高三数列复习之等差数列

高三数列复习之等差数列 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

符号定义

1nnaad

112nnnaaa

1(0)nnaqqa

211(0)nnnnaaaa

分类

递增数列：0d

递减数列：0d 常数数列：0d

递增数列：1101001aqaq，或， 递减数列：1101001aqaq，或，

摆动数列：0q 常数数列：1q

通项

1(1)()nmaandpnqanmd

其中1,pdqad 11nnmnmaaqaq（0q）

前n项和

211()(1)22n

n

naanndSnapnqn



其中1,22ddpqa 1

1

(1)(1)1(1)nnaqqSqnaq







中项 ,,2abcbac成等差的充要条件:

2,,abcbac成等比的必要不充分条件：

主要性质

等和性：等差数列na 若mnpq则mnpqaaaa 推论：若2mnp则2mnpaaa 等积性：等比数列na 若mnpq则mnpqaaaa 推论：若2mnp则2()mnpaaa 2nknknaaa 12132nnnaaaaaa 即：首尾颠倒相加，则和相等 2()nknknaaa 12132nnnaaaaaa 即：首尾颠倒相乘，则积相等

其 它 性 质

1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是等差数列。即：

232,,,mmmmmsssss等差，公差为

2md则有323()mmmsss

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。 如：14710,,,,aaaa（下标成等差数列） 3、,nnab等差，则2na，21na，nkab，nnpaqb也等差。 4、等差数列na的通项公式是n的一次函数，即：nadnc(0d) 等差数列na的前n项和公式是一个没有常数项的n的二次函数， 即：2nSAnBn(0d) 5、项数为奇数21n的等差数列有： 1snsn奇偶nssaa奇偶中 21(21)nnsna 项数为偶数2n的等差数列有： 1nnsasa奇偶，ssnd偶奇 21()nnnsnaa 6、,nmaman则0mna nmss则0()mnsnm 1、等比数列中连续项的和，组成的新数列

是等比数列。即：232,,,mmmmmsssss

等比，公比为mq。 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：14710,,,,aaaa（下标成等差数列）

3、,nnab等比，则2na，21na，nka

也等比。其中0k 4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，

即：nnacq，其中1acq 等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：

(1)nnscqcq 5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。 ,nmsmsn则()mnsmn

证明方法

证明一个数列为等差数列的方法： 1、定义法：1()nnaad常数

2、中项法：112(2)nnnaaan

证明一个数列为等比数列的方法： 1、定义法：1()nnaqa常数 2、中项法：11(2,0)nnnnaaana2（）

设元技巧

三数等差：,,adaad

四数等差：3,,,3adadadad 三数等比：2,,,,aaaqaaqaqq或

四数等比：23,,,aaqaqaq

联系

1、若数列na是等差数列，则数列naC是等比数列，公比为dC，其中C是常数，d是na的公差。 2、若数列na是等比数列，且0na，则数列logana是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且0,1aa，q是na的公比。

数列综合 利用数列的项na与前n项和nS的关系：11(1)(2)nnnsnassn







进行两种消元要么消na要么消nS 一、求na、求nS 1.定义法：等差数列、等比数列 2.已知na与1na的递推关系

①1()()nnaknabn形式；②)()()(1nhanganfannn；③1pqnnaa 1、 类型1 )(1nfaann 解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列na满足112a，121nnaann，求na。 解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann 分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa

)111()4131()3121()211(nn

所以naan111，211a，nnan1231121

2、 类型2 nnanfa)(1 解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。

解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即

1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32

例:已知31a，nnanna23131 )1(n，求na。 解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3annnnan 3437526331348531nnnnn

。

3、 类型3 qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列na中，11a，321nnaa，求na. 解：设递推公式321nnaa可以转化为)(21tatann即321ttaann.故递推公式为)3(231nnaa,令3nnab，则4311ab,且23311nnnnaabb.所以nb是以41b为首项，2为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.

变式:递推式：nfpaann1。解法：只需构造数列nb，消去nf带来的差异．

4、类型4 nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。 （或1nnnaparq,其中p，q, r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决。

例:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。

解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa 令nnnab2，则1321nnbb,解之得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32

5、类型5 递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足

qstpts

例:已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。 解：由nnnaaa313212可转化为)(112nnnnsaatsaa