多元函数极限的讨论
多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系
多元函数在某点极限、连续、偏微商、全微分之间的关系多元函数的概念在数学上已经有些年头了，即在多个变量的情况下，它们之间的关系也是非常有趣的话题。
这些多变量函数有很多重要的性质，其中之一就是某点极限、连续、偏微分和全微分之间的关系。
在本文中，将讨论多变量函数在某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系，并介绍如何利用这些概念求解多元函数。
首先，多变量函数的某点极限定义如下：当x趋于某一特定的值（或者说给定的一组值）时，多变量函数的极限就是函数值在这个点处的限值。
如果该函数有定义域，那么极限就是函数值在限近点的限值；如果函数没有定义域，那么极限就是函数值在限近点的上限或下限。
如果存在极限，那么必须满足极限定义；如果不存在极限，那么就不存在这样的限值。
其次，多变量函数的连续性描述如下：如果一个函数在某一点处存在极限，那么函数就是连续的，反之则不是。
如果某一函数的极限存在，且接近这一点时函数值趋于一个常数，那么函数就是连续的；如果极限不存在，或者极限存在但接近这一点时函数值不趋于一个常数，那么函数就是非连续的。
接着，多变量函数的偏微分定义如下：在多变量函数f(x,y,z)中，偏导数f/x就是函数f关于x的偏微分。
这意味着当把其他两个变量y和z都看作是定值时，f关于x的偏微分就是求解f关于x的变化量。
如果在某一点处偏导数的值存在，那么这个点就是导数的定义点；此外，如果在某一点处f是连续的，则此处偏导数的值也可能存在。
最后，多变量函数的全微分定义如下：在多变量函数f(x,y,z)中，全微分就是求函数f关于x、y、z三个变量的变化量。
这里的变化量就是每一个变量的偏导数的乘积，即f/xyz，如果在某一点处存在全微分，则这个点就是全微分的定义点。
以上就是多变量函数在某点极限、连续、偏微分、全微分之间的关系的简单介绍。
它们之间的联系可以用来求解多变量函数，尤其是关于极限和偏导数的讨论。
下面，将介绍如何使用这些概念来求解多变量函数。
多元函数的偏导数与极值问题
显然有：z dz
全微分、偏导数、连续性之间的关系
全微分存在
z A x, yx B x, yy o x2 y2
可微
偏导存在
连续
例1（1） z
x yx
求： dz,
dz x1 ,
y2
dz x1
y2 x0.01 y 0.02
解
dz
2
1 x
yx
x
y
x
ln
y
dx
x x yx1dy
所以 z 3, 2 31是极大值。
最大最小值问题
若函数在某区域 D 上有最值，那么最值一定是在 极值点或边界上取得。
在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域 D 内部取到最值，而函数在 D 内又只有唯一的驻点，则 可判定函数在该驻点即取得最值。
例2 要做一个容积等于 K 的长方体无盖水池，应如何选择 水池的尺寸，方可使它的表面积最小？
2 yex2 y
2z x4ex2y y 2
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
2 z ex2 y 2x3 y 2xex2 y
xy
yx
若二元函数 z f x, y 的两个混合偏导 2 z , 2 z
xy yx
在区域 D 上连续，则它们必相等。
全微分的相关概念
如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。
x
S x 1 x 16 x2
2
令
Sx
1
2
16 x2
x2 16
1 z lnx 2y
解
zx
x
1 2y
zxx
x
1
2y2
2
zxy x 2 y2
证明多元函数极限存在
证明多元函数极限存在多元函数极限是微积分中的基本概念之一，它描述了当自变量趋向某个特定值时，函数的变化趋势。
在数学中，多元函数极限存在的证明通常基于某些特定的定理和定义。
本文将从多元函数极限的概念入手，逐步引入相关的定理和定义，最终给出多元函数极限存在的证明。
我们回顾一元函数极限的概念。
在一元函数中，当自变量趋向某个特定值时，函数的极限存在，意味着函数在该点附近有一个确定的、唯一的极限值。
对于多元函数来说，情况稍微复杂一些，因为多元函数涉及多个自变量。
因此，多元函数极限的存在性需要更多的条件和定义来描述。
多元函数极限的定义如下：对于具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，当自变量 (x1, x2, ..., xn) 趋向于一个特定的点 (a1, a2, ..., an) 时，函数f 的极限存在，即存在一个确定的、唯一的极限值L。
这可以表示为：lim(f(x1, x2, ..., xn)) = L(x1, x2, ..., xn)→(a1, a2, ..., an)接下来，我们将介绍一些重要的定理，这些定理是证明多元函数极限存在的基础。
1. 极限的唯一性定理：如果一个多元函数的极限存在，那么它的极限值是唯一的。
这意味着，如果我们通过不同的路径趋近于同一个点，得到的极限值应该是相同的。
2. 极限的有界性定理：如果一个多元函数在某个点附近的极限存在，那么它在该点附近是有界的。
也就是说，函数在趋近于极限点的过程中，不会出现无限增长或无限减小的情况。
3. 极限的局部存在性定理：如果一个多元函数在某个点附近的极限存在，那么它在该点附近是连续的。
也就是说，函数在极限点附近不会出现突变或间断的情况。
以上定理为多元函数极限存在性的基本条件，通过它们我们可以推导出多元函数极限存在的证明。
我们假设函数 f(x1, x2, ..., xn) 在点 (a1, a2, ..., an) 的某个邻域内有界。
多元函数的极限与连续课件
第8章 多元函数微分法及其应用
2
8.1 多元函数的极限与连续
8.1 多元函数的极限与连续
function of many variables
平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业
3
8.1 多元函数的极限与连续
一、平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面. 二元有序 实数组(x, y)的全体, 即
是区域吗? 是区域.
x y0 y x y0
•
E {( x, y) x 0, y 0}
不是区域. 因为不连通. 连结两点的任何折线都与 y轴相交, 相交点不属于E.
y
O•
x
O
x
10
8.1 多元函数的极限与连续
有界集 总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当 大的圆内的区域, 称此区域为 有界集.否则称为 无界 集 (可伸展到无限远处的区域 ).
U (P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
它是以P0为中心、以 为半径的开圆 (“开”意味着
不包括边界), 也称为点P0的邻域, y 几何表示
有时简记为 U (P0 ).
. P0
注 ① 将邻域去掉中心,
称之为 去心邻域. U (P0 , )
O
x
的几U全一何(②a体元表,点函也示)表称数可示之中将为:邻以与点域P点0P的为a0距邻概中离 域念心.小的: 于 某个的矩一形切内点(不x的算全周体界.)
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
使U(P)∩E = ,则称P为E的 外点.(P2 )
E
• P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
7-1多元函数的概念与极限
授课方式
讲授法
授课时数
2
授课方法和手段
启发法和师生互动法
教学
目的
及要求
教学目的；
多元函数的概念
多元函数的极限
多元函数的连续性
教学要求；
理解多元函数的极限，多元函数的连续性。
教学基本
内容纲要
教学重点难点
教学重点；
1、多元函数的极限
2、多元函数的连续性
教学难点：
多元函数的连续性
教
学
过
程
设
计
1．平面点集
作业讨论辅导
P-9 3, 5
参考资料
课后小结
二维平面 上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，记着
；
例如， 上以坐标原点 为中心， 为半径的圆内所有点 的集合
或记着 。2.邻域（1）设 是xoy平面上的一个定点， 为一个正数，则集合
= 称为点 的 邻域。在几何上， 是xoy平面上以点 为中心、 为半径的圆的内部。
不包含 的邻域，称为点 的 去心邻域，记作 ,即
二多元函数的概念
定义一设有三个变量 ， 是 上的一个非空子集，如果对于每一个点 ,变量 按照一定法则总有唯一确定的数值与之对应，则称 是变量 的二元函数（或点 的函数），记为 .或
其中 称为自变量， 称为函数。点集 为函数的定义域。
教
学
过
程
设
计
二元函数的几何意义
设二元函数 的定义域为 ，点 为 中任意取定的点，对应的函数值为 ，这样以 为横坐标，以 为从坐标， 为竖坐标在空间就确定的唯一的点 ，当点 取遍 上的一切点时，得到一个空间点集 ,
3区域
设 是平面 上的一个点集， 是 中的一点，则有
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数求极限方法
多元函数求极限方法多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一，它与微积分、数学分析等领域密切相关。
在学习多元函数求极限的过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧。
下面，我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。
一、直接代入法直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。
当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时，可以先将这个点的坐标代入到这个函数中，从而得到一个实数值。
如果这个实数值存在且唯一，那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。
例如，对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y)，当(x,y) = (1,1)时，我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到：f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1因此，在点(1,1)处，该二元函数的极限值为1。
二、夹逼定理夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。
夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。
夹逼定理的核心思想是，如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间，而这两个函数的极限值相等，那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。
例如，对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)，我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。
首先，我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y)，使得：g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)h(x,y) = 1显然，在点(0,0)处，g(x,y)和h(x,y)都等于1。
因此，我们可以将f(x,y)表示为：h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y)当x和y趋近于0时，g(x,y)趋近于1，而h(x,y)趋近于1。
因此，根据夹逼定理，f(x,y)在点(0,0)处的极限值也应该等于1。
三、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用于计算多元函数积分、求解多元函数最大值和最小值以及判断多元函数是否可积等方面的工具。
第4讲-多元函数概念与极限
第4讲 平面点集与多元函数极限讲授内容一、平面点集平面点集()()(){}2202|,δ<-+-y y x x y x 与(){}δδ<-<-00,|,y y x x y x 分()00,y x A 为中心的δ圆领域与δ方领域，并以记号U(A ；δ)或U(A)来表示．空心邻域是指 ()()(){}22020|,δ<-+-<y y x x y x 与()()(){}0000,,,,|,y x y x y y x x y x ≠<-<-δδ，并用记号()()A U A U;或δ来表示．任意一点2R A ∈与任意一个点集2R E ⊂之间必有以下三种关系之一：（i ）内点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)E ⊂，则称点A 是点E 的内点；E 的全体内点构成的集合称为E 的内部，记作intE ．(ii)外点——若存在点A 的某邻域U(A)，使得U(A)φ=⋂E ，则称A 是点集E 的外点．(iii)边界点——若在点A 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点．则称A 是集合E 的边界点．即对任何正数δ，恒有()(),;;φδφδ≠≠cE A U E A U 且 E 的全体边界点构成E 的边界，记作E ∂．点A 与点集E 的上述关系是按“点A 在E 内或在E 外”来区分的．此外，还可按在点A 的近旁是否密集着E 中无穷多个点而构成另一类关系：(i)聚点——若在点A 的任何空心邻域0U (A)内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点，聚点本身可能属于E ，也可能不属于E ．(ii)孤立点——若点A E ∈，但不是E 的聚点，即存在某一正数δ，使得()φδ=E A U;0，则称点A是正的孤立点．显然，孤立点一定是边界点；内点和非孤立的边界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．例如 设平面点集(){}41|,22<+≤=y x y x D ，满足4122<+<y x 的一切点都是D 的内点；满足122=+y x 的一切点是D 的边界点，它们都属于D ；满足422=+y x 的一切点也是D 的边界点，但它们都不属于D ；点集D 连同它外圆边界上的一切点都是D 的聚点．根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集——若平面点集所属的每一点都是正的内点(即intE=E)，则称E 为开集．闭集——若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集．若点集E 没有聚点，这时也称E 为闭集． 开域——若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线)相连接，则称正为开域(或称连通开集)． 闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域．区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分边界点所成的点集，统称为区域．又例如(){}0|,>=xy y x E ，虽然是开集，但因Ⅰ、 Ⅲ象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域．有界点集——对于平面点集E ，若存在某一正数，使得(),;r O U E ⊂其中O 是坐标原点. 点集E 的直径)(E d . 就是()(),,sup 21,21p p E d Ep p ρ∈=其中()21,p p ρ表示1P 与2P 两点之间的距离，当1P 和2P 的坐标分别为()11,y x 和()22,y x 时，则， ()()().,22122121y y x x p p -+-=ρ根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式：()()()323121,,,p p p p p p ρρρ+≤二、2R 上的完备性定理定义 设{}⊂n P R 2为平面点列，∈o P R 2为一固定点。
多元函数求极限例题
多元函数求极限例题多元函数求极限是微积分学中一个重要的概念，也是应用数学和科学工程中经常遇到的问题。
在本文中，我们将讲解多元函数求极限的概念和例题。
一、概念解析多元函数可以看做是具有多个自变量的函数，例如f(x,y)。
多元函数的求极限可以看做是在自变量逐渐逼近一个确定值的情况下，函数值的趋势。
即当(x,y)趋近于点(x0,y0)时，f(x,y)可能无限逼近某个值，这个值就是(x0,y0)点的极限。
二、例题解析1. 例题一：求f(x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 + x * y在点(1, -1)处的极限。
解：对于多元函数f(x, y)，我们可以采用依次逼近法来求解极限。
即将自变量沿着曲线或直线从不同方向逐渐逼近给定的点。
首先，我们可以以(1, -1)为中心，沿着x轴方向逼近，此时f(x, y) = (x - 1) ^ 2 + y ^ 2 - 2，当x趋近于1时，f(x, y)趋近于-2。
然后，我们以(1, -1)为中心，沿着y轴方向逼近，此时f(x, y) = x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 - 1，当y趋近于-1时，f(x, y)趋近于1。
综上所述，极限不存在。
2. 例题二: 求f(x, y) = sin(xy) / xy 的极限。
解：对于这道例题，我们可以将其转化为一元函数，令u = xy，则函数变为f(x, y) = sin u / u。
然后，我们可以以(0, 0)为中心，沿着某个代码逼近。
比如，以x = 0的直线为例，此时f(x, y) = sin y / y，当y趋近于0时，f(x, y)趋近于1。
根据夹逼定理，当x^2+y^2趋近于0时，f(x,y)也趋近于1。
因此，原函数在(0,0)点极限为1。
三、总结在求解多元函数极限时，可以采用依次逼近法，将自变量沿着曲线或直线从不同方向逐渐逼近给定的点。
同时，我们要掌握夹逼定理的应用，通过夹逼来判断函数的极限是否存在。
多元函数的基本概念与极限
例2. 求函数
解:
f ( x, y )
2
arcsin(3 x y ) x y
2
2
2
的连续域.
3 x2 y2 1
x y 0 2 x2 y2 4 x y2
y O
2
2
x
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有界闭区域上二元连续函数的性质
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
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3. 二元函数的极限
P P0
lim f ( P) A
4. 二元函数的连续性 1) 函数f ( P) 在 P0 连续 有界定理 ; 最值定理 ;
P P0
lim f ( P) f ( P0 )
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
lim
f ( x, y ) A
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定义2.
设二元函数
在P0 ( x0 , y0 ) 的某一去心邻域内有定义， 若对任意正数 , 总存在正数 , 使得适合不等式
0 PP0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点（ P x, y) D
则称 A 为函数 f ( x, y )
x
O
1 2x
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;
y
1O 1
点集
( x, y )
x 1 是开集，