专题09 排列组合二项式定理-冲刺高考最后一个月之2018高考数学(理)名师押题高端精品(原卷版)
2018届高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件排列与组合、二项式定理
10b－a ab
a x＋ n 3．(2018 届高三· 西安八校联考)已知关于 x 的二项式 3 x 的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则实数 a
a a 5 x ＋ x ＋ n 解析：依题意得 2n＝32，n＝5，二项式 ＝ 3 3 x x
位自然数中“凹数”共有 100＋36＋9＋1＝146 个． 答案：D
解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导 人站前排并与中国领导人相邻，有 A2 2种站法；其他 18 国 领导人可以任意站，因此有 A18 18种站法．根据分步计数原
18 理，共有 A2 A 2 18种站法．
答案：D
4．(2017· 浙江高考)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副 队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至 少有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：法一：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，
4 故有 C4 8－C6＝55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、
副队长各 1 人，有 A2 4＝12 种不同的选法．根据分步乘法计数原 理知共有 55×12＝660 种不同的选法．
2 法二：不考虑限制条件，共有 A2 8C6种不同的选法， 2 而没有女生的选法有 A2 6C4种， 2 2 2 故至少有 1 名女生的选法有 A2 8C6－A6C4＝840－180＝660(种)．
不同的住宿安排共有 90－18＝72 种．
答案：72
[准解·快解·悟通]
快 1.看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则． 审 2.看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法． 题 3.看到“至少”“最多”的问题，想到用直接法或间接法． 1.明确排列、组合问题求解的 4 个角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分 步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”， 准 哪些是“位置”； 解 (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有 题 无限制等； (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互 相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都 是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
2020高考数学 考前冲刺第三部分专题十二 排列、组合、二项式定理
2020考前冲刺数学第三部分【高考预测】1.正确运用两个基本原理2.排列组合3.二项式定理4.在等可能性事件的概率中考查排列、组合5.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题6.利用二项式定理证明不等式【易错点点睛】易错点1 正确运用两个基本原理1．（2020精选模拟）已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映射f的个数为（）A．C47A33 B．C47 C．77 D．C7473【错误解答】∵f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，且f(1)<f(2)<f(3)<f(4)的值为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，∴这样的映射有C47个，∴选B【错解分析】C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。
误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。
【正确解答】先将8人分成4对进行比赛，胜者进入第二轮，需要4场比赛，将进入第二轮的四人分成2对进行比赛，胜者进入第三桦，需要2场比赛，进入第三轮的2人进行比赛，胜者为第一名，需一场比赛；将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决出第一名，需2场比赛。
∴至少需要4+2+1+2=9场比赛。
3．（2020精选模拟）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_________种（用数字作答）。
【错误解答】因为每一步都有两种可能，所以共有25=32种方法，又由于这32种方法中质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同，∴质点不同的运动方法共有16种，填16。
【错解分析】质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同是错误的，错误的原因是分析问题的能力较差，没有转化的思想，也没有分类讨论的思想。
2018年高考数学热门考点与解题技巧：考点9-排列组合(Word版,含解析)
题型1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 例1 (1)设x ，y ∈N *，直角坐标平面中的点为P(x ，y)． ①若x ＋y≤6，这样的P 点有________个．②若1≤x≤4，1≤y≤5，这样的P 点又有________个．(2)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？(3)已知a ∈{－1，2，3}，b ∈{0，1，3，4}，r ∈{1，2}，则方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2所表示的不同的圆的个数有________．（2）方法一：按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．方法二：按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． （3）∵a ∈{－1，2，3}，∴a 有3种方法，同理b 的取法有4种，r 有2种，又只有a ，b ，r 依次确定后，才能确定圆，∴共有3×4×2＝24个不同的圆．【解题技巧】利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定． 如(1)①题中完成这件事分5类即可；(3)题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终． 变式1.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）.A.24B.18C. 12D.9解析 从→E F 的最短路径有6种走法，从→F →G 的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法. 选B ．题型2 排列数与组合数的计算例2.（2016江苏23）（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m …，求证： ()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m +++++++++ ()()212C 1C 1C m m m n n n n n m +-+++=+．所以左边()()211122311C C C C m m m m m m m n m ++++++++=+++++ ()()2113311C C C =m m m m m n m ++++++=++++ ()()21411C C m m m n m +++++++ =⋅⋅⋅()()21+111C C m m n n m +++=++()2+21C m n m +=+=右边．证法二（数学归纳法）：对任意的*m ∈N ，①当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立. ②假设()n k k m =…时命题成立，即()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m +++++++++ ()()212C 1C 1C m m m k k k k k m +-+++=+，当1n k =+时，左边()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m ++=+++++++ ()()11C 1C 2C m m mk k k k k k -+++++ ()()2211C 2C m mk k m k +++=+++.因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立． 综合①②可得命题对任意n m …均成立．评注 本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数的运算性质不仅有111C C C m m m k k k ++++=，C C m k m k k -=，11C C k k n n k n --⋅=⋅，而且还有此题中出现的()()111C 1C m m k k k m +++=+(),1,,k m m n =+ ，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才是突破此类问题的核心．题型3 与排列相关的常见问题例3 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．解析： (1)从7个人中选5个人来排，是排列．有A 75＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A 73种方法，余下4人排在后排，有A 44种方法，故共有A 73·A 44＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)(优先法)(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A 44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A 44种方法，故共有A 44×A 44＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A 44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A 53种方法， 故共有A 44×A 53＝1 440种．(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有A 22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A 53种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A 33种方法．故共有A 22·A 53·A 33＝720种．(7)(消序法)A 772＝2 520.(8)(间接法)A 77－2A 66＋A 55＝3 720. 位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类． 【解题技巧】求解排列应用题的主要方法题型4 与组合相关的常见问题例4 7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？ (1)A ，B 必须当选；(2)A ，B 必不当选； (3)A ，B 不全当选； (4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．第二步：选2男1女补足5人有C 62C 41种； 第三步：为这3人安排工作有A 33种．由分步乘法计数原理共有C 71C 51C 62C 41A 33＝12 600种选法． 【解题技巧】组合问题常有以下两类题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．题型5 排列组合的综合应用例5 （2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）.解析 依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有45A 120=个(或4454C A 120=个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有134454C C A 960=.故由分类计数原理得这样的四位数共有1209601080N =+=个.【高考真题链接】1.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有1326C C 种选法，2女2男有2226C C 种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有 ()()1322226264C C C C A 22011512660+⋅=⨯+⨯⨯=种选法．2.（2013浙江理14）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）解析：按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可。
二项式
排列组合二项式定理及概率高考复习建议本章知识结构一、排列与组合１.正确理解概念公式，明确五个２。
①两个原理关键是做一件事指的是什么?弄清是分类还是分步。
②两个定义 关键是弄清需要考虑顺序还是不需考虑顺序。
③两组公式 关键是根据题目特点合理选用。
④两个约定: 0n C =1 ,0!=1⑤两个性质：m n C = m n n C -，m n C +1m n C -=m 1n C + (m ≤n,m,n ∈N *)2.对排列组合知识的认识（1）问题实质：数数 （2）数数的方法⎧⎨⎩分类计数分步计数（3）题目模式：1234N M M M M =⨯+⨯（4）重点：⎧⎪⎨⎪⎩两个原理两个定义两个公式（5）难点：应用3.解题步骤；分类→ 分步→判断4. 解决问题的思维程序；做一件什么事？怎样才算把事情做完？用不用分类？怎样分类？例1.从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生则不同的选法有多少种?例2. 9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有多少种？5.要善于退，足够地退，退到最简单而不失重要性的地方是解决数学问题的诀窍 例3（05北京理）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A（D ）12443141283C C C A6.掌握基本题型 (1)投信问题例: ①三封信投入到5个邮筒,有多少种投法? ②由{a,b,c,d}到{e,f}的映射共有多少个?(2)“在与不在”的问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相,共有多少种坐法?①甲、乙两人必须在两端,有多少种坐法?②甲不在排头乙不在排尾,有多少种坐法?(3)“邻与不邻”问题例1:3位男生,5位女生坐在一排照相①三位男生必须坐在一起,有多少种坐法? ②甲、乙相隔一人,有多少种坐法?例2 :3位男生5位女生坐在一排照相,三位男生中任意两人不能相邻,有多少种坐法? 例3: 4位男生,4位女生相间站队,有多少种站法? 例4: 4位男生,5位女生相间站队,有多少种站法?(4) “含与不含”问题例1: 100件产品中，正品97件，次品3件，现从中取出5件检验， （1）取出的5件全是正品的取法有___________种； （2）取出的5件中恰好有2次品的取法有___________种； （3）取出的5件中至少有2次品的取法有___________种. (5)顺序一定问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相①甲、乙、丙三人顺序一定,有多少种坐法?②甲、乙相邻且甲在乙的左边，有多少种坐法?⑹分组问题(注意有序均分和无序均分的区别) 例1: 把4人分成两组①两组人数分别为1、3,有多少种分法? ②平均分成第一、第二两组,有多少种分法? ③平均分成两组,有多少种分法?例2: 把6本不同的书①平均分给3人,有多少种分配方案? ②平均分成3堆,有多少种分配方案?③分给甲、乙、丙三人，甲3本,乙2本,丙1本,有多少种分配方案? ④分给三人，其中一人得3本,一人得2本,一人得1本,有多少种分配方案? ⑤分成三堆，其中一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少种分配方案? ⑥分成三堆，其中一堆4本,其余两堆各1本,有多少种分配方案?二、二项式定理1.(a+b)n ＝0n C a n +1n C a n-1 b+2n C a n-2b 2 +…+r n C a n-r b r +…+n n C b n特点:①展开式共有n+1项.②在每一项中, a 、b 的位置不能颠倒，a,b 的指数和为n 且b 的指数与组合数的上标相同.③二项式系数的上标从0增加到n,a 的指数从n 减少到0,b 的指数从0增加到n.性质:①二项式展开式中,与首尾两端等距离的两项的二项式系数相等. ②二项式展开式的二项式系数在中间位置取得最大值③0n C +1n C +2n C +…+n n C =2n (n ∈N); 0n 2C +2n 2C +4n 2C +…+n2n 2C =22n-1 (n ∈N) 1n 2C +3n 2C +5n 2C +…+1n 2n2C -=22n-1 (n ∈N) 通项公式： T r+1 = r n C an-rb r2．高考类型题（1）利用通项公式解题例1：求61)x①常数项 ②32x 项的系数 ③各项系数的和 ④写出所有的无理项 (2)根据恒等式意义解题例2：设9290129(13)x a a x a x a x -=++++①求0a =②求0129a a a a ++++ = ③求0129||||||||a a a a ++++ =（3）和二项式定理有关的问题例1在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ）A 、160 B 、240 C 、360 D 、800 例2：求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+2展开式中的含x 2的项的系数.(4)利用二项式的性质化简例1填空①0n C +2n C +4n C +…+n n C = ②18C +28C +38C +…+88C =③19C +39C +59C +…+99C = ④210242322C C C C ++++ =三、概率（一）求随机事件概率的基本方法1．随机试验法2．结果分析法(根据试验中各结果出现的等可能性求概率)（1）掌握等可能事件的概率计算公式P （A ）=m/n（2）掌握概率计算的三个步骤：用字母表示事件；求m 、n ；计算P （A ）。
二项式定理高考常见题型及其解法
第二讲 二项式定理高考常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有考查，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用. 【知识要点】1、二项式定理：∑=-∈=+nk kkn k nnn b aCb a 0*)()(N2、二项展开式的通项： )0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r +1项.3、二项式系数：).0(n r C r n ≤≤4、二项式系数的性质： ⑴ ).0(n k C C k n n k n ≤≤=-⑵ ).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n ⑶ 若n 是偶数，有n nn nn n nn C CC C C >>><<<-1210，即中间一项的二项式系数2nn C 最大.若n 是奇数，有n nn nn n n n nnC C C C C C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n n nn C C 和相等且最大.⑷ 各二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++⑸在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即:021312n n n n n C C C C -++=++=【典型考题】一、求二项展开式：1．“（a +b ）n”型的展开式例1．求4)13(x x +的展开式.解：原式=4)13(xx +=24)13(xx +=])3()3()3()3([14434224314442CCCCC x x x x x ++++=)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xxx x小结：这类题目直接考查二项式定理掌握，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中会有体现的. 2． “（a -b ）n ”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式.分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力. 3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nnnn n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质. 二、通项公式的应用：1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x xa -的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r rr rr rr r r x aC x x aC T令3923=-r ，即8=r ，依题意，得492)1(894889=⋅⋅---aC ，解得1-=a2．确定二项展开式的常数项例5．103)1(x x -展开式中的常数项是解：rr rr rr r xCxx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-= ，令0655=-r ，即6=r .所以常数项是210)1(6106=-C小结：可以讲2011陕西高考题—例1⑴ 3．求单一二项式指定幂的系数 例6．（03全国）92)21(xx -展开式中x 9的系数是 .解：29191()()2rr rr T x xC -+=-=182911()()2rr r r x xC --=18391()2rr x x C --令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：339121()22C -=-，∴填212-三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，x 2的系数等于 解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有20)()1()1()1()1(35241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C例8．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，x 3项的系数是 . 解：在展开式中，3x 的来源有：⑴第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ⑵第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008.四、利用二项式定理的性质解题 1、求中间项例9．求101的展开式的中间项；解：,)1()(310101r r r r xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为5555610(252x C =-.小结： 当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n n baC ；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222nnnnb a C . 2、求有理项 例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；解：341010310101)1()1()(r rr rrr r xxr T CC--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项.故展开式中有理项有4项.小结：⑴当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；⑵当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式.3、求系数最大或最小项 ⑴ 特殊的系数最大或最小问题例11．（2000上海）在二项式（x -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是 . 解：rrr r xT C)1(11111-=-+∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为5511(1)462C-=- ⑵一般的系数最大或最小问题例12．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r CT ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k k k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即8!8!2(1)!.(9)!(2)!.(10)!8!8!2(1)!.(9)!!(8)!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪----⎪⎨⎪⨯≥⎪---⎩1212219k k k k ⎧≥⎪⎪--⇒⎨⎪≥⎪-⎩，解得43≤≤k ，故系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =. ⑶系数绝对值最大的项例13．在（x -y ）7的展开式中，系数绝对值最大项是 .解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n b a +型来处理， 故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -.五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和（参考例题2） 例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 . 解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+-故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-小结：在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多.例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a .分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值. 解：rrr r x T C)1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++=0六、利用二项式定理求近似值例16．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算.解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ，且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计.∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=-小结：由122(1)1...nn n n n n x x x x C C C +=++++，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+.利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值. 七、利用二项式定理证明整除问题 例17．求证：5151-1能被7整除. 证明：15151- =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.49515151505051249251501515151-+++++C C C C C=49P +1251-（*∈N P ） 又 1)2(1217351-=-=（7+1）171-=01216171716151717171717.7.7.7.....71C C C C C +++++- =7Q （Q *∈N ）)(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除.小结：在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数. 八、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题． 例18 如图，在由二项式系数所构成的杨 辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言． 解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得 131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……二项式定理中的五大热点二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一，本文总结出了近年高考中的五大热点题型，供参考. 一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项，x 3项的系数等)及有理项，无理项，或逆向问题，常是先写出其通项公式1r T +＝r n r r n C a b -，然后再据题意进行求解，有时需建立方程才能得以解决. 例1 9)12(xx -的展开式中，常数项为 ．(用数字作答)．解：由99921991(2)(1)2rrr r rr r r r T C x C x ----+⎛⎫=-=-∙∙∙ ⎝． 令9－r －2r ＝0，得r ＝6．故常数项为63679(1)2672T C =-∙∙=．故填672．练习：1．10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为_______．[15]2．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4－(x －1)5的展开式中，x 2的系数是_______．[－20]3．9a x ⎛-⎝展开式中x 3的系数为94，常数a ＝______．[4] 二、系数配对型是指求两个二项式的积或可化两个二项式的积的展开式中某项的系数问题，通常转化为乘法分配律问题来解决.例2 (x 2＋1)(x －2)7的展开式中x 3项的系数是______.解： 由x 3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：因此，x 3项的系数是()4472C -＋()6672C -＝1008．练习：(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）．[179]三、系数和差型是指求二项展开式系数的和或差等问题，常可用赋值法加以解决. 例3 若2004220040122004...(12)x a a x a x a x -=++++(x ∈R )，则=++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a (用数字作答)．解：取x ＝0，得a 0＝1；取x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004＝(1－2)2004＝1．故010********...()()()()a a a a a a a a ++++++++ ＝2003a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004)＝2003＋1＝2004．评注：若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n．则有①a 0＝f (0)，②a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)；③a 0－a 1＋a 2－…＝f (－1)；④a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-；a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --．练习：若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为_________．[1]四、综合应用型应用意识是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、证明不等式、证明组合数恒等式、求组合数及求余数等问题.例4 9192除以100的余数是_______． 解：9192＝(90＋1) 92＝0929290C ＋1919290C ＋…＋9029290C ＋919290C ＋9292C＝M ×102＋92×90＋1(M 为整数) ＝100M ＋82×100＋81． ∴ 9192除以100的余数是81．练习：⑴求0.9986近似值(精确到0.001)．[0.998]⑵设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C _________．[1(71)6n-]五、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例5 如图，在由二项式系数所构成的杨 辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言． 解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．练习：若(1－2x )9展开式的第3项为288，则2111lim ()nx xxx→∞+++的值是_________．[2]。
专题09 排列组合高考常见小题全归类(精讲精练)(原卷版)
专题09排列组合高考常见小题全归类【命题规律】排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．【核心考点目录】核心考点一：两个计数原理的综合应用核心考点二：直接法核心考点三：间接法核心考点四：捆绑法核心考点五：插空法核心考点六：定序问题（先选后排）核心考点七：列举法核心考点八：多面手问题核心考点九：错位排列核心考点十：涂色问题核心考点十一：分组问题核心考点十二：分配问题核心考点十三：隔板法核心考点十四：数字排列核心考点十五：几何问题核心考点十六：分解法模型与最短路径问题核心考点十七：排队问题核心考点十八：构造法模型和递推模型核心考点十九：环排问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）A ．12B ．120C ．1440D ．172804．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种6．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12．设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称ai ，aj ，ak 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称ai ，aj ，ak 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．157．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．8．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【方法技巧与总结】1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ，，(2)n M n ，现取(2)k k 种颜色对这n 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k --+-种．2、错位排列公式1(1)(1)!!inn i D n n =-=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k n k kk A A -+-+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+），求不同排法种数的方法是：先将（n k -）个元素排成一排，共有n k n k A --种排法；然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，共有1k n k A -+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A --·1k n k A -+种．7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步．（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形．（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”． （4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．【核心考点】核心考点一：两个计数原理的综合应用 【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A．108B．36C．9D．6例2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A．90B．216C．144D．240例3．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（）A．720B．520C．600D．264核心考点二：直接法【典型例题】例4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种A．54B．72C．96D．120A B C D E F共6名同学进行决赛，例5．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,,,,,决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），A和B去询问成绩，回答者对A说“很遗㙳，你和B都末拿到冠军；对B说“你当然不是最差的”．试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A ．720种B ．600种C ．480种D ．384种例6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ） A ．24种 B ．6种 C ．4种 D ．12种核心考点三：间接法 【典型例题】例7．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．A ．1860种B ．3696种C ．3600种D ．3648种例8．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（ ）A ．21种B ．231种C ．238种D ．252种例9．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A ．408种B ．240种C ．1092种．D ．120种核心考点四：捆绑法 【典型例题】例10．（2022·四川自贡·统考一模）在某个单位迎新晚会上有A 、B 、C 、D 、E 、F 6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C 必须安排在第三位，节目D 、F 必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种A ．36B ．48C ．60D ．72例11．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）“四书” “五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）A ．622622A A AB ．6262A AC ．622672A A A D ．622662A A A例12．（2022春·四川内江·高三威远中学校校考期中）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法A ．24B ．144C ．48D ．96核心考点五：插空法 【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）．A ．5424A A ⋅B ．5424C C ⋅ C ．4267A A ⋅D ．4267C C ⋅例14．（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种例15．（2022·全国·高三专题练习）A ，B ，C ，D ，E ，F 这6位同学站成一排照相，要求A 与C 相邻且A 排在C 的左边，B 与D 不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）A ．72B ．48C ．36D ．24核心考点六：定序问题（先选后排） 【典型例题】例16．满足*(1,2,3,4)i x i ∈=N ，且123410x x x x <<<<的有序数组()1234,,,x x x x 共有（ ）个．A ．49CB ．49PC ．410CD ．410P例17．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A ．120种 B ．80种C ．20种D ．48种例18．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）A ．2520B ．5040C ．7560D ．10080核心考点七：列举法 【典型例题】例19．（2022春·河南南阳·高三统考期末）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻．某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施．如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（ ）A ．15种B ．16种C ．17种D ．18种例20．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种例21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）定义“规范01数列”{an }如下：{an }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个核心考点八：多面手问题 【典型例题】例22．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法．A ．675B ．575C ．512D ．545例23．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法A ．225B ．185C ．145D ．110例24．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种核心考点九：错位排列【典型例题】例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种B．20种C．30种D．60种例26．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A．90B．135C．270D．360例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20B．90C．15D．45核心考点十：涂色问题【典型例题】例28．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72例29．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480B．720C．1080D．1200例30．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A．72种B．36种C．12种D．60种核心考点十一：分组问题【典型例题】例31．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（）A．91B．101C．111D．121例32．已知有6本不同的书．（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？核心考点十二：分配问题【典型例题】例33．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了A B C三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加A项目，乙不能参加B、C项,,目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．例34．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法例35．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．核心考点十三：隔板法 【典型例题】例36．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组．例37．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）A ．720种B ．420种C ．120种D ．15种例38．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）()112x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）A ．12项B ．24项C ．39项D ．78项核心考点十四：数字排列 【典型例题】例39．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个例40．（2022·全国·高三专题练习）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数．例41．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．核心考点十五：几何问题 【典型例题】例42．（2022秋·山东聊城·高二校考期中）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有（ ）A．24对B．16对C．18对D．48对例43．（2022·全国·高考真题）在直角坐标系xOy中，已知AOB三边所在直线的方程分别为x y x y==+=，则AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）0,0,2330A．95B．91C．88D．75C分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，例44．（2022·全国·高三专题练习）已知60C是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，．各个面的形因此又名足球烯，60状为正五边形或正六边形，结构如图．已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（）个．A．10B．12C．16D．20核心考点十六：分解法模型与最短路径问题【典型例题】例45．（2022秋·内蒙古·高二校考期中）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（）A．33种B．23种C．20种D．13种例46．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，且不经过C地，则不同的路径共有________条．例47．5400的正约数有（）个A．48B．46C．36D．38核心考点十七：排队问题【典型例题】例48．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有,A B两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种．例49．（2022秋·安徽·高三芜湖一中校联考阶段练习）某医院对9个人进行核酸检测，为了防止排队密集，将9人分成两组，第一组5人，排队等候，由于甲、乙两人不熟悉流程，故无论在哪一组，排队都不在第一位，则第一组的不同排法种数为_________．（用数字作答）例50．（2022·上海·统考模拟预测）有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有___________种．核心考点十八：构造法模型和递推模型【典型例题】例51．贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①n次传球之后，共有___________种可能的传球方法；②n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有___________种．例52．一只蚂蚁从一个正四面体ABCD的顶点A出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A的爬行方法种数是__________．核心考点十九：环排问题【典型例题】例53．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为A．19B．38C．51D．57例54．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（）．A．6种B．8种C．12种D．16种【新题速递】一、单选题1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）A．12B．24C．48D．842．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、电图、血压测量等五个检查项目．为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起接着检查．则不同顺序的检查方案一共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种3．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（）A．18种B．36种C．60种D．108种4．（2022春·河南许昌·高三阶段练习）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A．9种B．24种C．26种D．30种5．（2022·四川南充·统考一模）在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种6．（2022春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）某群主发了15元的红包，分成四份，四人领取，均为正整数元，已知其中“运气王”（“运气王”是指领到红包金额最多的人）领到7元，则这四个人不同领取红包的方法总数为（ ）A ．84B ．96C ．108D ．1207．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（ ）A ．144B ．96C ．72D ．608．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．180种D ．360种二、多选题9．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考开学考试）某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37CB ．若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C + C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C -10．（2022春·江苏镇江·高三校考开学考试）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A ，B ，C ，D ，E 五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）A ．所有可能的安排方法有125种B ．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C ．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种D ．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种11．（2022·全国·高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安。
二项式定理高考常见题型及其解法
第二讲二项式定理高考常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有考查，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用.【知识要点】1、二项式定理：2、二项展开式的通项：它是展开式的第r+1项.3、二项式系数：4、二项式系数的性质：⑴⑵⑶ 若n是偶数，有，即中间一项的二项式系数最大.若n是奇数，有，即中项二项的二项式系数相等且最大.⑷ 各二项式系数和：⑸在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即:【典型考题】一、求二项展开式：1．“（a+b）n”型的展开式例1．求的展开式.解：原式=====小结：这类题目直接考查二项式定理掌握，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中会有体现的.2．“（a-b）n”型的展开式例2．求的展开式.分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力.3．二项式展开式的“逆用”例3．计算解：原式=小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质.二、通项公式的应用：1．确定二项式中的有关元素例4．已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为解：令，即，依题意，得，解得2．确定二项展开式的常数项例5．展开式中的常数项是解：，令，即.所以常数项是小结：可以讲2011陕西高考题—例1⑴3．求单一二项式指定幂的系数例6．（03全国）展开式中x9的系数是 .解：==令则，从而可以得到的系数为：，填三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．的展开式中，x2的系数等于解：的系数是四个二项展开式中4个含的，则有例8．（02全国）的展开式中，x3项的系数是 .解：在展开式中，的来源有：⑴第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；⑵第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为的系数应为：填.四、利用二项式定理的性质解题1、求中间项例9．求的展开式的中间项；解：展开式的中间项为.小结：当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是.2、求有理项例10．求的展开式中有理项共有项；解：当时，所对应的项是有理项.故展开式中有理项有4项.小结：⑴当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；⑵当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式.3、求系数最大或最小项1 特殊的系数最大或最小问题例11．（2000上海）在二项式（x-1）11的展开式中，系数最小的项的系数是 .解：要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为⑵一般的系数最大或最小问题例12．求展开式中系数最大的项；解：记第项系数为，设第项系数最大，则有又，那么有即，解得，故系数最大的项为第3项和第4项.⑶系数绝对值最大的项例13．在（x-y）7的展开式中，系数绝对值最大项是 .解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4项，和第5项.五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和（参考例题2）例14．若，则的值为 .解：令，有，令，有故原式===小结：在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：特殊值在解题过程中考虑的比较多.例15．设，则.分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值.解：==0六、利用二项式定理求近似值例16．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算.解：==，且第3项以后的绝对值都小于，从第3项起，以后的项都可以忽略不计.==小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：.利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值.七、利用二项式定理证明整除问题例17．求证：5151-1能被7整除.证明：===49P+（）又=（7+1）==7Q（Q）能被7整除.小结：在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数.八、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例18 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言．解：设所求的行数为n，将条件转换为组合数语言，得，即，解得n＝34．二项式定理中的五大热点二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一，本文总结出了近年高考中的五大热点题型，供参考.一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项，x3项的系数等)及有理项，无理项，或逆向问题，常是先写出其通项公式＝，然后再据题意进行求解，有时需建立方程才能得以解决.例1的展开式中，常数项为．(用数字作答)．解：由．令9－r－＝0，得r＝6．故常数项为．故填672．练习：1．的二项展开式中x3的系数为_______．[15]2．(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4－(x－1)5的展开式中，x2的系数是_______．[－20]3．展开式中x3的系数为，常数a＝______．[4]二、系数配对型是指求两个二项式的积或可化两个二项式的积的展开式中某项的系数问题，通常转化为乘法分配律问题来解决.例2 (x2＋1)(x－2)7的展开式中x3项的系数是______.解：由x3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：x2＋1 (x－2)7x3的系数：常数项：1x的系数：x2的系数：1因此，x3项的系数是＋＝1008．练习：(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为____________（用数字作答）．[179]三、系数和差型是指求二项展开式系数的和或差等问题，常可用赋值法加以解决.例3 若(x∈R)，则(用数字作答)．解：取x＝0，得a0＝1；取x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2004＝(1－2)2004＝1．故＝2003a0＋(a0＋a1＋a2＋…＋a2004)＝2003＋1＝2004．评注：若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn．则有①a0＝f(0)，②a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)；③a0－a1＋a2－…＝f(－1)；④a0＋a2＋a4＋…＝；a1＋a3＋a5＋…＝．练习：若则的值为_________．[1]四、综合应用型应用意识是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、证明不等式、证明组合数恒等式、求组合数及求余数等问题.例4 9192除以100的余数是_______．解：9192＝(90＋1) 92＝＋＋…＋＋＋＝M×102＋92×90＋1(M为整数)＝100M＋82×100＋81．∴ 9192除以100的余数是81．练习：⑴求0.9986近似值(精确到0.001)．[0.998]⑵设,则_________．[]五、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例5 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言．解：设所求的行数为n，将条件转换为组合数语言，得，即，解得n＝34．练习：若(1－)9展开式的第3项为288，则的值是_________．[2]继续阅读。
2023年新高考数学临考题号押题 押第4题 排列组合与二项式定理 学生版+解析
押新高考卷4题排 列 组 合 与 二 项 式 定 理考点 3年考题考情分析 排列组合与二项式定理 2022年新高考Ⅰ卷第13题2022年新高考Ⅱ卷第5题 2020年新高考Ⅰ卷第3题2020年新高考Ⅱ卷第6题排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2023年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 4.组合数公式mn C =m n m m A A =mm n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 5.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .6．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m nn AA （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n n m C A A 11++=种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 m n n n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. 8.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.A．96种B．64种12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）同数”，例如“125，710”都是“叔同数押新高考卷4题排 列 组 合 与 二 项 式 定 理考点 3年考题考情分析 排列组合与二项式定理 2022年新高考Ⅰ卷第13题2022年新高考Ⅱ卷第5题 2020年新高考Ⅰ卷第3题2020年新高考Ⅱ卷第6题排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2023年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 4.组合数公式mn C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 5.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .6．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n n m C A A 11++=种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n n m C +.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有m n n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 mn n n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. 8.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=.【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B3．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（ ）A ．30种B ．60种C ．90种D ．120种 【答案】B【分析】按照分步计数原理求解.【详解】依题意，第一步，从6名老师中随机抽取1名去甲校，有16C 种方法；第二步，从剩下的5名老师中抽取2名取乙校，有25C 种方法；第三部，将剩余的3名老师给丙校，有33C 种方法；总共有123653C C C 60= 种方法； 故选：B.2．（2023·湖南湘潭·统考二模）2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A ，B ，C 三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（ ）A ．12B ．18C ．36D ．48 【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.【详解】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有13C 种，将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有23C 种，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为()123333C C A 36+=． 故选：C3．（2023·广东佛山·统考二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每11．（2023·广东·统考一模）如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）A ．96种B ．64种C ．32种D ．16种【答案】B 【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有222A 4=种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有1142A A 8=种排法；第三步，排数字5和6，共有22A 2=种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为48264⨯⨯=.故选：B.12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数M 的各个数位上的数字之和为8，则我们称M 是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（ ）A ．34个B ．35个C ．36个D ．37个【答案】C【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，其中三个数不同且都不为0可排出33A 6=个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出13A 3=个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出1222A A 4=个“叔同数”， 008只能排出800一个“叔同数”，所以它们排出的“叔同数”的个数共有366334442136+++++++++=，故选：C13．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）A ．56种B ．64种C ．72种D ．96种【答案】D 【分析】根据A 是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有13C 3=种，再给剩下三个岗位安排人有34A 43224=⨯⨯=种，共有32472⨯=种方法； 若A 不入选：则4个人4个岗位全排有44A 432124=⨯⨯⨯=种方法，所以共有722496+=种不同的安排方法，故选：D .14．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）A ．72种B ．81种C ．144种D ．192种【答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为2525A A 240=， 若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为2424A A 48=，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.15．（2023·重庆九龙坡·统考二模）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（ ）A ．1560种B ．2160种C ．2640种D ．4140种【答案】A。
2018年高考数学理试题分类汇编排列组合与二项式定理
20XX 年高考数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理1. ( 20XX 年新课标Ⅱ卷理) 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【解析】22234236C C A = ,故选D 。
2. (20XX 年天津卷理) （14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080【解析】413454541080A C C A +=3. ( 20XX 年新课标Ⅱ文) 11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 (D)A.110B.15C.310D.254. (20XX 年新课标Ⅰ) 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】621(1)(1)x x ++展开式中含2x 的项为224426621130C x C x x x⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C.. 5. (20XX 年江苏卷)23已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【解析】（1）11222C C C 22()(1)m n nm nn n mn P A m n m n ++-+==++-. 6. (20XX 年天津卷文) 3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A ）45（B ）35（C ）25（D ）15【答案】C7. (20XX 年浙江卷) 13．已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________. 【答案】16，4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m m C x C x ，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令0x =可得325124a =⨯=8. (20XX 年浙江卷) 16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法.（用数字作答） 【答案】6609. (20XX 年新课标Ⅲ卷理) (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80【答案】C【解析】由()52x y - 展开式的通项公式：()()5152rrrr T C x y -+=- 可得：当3r = 时，()52x x y - 展开式中33x y 的系数为()33252140C ⨯⨯-=- 当2r = 时，()52y x y - 展开式中33x y 的系数为()22352180C ⨯⨯-= ， 则33x y 的系数为804040-= . 本题选择C 选项.10. (20XX 年山东卷理)从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】125425989C C =⨯ ,选C. 11. (20XX 年天津卷理) 16.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 (1)1312 (2) 1148【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 12. (20XX 年山东卷理)（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】()1C 3C 3rr r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =． 13. (20XX 年山东卷理)（18）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名B 1，B 2， B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示。
专题19 排列、组合、二项式定理(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(教师版)
1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.1．两个重要公式(1)排列数公式A m n＝n！n－m！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)组合数公式C m n＝n！m！n－m！＝n n－1n－2…n－m＋1m！(n，m∈N*，且m≤n)．2．三个重要性质和定理(1)组合数性质①C m n＝C n－mn(n，m∈N*，且m≤n)；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n(n，m∈N*，且m≤n)；③C0n＝1.(2)二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k·b k＋…＋C n n b n，其中通项T r＋1＝C r n a n－r b r.(3)二项式系数的性质①C0n＝C n n，C1n＝C n－1n，…，C r n＝C n－r n；②C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；③C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.考点一 排列与组合例1．【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72 ，故选D.【变式探究】(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个解析 由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.答案 B考点二 排列组合中的创新问题例2．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.答案 A【变式探究】设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A．60 B．90 C．120 D．130答案 D考点三 二项展开式中项的系数例3．【2016年高考北京理数】在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=。
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专题09 排列组合二项式定理（理）
一.排列组合小题
（一）命题特点和预测：分析近7年的高考试题全国卷1，发现7年1考，主要考查利用两个计数原理及排列组合的知识与方法计算分配等计数问题，试题难度为基础题.因近几年没有考查排列组合小题，2018年一定会回归，考一个排列组合小题，主要考查利用两个计数原理及排列组合的知识与方法计算分配等计数问题，试题难度为基础题．
（二）历年试题比较：
种
（三）命题专家押题
种
”
必
程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：
两门课程相邻排课，则“
种
二.二项式定理小题
（一）命题特点和预测：分析近7年的高考题发现，7年6考，每年1题，主要考查利用二项式定理的通项求展开式的特定项、两个二项式乘积展开式的指定项、二项式系数的性质或三项式展开式的指定项的系数，难度是基础题.2018年仍将有一个二项式定理题，考查内容为求若干个二项式乘积展开式的指定项，难度仍为基础题.
（二）历年试题比较：
D
展开式的二项式系数的最大值
（三）命题专家押题
__________．(用数字作答
已知，，展开式的常数项为，则
已知的展开式中所有偶数项系数之和为496
若，则__________ 2552
90
含
已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（
B.
已知二项式
B. C.
设，若，则（。