线性方程组题目及答案
考研数学二(线性方程组)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学二（线性方程组）模拟试卷22(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是( )A．A的列向量线性无关。
B．A的列向量线性相关。
C．A的行向量线性无关。
D．A的行向量线性相关。
正确答案：A解析：Ax=0仅有零解的列向量线性无关。
故选A。
知识模块：线性方程组2．非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则( )A．r=m时，方程组Ax=b有解。
B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解。
C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解。
D．r＜n时，方程组有无穷多个解。
正确答案：A解析：对于选项A，r(A)=r=m。
由于r(Ab)≥m=r，且r(Ab)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有r(Ab)=r，从而r(A)=r(Ab)，此时方程组有解，所以应选A。
由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等。
知识模块：线性方程组3．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量α1一α2，α1+α2—2α3，(α2一α1)，α1—3α2+2α3中，是对应齐次线性方程组Ax=0解向量的共有( )A．4。
B．3。
C．2。
D．1。
正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1+α2—2α3)=Aα1+Aα2—2Aα3=b+b一2b=0，=0，A(α1—3α2+2α3)=Aα1一3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0，即α1一α2，α1+α2—2α3，(α2一α1)，α1一3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解。
所以应选A。
知识模块：线性方程组4．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为，则自由变量可取为①x4，x5；②x3，x5；③x1，x5；④x2，x3。
线性代数复习题带参考答案(5)
线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1.在111()111111x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ）(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 22.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且()r C r <，则 （ ）(A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A)A B = (B) ,0A B A B ≠-=但(C) AB (D) A B 与不一定相似，但A B =4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则222A B C ++= （ ）(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E5．设1010,0203A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1．已知1112223330a b c a b c m a b c =≠，则111122223333232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。
2．设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。
3．已知β为n 维单位列向量，T β为β的转置，若T C ββ= ，则2C = 。
4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则12T αα= 。
线性方程组题目及答案
线性方程组题目及答案第一、填空题10章线性方程组1.线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为−11d+1⎤⎦⎥则当d=2时，方程组AX=b有解，且有无穷多解。
2.当λ=1时，齐次方程组x1−x2=0x1+λx2=0有唯一解。
3.若线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，则AX=b的秩为n。
二、单项选择题1.线性方程组x1+x2=1x3+x4=0的解的情况是（B）只有解。
2.线性方程组AX=b只有解，则AX=b(b≠0)的解的情况是（B）可能无解。
3.当秩(A)=秩(AB)=n时，线性方程组AX=b(b≠0)有唯一解，其中n是未知量的个数。
答案为（C）秩(A)=秩(AB)=n。
三、解答题1.求解线性方程组x1−x2+3x3−x4=02x1−x2−x3+4x4=04x3+5x4=1解：因为系数矩阵A=[1 -1 3 -1.2 -1 -1 4.-4 0 5 0] 的秩为3，而增广矩阵1 -1 3 -1 0.2 -1 -1 4 0.-4 0 5 0 1] 化为阶梯形矩阵1 -1 3 -1 0.0 1 -7 6 0.0 0 1 -4 1] 所以，一般解为：x1=3x3-15x4-4x2x2=x4-3x3x3,x4是自由未知量)2.求解线性方程组x1+x2-2x3-x4=12x1+x2-2x3-3x4=2x1+3x2+ax3=b解：因为增广矩阵1 1 -2 -1 1.2 1 -2 -3 2.1 3 a b]化为阶梯形矩阵1 1 -2 -1 1.0 -1 2 -1 0.0 0 2a-3b 2b-a-3.0 0 0 0 0]当2a-3b≠0时，方程组无解。
当2a-3b=0时，方程组有解，且有无穷多解，此时一般解为：x1=1-3x3+x4x2=x3+x4x3自由，x4=（b-a）/6.3.就a,b的取值，讨论线性方程组x1+2x2+3x3=1x1+3x2+6x3=22x1+3x2+ax3=b解的情况。
解：因为系数矩阵A=[1 2 3.1 3 6.2 3 a]的秩为2，而增广矩阵1 2 3 1.1 3 6 2.2 3 a b]化为阶梯形矩阵1 2 3 1.0 1 3 1.0 0 a-6 b-4a]当a≠6时，方程组有唯一解。
考研数学一(线性方程组)-试卷3
考研数学一（线性方程组）-试卷3(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设有齐次线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解，则r(a)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，则Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解；③若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则r(A)＝r(B)；④若r(A)＝r(B)，则Aχ＝0与Bχ＝0同解．以上命题中正确的有( ) （分数：2.00）A.①②B.①③√C.②④D.③④解析：解析：由于线性方程组Aχ＝0和Bχ＝0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B．下面证明①，③正确：对于①，由Aχ＝0的解均是Bχ＝0的解可知，方程组Bχ＝0含于Aχ＝0之中，从而Aχ＝0的有效方程的个数(即为r(A))必不少于Bχ＝0的有效方程的个数(为r(B))，故r(A)≥r(B)．对于③，由于A，B为同型矩阵，若Aχ＝0与Bχ＝0同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即 n－r(A)＝n－r(B)，从而r(A)＝r(B)．所以应选B．3.设β1，β2为非齐次方程组的α1，α2为对应齐次方程组的解，则( )（分数：2.00）A.β1＋β2＋2α1为该非齐次方程组的解．B.β1＋α1＋α2为该非齐次方程组的解．√C.β1＋β2为该非齐次方程组的解．D.β1－β2＋α1为该非齐次方程组的解．B．4.n元线性方程组Aχ＝B有两个解a，c，则下列方程的解是a－c的是( )（分数：2.00）A.2Aχ＝BB.Aχ＝0 √C.Aχ＝AD.Aχ＝C解析：解析：A(a－c)＝Aa－Ac＝0，所以a－c是Aχ＝0的解．5.非齐次线性方程组Aχ＝B中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解√C.方程组有唯一解D.方程组无解解析：解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，故选B．6.( )（分数：2.00）A.有两组解B.无解C.只有零解√D.无穷多解解析：解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况．对系数矩阵A＝，因此r(A)＝3，系数矩阵的秩等于未知数个数，因此方程组只有零解，故选C．7.A．若存在3阶矩阵B≠O，使得AB＝O，则( )（分数：2.00）A.λ＝－2且｜B｜＝0．B.λ＝－2且｜B｜≠0．C.λ＝1且｜B｜＝0．√D.λ＝1且｜B｜≠0．解析：解析：将矩阵B按列分块，则由题设条件有 AB＝A[β1，β2，β3 ]＝[Aβ1，Aβ2，Aβ3 ]＝O 即AB i＝0(i＝1，2，3)，这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Aχ＝0的解．又由B≠O，知齐次线性方程组Aχ＝0存在非零解，从而r(A)＜3，且A为3阶方阵，故有即λ＝1，排除选项A、B．若｜B｜≠0，则矩阵B可逆．以B -1右乘AB＝O，得 ABB -1＝OB -1，即A＝O．这与A为非零矩阵矛盾，选项D不正确．故选C．8.设A是n阶矩阵，α是n r(A)，则线性方程组( )（分数：2.00）A.Aχ＝α必有无穷多解B.Aχ＝α必有唯一解√解析：解析：由于选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中必有一个正确也仅有一个正确，因而排除A、B．又齐次线性方程组有n＋1个变量，而由题设条件知，＝r(A)≤n ＜n＋1．所以该方程组必有非零解，故选D．9.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Aχ＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系( )（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量√C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量解析：解析：因为齐次线性方程组的基础解系所含线性无关的解向量的个数为n－r(A)．而由A *≠D可知，A *中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个(n－1)阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r(A)≥n－1．又由Aχ＝b有互不相等的解知，其解存在且不唯一，故有r(A)＜n，从而r(A)＝n－1．因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选B．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设A 是秩为3的5×4矩阵，α 1 ，α 2 ，α 3 是非齐次线性方程组A χ＝b 的三个不同的解，如果α1＋α 2 ＋2α 3 ＝(2，0，0，0) T ，3α 1 ＋α 2 ＝(2，4，6，8) T，则方程组A χ＝b 的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：，0，0，0) T＋k(0，2，3，4) T）解析：解析：由于r(A)＝3，所以齐次方程组A χ＝0的基础解系共有4－r(A)＝4－3＝1个向量，又因为 (α1＋α 2 ＋2α 3 )－(3α 1 ＋α 2 )＝2(α 3 －α 1 )＝(0，－4，－6，－8) T 是A χ＝0的解，因此其基础解系可以为(0，2，3，4) T，由 A(α 1 ＋α 2 ＋2α 3 )＝A α 1 ＋A α 2 ＋2A α 3 ＝4b ， 可知 (α 1 ＋α 2 ＋2α 3 )是方程组A χ＝b 的一个解，因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是，0，0，0) T＋k(0，2，3，4) T．11.a ＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－3）解析：解析：非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，对该方程组的增广矩阵可知a ＝－3时，r(A)＝r(A ，b)，此时方程组有解．12.设A ＝(a ij )是3阶正交矩阵，其中a 33 ＝－1，b ＝(0，0，5) T，则线性方程组A χ＝b 必有一个解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(0，0，－5) T）解析：解析：由正交矩阵定义，首先AA T＝A TA ＝E ，由此可知A 的列向量和行向量都是单位向量，因此可设A ＝，于是，则线性方程组A χ＝b 必有一个解是(0，0，－5) T．13. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1 ，k 2 为任意常数)）14.已知齐次线性方程组 有通解k 1 (2，－1，0，1) T＋k 2 (3，2，1，0) T，则方程组通解是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k(13，－3，1，5) T(k 为任意常数)） 解析：解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，令(1)的通解为满足(2)的第三个方程，得 (2k 1 ＋3k 2 )－2(－k 1 ＋2k 2 )＋0k 2 ＋k 1＝0， 得到5k 1 ＝k 2 ，将其代入(1)的通解中，得 5k 2 [1，2，－1，0，1] T＋k 2 [3，2，1，0] T＝k 2 [13，－3，1，5] T， 是方程组(2)的通解．15.χ＋5χ＝0，那么(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k(－5，3，1) T(k 为任意常数)）解析：解析：将方程组(Ⅰ)和方程(Ⅱ)联立，得到方程组(Ⅲ) (Ⅲ)的解就是两者的公共解．对(Ⅲ)的系数矩阵做初等行变换可得由于A的秩为2，因此自由变量有1个，令自由变量χ3＝1，代入可得χ2＝3，χ1＝－5，所以(Ⅲ)的基础解系为η＝(－5，3，1) T．因此(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解为k(－5，3，1) T (k为任意常数)．三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
大学数学线性代数题库及答案解析
大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。
因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。
b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。
我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。
则得到 z = -6 + 5t。
将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。
因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。
2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。
解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。
我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。
因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。
(完整word版)线性代数经典试题4套及答案
线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
线性代数胡觉亮版(题目+答案)
习 题 解 答习 题 一 （A ）1．用消元法解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5432,9753,432321321321x x x x x x x x x解 由原方程组得同解方程组12323234,23,x x x x x ++=⎧⎨+=⎩得方程组的解为13232,2 3.x x x x =-⎧⎨=-+⎩令3x c =，得方程组的通解为c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++-=++-.552,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解 由原方程组得同解方程组1234421,44,02,x x x x x -++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以方程组无解．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=--=+-.05,3523,22,1231321321321x x x x x x x x x x x解 由原方程组得同解方程组12323321,0,41,x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩得方程组的解为41,41,45321-=-==x x x ．（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-+-=-++-=+-.23,0243,6332,322432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x解 由原方程组得同解方程组123423434432,310,39,3,x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++=⎪⎨-=⎪⎪=⎩得方程组的解为3,4,1,24321===-=x x x x ．2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--122212221．解 122122100212012010221001001r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得 行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210221（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001．（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--324423211123．解 1102232111232551232041050124442300000000r r ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−→--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，得 行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000510402321（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000045251021201．（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211132．解 231110110101120000r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得 行阶梯形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001011（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001001．（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-34624216311230211111． 解 11001111111111122032102501101002136120070000100426430000000000r r ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪−−→−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，得行阶梯形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000007001052011111（不唯一）；行最简形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000100210010211001．3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x解 2100313357214110109011320019r B ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭M M M M M M ， 得方程组的解为920,97,32321=-==x x x ．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++-.2222,2562,134432143214321x x x x x x x x x x x x解 114311143121652032101222200001r B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，得方程组无解．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-=-+=-+-.1837,4,133,44324324324214321x x x x x x x x x x x x x解 4710021234415130310101201114230012073118200000r B ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪=−−→ ⎪- ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎪⎪⎝⎭MM M M M M MM ， 得方程组的解为1243447,215,2232.2x x x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩令4x c =，得方程组的通解为c x c x c x x =-=-==4321,2232,215,247，其中c 为任意常数． （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+++-=+++-=+++-.1224,9138436,354236,232254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解1112112321002226324530010436348139000100421121000000r B ⎛⎫----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪=−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ，得方程组的解为125354111,22243,0.x x x x x x ⎧=+-⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎩令2152,x c x c ==，得方程组的通解为 2542312211,0,34,,2122c x x c x c x c c x ==+-==-+=，其中21,c c 为任意常数． （B ）1．当λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλx x x x x x x x x 有无穷多解，并求解．解 2211111111110*********r B λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．当1λ=时，111100000000rB ⎛⎫⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭M M M ，方程组有无穷多解，且解为 1231x x x =--+．令2132,x c x c ==，得方程组的通解为2312211,,1c x c x c c x ==+--=，其中21,c c 为任意常数．3．（联合收入问题）已知三家公司A 、B 、C 具有如下图所示的股份关系，即A 公司掌握C公司50%的股份，C 公司掌握A 公司30%的股份，而A 公司70%的股份不受另外两家公司控制等等．现设A 、B 和C 公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．试确定各公司的联合收入及实际收入．解 A 公司的联合收入为元，实际收入为元； B 公司的联合收入为元，实际收入为元；C 公司的联合收入为元，实际收入为元.习 题 二 （A ）1．利用对角线法则计算下列行列式：（1）cos sin sin cos θθθθ-． 解 原式1=．（2）22x y x y ． 解 原式()xy y x =-．（3）123312231．解 原式18=．（4）000a b c a b a．解 原式3a =．（5）000a a b a b c．解 原式3a =-． 2．按定义计算下列行列式：（1）000000000a b f c de．解 原式1311000(1)0(1)0bca f c ab abcd d ede++=-=-=-．（2）0100002000010n n-L L LL L L L L L．解 原式1100020(1)001n n n +=-=-LL M M M L!)1(1n n +-．3．利用行列式的性质，计算下列行列式：（1）ab ac ae bdcd de bf cf ef---． 解 原式111111111022111002abcdef abcdef -=-=-=-abcdef 4-． （2）1111222233334444------． 解 原式1111044419200660008==．（3）a xa a a a a x aa a a a x a aaa a x++++．解 原式1111100000(4)(4)0000a a x aaa x a x a x a a a x a a x aaa a xa x+=+=+=++3(4)a x x +．（4）23100120103518510154．解 原式120112011201231000*********0351803518003512510154151151----=-=-=---12351221501151=-⋅=---．（5）12111110010010na a a LL LM M M L M L，其中0,1,2,,i a i n ≠=L ． 解 原式111212110001001001ii ni ir r a i nna a a a =-≤≤-==∑L LL M M M LM L∑∏==-ni ni i i a a 11)11(． 4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）1214012110130131-．解 原式02012010010121321213217101313131131131--==-=-==---．（2）5487235472856393--------．解 原式00303230141532231415314431443181434663430663443--====-=--．（3）123100010000000000001n na a a a a -L L L MM MM M L L． 解 原式122131100010000000(1)0000000n n n n a a a a a a a +--=-+L L L L L M M M M M M M LL2311(1)1210000(1)(1)00n n n n a a a a a a ++--=--+L LL M M M L23112n n a a a a a a -=-+L L 2311(1)n n a a a a a -=-L ．（4）2100012100012000002100012n D =L LL M M M M M L L． 解 将行列式按第一行展开，得122n n n D D D --=-，则11221212112n n n n D D D D D D ----=-==-=-=L ，所以12112(1)1n n n D D D D n n --=+=+==+-=+L ． 5．利用行列式展开定理证明：当βα≠时，有11000100010000001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-==-++L L LM M M O MML L． 证 将行列式按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=L ，所以1n n n D D βα--=． （1）由n D 关于α与β对称，得1n n n D D αβ--=． （2）由（1）与（2）解得11n n n D αβαβ++-=-(类比于高中学过的由数列a n 与a n-1的关系推导通项公式）6．利用范德蒙德行列式计算行列式222abcab c b c a c a b+++．解 原式222222111()()111ab c a b c ab c a b c ab c a b c =++=++ ()()()()a b c b a c a c b =++---．7．设2142112531335111D =-，试求14243444A +A +A +A 和11121314M +M M M ++．解 14243444A +A +A +A 0=；111213141112131411111125+31335111M M M M A A A A --++=-+-=-100234650213465242242284214262620626120---==-=-=-=--．8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）12341234123412345,242,2352,32110.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解 经计算，得1234142,142,284,426,142D D D D D =-=-=-=-=，所以方程组的解为1,3,2,14321-====x x x x ．（2）123423412423423411,3,30,73 5.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=⎩解 经计算，得123416,16,0,32,16D D D D D =====-，所以方程组的解为1,2,0,14321-====x x x x ．9．试问λ取何值时，齐次线性方程组123123123230,3470,20x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩有非零解．解 方程组有非零解，则0D =．又2133475(3)12D λλ-=-=-+-， 所以3-=λ．10．试问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解．解 方程组有非零解，则0D =．又1111(1)121D λμμλμ==-，所以1=λ或0=μ．（B ）1．选择题：（1）设1112132122233132330a a a a a a a a a a =≠，则111312122123222231333232125331253312533a a a a a a a a a a a a ----=--( )． （A ）2a （B ）2a - （C ）3a - （D ）3a解 原式1233223111312121112132123222221222325(3)331323331333232153112(3)56()233153c c c c c c c a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ÷+÷-⨯↔-=⨯--=-⨯⨯-=-．选（A ）．（2）四阶行列式11223344000000a b a b b a b a 的值等于（ ）． （A ）12341234a a a a bb b b - （B ）12341234a a a a bb b b +（C ）()()12123434a a b b a a b b -- （D ）()()23231414a a b b a a b b --解 将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得()()11114422232314142233334400000000000000a b a b b a a b a a b b a a b b a b b a b a b a ==--．选（D ）．（3）设线性方程组111122121122220,0.a x a x b a x a x b -+=⎧⎨-+=⎩若111221221a a a a =，则方程组的解为（ ）． （A ）11211112222212,b a a b x x b a a b == （B ）11211112222212,b a a bx x b a a b =-=-（C ）11211112222212,b a a b x x b a a b =-= （D ）11211112222212,b a a bx x b a a b ==-解 将方程组写成标准形式：11112212112222,.a x a x b a x a x b -=-⎧⎨-=-⎩有11121121121111111221222222222122121,,a a b a b a a b a b D D D a a b a b a a b a b ----==-====-----，所以方程组的解为1121111212222212,b a a b D Dx x b a a b D D ==-==． 选（C ）．（4）方程()f x =2222333311110x a b cxabcx a b c =的根的个数为（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解 方法一：将()f x 按第1列展开，知()f x 为3次多项式，因此有3个根．选（C ）．方法二：()()()()()()()f x a x b x c x b a c a c b =------有3个根123,,x a x b x c ===．选（C ）．2．计算四阶行列式12124121200000000a a b b D c c d d =． 解 121212124121212120000000000000a a a a c c c c Db b b b d d d d =-= 12121212a ab bc cd d =⋅=))((12211221d b d b c a c a --．3．计算四阶行列式41111111*********x x D x x ---+-=--+--．解 41111111111111111111111111111xx x x x x D xx x x x-----+--+-==--------43210010(1)1001000xx x x x x x x ⨯==⋅-⋅⋅=4x ．4．计算n 阶行列式12321213212121n n n D n nn n -=---L L LL L L L L L ． 解 11221121231134111111100001111112000111111222n n n n j r r r r r r nc c j nn nn n D ------+≤≤-+----==----L L L LLL L LL M M M M M M M M M M LL112110001200(1)(1)(1)(1)212201222nn n n n n ++--=+-=-+L LL M M M M L．5．计算五阶行列式222522000120001200012012a a aa D a a a a a=． 解 方法一：一般地，对于此类n 阶行列式，将其按第一行展开，得2122n n n D D D αα--=-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαααα------=-=-222221()[(2)2]n n n D D αααααααα--==-=--⋅=L ，有12122()2n n n n n n n n D D D D αααααααα----=+=++=+111(1)2(1)(1)n n n n nD n n n αααααα--==+-=⋅+-=+L ，所以556D a =．方法二：由习题二（A ）的第5题，得当αβ=时，有11lim (1)lim (1)n n n n n D n n βαβααββααβ++→→-==+=+-，所以556D a =．6．计算n 阶行列式01221000100010000001n n n x a x a x a D xa x a ----=-+L L L M M M M M L L．解 将行列式按第一行展开，得10n n D xD a -=+，则 2210210()n n n D x xD a a x D a x a --=++=++121210n n n x D a x a x a ---==++++L L121210()n n n n x x a a x a x a ----=+++++L 1110n n n x a x a x a --=++++L ．7．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被13整除．证4142431000100101326132********27427435005500500538743873874c c c c c c +++=． 由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．8．证明:222244441111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d abcda b c d =------+++．证 构造5阶行列式222225333334444411111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =， 则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------． （1）将5D 按第5列展开，得435222222223333444411111111()a b c d a b c d D x x abcdabcda b c d a b c d =+-+L ． （2）比较（1）与（2）右边3x 的系数，知结论成立．9．证明：当b a 4)1(2=-时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+++0)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解．证 方程组的系数行列式21111211(1)4113111a D ab aa b==---+，当0D =，即b a 4)1(2=-时，方程组有非零解．10．应用题：（1）1；（2）01=+-y x ．习 题 三 （A ）1．下列矩阵中，哪些是对角矩阵、三角矩阵、数量矩阵、单位矩阵．1203A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，100001000010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100420053C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，300030003D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 D 是数量矩阵，也是对角矩阵；A 、C 是三角矩阵；B 都不是．2．设矩阵112123111,122211031A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．（1）计算2A B +； （2）若X 满足32A X B +=，求X ．解 （1）3472100411A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭； （2）11023577695X B A -⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭．3．设有3阶方阵111222333a c d A a c d a c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111222333b c d B b c d b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且1A =，2=B ，求2A B +． 解 1111222233332332233233a b c d A B a b c d a b c d ++=++1111112222223333339(2)9(2)45a c d b c d a c d b c d A B a c d b c d --=+--=+=--． 4．计算下列矩阵的乘积：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--16696432． 解 原式09018-⎛⎫=⎪-⎝⎭．（2）131104227011-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭．解 原式866⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（3）()132123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 解 原式10=．（4）()123213⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 解 原式321642963⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（5）10020020100100031003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解 原式3E =．（6）()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解 原式222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++．5．已知矩阵103021001A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，100021301B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．求： （1）AB 与BA ； （2）))((B A B A -+与22B A -.解 （1）1003343301AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1030433010BA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）906()()600609A B A B -⎛⎫ ⎪+-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，22006300600A B ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭． 6．求与矩阵1(0)01a A a ⎛⎫=≠⎪⎝⎭可交换的所有矩阵． 解 设与A 可交换的矩阵1234x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭．由AB BA =，得 131********33343444,,,,,0,,.x ax x x x x ax ax x x x x x x x ax x x x +==⎧⎧⎪⎪+=+=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎪⎪=+=⎩⎩ 令24,x c x b ==，得0b c B b ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中c b ,为任意常数． 7．利用归纳法，计算下列矩阵的k 次幂，其中k 为正整数：（1）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭． 解 令cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，有 23cos 2sin 2cos3sin 3,,sin 2cos 2sin 3cos3A A θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L则cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭．（2）1201⎛⎫⎪⎝⎭． 解 令1201A ⎛⎫=⎪⎝⎭，有234141618,,,010101A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则 1201k k A ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（3）110011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解 令110011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有 23451211331461510012,013,014,015,001001001001A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L则2101001k k k C A k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．8．已知矩阵()123α=，11123β⎛⎫= ⎪⎝⎭，令βαTA =，求n A ，其中n 为正整数． 解 111()()()3()nTT n T n T n T A αβαββααβαβ---=== 111123232133312n -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-------11112113233323323233n n n n n n n n n ．9．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵．证 因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．10．利用公式法求下列矩阵的逆矩阵：（1）3421A ⎛⎫=⎪⎝⎭． 解 50A =-≠，又*1423A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--53525451． （2）100210331A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．解 10A =≠，又*100210331A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1*1A A A -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--133012001．（3）122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 270A =-≠，又*3A A =-，所以1*1A A A-==A 91．（4）1111111111111111A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭． 解 160A =-≠，又*4A A =-，所以1*1A A A-==A 41．11．解下列矩阵方程：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121203221X ． 解 112021320212321321213X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛---152384． （2）设B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111B ．解 由B AX X +=，得B X A E =-)(．又03201101011≠=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A E A E ，，则A E -可逆，且B A E X 1)(--=．经计算，得1*02111()()3213011E A E A E A -⎛⎫ ⎪-=-=- ⎪- ⎪-⎝⎭．所以B A E X 1)(--=02111321130111⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001．（3）100001321001010987010100654X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解 11100100001001001001,010010010010100100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11100321001001987010010654100X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛987654321．12．设(1,2,1)A diag =-，且矩阵B 满足*28A BA BA E =-，求矩阵B ．解 等式*28A BA BA E =-两边左乘以A ，得28A BA ABA A =-．又20A =-≠，上式两边右乘以1A -，得228B AB E -=-，即()4E A B E +=，所以1114()4(,1,)222B E A diag A -=+=-=．13．设,,A B C 都是n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆．证 ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆．14．设n 阶方阵A 满足23A A O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证 由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=， 所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．15．设A 为n 阶矩阵，且O A =3，证明A E -及A E +都是可逆矩阵．证 由2A O =，得2()()E A E A A E -++=及2()()E A E A A E +-+=，所以AE -及A E +都是可逆矩阵．16．已知A 为三阶方阵，且2A =-，求：（1）()12A -； （2）*A ； （3）*112A A --．解 （1）原式13111()22A A-===161-．（2）原式2A ==4． （3）*1111115222A A A A A A -----=-=-，有 原式13551()22A A-=-=-=16125． 17．设123231312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*-A．解 18A =-，则()1*AAA-==18A -．18．（1）设1P AP B -=，证明1kkB P A P -=．（2）设PB AP =，且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A 与2011A ．证 （1）111111()()()()kkkB P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===L ．（2）由PB AP =，得1A PBP -=，且201120111APB P -=．又12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以20111100200,611A A PBP A -⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪--⎝⎭． 19．利用分块矩阵计算下列矩阵的乘积：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121003013000120010100121．解 将矩阵进行如下分块：11221210103001010121,0021002300030003A E E B O A O B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M MM M L L L L L L L L L L M M M M ，则原式1111122222A E E B A A B B O A O B O A B +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又1122212302351212349,01210322030309A B B A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原式1251012200490009⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭．（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛d d c c b b a a 0000010001100010．解 将矩阵进行如下分块：01000010,10000100a c a c aE E C E bE dE b d b d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭MM L L L L L L L M M ，则原式aE E C aC dE E bE dE C bdE +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bd c c bd d ac ac d ．20．利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）130120005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．解 将矩阵进行如下分块：12130120005A O A O A ⎛⎫⎪-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭M M L L L L M ， 则11112A O A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又()1111122313155,51211555A A ----⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-51000515105352． （2）2100130000330042⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭．解 将矩阵进行如下分块：122100130000330042AO A O A ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ， 则11112A O A OA ---⎛⎫=⎪⎝⎭．又111112311121335532,131242215532A A ----⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213200213100005251005153．（3）200000120013000002500021⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭．解 将矩阵进行如下分块：1232000001200=0130********21A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭M M L LL L L L L M M M M L LL L L L L M M M M， 则1111123(,,)Adiag A A A ----=．又()111111123151232251882,,13112111244A A A ------⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭， 所以1A -=10000203200011001500088110044⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 21．设矩阵1100010000120021A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算4A ．解 将矩阵进行如下分块：1211000100(,)00120021A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则44412(,)A diag A A =．又4412144140,014041A A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 41400100004140004041A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭．22．设矩阵2500130002100122A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算2012A ．解 将矩阵进行如下分块：1225001300(,)002100122A diag A A ⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M L L LL L M M ，则121(8)8A A A =⋅=⨯-=-，所以2012201220128AA==．23．（1）设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆，试证明111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭． （2）设矩阵12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L MM M M L L，其中12,,,n a a a L 为非零常数，求1A -． 证 （1）因为1111O B E O O C BB O E C O O E B O O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 可逆，且111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）将矩阵进行如下分块：121000000000000n n a a O B A a C O a-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M LM L M M M M M L L L L L L L ML， 则111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．又111111121(,,,),()n n B diag a a a C a -------==L ，所以1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000001112111n n a a a a ΛM M M M ΛΛΛ． 24．利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆；如可逆，求其逆矩阵．（1）130312433⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()313100510101301001313120100105101043300113000122r A E ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭M M M M M M ．因为31051015000E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以A 不可逆．（2）122212221⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 ()122100999122100212212010010999221001221001999r A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭M M M M M M ， 所以A 可逆，且1122999212999221999A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． （3）3201022112320121--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭． 解 ()32011000022101001232001001210001A E --⎛⎫⎪⎪= ⎪---⎪⎝⎭M M M M100011240100010100101136000121610r --⎛⎫ ⎪- ⎪−−→ ⎪-- ⎪--⎝⎭M M M M ，所以A 可逆，且111240101113621610A ---⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭． （4）1111111111111111A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭． 解 ()11111000111101001111001011110001A E ⎛⎫⎪--⎪= ⎪---⎪---⎝⎭M M M M11100000221101000022110011002200000011r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭MM MM ， 所以A 不可逆．25．利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）12313032410272101078X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 ()12313010064532410270102122101078001333r E X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，所以645212333X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （2）5318301325905212150X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．解 将方程两边转置，得5158523323915121000T X ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．由 ()515100100147332010010258121001001369r T E X -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，得123456789X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 26．求下列矩阵的秩：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------034123122651．解 156215622132099214300000r A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以()2R A =．（2）213244251721182--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．解 21324213244251700151()22118200000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5341112332122131． 解 1312131221230747()23211000014350000r A R A ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−→⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． （4）31325532341350775141-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪--- ⎪-⎝⎭． 解 313251350753234049113()313507000017514100000r A R A ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪=−−→⇒= ⎪ ⎪--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． 27．设矩阵12125111610A λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且3)(=A R ，求λ的值．解 1211161025101510116100033(3)r A λλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭．由3)(=A R ，得3λ≠．28．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问k 取何值时，使得（1）()1R A =；（2）()2R A =；（3）3)(=A R ．解 12312312302(1)3(1)23003(1)(2)r k k A k k k k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭，有当1k ≠且2k ≠-时，3)(=A R ；当1k =时，()1R A =；当2k =-时，()2R A =．29．设A 是43⨯矩阵，且A 的秩为2，而101111123B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭，求()R AB ．解 20B =≠，则()()2R AB R A ==．30．设A 为n 阶矩阵，满足256A A E O ++=，证明：(2)(3)R A E R A E n +++=．证 由256A A E O ++=，得(2)(3)A E A E O ++=，所以(2)(3)R A E R A E n +++≤.又(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=，所以(2)(3)R A E R A E n +++=.31．设三阶矩阵110212122A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪--⎝⎭，试求()R A 与*()R A ．解 110110212012()2122000r A R A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---−−→-⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 因为*()231()1R A R A ==-⇒=． 32．求解下列线性方程组：（1）12312312340,2960,3520.x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解 方程组的系数矩阵114114296012352001r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()3R A =，所以方程组只有零解．（2）12312312321,23,237.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-++=⎩解 方程组的增广矩阵()121110012113010112370012r B A β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ，所以方程组的解为2,1,1321===x x x ．（3）12341234123412342370,3270,4360,2550.x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解 方程组的系数矩阵11002231773127010241365001125520000r A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪=−−→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪⎪⎝⎭， 得方程组的解为1424341,27,25.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令42x c =，得方程组的通解(1,7,5,2)T X c =-，其中c 为任意常数．（4）12341234123412340,232,325,36 4.x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎪⎨+++=⎪⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵()1111011110231120133232115005573611400005r B A β⎛⎫⎛⎫⎪⎪----⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ． 因为()3()4R A R B =≠=，所以方程组无解．（5）1231231231232515,34,4611,32419.x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪++=⎩解 方程组的增广矩阵()2151512713140111146110000324190000r B A β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ， 得方程组的解为132327,1.x x x x =-+⎧⎨=-⎩ 令3x c =，得方程组的通解(2,1,1)(7,1,0)T T X c =-+-，其中c 为任意常数．（6）1234123412341234321,22,22771,228100.x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-+=-⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩解 方程组的增广矩阵()11321110741121200131227710000022810000000r B A β---⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪==−−→⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M ，得方程组的解为1243474,3 1.x x x x x =++⎧⎨=--⎩ 令2142,x c x c ==，得方程组的通解为12(1,1,0,0)(7,0,3,1)(4,0,1,0)T T T X c c =+-+-，其中12,c c 为任意常数．33．试问λ取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．（1）123123123(1)1,(1),(1) 1.x x x x x x x x x λλλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=--⎩解 方程组的系数行列式2111111(3)111A λλλλλ+=+=++．当0A ≠，即0≠λ且3-≠λ时，方程组有唯一解．当0=λ时，()111111111110000111110000r B A β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()1()2R A R B =≠=，所以方程组无解．当3-=λ时，()211111221213033511220000r B A β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()()23R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．（2）123123123(2)221,2(5)42,24(5) 1.x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩解 方程组的系数行列式322222222254254(10)(1)245011r r A λλλλλλλκλ+----=--=--=--------．当0A ≠，即1λ≠且10λ≠时，方程组有唯一解．当10λ=时，()8221254225420111245110001r B A β----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()2()3R A R B =≠=，所以方程组无解．当1λ=时，()122112212442000024420000r B A β--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．因为()()13R A R B ==<，所以方程组有无穷多解．34．试问λ取何值时，非齐次线性方程组13123123,422,6423x x x x x x x x λλλ+=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩有解，并求解．解 方程组的增广矩阵()101101412201223614230001r B A λλβλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==+−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭M M M M M M ．当1=λ时，()101101210000rB A β⎛⎫⎪=−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭M M M ，有()()23R A R B ==<，则方程组有无穷多解，且解为13231,2 1.x x x x =-+⎧⎨=-⎩ 令3x c =，得方程组的通解为(1,2,1)(1,1,0)T T X c =-+-，其中c 为任意常数．35．求平面上三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 共线的充分必要条件．解 设直线方程为0ax by c ++=．则平面上三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 共线1222330,0,0x a y b c x a y b c x a y b c ++=⎧⎪⇔++=⎨⎪++=⎩有非零解1122331101x y x y x y ⇔=，即0111321321=y y y x x x ． （B ）1．选择题：（1）设B A ,为n 阶矩阵，以下结论正确的是（ ）．(A)若A 、B 是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵． (B)()()22B A B A B A -=+-．(C)若AB O =，且A 可逆，则B O =． (D)若A 与B 等价，则A 与B 相等．解 选（C ）．（2）设A 和B 均为n n ⨯矩阵，则必有（ ）．(A)B A +=A +B ． (B)BA AB =． (C)AB =BA ． (D)()111---+=+B A B A ．解 选（C ）．（3）设A 为(2)n n ≥阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，k 为常数，则*()kA =（ ）．(A)*A ． (B)*kA ． (C)1*n kA -． (D)*n k A ．解 由伴随矩阵的定义，知选（C ）．（4）设A 和B 均为n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ ）． (A)必有一个等于零． (B)一个等于n ，一个小于n ． (C)都等于n ． (D)都小于n ．解 由AB O =，得()()R A R B n +≤．又,A O B O ≠≠，知()1,()1R A R B ≥≥．所以(),()R A n R B n <<，故选（D ）．（5）对于非齐次线性方程组11m n n m A X β⨯⨯⨯=，若()R A r =，则（ ）． (A)当r m =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有解．(B)当r n =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有唯一解． (C)当m n =时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有唯一解． (D)当r n <时，11m n n m A X β⨯⨯⨯=有无穷多解．。
数学方程式题库及答案
数学方程式题库及答案# 数学方程式题库及答案题目1：一元一次方程解下列方程：\[ 3x - 7 = 2x + 5 \]答案：首先将方程两边的同类项合并，得到 \( 3x - 2x = 5 + 7 \)，简化后得到 \( x = 12 \)。
题目2：一元二次方程解下列方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]答案：这个方程可以通过因式分解来解，即 \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，所以 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
题目3：二元一次方程组解下列方程组：\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 2y = -3 \end{cases} \]答案：使用加减消元法，将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相加，得到 \( 5x = 11 \)，解得 \( x = \frac{11}{5} \)。
将 \( x \)的值代入任意一个方程，解得 \( y = \frac{8}{5} \)。
题目4：分式方程解下列方程：\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{x - 1} = 1 \]答案：首先消去分母，得到 \( 2(x - 1) + 3x = x(x - 1) \)，简化后得到 \( x = 1 \)。
检验后发现 \( x = 1 \) 是增根，所以原分式方程无解。
题目5：线性方程组解下列方程组：\[ \begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 4x - y = -1 \end{cases} \]答案：使用代入法，从第二个方程解出 \( y = 4x + 1 \)，然后代入第一个方程，得到 \( 3x + 2(4x + 1) = 11 \)，解得 \( x = 1 \)。
将 \( x \) 的值代入 \( y \) 的表达式，得到 \( y = 5 \)。
题目6：不等式解下列不等式：\[ |2x - 3| < 5 \]答案：首先将不等式分为两部分，\( 2x - 3 < 5 \) 和 \( -(2x - 3) < 5 \)。
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析
矩阵的运算与线性方程组练习题及解析在线性代数中，矩阵的运算是十分重要的一部分，同时也与线性方程组密切相关。
本文将为大家带来一些关于矩阵的运算和线性方程组的练习题，并给出详细的解析。
1. 矩阵的加法和减法题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]，计算A +B和A - B。
解析：矩阵的加法和减法的计算规则是对应元素相加或相减。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A +B = [1+7 2+8 3+9; 4+10 5+11 6+12] = [8 10 12; 14 16 18]A -B = [1-7 2-8 3-9; 4-10 5-11 6-12] = [-6 -6 -6; -6 -6 -6]2. 矩阵的乘法题目：已知矩阵A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算A * B和B * A。
解析：矩阵的乘法的计算规则是将第一个矩阵A的每一行与第二个矩阵B的每一列对应元素相乘，然后将结果相加。
根据给定的矩阵A和B，我们可以得到如下结果：A *B = [1*5+2*7 1*6+2*8; 3*5+4*7 3*6+4*8] = [19 22; 43 50]B * A = [5*1+6*3 5*2+6*4; 7*1+8*3 7*2+8*4] = [23 34; 31 46]3. 矩阵的转置题目：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵A的转置。
解析：矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
根据给定的矩阵A，我们可以得到如下结果：A的转置 = [1 4; 2 5; 3 6]4. 线性方程组的求解题目：已知线性方程组：2x + y = 8x - y = 2解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性方程组。
将方程组的系数构成系数矩阵A，将方程组的常数构成常数矩阵B。
则方程组可以表示为AX = B的形式。
根据给出的方程组，我们可以得到如下结果：A = [2 1; 1 -1]B = [8; 2]为了求解方程组，我们可以使用矩阵的逆来计算X。
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所以，一般解为： （ 是自由未知量）
⒉解因为增广矩阵
所以一般解为：
（ 是自由未知量）
3.解因有唯一解；当 且 时，无解.
第10章 线性方程组
一、填空题
⒈线性方程组 的增广矩阵 化成阶梯形矩阵后为
则当 时，方程组 有解，且有解.
⒉当 时，齐次方程组 有非0解.
3．若线性方程组 有唯一解，则 .
二、单项选择题
⒈线性方程组 解的情况是（ ）.
A.无解B.只有0解C.有唯一非0解D.有无穷多解
⒉线性方程组 只有0解，则 （）.
A.有唯一解B.可能无解C.有无穷多解D.无解
3.当（ ）时，线性方程组 有唯一解，其中 是未知量的个数。
（A） （B）
（C） （D）
三、解答题
⒈求解线性方程组
⒉求解线性方程组
3.就 的取值，讨论线性方程组
解的情况.
答案及解答：
一、填空题
⒈ ，无穷多⒉ 3.只有0解
二、单项选择题
⒈D⒉B 3.C
三、解答题