(完整版)《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积体积》
D
C
O
E
A
B
例2. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积.
解：由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2, 解得AO1=20cm，
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
O2
B
O1
A
O
所以R2=x2+202=(x+9)2+72. 解得x=15(cm).
S c1 c2
r O1 l
R O2
三、球的表面积
球面面积（也就是球的表面积）等于 它的大圆面积的4倍，即
S球=4πR2， 其中R为球的半径.
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
（A）3 + 3 a2
4
（B） 3 a2
4
（C）3 + 3 a2
2
（D）
3 2
+
3 4
a2
S
A
C
B
5. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，
底面边长为a，该三棱锥的全面积是
（A ）
（A）3
4
3 a2
（C）3 3 a2
2
（B）
3 4
a2
（D）( 3 3 )a2
24
6. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为（ A ）
探究 2:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积 公式之间的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c '
ch'
S锥侧
1 2
ch '
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图 是一个矩形，这个矩形的一边为母线， 另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱 底面半径为r，母线长为l，则侧面积
1 6
a3
O D
C1 B1
C B
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
六.球的体积
V球
=
4 3
πR3
例1. 已知正四棱锥底面正方形 长为4cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积及 P 全面积.（单位：cm2 ）
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
例3: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
V V 解:
棱锥B1 A1BC1
A1
棱锥B A1B1C1
1 3 SA1B1C1 BB1
1 1 a2 a
3 2
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
所以圆的半径R=25(cm).
O2
B
所以S球=4πR2=2500π(cm2) O1
A
O
练习：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全 等的小正方体，则表面积增加了（ B ） （A）6a2 （B）12a2 （C）18a2 （D）24a2
3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面 边长为a，该三棱锥的全面积是（ A ）
(5)若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 ,
4 则两球的直径之差为（ ）
练习5:
1、一个四面体的所有的棱都为 2 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ ）
A 3л
B 4л C 3 3 D 6л
2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相 切。求球的表面积。
小结：
1、多面体的侧面积公式及球的表面 积公式 2、公式的应用 3、数学思想方法——转化、类比、 归纳猜想
S圆柱侧=2πrl.
O`
O
（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一 个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的 半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面 圆的圆周
S圆锥侧= πrl，其中l为圆锥母线长，r为底 面圆半径。
S
l
c=2r
Or
A
（3）圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图 是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R， 母线长为l， 则S圆台侧=π(r+R)l= 12(c1+c2)l，其中r，R 分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为 上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
V正方体= a3
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
七.小结:
1.记住常见几何体的体积公式.
V柱体=sh
V锥体=
1 sh 3
V台体=
1 3
h(s
+
ss'+3
1 4 R2
3
R
2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算
柱，锥，台，球等常见的几何体的体积。
谢 谢 大 家！
（A）2：π （B）3：π （C）4：π （D）6：π
练习4:
2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的（ ）倍。
4 (2)若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的（ ）倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是（1: 2 2 ）。 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是（1: 3 4）。
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-高一下学期数学北师大(2019)必修第二册
第八章 立体几何初步
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
温故知新
情境引入
新知探究
新知应用
归纳小结
检测达标
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组
合体的结构特征和平面展示.这节课进一步认识它们的
表面积和体积.那几何体的表面积和体积指的是什么呢？
表面积是几何体表面的面积它表示几
解析：由 = ，得 = ，
则− = 四边形 × = ×
× = ，
− = 四边形 × = ×
= ，
= − + − = ，
则该几何体的表面积为 = × ( + ) − × × × +
检测达标
× ×
× × = ( + + ).故选A.
温故知新
情境引入
回顾
探究体积
1
归纳小结
探究表面积
检测达标
应用公式解决实际问题
3
2
3
2
1
新知应用
新知探究
5
4
公式简单应用
温故知新
2
∴AB ＝
＋
＝ ＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
温故知新
情境引入
新知探究
新知应用
归纳小结
检测达标
学生 2．如图所示，已知六棱锥PABCDEF，其中底面ABCDEF
实践 是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(共23张PPT)
例1、已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜 高的夹角为30。，求正四棱锥的侧面积及全面积。
P
D
O A
C E B
例2、一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接 而成，求得半径为R，正四棱太的上、下底面边长分 别为2.5R和3R,斜高为0.6R
（1）求这个容器盖子的表面积（用R表示，韩解除 对面积影响忽略不计）；
【解】 如图，正三棱台 ABC－A1B1C1 中，O、O1 为两底面中心，D、D1 是 BC、B1C1 的中点，则 DD1 为棱台的斜高． 已知 A1B1＝20 cm，AB＝30 cm，
则 OD＝5 3 cm，O1D1＝103 3 cm. 由 S 侧＝S 上＋S 下，得
S
侧＝12(60＋90)·DD1＝
(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心 作正方体的对角面得截面，如图(2)，2r2＝ 2a，r2 ＝ 22a，所以 S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体 的对角面得截面，如图(3)，所以有 2r3＝ 3a，r3 ＝ 23a，所以 S3＝4πr23＝3πa2. 综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
3(202＋302)， 4
解得 DD1＝133 3(cm)． 在直角梯形 O1ODD1中， O1O＝ DD21－OD－O1D12
＝
13
32－ 5
3－10
32 ＝4
3(cm)，
3
3
即棱台的高为 4 3 cm.
4、正四棱台的高为 12cm，两底面的边长相差 10cm，全面积是 512 cm2，求两底面的边长 .
圆柱的侧面展开图是矩形.
S圆柱侧 2Rh
2、圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线 为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积人教A版(2019)必修第二册
从而，其表面积为6×32=54.
跟踪练习
2.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，
动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积
A.与点E，F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E，F，Q的位置都有关
D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值
解
1 1
VA′-EFQ=VQ-A′EF= × ×EF×AA′×A′D′，
1
1
＝2V 三棱锥 C－ABE＝2V 三棱锥 E－ABC
1 1
＝2×2V 四棱锥 E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
典例精析
题型六：补体法求几何体的体积
例6 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别
为2和3，则该几何体的体积为
面积有什么关系？
多面体的表面积就是其展开图的面积，
所以常把多面体展开成平面图形，
利用平面图形求多面体的表面积.
新知探索
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，
则V=Sh.
棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，
1
则V= Sh.
3
棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′、S，
1
高为h，则V= (S+S′+
2
所以S=
3 2
1 1 2 3+ 3 2
a +3× × a =
a .故选A.
4
2 2
4
D
B
C
(2)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，
课件5：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
(1)记住直棱柱和正棱锥的表面积公式的推导方式； (2)记住正棱台的表面积公式的推导方法； (3)记住球的表面积公式； (4)能运用直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式求解相关问题； (5)能够利用公式求球的表面积.
【知识梳理】
知识点 1 直棱柱的表面积 直棱柱的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和． (1)直棱柱的侧面展开图及侧面积： ①直棱柱的侧面展开图是矩形． ②直棱柱的侧面积： 设棱柱的高为 h，底面多边形的周长为 c，则得到直棱柱侧面积计算公 式 S 直棱柱侧面积＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的积． (2)直棱柱的全面积为 S 全＝S 侧＋2S 上(下)底
类型三 正棱台的表面积 【例 3】 正四棱台的高、侧棱、对角线长分别为 7 cm、9 cm、 11 cm.求它的侧面积． 思维启迪：先根据条件求出上、下底面边长和斜高，然后利用正 棱台的侧面积公式求解．
解：如图所示，在△AA1C1 中过 A 作 AE⊥A1C1 于点 E， 则 AE＝OO1＝7，∴A1E＝ A1A2－AE2＝4 2(cm)， C1E＝ AC21－AE2＝6 2，AO＝O1E＝A1O1－A1E ＝12(C1E－A1E)＝ 2，A1O1＝A1E＋O1E＝5 2(cm)．
讲拓展 长方体与正方体的表面积 (1)长方体的表面积为 S 全＝S 侧＋2S 底，若长方体的长、宽、高 分别为 a，b，c，则长方体的表面积为 S 表＝2(ab＋bc＋ca) (2)正方体的表面积：如果正方体的棱长为 a，则它的表面积为 S 表＝6a2.
知识点 3 正棱台的表面积 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，上下底面都是正多边形． 设正 n 棱台的上底面边长为 a，周长为 c，下底面边长为 a′，周长为 c′， 斜高为 h′，则可知： (1)正棱台的侧面积：S 正棱台侧＝12n(a＋a′)h′＝12(c＋c′)h′. (2)正棱台的表面积：正棱台的表面积等于正棱台的侧面积与底面积之 和，即 S ＝S 正棱台表 ＋S 正棱台侧 ＋S 上底面积 下底面积．
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(优秀经典公开课课件)
则 E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在 Rt△E1HE 中， E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17， 所以 E1E＝3 17. 所以 S 侧＝4×21×(B1C1＋BC)×E1E ＝2×(6＋12)×3 17＝108 17.
[素养聚焦] 通过空间几何体的体积的计算，把直观想象等核心素养体现在解题过程中．
[规律方法] 求几何体体积的常用方法
[触类旁通]
2.已知高为 3 的棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形，如图，则三
棱锥 B-AB1C 的体积为( )
A．41
B．21
C．
3 6
D．
3 4
解析
2．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体 究，提升逻辑推理的素养.
的表面积与体积．(重点)
01 课 前 案 自 主 学 习
栏目 02 课 堂 案 题 型 探 究
03 课 后 案 学 业 评 价
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开 图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系 吗？
A．75
B．250
C．150
D．300
解析 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边
长为 5，所以侧面积为 S 侧＝4×5×15＝300.
答案 D
题型二 简单几何体的体积(一题多解) [例 2] 如图所示，在长方体 ABCD -A′B′C′D′中，用截面截下一个棱 锥 C -A′DD′，求棱锥 C -A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
课件7：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
问题 4 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其它方法吗？ 答 可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出． 问题 5 棱台的表面积或全面积如何求？ 答 棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．
探究点三 圆柱、圆锥、球的表面积 问题 1 如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？ 答 图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周 长，宽是圆柱的高(母线), 设圆柱的底面半径为 r， 母线长为 l， 则有：S 圆柱侧＝2πrl，S 圆柱表＝2πr(r＋l)， 其中 r 为圆柱底面半径，l 为母线长．
例 2 如图所示是一个容器的盖子，它是用一 个正四棱台和一个球焊接而成的，球的半径 为 R.正四棱台的两底面边长分别为 3R 和 2.5R， 斜高为 0.6R： (1)求这个容器盖子的表面积(用 R 表示，焊接处对面积的影响忽略 不计); (2)若 R＝2 cm，为盖子涂色时所用的涂料每 0.4 kg 可以涂 1 m2，计 算为 100 个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到 0.1 kg)
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
【学习目标】
1．理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面 展开图． 2．掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表 面积． 3．掌握球的表面积公式并会求球的表面积．
【知识梳理】
1．直棱柱的侧面积公式 S＝ ch ，其中 c 为底面多边形的周长， h 为棱柱的高，用语言可叙述为直棱柱的侧面积等于它 的 底面周长和高的乘积 ． 2．正棱锥的侧面积公式 S＝ 12nah′＝ 12ch′，其中底面边长为 a，c 为底面多边形的周长，h′为棱锥的斜高，用语言可叙述为 正棱锥的侧面积等于它的 底面周长和斜高乘积的一半 .
跟踪训练 1 已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体 S－ABC，
高中数学课件8-3-1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章 §8.3 简单几何体的表面积与体积8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标XUE XI MU BIAO1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是的面积展开图思考 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？答案 将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝Sh S为棱柱的，h为棱柱的___棱锥S为棱锥的，h为棱锥的___棱台S′，S分别为棱台的______，h为棱台的___底面积高底面积高上、下底面面积高思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( )2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.( )3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.( )××√√2题型探究PART TWO一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积例1 已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.解 如图所示，画出正三棱台ABC－AB1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则O O1为正三棱台的高，D D1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，反思感悟(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法①多面体的表面积是各个面的面积之和.②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.解 ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，二、棱柱、棱锥、棱台的体积例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1－ABC 的体积为√解析 设三棱锥B 1－ABC 的高为h ，1B ABCV －三棱锥(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.解 正四棱台的大致图形如图所示，其中AB1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.∴EE1＝13 cm.在直角梯形EOO1E1中，反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为____.三、简单组合体的表面积与体积例3 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？因为A1B1＝AB＝6 m，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312 (m3)，故仓库的容积是312 m3.反思感悟求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.1A BDS △11113A B C D S 正方形1111ABCD A B C D V －正方体1A ABDV －三棱锥核心素养之直观想象HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG几何体体积的求法典例1 等积变换法如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.解 由＝，11A D EF V －三棱锥11F A D E V －三棱锥11A D ES △又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，11F A D EV －三棱锥11A D EFV －三棱锥典例2 分割法如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.素养提升(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.(3)通过识别几何体的结构特征，提升直观想象的数学核心素养.3随堂演练PART THREE1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为√A.27 cm3B.60 cm3C.64 cm3D.125 cm3解析 V＝3×4×5＝60(cm3).长方体2.如图所示，在正方体ABCD－AB1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的√解析 令正方体棱长为a，则V＝a3，正方体3.已知正四棱锥，其底面边长为8，棱长为，则正四棱锥的侧面积为A.48B.64√C.80D.1204.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________.5.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为_____.解析 ＝1A DED V －三棱锥1E DD A V －三棱锥课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.(3)组合体的表面积与体积.2.方法归纳：等积法、割补法.3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为√A.48B.64C.16D.962.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是√3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为√解析 设棱柱的高为h，底面积为S，4.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是√5.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是A.侧面积之比为1∶4B.侧面积之比为1∶8C.体积之比为1∶27D.体积之比为1∶26√√解析 依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.6.棱长都是3的三棱锥的表面积S为______，体积为_____.解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，7.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，1则三棱锥A－B1DC1的体积为____.8.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，1 012侧棱长为13 cm，则其表面积为_______ cm2.9.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；解 由题意知S∶S大棱锥侧＝1∶4，小棱锥侧则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.。
棱柱棱锥棱台和球的表面积ppt课件
（棱台）的高．
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三、概念形成
概念4.球的体积
Hh
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三、概念形成
概念4.球的体积
R
r
l
R
l l
Sr2(R 2l2)
R
定 理 ： 12 V 球 R 半 的径 球 R2R是 的 13R体 2V R 积 4R 为 3 ：
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的 表面积
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1
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
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2
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
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二.正棱锥的表面积
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五.球的表面积 球面面积（也就是球的表面积）等于它
的大圆面积的4倍， 即S球=4πR2，
其中R为球的半径.
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11
例1. 一个长方体的长、宽、高分别为5、 4、3，求它的表面积。
解：长方体的表面积 S=2(5×4+4×3+5×3)=94.
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12
6
三. 正棱台的表面积 1上．底正面棱的台周的长侧为面c’积，是下S底= 面12 (的c+周c’)长·h为’，c，其斜中 高为h’.
a'
h h'
a
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圆柱、圆锥、圆台的侧面积
O` O
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