圆内接四边形
圆内接四边形有关定理
圆内接四边形有关定理哎，你知道吗？四边形里有个挺特别的家伙，叫做圆内接四边形。
这家伙啊，不仅长相特别，还有很多让人惊叹的定理呢！咱们今天就聊聊这个圆内接四边形，说不定你也会爱上它。
圆内接四边形，简单来说，就是四个顶点都在一个圆上的四边形。
想象一下，你手里有个圆规，随便画个圆，然后在圆上随便找四个点，连起来，就是一个圆内接四边形了。
它看起来可能像正方形、长方形，也可能像菱形，或者是个不规则的四边形，但不管它长啥样，它都有一些特别的地方。
咱们先说说它的一个定理吧，叫“圆内接四边形的对角互补”。
听起来挺高大上的，其实就是说，如果你看着圆内接四边形的一个角，然后顺时针或者逆时针转两个角的位置，看到的那个角，和你看的这个角是互补的。
互补啊，就是说两个角的度数加起来是180度。
比如，你看到一个60度的角，那转两个位置后看到的角就是120度，它们加起来正好是180度。
这个定理啊，你画几个圆内接四边形试试，就能发现了，真的特别神奇！还有啊，圆内接四边形有个性质，就是它的任意一组对角线的乘积，等于它的两组对边乘积的和。
哎呀，这个说起来有点绕，咱们举个例子吧。
假设你有一个圆内接四边形，它的两组对边分别是a和b，c和d，那么它的一组对角线（比如从左上角到右下角的那条）的乘积，就等于a乘b加上c乘d。
这个性质啊，你一开始可能不太理解，但多画几个图，多算算，就能感受到它的美妙了。
你知道吗？圆内接四边形还有一个特别的地方，就是它的外接圆的圆心，也是它的两组对边中点的连线的交点。
换句话说，如果你把圆内接四边形的两组对边中点找出来，然后连起来，这条线就会经过外接圆的圆心。
这个性质啊，真的让人感叹几何的奇妙。
你想象一下，一个四边形，它的四个顶点都在一个圆上，而这个圆的圆心，又和它的两组对边中点有这么深的联系，是不是觉得特别神奇？说到圆内接四边形，我还想提一个它的应用。
你知道吗？在天文观测中，有时候天文学家们会观测到一些天体组成的四边形，如果这四个天体都在一个平面上，并且它们的连线交点是一个固定的点（就像外接圆的圆心一样），那么这个四边形就很可能是圆内接四边形。
2、圆的内接四边形
例2. ☉O内 接四边形 ABCD中, 中 AB是直径 是直径, 是直径 ∠BAC=25° ∠BAC=25°, ∠ADC的 求∠ADC的 115° ° 度数. 度数.
例3. ☉O是 等边Δ 等边ΔABC 的外接圆. 的外接圆 求证: 求证 1.∠D＝ ∠D＝ ∠D ∠CBP. 2=CP CD 2.A将 圆内接四边形、圆周角、 圆内接四边形、圆周角、 圆心角的有关性质有机的 圆心角的有关性质有机的 结合在一起， 结合在一起，共同解决圆 中与角相关的问题。 中与角相关的问题。
需要提示吗? 需要提示吗 例1. ΔABC中, 中 AB=AC, BD平分 平分 ∠ABC, 求证: 求证: AD=CE
圆的内 接四边 形
重点提示
圆的内 接多边形
1.如果一个多边形的所 如果一个多边形的所 有顶点都在同一个圆上, 有顶点都在同一个圆上 那么这个多边形叫做圆 的内接多边形,这个圆叫 这个圆叫 做多边形的外接圆 .
圆的内接四 边形的性质定理
定理:圆的 定理 圆的 内接四边形 对角互补 , 并且任何一 个外角都等 于它的内对角.
圆内接四边形
A
●
O C
B
知识点二：圆内接四边形的性质定理
思考：1、圆内接四边形的内角之间有何关系？ 2、外角∠ABE与∠D又有怎样的关系？
D A
●
O C
E
B
性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个 外角都等于它的内对角。
知识点三：圆内接四边形的判断定理
思考：怎样的四边形一定有外接圆？
D
A
●
O C
E
B
F E O B A
●
G
●
O ′
C
D
拔高练习
阅读下面的材料:对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A 被这个圆所覆盖. 例如,下图中的三角形被一个圆所覆盖,四边形被两个圆所覆 盖.
回答下列问题:
(1)边长为1cm的正方形被一个半径为r的
2
圆所覆盖，则r的最小值是
拔高练习
阅读下面的材料:对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A 被这个圆所覆盖. 例如,下图中的三角形被一个圆所覆盖,四边形被两个圆所覆 盖.
回答下列问题:
(3)边长为2cm,1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，则r的
2
最小值是
2
cm，这两个圆的圆心矩是
判断定理：对角互补的四边形一定有外接圆
巩固练习：
1.下列图形中一定能内接于圆的是（ C ） A.平行四边形 B.对角线相等的四边形 C.等腰梯形 D.菱形 2.D为△ABC外接圆上不与B,C重合的一点，若 ∠A=50°，则∠BDC的度数为 50°或130°. 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB的延长线上 的一点， ∠CBE=80°则∠AOC= 160° .
圆的内接四边形定理
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
D
∴∠A＋∠ DCB＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180° A
又∠DCB＋∠DCE=180°
O
∴∠A=∠DCE
B
CE
定理：圆内接四边形的对角互补，且任何
一个外角都等于它的内对角。
例题
在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比
是2：3：6，求这个四边形各角的度数。
解：设∠A、∠B、∠C的度数分别等于2x°、3x°、6x°.
∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180° ∵2x+6x=180 ∴ x=22.5 ∴∠A=2x°=45° ∠B=3x°=67.5° ∠C=6x°=135° ∠D=180°-∠B
=180°-67.5° =112.5°
(1)四边形ABCD内接于⊙O，则
∠A+∠C=__18_0_°__ ∠B+∠ADC=__1_8_0_°__;若
下面图形分别是圆的内接几边形：
D
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
B
C
C
D
O
B
B E
A
A F
C
O
D
E
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫做圆的内接多边形，这个 圆叫做多边形的外接圆。
圆内接四边形的对角有何关系，且 任何一个外角都等于它的什么？
D
A
O
B
C
E
证明：（如图）
∴
圆内接四边形ABCD
∴∵ BAD+BCD=360°
圆内接四边形.ppt
• 圆内接四边形的性质是圆周角定理的应用．利用圆周 角定理，可以把圆内接四边形的四个内角（圆周角） 和相应的圆心角联系起来，得到圆内接四边形的性 质．圆内接四边形的性质在圆中探究角相等或互补关 系时经常用到，也是研究四点共圆的基础．
课件说明
• 学习目标： 1．掌握圆内接四边形的概念和性质； 2．会运用圆内接四边形的性质证明和计算一些问题．
A DEOF NhomakorabeaB
C
3．利用性质解决问题
已知：△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆 AC 上的点（不与 A，C 重合），延长 BD 到 E．
求证：AD 的延长线平分∠CDE．
A DE
O
F
B
C
3．利用性质解决问题
拓展：如图，AD、BE 是△ABC 的两条高． 求证：∠CED=∠ABC．
C D
• 学习重点： 圆内接四边形的概念和性质．
1．提出问题
什么叫圆内接三角形？ 什么叫圆内接四边形？
2．性质探究
观察圆内接四边形对角之间有什么关系． 如何验证你的猜想呢？
A DE
O
F
B
C
圆内接四边形的对角互补，并且任何一角的外角都 等于它的内对角．
2．性质探究
在⊙O 中，A、B、C、D 都在同一个圆上． （1）请指出图中圆内接四边形的外角． （2）∠ADC 的内对角是哪一个角，∠DCB 呢？ （3）与∠DCB 互补的角是哪个角？
E
A
B
4．课堂小结
（1）本节课主要学习了哪些内容？ （2）本节课学到了哪些思想方法？
① 构造圆内接四边形； ② 一题多解，一题多变．
初中圆内接四边形知识点
初中圆内接四边形知识点圆内接四边形是初中数学中的一个重要概念，它涉及到了圆和四边形的关系。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍初中圆内接四边形的相关知识点。
第一步：理解内接四边形的概念首先，我们需要明确什么是内接四边形。
一个四边形被称为内接四边形，当且仅当四个顶点都位于同一个圆上。
第二步：认识内接四边形的性质接下来，我们来了解一些内接四边形的性质。
1.性质一：对角线互相垂直对于任意一个内接四边形，其对角线互相垂直。
这是因为对角线是圆的直径，而直径与圆上的任意一条弦垂直。
2.性质二：对角线相互平分内接四边形的对角线相互平分。
也就是说，对角线的交点是对角线的中点。
3.性质三：内角之和为360度内接四边形的四个内角之和等于360度。
这是因为四边形可以看作是两个三角形的组合，而一个三角形的内角之和是180度。
4.性质四：内接四边形是等边四边形的特例如果一个内接四边形的四个边相等，那么这个内接四边形就是等边四边形。
第三步：推导内接四边形的相关定理在初中数学中，我们还可以通过一些定理来推导内接四边形的性质。
1.定理一：圆内接四边形的内角和定理对于任意一个圆内接四边形，其内角和等于180度。
这个定理的证明可以通过将圆内接四边形分成两个三角形来完成。
2.定理二：内接四边形的对角线定理对于一个内接四边形，其对角线互相垂直且相互平分。
这个定理可以通过圆的性质以及对角线互相垂直的性质进行证明。
第四步：解题思路和应用最后，我们可以通过解题来巩固对圆内接四边形的理解。
在解题时，我们可以首先根据题目中给出的条件，判断是否为内接四边形。
然后，可以利用内接四边形的性质和相关定理，进行推导和计算。
例如，我们可以通过已知内接四边形的一个角的度数，计算其他角的度数。
或者，通过已知内接四边形的一个边的长度，计算其他边的长度。
总结初中圆内接四边形是数学中一个重要的概念，它涉及到了圆和四边形的关系。
通过逐步思考，我们可以了解到内接四边形的性质和相关定理，并且可以通过解题来巩固和应用这些知识点。
圆的内接四边形教案及课后练习
S3.6 圆内接四边形一、认识圆的内接四边形1.知识要点（1）我们以前学习过圆的内接三角形圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2）今天我们学习圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
如右图中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆。
二、圆内接四边形的性质定理1.知识要点定理一：圆内接四边形的对角互补．定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）．2.典型例题S3.6.1如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=110°，求∠BCD的度数.S3.6.2如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，求的值.三、圆内接四边形的判定定理1.知识要点（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．2.典型例题S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆.S3．6 圆内接四边形练习1.下列四边形中一定有外接圆的是（）A．对角线相等的四边形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( )A．圆内B．圆外C．圆上D．不能确定3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（）A．5m=4n B．4m=5n C．m+n=9 D．m+n=180°4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于（）A．45°B．60°C．75°D．85°5.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______．6.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD的外接圆上，则∠AEB=________．7.AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是________．8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS:S正方形ABCD等于________．9.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC交于E，EG平分∠E，且与BC、AD分别交于F、G．求证：∠CFG=∠DGF．10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．。
圆的内接四边形知识讲解
应用格式：在四边形ABCD中，∵A+C=180°,∴四点A,B,C,D共圆．
圆内接四边形判定定理的推论：如果四边形的一个外角等 于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
应用格式：在四边形ABCD中，∵∠A=∠DCE,∴四A 点A,B,C,D共圆．
显然， ⊙O与点D有且只有三种位置关系:
(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上．分类讨论思想
只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题．反证法
D
D
D
A
A
A
O
B
C
O
O
B
C
B
C
(1) 如果点D在⊙O的外 证明：(分类讨论思想及反证法)
部．设E是AD与圆周的交
（2）如果点D在⊙O的内
D
A
O
B
C
O
B
D
C
E
二 定理的应用
练习 ：
A
1、如图，四边形ABCD为⊙O的 内接四边形，已知∠BOD=100°,
O
B
D
则∠BAD= 50º,∠BCD= 130º.
C
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,
则∠A=60º ∠B=90º ∠C= 120º∠D= 90º
设A=2x,则C=4x. ∵A+C=180º, ∴x=30º.
3 四边形存在外接圆的判定定理
圆内接四边形的性质定理１： 圆的内接四边形的对角互补．
DE
A
圆内接四边形的性质定理2：
圆内接四边形的外角等于 它的内角的对角．
圆内接四边形的多种方法
圆内接四边形的多种方法题目：圆内接四边形的多种构造方法引言：在几何学中，圆内接四边形指的是其四个顶点分别在一个圆的圆周上的四边形。
这一特殊的构造在几何学中具有重要的应用价值，并且有多种不同的构造方法。
本文将详细介绍圆内接四边形的多种构造方法，帮助读者了解和掌握这一重要概念。
一、构造方法一：正方形内接圆首先，我们来介绍最简单的构造方法之一：正方形内接圆。
我们将以一系列步骤来说明如何构造一个圆内接正方形。
步骤：1. 画一个圆并确定其圆心。
2. 以圆心为原点，以圆的半径为边长，绘制一个正方形。
3. 确认这个正方形的四个顶点都分布在圆的圆周上。
这样，我们便得到了一个圆内接正方形。
二、构造方法二：矩形内接圆接下来，我们将介绍第二种构造方法：矩形内接圆。
矩形内接圆是指一个圆的圆心位于矩形的对角线的交点上。
步骤：1. 画一个矩形，并用对角线将其分为两个相等的三角形。
2. 连接矩形的两个对角线，并确定其交点作为圆心。
3. 通过测量，使得圆的半径等于矩形的对角线的一半。
4. 确认矩形四个顶点在圆的圆周上。
这样，我们就成功构造出了一个矩形内接圆。
三、构造方法三：非规则四边形内接圆除了正方形和矩形内接圆，我们还可以构造非规则四边形内接圆。
对于非规则四边形，我们需要稍微复杂的步骤。
步骤：1. 画一个任意的四边形，我们称之为ABCD。
2. 连接四边形的一条对角线AC，并找到中点O。
3. 构造垂直于对角线AC的平分线，将其交点标记为E。
4. 连接B和E，并延长该线段到与对角线AC相交的点F。
5. 构造FO的垂直平分线，并将其延长到与对角线AC相交的点G。
6. 确认圆心为G，并通过测量得到圆的半径等于FG的一半。
7. 确认四边形的四个顶点分布在圆的圆周上。
通过以上步骤，我们可以构造出一个非规则四边形内接圆。
结论：本文介绍了圆内接四边形的多种构造方法，包括正方形内接圆、矩形内接圆以及非规则四边形内接圆。
这些构造方法在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决一些与圆相关的问题时。
圆内接四边形的性质及其应用
03 圆内接四边形的面积和周 长
面积的计算
面积公式
圆内接四边形的面积可以通过公 式计算，公式为$S = frac{1}{2} times d times p$，其中$d$是 圆的直径，$p$是圆内接四边形
的周长。
面积与半径的关系
圆内接四边形的面积与半径成正 比，当半径增大时，面积也相应
增大。
面积与角度的关系
04 圆内接四边形的实际应用
在几何作图中的应用
性质利用
圆内接四边形的对角互补性质在几何作 图中常被用来确定点或线的位置。例如 ，通过已知的两个相对角的度数，可以 确定一个圆的圆心和半径。
VS
作图工具
圆内接四边形可以作为作图工具，帮助确 定复杂图形的角和边的长度。例如，在绘 制椭圆或更复杂的几何图形时，可以利用 圆内接四边形的性质来辅助作图。
，证明相对的两个内角互补。
弦切角定理的证明
总结词
弦切角定理表明，在圆内接四边形中，切线与弦之间 的夹角等于该弦所对的圆周角。
详细描述
要证明弦切角定理，可以首先在圆内接四边形中作一 条切线，并连接该切线与弦的端点。然后，利用圆的 切线性质和圆周角定理（圆周角等于同弧所对的圆心 角的一半），证明弦切角定理成立。
切线长定理
总结词
切线长定理表明在圆内接四边形中，两条相对的切线长度相等，且两条切线的交点到两切点的距离也 相等。
详细描述
在圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是切线，那么线段AC等于线段BD，即AC = BD。这是因为切线 与半径垂直，而两条切线的交点到两切点的距离相等。这个定理可以用来判断一个四边形是否为圆内接四 边形。
圆内接四边形的面积还与其相对 的两个角度有关，相对角度越大，