b )＝b ．反证法:若f (b )>b ，则f (f (b ))>f (b )>b ，与题意不符， 若f (b )<b ，则f (f (b ))<f (b )<b ，与题意也不符，故f (b )＝b ， 即f (x )＝x 在[0，1]上有解． 所以e x ＋x －a ＝x ，a ＝e x －x 2＋x ，令g (x )＝e x －x 2＋x ，g ′(x )＝e x －2x ＋1＝(e x ＋1)－2x ， 当x ∈[0，1]时，e x ＋1≥2，2x ≤2，所以g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上是增函数， 所以g (0)≤g (x )≤g (1)⇒1≤g (x )≤e ， 即1≤a ≤e ． 答案:[1，e]10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．解析:法一:(补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32． 法二:(直接法)依题意有f (－1)＞0或f (1)＞0， 即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，得－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32． 答案:⎝⎛⎭⎫－3，32 三、解答题11．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，求证:△ABC 是直角三角形．证明:法一:由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin 2B －12sin 2A ＝0，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2．若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，两直线重合，不符合题意，故A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．法二:由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0， 由余弦定理，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ，所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2． 若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意， 故a 2＋b 2＝c 2，即△ABC 是直角三角形．12．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)．(1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明:T n <16．解:(1)由已知可得，当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1．(2)证明:由(1)知a n ＝13n －1， 故b n ＝a n a n ＋1＝1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13×⎝⎛⎭⎫12－15＋13×⎝⎛⎭⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2． 因为13n ＋2>0，所以T n <16．。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第11章算法、复数、推理与证明 11-3a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖北华师一附中等八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析 若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故丙猜测错误，即1,2,6号均不是第1名，故3号是第1名，则乙猜测错误，丁猜测正确．故选D.2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2016＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案 B解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2016＝6×335＋6，∴a 2016＝a 6＝－3.故选B.3．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝( )A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n .故选D.4．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形： a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D. 5．(2017·阳山县校级一模)下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”答案 C解析 对于A “若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B “若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C 将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c ”是正确的；对于D “(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”是错误的；如(1＋1)2＝12＋12.故选C.6．(2017·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2017＝( )A ．502B ．503C ．504D ．505答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝n ＋12.所以a 2017＝x 1009＝505.故选D.7．(2018·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( ) A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52 答案 C解析 1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.8．(2017·陕西一模)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c，类比这个结论可知，四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中R 的求解过程可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V ＝V 四面体S －ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.故选C. 9．(2018·鹰潭模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3. S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21， …依此规律，那么S 10等于( )A ．210B ．230C ．220D ．240答案 A解析 ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，…S n ＝[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n 2＋2n －1]＋[n 2＋2n ]＝n ×(2n ＋1)，∴S 10＝10×21＝210.故选A.10．(2017·龙泉驿区模拟)对于问题：“已知两个正数x ，y 满足x＋y ＝2，求1x ＋4y 的最小值”，给出如下一种解法：∵x ＋y ＝2，∴1x ＋4y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ， ∵x >0，y >0，∴y x ＋4x y ≥2y x ·4xy ＝4，∴1x ＋4y ≥12(5＋4)＝92，当且仅当⎩⎨⎧ y x ＝4x y，x ＋y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝23，y ＝43时，1x ＋4y 取最小值92.参考上述解法，已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则1A ＋9B ＋C的最小值为( )A.16πB.8πC.4πD.2π答案 A解析 A ＋B ＋C ＝π，设A ＝α，B ＋C ＝β，则α＋β＝π，α＋βπ＝1，参考题干中解法，则1A ＋9B ＋C＝1α＋9β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋9β·(α＋β)1π＝1π⎝⎛⎭⎪⎫10＋βα＋9αβ≥1π(10＋6)＝16π，当且仅当βα＝9αβ，即3α＝β时等号成立．故选A.二、填空题11．(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________．(2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设A 1(xA 1，yA 1)，B 1(xB 1，yB 1)，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝yA 1＋yB 1＝2y 1.因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．又p 1＝yA 1＋yB 1xA 1＋xB 1＝2y 12x 1＝y 1x 1＝y 1－0x 1－0，其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．12．(2018·湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.答案 2πr 4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr, 即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S＝4πr 2；应用合情推理，在四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.13．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .答案 172解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3； 第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4； ……第8关收税金：x 8×9＝x 72. 14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2016是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k －1＝________(用k 表示)．答案 (1)5040 (2)5k (5k －1)2解析 观察知这些三角形数满足a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，当n ＝5k－1或n ＝5k ，k ∈N *时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b 2016是第1008组的后面一项，即b 2016是数列{a n }中的第5×1008＝5040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝5k (5k －1)2. 三、解答题15．(2017·未央区校级期中)阅读以下求1＋2＋3＋…＋n 的值的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1…22－12＝2×1＋1以上各式相加得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2. 类比上述过程，求12＋22＋32＋…＋n 2的值．解 ∵23－13＝3·22－3·2＋1，33－23＝3·32－3·3＋1，…，n 3－(n －1)3＝3n 2－3n ＋1，把这n －1个等式相加得n 3－1＝3·(22＋32＋…＋n 2)－3·(2＋3＋…＋n )＋(n －1)，由此得n 3－1＝3·(12＋22＋32＋…＋n 2)－3·(1＋2＋3＋…＋n )＋(n －1)，即12＋22＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3－1＋32n (n ＋1)－(n －1). 16．(2018·南阳模拟)我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a n }、{b n }是两个等差数列，它们的前n 项的和分别是S n ，T n ，则a n b n＝S 2n －1T 2n －1. (1)请你证明上述命题；(2)请你就数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．解 (1)证明：在等差数列{a n }中，a n ＝a 1＋a 2n －12(n ∈N *)，那么对于等差数列{a n }、{b n }有：a nb n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(a 1＋a 2n －1)(2n －1)12(b 1＋b 2n －1)(2n －1)＝S 2n －1T 2n －1. (2)猜想：数列{a n }、{b n }是两个各项均为正的等比数列，它们的前n 项的积分别是X n ，Y n ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n －1＝X 2n －1Y 2n －1. 证明：在等比数列{a n }中，a 2n ＝a 1a 2n －1＝a 2a 2n －2＝…(n ∈N *)，(a n )2n －1＝a 1a 2a 3…a 2n －1(n ∈N *)，那么对于等比数列{a n }、{b n }有⎝ ⎛⎭⎪⎫a n b n 2n －1＝a 1a 2a 3…a 2n －1b 1b 2b 3…b 2n －1＝X 2n －1Y 2n －1.2019版高考数学（文）2019版高考数学（文）。
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章末总结
知识点 考纲展示
复数
❶ 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
❷ 了解复数的代数表示法及其几何意义．
❸ 会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何
意义．
算法与程
序框图
❶ 了解算法的含义，了解算法的思想．
❷ 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；理解几种基
本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
框图 ❶ 了解程序框图、工序流程图(即统筹图)与结构图． ❷ 能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．
❸ 会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．
合情推理与演绎推理 ❶ 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
❷ 了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一
些简单推理．
❸ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
直接证明与间接证明 ❶ 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法
的思考过程、特点．
❷ 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
一、点在纲上，源在本里
考点 考题 考源
复数的
几何意
义 (2016·高考全国卷Ⅰ，T2，5分)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 选修1-2 P60练习T1(3)
复数的
运算与
几何意
义
(2017·高考全国卷Ⅱ，T2，5分)(1＋i)(2＋i)＝( )
A．1－i B．1＋3i
C．3＋i D．3＋3i 选修1-2 P60练习T1(2)
复数的运算 (2017·高考全国卷Ⅰ，T3，5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) 选修1-2
P59例3(2)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
程序框
图
(2015·高考全国卷Ⅱ，T8，5分)下边程序框图的算法思路源于我国古
代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若
输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )
A．0 B．2
C．4 D．14
必修3 P
36
例1
(2017·高考全国卷Ⅱ，T8，5分)执行如图的程序框图，如果输入的a
＝－1，则输出的S＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
必修3 P
41
例4、P
42
程序框图
推理与证明 (2017·高考全国卷Ⅲ，T19，12分)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD． (1)证明：AC⊥BD； (2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 必修2
P79B组T1
二、根置教材，考在变中
一、选择题
1．(选修1-2 P61A组T5(4)改编)i为虚数单位，则5i（2＋i）等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析：选D．5i（2＋i）＝5－1＋2i＝
5（－1－2i）
5
＝－1－2i．
2．(选修1-2 P33内文改编)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发
给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；
乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；
丙说：标有1的卡片在甲手中；
丁说：甲拿到标有3的卡片．
结果显示甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片
上的数字依次为( )
A．3、4、2、1 B．4、2、1、3
C．2、3、1、4 D．1、3、2、4
解析：选B．由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得
乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，
即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3．
3．(选修1-2 P30练习T2改编)如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，
则依此规律A(15，2)为( )
1
3
16 1
6
110 13 1
10
115 1330 1330 1
15
121 12 1315 12 1
21
…
A．2942 B．710
C．1724 D．73102
解析：选C．由数阵知A(3，2)＝16＋16＝16＋23×4，
A(4，2)＝16＋16＋110＝16＋23×4＋24×5，A(5，2)＝16＋16＋110＋115＝16＋23×4＋24×5＋
25×6，…，则A(15，2)＝16＋23×4＋24×5＋25×6＋…＋215×16＝1
6
＋
213－14＋14－15＋…＋115－116＝16＋2
13－1
16
＝16＋2×1348＝1724，选项C正确．
4．(必修3 P34－35案例1改编)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》
中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，
n分别为495，135，则输出的m＝( )
A．0 B．5
C．45 D．90
解析：选C．该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90，135＝
90×1＋45，90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45，故选C．
二、填空题
5．(选修1-2 P61A组T3改编)ABCD是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复
数分别为1＋2i，－i，2＋i，O为复平面原点，则|OD|＝________．
解析：设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，
因为ABCD是平行四边形，
所以AB→＝DC→，
即－i－(1＋2i)＝(2＋i)－(x＋yi)，
即－1－3i＝(2－x)＋(1－y)i，
所以2－x＝－11－y＝－3，解得x＝3，y＝4．
所以D点对应的复数为3＋4i．
所以|OD|＝|3＋4i|＝5，
答案：5
6．(选修1-2 P44B组T1改编)已知sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，则tan 2α＝________．
解析：由sin α－cos αsin α＋2cos α＝－1，可得2sin α＝－cos α，
所以tan α＝－12，
所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×－121－－122＝－43．
答案：－43
三、解答题
7．(选修1-2 P35B组T1改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋1Sn＋2＝
an(n≥2)．计算S1、S2、S3，并猜想Sn．
解：n＝1时，S1＝a1＝－23．
n＝2时，S2＋1S2＋2＝a2＝S2－S1＝S2＋23，
所以S2＝－34．
n＝3时，S3＋1S3＋2＝a3＝S3－S2＝S3＋34，
所以S3＝－45，
所以猜想Sn＝－n＋1n＋2．
8．(必修2 P45探究、P52B组T1(1)改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的
示意图如图所示：
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；
(3)证明：直线DF⊥平面BEG．
解：(1)点F，G，H的位置如图所示．
(2)平面BEG∥平面ACH．证明如下：
因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
所以BCHE为平行四边形．
所以BE∥CH．
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH．
同理BG∥平面ACH．
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH．
(3)证明：连接FH．
因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，
因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG．
又EG⊥FH，DH∩FH＝H，
所以EG⊥平面BFHD．
又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．
同理DF⊥BG．
又EG∩BG＝G，
所以DF⊥平面BEG．