2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工类(北京卷)
2013年高考数学-北京理
绝密★启封前 XX ★使用完毕前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学〔理〕〔卷〕本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，那么AB =〔A 〕{}0〔B 〕{}1,0-〔C 〕{}0,1 〔D 〕{}1,0,1- 〔2〕在复平面内，复数()22i -对应的点位于 〔A 〕第一象限〔B 〕第二象限〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限〔3〕“ϕπ=〞是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点〞的 〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔4〕执行如下图的程序框图，输出的S 值为 〔A 〕1〔B 〕23〔C 〕1321〔D 〕610987〔5〕函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲 线x y e =关于y 轴对称，那么()f x = 〔A 〕1x e +〔B 〕1x e -〔C 〕1x e -+〔D 〕1x e --〔6〕假设双曲线22221x y a b -=那么其渐近线方程为 〔A 〕2y x =±〔B〕y =〔C 〕12y x =±〔D〕y = 〔7〕直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，那么l 与C所围成的图形的面积等于〔A 〕43〔B 〕2〔C 〕83〔D〔8〕设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是〔A 〕4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭〔B 〕1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭〔C 〕2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 〔D 〕5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二局部〔非选择题共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷I(数学理)缺答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N= （）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，lβ，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A ）1++ +…+（B ）1++ +…+ （C ）1++ +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c （9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a= (A) (B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减x ≥1, x+y ≤3,y ≥a(x-3). {（D）若xn是f（x）的极值点，则f1(xα)=0（11）设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试(四)
侧视图俯视图2013年普通高等学校招生全国统一模拟考试（四）数学（理工农医类）北京卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|21}xA x =>，{|1}B x x =<，则A B = （ ）A. {|1}x x >B. {|0}x x >C. {|01}x x <<D. {|1}x x < 2.已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是（ ）A. 命题:2p x x ⌝∀∈R ≤， B ．命题:2p x x ⌝∃∈<R ， C ．命题:2p x x ⌝∀∈-R ≤， D ．命题:2p x x ⌝∃∈<-R ， 3.圆22(2)1x y +-=的圆心到直线3,2x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离为（ ）A.2D.4.设0,0x y x y +≥⎧⎨-≥⎩与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A. 1-B. 0C. 2D. 35.在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为（ ）A. 13B. 12C.23D. 36.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ A ．B ．C ．6D ．8EDCB A 7.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠= ，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅的值为（ ）A ．1BC D8.设等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-.给出下列结论：① 01q <<； ② 9910110a a ⋅->；③ 100T 的值是n T 中最大的；④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共309.二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为10.双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =则b = .11.如图，AB 切圆O 于点A ,AC 为圆O 的直径， BC 交圆O 于点D ，E 为CD 的中点，且5,6,BD AC ==则CD =__________；AE =__________.12.执行如图所示的程序框图，若①是6i <时，输出的S 值为 ； 若①是2013i <时，输出的S 值为 .13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数的取值范围是 .图114．曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数()20k k >的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 过点(1,1)-；②曲线C 关于点(1,1)-对称；③若点P 在曲线C 上，点,A B 分别在直线12,l l 上，则PA PB +不小于2.k④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k .其中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）已知函数2()sin(2),R f x x x x π=-+∈. （Ⅰ）求()6f π；（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间.P FEDCBA16．（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ==, E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ；(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点,G 使得 二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由.17．（本小题满分13分）某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：（I ）求这40位市民满意指数的平均值；（II ）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记ξ表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求ξ的分布列；（III ）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m ，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为n ，求60n m ≥+的概率．18．（本小题满分13分）已知函数21()ln (0).2f x x a x a =-> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值；（III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围.19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e =，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF =g （I ）求此椭圆的方程；（II ）设P 是此椭圆上异于,A B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．20．（本小题满分14分）设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) ．（I ）当0k =，3b =，4p =-时，求123n a a a a ++++ ；（II ）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式； （III ）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++< ．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由．。
#2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(一)
2013全国各地高考数学试题及详解汇编（理科●一）目 录1．新课标卷1 (2)2．新课标Ⅱ卷 (10)3. 大纲卷 (21)4．北京卷 (27)5．山东卷 (37)6．陕西卷 (41)7．湖北卷 (49)8．天津卷 (61)9．重庆卷 (71)2013年高考理科数学试题分析（课标Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
测试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 测试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【分析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【分析】由题知z =|43|34i i +-=4)(34)(34)i i i +-+=3455i +，故z 的虚部为45，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样C 、按学段分层抽样D 、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【分析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C 的渐近线方程为 A .14y x =± B .13y x =± C .12y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【分析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C . 5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5] 【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【分析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈， ∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 3 【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【分析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453π⨯=500π33cm ，故选A.7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【分析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【分析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A . 9、设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【分析】由题知a =2m m C ，b =121m m C ++，∴132m m C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++， 解得m =6，故选B.10、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学理科
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=（）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l （5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1 （6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B）1+ + +…+（C）1+ + +…+（D）1+ + +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C)(D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c （9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a= (A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ)理科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|(1)4,M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N ＝A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,1,2,32．设复数z 满足(1)2i z i -=，则z ＝A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a ＝A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则A ．α∥β且l ∥αB ．αβ⊥且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a ＝A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S ＝A ．11112310++++B ．11112!3!10!++++ C ．11112311++++D ．11112!3!11!++++7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为A ．B ．C ．D ．8．设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>9．已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3),x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a ＝A ．14B ．12C ．1D ．210．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=11．设抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =12．已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．()0,1 B．112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝ ．14．从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数，若取出的数两数之和等于15的概率为114，则n ＝ ． 15．设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+＝ ． 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin a b C c B =+． （1）求B ；（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB的中点，1AA AC CB AB ===． （1）证明：1BC ∥平面1ACD ； ACA 1DE B 1 C 1（2）求二面角1D AC E --的正弦值．19．（本小题满分12分）经销商经销某种产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直立图，如右图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X （单位：t ，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率； （3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的概率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的T 的数学期望．20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点的直线0x y +=交M 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12． （1）求M 的方程；（2）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln()xf x e x m =-+． （1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、C 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四点共圆．求量C DF（1）证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知动点P 、Q 都在曲线2cos ,:2sin ,x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设a 、b 、c 均为正数，且1a b c ++=，证明： （1）13ab bc ac ++≤； （2）2221a b c b c a++≥2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）理科数学参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13． 14． 15． 16．三、解答题 17．。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(07 数系的扩充与复数的引入)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（07数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1．(2013安徽文)设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） （A ）-3（B ）-1（C ）1（D ）3【答案】D 【解析】i a i a i a i i a i i i a i a --=+-=+-=-+-=+-+-=--)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102，所以a =3，故选择D【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.2．(2013安徽理)设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若z*i+2=2 z ，则z =（ ）（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A3．(2013北京理)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．4．(2013北京文)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A解析 i(2－i)＝2i ＋1对应点(1,2)在第一象限．5．(2013福建文) 复数i z 21--=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．6．(2013福建理) 已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ．7．(2013广东文) 若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是A ．2B ．3C ．4D ．5 【解析】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D .8．(2013广东理) 若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．9、(2013湖北理) 在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷)
绝密★启用并使用完毕2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）本试卷共5页,150分.考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。
考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题。
每小题5分,共40分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛-1,0,1｝,B=｛x|-1≤x<1｝,则A ∩B= ( )（A ）｛0｝ （B ）｛-1,,0｝ （C ）{0,1} （D ）｛-1,,0,1}（2）设a,b,c ∈R,且a<b,则 ( )（A ）ac>bc （B ）1a <1b （C ）a 2>b 2 （D ）a 3>b 3（3）下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（A ）y= 1x(B)y=e -3 （C ）y=x 2+1 (D)y=lg ∣x ∣（4）在复平面内,复数i （2-i ）对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（5）在△ABC 中,a=3,b=5,sinA= 13,则sinB（A ） 15（B ） 59 （C ）√53 （D ）1（6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）1（B ）23（C ）321 （D ）610987 （7）双曲线x ²-y²m =1的离心率大于√2的充分必要条件是（A ）m ＞12 （B ）m ≥1 （C ）m 大于1 （D ）m ＞2(8)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线BD 1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有（A ）3个 （B ）4个（C ）5个 （D ）6个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题,每小题5分,共30分。
（9）若抛物线y 2=2px 的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____(10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.(11)若等比数列｛an ｝满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=__________;前n 项sn=_____. (12)设D 为不等式组,表示的平面区域,区域D 上的点与点（L,0）之间的距离的最小值为___________. (13)函数f （x ）=的值域为_________.（14）已知点A （1,-1）,B （3,0）,C （2,1）.若平面区域D 由所有满足AP =λAB+μAC （1≤λ≤2,0≤μ≤1）的点P 组成,则D 的面积为__________.三、解答题共6小题,共80分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (理科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 答案 A解析 化简集合M 得M ＝{x |－1<x <3，x ∈R }，则M ∩N ＝{0,1,2}．2．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i 答案 A解析 由已知得z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析 假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，则l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面，所以l 1∥l .5．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 D解析 (1＋ax )(1＋x )5中含x 2的项为：(C 25＋C 15a )x 2，即C 25＋C 15a ＝5，a ＝－ 1.6．执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！答案 B解析 k ＝1，T ＝11，S ＝1，k ＝2，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，…由于N ＝10，即k >10时，结束循环，共执行10次．所以输出S ＝1＋12！＋13！＋…＋110！.7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为()答案 A解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体O －ABC 的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图，所以选A.8．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c 答案 D解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c.（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1(D)210．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析 若c ＝0，则有f (0)＝0，所以A 正确．由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 得f (x )－c ＝x 3＋ax 2＋bx ，因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的对称中心为(0,0)，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(0，c )，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若x 0是f (x )的极小值点，则极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0 )单调递减是错误的，D 正确．选C.11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.12．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎭⎫1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12 答案 B二、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.14．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________. 答案 8解析 由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n 个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C 2n＝n (n －1)2＝2÷114＝28，∴n ＝8.15．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. 答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即{ 3sin θ＝－cos θ，2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105.16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 答案 －49解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ，∴d ＝23，a 1＝－3.∴nS n ＝n ·⎝⎛⎭⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， f ′(n )＝13n (3n －20)．由函数的单调性知f (6)＝－48，f (7)＝－49. ∴nS n 的最小值为－49.三、解答题17．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.18．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．(1)证明 连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CC 1→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)， CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则{n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即{ x 1＋y 1＝0，x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则{m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T 的数学期望．解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝{ 800X －39 000，100≤X <130，，130≤X ≤150. (2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝45 000×20．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )⇒f ′(x )＝e x －1x ＋m ⇒f ′(0)＝e 0－10＋m＝0⇒m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x－1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1，令1)1()(-+=x e x g x ，则0)2()(>+='x e x g x ，又0)0(=g显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(2)证明 令g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)．h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)⇒h ′(x )＝e x ＋1(x ＋2)2>0，所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132<0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t <0，所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ， 当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减； 当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t－ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝(1＋t )2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0.22．[选修4－1]几何证明选讲如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．(1)证明 因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解 连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC ， 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.23．[选修4－4]坐标系与参数方程已知动点P 、Q 都在曲线C ：{ x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为{ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．24．[选修4－5]不等式选讲设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)精校版
【考查知识点】复数的四则运算。 【解析】 z
2i 2i 1 i 2(i i 2 ) 。此题属于容易题。 1 i ，选（A） 1 i 1 i 1 i 1 i2
（3）等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，已知 S3 a2 10a1 , a5 9 ，则 a1 （A）
2 1 ),此时 0 a 2 3
凯里市第一中学
贾士伟
答案仅供参考，如有错误，请等待官方标准答案！
由 S CQP
1 2
2
b 1 b 1 2|x | 2 | x | 1 a 1 a 1 2
Q p
可得 (1 b)
1 4 1 2 1 (1 a 2 ) [ , ) ,解得 b (1 , ] 2 9 2 2 3
又 为第二象限角，所以 sin 进而 sin cos
10 。 5
（16）等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，已知 S10 0, S15 25 ，则 nSn 的最小值为________. 【考查知识点】等差数列前 n 项和公式，函数最值问题。 【解析】设 Sn An Bn ，则
【考查知识点】一元二次不等式的解法，集合的交运算。 【解析】 M {x | 1 x 3} ，所以 M N {0,1, 2} ，选（A） 。此题属于容易题。 （2）设复数 z 满足 (1 i ) z 2i ，则 z （A） 1+i （B） 1 i （C） 1+i （D） 1 i
2 2
（C） y 4 x 或 y 16 x
2 2
（D） y 2 x 或 y 16 x
2 2
【考查知识点】抛物线的定义、点圆位置关系。 【解析】记 A(0, 2) , F ( 由题 AF AM (
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013 北京理科数学 第1页 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (北京卷) 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( )． A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1} 2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．
A．1 B．23 C．1321 D．610987 5．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )． A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1
6．若双曲线22221xyab的离心率为3，则其渐近线方程为( )．
A．y＝±2x B．2yx C．12yx D．22yx 7．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )．
A．43 B．2 C．83 D．1623 8．设关于x，y的不等式组210,0,0xyxmym表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )． A．4,3 B．1,3 C．2,3 D．5,3 第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在极坐标系中，点π2,6到直线ρsin θ＝2的距离等于__________． 10．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和Sn＝__________. 11．如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝ 2013 北京理科数学 第2页
__________，AB＝__________. 12．(2013北京，理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________． 13．(2013北京，理13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则
__________.
14．(2013北京，理14)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为__________．
三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤． 15．(本小题共13分)在△ABC中，a＝3，26b，∠B＝2∠A， (1)求cos A的值； (2)求c的值． 2013 北京理科数学 第3页
16．(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率； (2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 2013 北京理科数学 第4页
17．(2013北京，理17)(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5，
(1)求证：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求1BDBC的值． 2013 北京理科数学 第5页
18．(本小题共13分) 设L为曲线C：lnxyx在点(1,0)处的切线． (1)求L的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．
19．(2013北京，理19)(本小题共14分)已知A，B，C是椭圆W：24x＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点． (1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由． 2013 北京理科数学 第6页
20．(本小题共13分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，„的最小值记为Bn，dn＝An－Bn. (1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，„，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1,2,3，„)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列； (3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，„)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 2013 北京理科数学 第7页 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (北京卷) 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．答案：B 解析：{－1,0,1}∩{x|－1≤x＜1}＝{－1,0}． 2．答案：D 解析：∵(2－i)2＝3－4i，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D. 3．答案：A 解析：∵φ＝π，∴y＝sin(2x＋π)＝－sin 2x， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立； ∵y＝sin(2x＋φ)过原点， ∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z. 故必要性不成立．故选A. 4．答案：C
解析：依次执行的循环为S＝1，i＝0；23S，i＝1；1321S，i＝2.故选C. 5．答案：D 解析：依题意，f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－x－1，故选D. 6．答案：B
解析：由离心率为3，可知c＝3a，∴b＝2a.
∴渐近线方程为2byxxa，故选B. 7．答案：C 解析：由题意可知，l的方程为y＝1. 如图，B点坐标为(2,1)，
∴所求面积S＝4－2202d4xx＝4－3202|12x＝83，故选C. 8．答案：C 解析：图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝12x－1上的点，
只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝12x－1下方，也就是m＜12m
－1，即23m.故选C.
第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．答案：1
解析：在极坐标系中，点π2,6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y＝2，所以点到直线的距离为1. 10．答案：2 2n＋1－2
解析：由题意知352440220aaqaa. 2013 北京理科数学 第8页
由a2＋a4＝a2(1＋q2)＝a1q(1＋q2)＝20， ∴a1＝2.∴Sn＝21212n＝2n＋1－2.
11．答案：95 4 解析：设PD＝9k，则DB＝16k(k＞0)． 由切割线定理可得，PA2＝PD·PB，
即32＝9k·25k，可得15k.
∴PD＝95，PB＝5. 在Rt△APB中，AB＝22PBPA＝4. 12．答案：96 解析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343CA＝96(种)． 13．答案：4 解析：可设a＝－i＋j，i，j为单位向量且i⊥j， 则b＝6i＋2j，c＝－i－3j. 由c＝λa＋μb＝(6μ－λ)i＋(λ＋2μ)j，
∴6123,，解得21.2，
∴4. 14．答案：255 解析：过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1， 连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H， P点到直线CC1的距离就是C1H，
故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小， 此时，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1·C1H＝C1D1·C1E1，∴C1H＝22555. 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤． 15．解：(1)因为a＝3，26b，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得326sinsin2AA.