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九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)

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二次函数多结论压轴小题精选30道(必考点分类集训)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册

二次函数多结论压轴小题精选30道(必考点分类集训)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册

二次函数多结论压轴小题精选30道1．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④2a﹣b＞0；⑤a+c＜1．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据图上给的信息，结合二次函数的性质去判断对错即可．【解答】解：①如图所示，图象开口向上，∴a＞0，∵图象与y轴的交点在x轴下方∴c＜0，∵图象的对称轴在y轴的左边，且a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②根据图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故②正确；③由图可得，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③正确；④由图可得，―b2a＞―1，∵a＞0，∴2a＞b，∴2a﹣b＞0，故④正确；⑤当x＝1时，a+b+c＝2，∴a+c＝2﹣b，∵a﹣b+c＜0，∴2﹣b﹣b＜0，解得：b＞1，∴2﹣b＜1，∴a+c＜1，故⑤正确；综上所述，共有4个是正确的；故选：D．2．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a＞12④0＜b＜1中正确的有（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点的位置，可以得出a、b、c的符号，进而确定abc的符号，对①做出判断；把（1，2）代入可对②做出判断；而无法判断③④一定正确，综合得出答案．【解答】解：因为抛物线开口向上，可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，∴abc＜0，故①正确；把（1，2）代入得a+b+c＝2，故②正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，又∵a+b+c＝2，∴2b＞2，即：b＞1，因此④不正确，因为对称轴x=―b2a介在﹣1与0之间，因此―b2a＞―1，得2a＞b，而b＞1，∴a＞12，因此③正确．故选：B．3．（2024•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，∴abc＜0，所以①正确，符合题意；当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确，不符合题意；对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确，符合题意；x=―b2a=1，则a=―12b，而a﹣b+c＜0，则―12b―b+c＜0，2c＜3b，所以④正确，符合题意；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤错误，不符合题意．故①③④正确，故选：B．4．（2024•汝阳县一模）图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④|a+c|＜|b|．其中正确的个数有（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再根据抛物线的对称性和增减性对四个结论依次进行判断即可．【解答】解：由所给函数图象可知，a＜0，b＜0，所以ab＞0．故①正确．抛物线上横坐标为﹣2的点在x轴下方，所以4a﹣2b+c＜0．故②正确．因为抛物线的对称轴在直线x＝﹣1和y轴之间，所以―b2a＞―1，则2a﹣b＜0．故③正确．当x＝1时，函数值小于零，则a+b+c＜0；当x＝﹣1时，函数值大于零，则a﹣b+c＞0；所以（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，所以（a+c）2＜b2，所以|a+c|＜|b|．故④正确．故选：D．5．（2024•斗门区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①，由a与b的关系及x＝﹣1时y＜0可判断②，利用（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），根据x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0可判断③，由x＝1时y取最小值可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=―b2a=1＞0∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0∴abc＞0，故①正确．∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故②不正确．∵（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c），且a+b+c＜0，a﹣b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝0，故③不正确．∵x＝1时，y＝a+b+c为最小值，∴a+b≤m（am+b），故④正确．故选：A．6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x 的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及二次函数的性质求解．【解答】解：由图象得：a＜0，c＞0，b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故①是正确的；∵抛物线与x轴有两个交点，∴0＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故②是错误的；根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为：﹣2，4，∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝8a+c＝0，故③是正确的；由图象得：抛物线与y＝﹣1的交点的横坐标分别位于﹣2的左边，4的右边，∴x1＜﹣2，x2＞4；故④是正确的；∵直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c）和（4，0），∴于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0即：ax2+bx+c＞kx﹣4k的解集是0＜x＜4，故⑤是正确的；故选：B．7．（2024•旺苍县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴―b2a＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0；②由于二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；③由―b2a=1，得b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以2a﹣2b+2c＜0，把b替换成a计算；④x＝1时函数有最大值，所以当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，即a+b+c＞m（am+b）+c，所以a+b＞m（am+b）（m≠1）成立；⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，∴b＞0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则Δ＝b2﹣4ac＞0．∴b2＞4ac．故②错误；∵―b2a=1，∴b＝﹣2a．又∵当x＝﹣1时，y＜0．即a﹣b+c＜0．∴2a﹣2b+2c＜0．∴﹣3b+2c＜0．∴2c＜3b．故③正确；∵x＝1时函数有最大值，∴当x＝1时的y值大于当x＝m（m≠1）时的y值，即a+b+c＞m（am+b）+c∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正确．将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误．综上：③④正确，8．（2023秋•龙港区期中）函数y ＝ax 2+bx +c 与y ＝kx 的图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②a +b +c ＝0；③x ＝﹣2时，函数y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c 有最大值；④关于x 的方程ax 2+（b ﹣k ）x +c ＝0的根是x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据抛物线与x 轴交点个数与Δ＝b 2﹣4ac 的关系即可判断①；由x ＝1时，二次函数的函数值即可判断②；由抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1得到9a ―3b +c =―3k①a ―b +c =―k②，解得k ﹣b ＝﹣4a ，代入y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c 得到y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c ＝﹣ax 2﹣4ax ﹣c ＝﹣a （x +2）2+4a ﹣c ，根据二次函数的性质即可判断③；抛物线与直线的交点的坐标与函数解析式的关系即可判断④．【解答】解：∵抛物线与x ∴Δ＝b 2﹣4ac ＜0，故选项①错误；由图象可知，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＞0，故选项②错误；∵抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1，∴9a ―3b +c =―3k①a ―b +c =―k②，②﹣①得﹣8a +2b ＝2k ，即k ﹣b ＝﹣4a ，∴y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c ＝﹣ax 2﹣4ax ﹣c ＝﹣a （x +2）2+4a ﹣c ，∵﹣a ＜0．∴x ＝﹣2时，函数y ＝﹣ax 2+（k ﹣b ）x ﹣c 有最大值，故选项③正确；∵抛物线与直线的两个交点的横坐标为﹣3，﹣1，∴方程ax 2+bx +c 与y ＝kx 的解为x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，∴关于x 的方程ax 2+（b ﹣k ）x +c ＝0的根是x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，故选项④正确．9．（2023•石城县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax21+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x=b2a=1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：y＝a+b+c；∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故④错误；⑤∵ax21+bx1=ax22+bx2，∴ax21+bx1―ax22―bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=―b a ，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．10．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可．【解答】解：由函数图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，所以abc＞0．故①正确．因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以―b2a=―1，即2a﹣b＝0．因为抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，且x ＝1时，函数值小于零，所以x ＝﹣3时，函数值小于零，则9a ﹣3b +c ＜0．故③正确．因为抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，且开口向下，所以当x ＝m 时，am 2+bm +c ≤a ﹣b +c ，即am 2﹣a +bm +b ≤0，所以a （m 2﹣1）+b （m +1）≤0．故④正确．由函数图象可知，当x ＝1时，函数值小于零，则a +b +c ＜0，又因为b ＝2a ，所以3a +c ＜0．故⑤正确．故选：D ．11．（2024•y ＝ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＜0；②abc ＞0；③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0，你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】观察图象易得a ＞0，―b 2a =13＞0，所以b ＜0，2a ﹣3b ＞0，因此abc ＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；当x ＝﹣1，y ＝a ﹣b +c ，由点（﹣1，a ﹣b +c ）在第二象限可以判定a ﹣b +c ＞0③是正确的；当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝2×（﹣3b ）+2b +c ＝c ﹣4b ，由点（2，c ﹣4b ）在第一象限可以判定c ﹣4b ＞0⑤【解答】解：∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵与y轴交点在x轴的下方，∴c＜0，∵―b2a=13＞0，∵a＞0，∴b＜0，2a﹣3b＞0，∴abc＞0，∴①②是正确的，④对称轴x=―b2a=13，∴3b＝﹣2a，∴2a+3b＝0，∴④是错误的；当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，而点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0是正确的；当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，而点（2，c﹣4b）在第一象限，∴c﹣4b＞0．故选：C．12．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x ＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向可判定a的符号；结合抛物线的对称轴b的符号可判断①；通过x＝﹣1和x＝3的对称性判断②；将不等式的两边加上c，进而判断出③；将b＝﹣2a，a﹣b+c＝0可推出④．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴为：x=―b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①不正确；∵2×1﹣3＝﹣1，当x＝3时，y＞0，∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，∵b＝﹣2a＞0，∴a+c＞0，故②正确；∵b＝﹣2a，∴2a+3b＝2a﹣6a＝﹣4a＞0，故③正确，∵当x＝1时，y＝a+b+c，a＜0，∴函数的最大值为：a+b+c，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠0），∴a+b＞am2+bm，∴②③④正确，故选：C．13．（2024•桃江县一模）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣a）（如图所示），则下列说法：①abc ＜0；②（a+b）2≥c；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a≤0．则正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由二次函数图象的性质及二次函数图象与系数的关系逐一判定即可．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a），∴―b2a=2，∴b＝﹣4a＞0，∵抛物线交y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣a），∴4a+2b+c＝﹣a，∵b＝﹣4a，∴4a﹣8a+c＝﹣a，即c＝3a，∴（a+b）2﹣c＝9a2﹣3a＝3a（3a﹣1），∴3a （3a ﹣1）＞0，∴（a +b ）2﹣c ＞0，∴（a +b ）2＞c ，故②错误；由图可知抛物线与直线y ＝c 有两个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c ＝c ，即ax 2+bx ＝0有两个不相等的实数根，故③正确；∵a 为抛物线二次项系数，∴a ≠0，故④错误．故选：A ．14．（2023秋•中山市校级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a +b ＝0；②3a +c ＞0；③m 为任意实数，则a +b ＞am 2+bm ；④若A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2＝2，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④【分析】根据对称轴为直线x ＝x ＝1时取得最大值，即可判断①③，根据x ＝3时，y ＜0，即可判断②，根据对称性即可判断④．【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x =―b 2a=1，∴b ＝﹣2a ，即2a +b ＝0，所以①正确；∵x ＝3时，y ＝9a +3b +c ＜0，即9a +3×（﹣2a ）+c ＜0，∴3a +c ＜0，故②不正确；抛物线对称轴为直线x ＝1，开口向下，∴函数的最大值为a +b +c ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c （m 为任意实数），即a +b ≥am 2+bm ，故③不正确；∵A （x 1，0），B （x 2，0），对称轴为直线x ＝1，则x 1+x 2＝2，故④正确，15．（2023秋•西城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②9a+3b+c＞0；③c＞0；④﹣3＜―b2a＜0其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据开口方向判断a的符号，当x＝3时，判断9a+3b+c＞0；根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；根据抛物线对称轴的位置判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故①正确；由图可以看出，对称轴﹣3＜x=―b2a＜0，故④正确；设抛物线与x1，由题意得，对称轴x=x1―32＜0，解得x1＜3，∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故②错误；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，故③正确．综上所述，①③④正确．故选：B．16．（2023•东港区校级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③2b+c+3＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0其中正确的有（ ）个．A．4B．3C．2D．1【分析】①根据开口方向判定a的符号，根据对称轴判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据抛物线与x轴的交点情况判断b2﹣4ac的符号；②当x＝1时，y＝1，判断b+c+1的符号，由b+c+1＝1，可得b+c＝0；③根据对称轴求b的值，由b+c＝0，代入可作判定；④由抛物线和直线所处的位置判断x2+bx+c＜x，得出x2+（b﹣1）x+c＜0．【解答】解：①∵函数y＝x2+bx+c与x轴没交点，∴Δ＝b2﹣4ac＜0，∵a＝1，∴Δ＝b2﹣4c＜0，故①错误；②∵函数y＝x2+bx+c与y＝x的交点的横坐标为1，∴交点为：（1，1），（3，3），∴b+c+1＝1，∴b+c＝0；故②正确；③由图象得：抛物线的对称轴是：x=32，且a＝1，∴―b2=32，∴b＝﹣3，∴2b+c+3＝b+0+3＝0，故③正确；④由图象可知：当1＜x＜3时，抛物线在直线的下方，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0，故选：B．17．（2023•双台子区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出四个结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③对于任意实数m，有am2+bm+c＜a﹣b+c；④ca＞―3，其中正确的有（ ）A．①②B．①④C．②③D．③④【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的系数确定了抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点等．对于①，先根据二次函数图象的性质判断a，b，c的正负，进而得出答案；对于②，令x＝﹣2求出y值，判断即可；对于③，先求出当x＝﹣1时，求初最大值，再比较即可；对于④，根据对称轴求出a，b的关系，再将x＝1，y＝0代入关系式，即可判断．【解答】解：①∵对称轴位于x轴的左侧，∴―b2a＜0，∴即ab＞0．∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0．故①正确；②∵x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故②正确；③当x＝﹣1时，y最大＝a﹣b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴有am2+bm+c≤a﹣b+c，故③错误；④∵抛物线的对称轴为直线x=―b2a=―1，∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴ca=―3aa=―3，故④错误；正确的结论有：①②，故选：A．18．（2023•遂溪县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线l，则以下说法：①a﹣b+c＝0；②4a+b＝0；③abc＞0；④16a+5b+2c＞0，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】先由抛物线与x5，0），对称轴为x＝2，可以得到抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0）可以判断①；利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②；先由抛物线的开口方向判断出a＞0，进而判断出b＜0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③；先求出b＝﹣4a，c＝﹣5a，然后代入16a+5b+2c即可判断．【解答】解：有图象知，抛物线过点（5，0），对称轴为直线x＝2，∴抛物线过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴―b2a=2，∴4a+b＝0，故②正确；由图象知，抛物线开口向上，∴a＞0，∵4a+b＝0，∴b＜0，而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴abc＞0，故③正确；∵4a+b＝0，∴b＝﹣4a，∵a﹣b+c＝0，∴c＝﹣5a，∴16a+5b+2c＝16a﹣20a﹣10a＝﹣14a＜0，故④错误．故选：C．19．（2023秋•义乌市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4A．①②③B．②③④C．①④D．②③【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴有两个交点可判断②，由当x＝1时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于1且抛物线开口向下可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴―b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②正确；∵x＝1时函数取最大值，∴am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），∴am2﹣a+bm﹣b＜0，即a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1），③正确．∴由图象可得函数最大值大于2，∴ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根x1，x2，ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根x3，x4，∵图象对称轴为直线x＝1，∴x1+x2＝2，x3+x4＝2．∴x1+x2+x3+x4＝4，∴④正确．故选：B．20．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜―b a ；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，∵对称轴x=―b2a＞1，b＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故选项①正确；对称轴x=―b2a＞1，又a＜0，则﹣b＜2a，则2a+b＞0，故②错误；∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，∴抛物线对称轴为：x=―b2a＞1，―ba＞2，m+n＜―ba，故选项③正确；当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0，∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|④选项正确．故选：C．21．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大⑥一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a﹣b 成立．上述结论，正确的是（ ）A．①②⑤B．②③④C．②③⑥D．③④⑤【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；由对称轴为直线x＝﹣1即可得到，2a﹣b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③④；由抛物线的增减性可判断结论⑤；函数的最值即可判断结论⑥．【解答】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；∵―b2a=―1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；∵抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线过点（1，0），∴a+b+c＝0，故③正确；∴b＝2a，a+b+c＝0，∴3a+c＝0，故④错误；∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；故⑤错误；∵函数最小值为a﹣b+c，∴当x0≠﹣1时，则ax20+bx0c a﹣b+c，即ax20+bx0＞a﹣b，∴一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a﹣b成立，故⑥正确；故选：C．22．（2023•广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（ ）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①；由x＝﹣1时y＞0及a＞0，可判断②；由x＝﹣1时y＞0及a与b的数量关系可判断③，由x＝1时函数取最小值可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴―b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵a＞0，∴2a﹣b+c＞0，故②错误；∵b＝﹣2a，∴a=―b 2，由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c=―32b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故③正确；由x＝1时函数取最小值可得am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b，∵a=―b 2，∴am2+bm≥b 2，∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确．故选：D．23．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞―13c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（ ）A．①③④B．①②④C．①④D．②③④【分析】根据二次函数图象与性质，先判断a＜0，b＝﹣2a，即b＞0，c＞0，即可判断①正确；根据图象得出x＝3时y＜0，即可得出9a+3b+c＜0，通过变形可判断②错误；根据9a+3b+c＜0结合b＝﹣2a 可以判断③正确；根据x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，可以判断④正确．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴是直线x＝1，∴―b2a=1，即b＝﹣2a，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；由图象可知，抛物线与x轴左侧的交点在（﹣1，0）的右侧，∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴右侧的交点在（3，0）的左侧，∴当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，∴3a+b＜―13 c，故②错误；∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，∴―92b+3b+c＜0，∴2c＜3b，故③正确；当x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，故④正确；∴正确的有①③④，故选：A．24．（2024•黄石模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中﹣1＜x1＜0．下列四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2b﹣c＜0；④不等式ax2+bx+c＞―c2x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的序号为（ ）A．①②B．①③C．②③D．①④【分析】根据题意画出函数图象，得到a、b异号，c＞0，可判断①结论；根据当x＝﹣1时，y＜0，可判断②结论；根据抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（2，0），得到a=―12b―14c，可判断③结论；令y1=―c2x+c，画出一次函数图象，利用图象可判断④结论．【解答】解：根据题意画出函数图象如下：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0x轴交于点（x1，0），（2，0），其中﹣1＜x1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴在12～1之间，与y轴交点在正半轴，∴a、b异号，c＞0，∴abc＜0，①结论正确；由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，②结论错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴a=―2b+c4=―12b―14c，∴a―b+c=―12b―14c―b+c=―32b+34c=―34(2b―c)＜0，∴2b﹣c＞0，③结论错误；令y1=―c2x+c，当x＝0时，y＝c；当y＝0，x＝2，函数图象如下：由图象可知，当0＜x＜2时，抛物线y＝ax2+bx+c图象在一次函数y1=―c2x+c的上方，∴不等式ax2+bx+c＞―c2x+c的解集为0＜x＜2，④结论正确，故选：D．25．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2=ax2+bx―3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x＜2时，y1＞y2；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣4，t1），（1，t2t1＞t2；④对于抛物线y2=ax2+bx―3，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据函数图象即可判断①②④；求出对称轴，再由开口向上得到离对称轴越远函数值越大，即可判断③．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为﹣3＜x＜2，∴当﹣3＜x＜2时，y1＞y2，故①正确；∵二次函数与x轴的一个交点坐标为当（﹣3，0），∴x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，故②正确；∵抛物线经过（2，5），（﹣3，0）∴4a+2b﹣3＝5，9a﹣3b﹣3＝0，∴a＝1，b＝2，∴抛物线对称轴为直线x=b―2a=―1，∵函数开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞1﹣（﹣1）＝2，∴t1＞t2，故③正确；由函数图象可知，当﹣3＜x＜2时，y2的取值范围是不是0＜y2＜5，故④错误，故选：B．26．（2024•东港区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）①不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；②9a2﹣b2＜0；③一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为x1=13，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），则不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3；再将b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判断②；将一元二次方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由抛物线的顶点坐标可求n＝﹣4a，从而进一步可求n的范围为83≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．【解答】解：∵顶点坐标为（1，n），∴b＝﹣2a，∵与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵对称轴为直线x＝1，经过点（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个的交点为（3，0），∵抛物线开口向下，∴不等式ax2++bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，即不等式ax2+c＜﹣bx的解集为x＜﹣1或x＞3，故①正确；∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0，故②不正确；∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，即3x2+2x﹣1＝0，∴方程的根为x1=13，x2＝﹣1，故③正确；∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间，∴2≤c≤3，∵顶点坐标为（1，n），∴n＝﹣4a，∵c＝﹣3a，∴n=43 c，∴83≤n≤4，∴6≤3n﹣2≤10；故④正确；故选：D．27．（2024•射洪市一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示（1＜x ＝h ＜2，0＜x A ＜1）．下列结论：①abc ＜0；②2a +b ＞0；③若OC ＝2OA ，则2b ﹣ac ＝4；④3a ﹣c ＜0．其中正确的有 ②③④　．（只填写序号）【分析】①根据抛物线的开口向下即可得出a ＜0，再根据抛物线的对称轴在x ＝1和x ＝2之间即可得出b ＞﹣2a ，②正确；②由b ＞﹣2a 可得出b ＞0，再根据抛物线与y 轴交于y 轴负半轴可得出c ＜0，由此即可得出abc ＞0，①错误；③将A(―c 2，0)代入抛物线解析式中，整理后可得出2b ﹣ac ＝4，③正确；④根据抛物线的对称轴1＜―b 2a＜2可得出﹣2a ＜b ＜﹣4a ，再由当x ＝1时y ＞0即可得出a +b +c ＞0，进而即可得出3a ﹣c ＜0，④正确．综上即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0．∵抛物线的对称轴―b 2a＞1，∴b ＞﹣2a ，即2a +b ＞0，②成立；∵b ＞﹣2a ，a ＜0，∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，①错误；∵OC ＝2OA ，∴A(―c 2，0)，∴14ac 2―14bc +c =0，整理得：2b ﹣ac ＝4，③成立；∵抛物线的对称轴1＜―b 2a＜2，∴﹣2a ＜b ＜﹣4a ，∵当x ＝1时，y ＝a +b +c ＞0，∴a ﹣4a +c ＞0，即3a ﹣c ＜0，④正确．综上可知正确的结论为②③④．故答案为：②③④．28．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b ＞0；②b ＜a +c ；③c ＜4b ；④a +b ＜k 2a +kb （k 为常数，且k ≠1）．其中正确的结论序号是 ①③　．【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由图象可知，a ＜0，―b 2a=1，∴b ＝﹣2a ，∴b ＞0，故①正确；由图象可知，当x ＝﹣1时，y ＜0，即a ﹣b +c ＜0，∴b ＞a +c ，故②错误；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为直线x ＝1，∴当x ＝3时，函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且b ＝﹣2a ，即a =―b 2，代入得9（―b 2）+3b +c ＜0，得c ＜32b ，∵b ＞0，∴c ＜4b ，故③正确；当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝k时，y＝ak2+bk+c，∵k为常数，且k≠1，所以a+b+c＞ak2+bk+c，故a+b＞ak2+bk，故④错误．故①③正确．故答案为：①③．29．（2023秋•青山区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，c），且满足a﹣b+c＝0．下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线x＝1；②b与c同号；③若a+2b+4c＞0，则不等式ax2+bx+c＜﹣2ax﹣a﹣b的解集﹣2＜x＜2；④抛物线上的两个点M（m﹣1，y1），N（m+2，y2），当c＜0，且y1＞y2时，m＜1 2．其中一定正确的是 .（填写序号）【分析】根据二次函数的性质及抛物线与不等式的关系求解．【解答】解：由题意得：4a+2b+c＝c，∴b＝﹣2a∴―b2a=1，故①是正确的；又∵a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴a、c异号，a、b异号，∴b、c同号，故②是正确的；∵a+2b+4c＞0，∴a﹣4a﹣12a＝﹣15a＞0，∴a＜0，∴不等式化为：x2﹣4＞0，解得：﹣2＜x ＜2，故③是正确的；∵c ＜0，∴a ＞0，抛物线开口向上，∵m ﹣1＜m +2，y 1＞y 2，∴m +2≤1，或1﹣（m ﹣1）＞m +2﹣1解得：m ≤﹣1或m ＜12，故④是错误的；故答案为：①②③．30．（2023秋•城厢区校级月考）如图，是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），点A 和点B 均在直线y 2＝mx +n （m ≠0）上．①2a +b ＝0；②abc ＞0；③抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣4，0）；④方程ax 2+bx +c ＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a ﹣b +c ＜4m +n ；⑥不等式mx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为1＜x ＜4．其中正确的是 ．【分析】利用抛物线的对称轴方程得到―b 2a=1，则可对①进行判断；由抛物线开口向下得到a ＜0，则b ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y ＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；利用x ＝﹣1时，y 1＞0，即a ﹣b +c ＞0，x ＝4时，y 2＝0，即4m +n ＝0，则可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x =―b 2a=1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，3），∴抛物线与直线y＝﹣3有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根，所以④正确；∵x＝﹣1时，y1＞0，即a﹣b+c＞0，而x＝4时，y2＝0，即4m+n＝0，∴a﹣b+c＞4m+n；所以⑤错误；∵当1＜x＜4时，y2＜y1，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜1或x＞4．所以⑥错误．故答案为：①④．。

人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题(最值问题)专题训练(含解析)

人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题(最值问题)专题训练(含解析)

人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题（最值问题）专题训练(1)求三个点，，的坐标；(2)当点运动至抛物线的顶点时，求此时(3)设点的横坐标为，的长度为范围；是否存在最值，如有写出最值．(1)求二次函数的解析式；(2)当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值；(3)在抛物线上是否存在点，若存在，请求出点A B C N N t MN L 8AOP S =△(1)求抛物线的表达式和点D 的坐标．(2)连接AD ，交y 轴于点E ，P 是抛物线上的一个动点．Q 是抛物线对称轴上一个点，是否存在以B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出存在，请说明理由．(3)如图，点P 在第四象限的抛物线上，连接AP 、BE 交于点G ，设（1）求二次函数解析式；（2）设的面积为，试判断PCD ∆S S请说明理由；（3）在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请写出点的坐标若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与轴相交于两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为．（1）求抛物线的解析式．（2）已知为线段上一个动点，过点作轴于点．若的面积为．①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当取得最值时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数，回答下列问题：（1）求出此抛物线的对称轴和顶点坐标；MB P PCD ∆P 2y x bx c =-++x ,A B A B y C M 1x =C (0,3)P MB P PD x ⊥D ,PD m PCD =∆S S m m S P MB P PCD ∆P 243y x x =++（2）写出抛物线与轴交点、的坐标，与轴的交点的坐标；（3）写出函数的最值和增减性；（4）取何值时，①，②．7．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为B (3，0)，C (0，3)，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．若OD ＝m ，△PCD 的面积为S ，①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标；（3）在MB 上是否存在点P ，使△PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．8．已知抛物线y ＝x 2﹣2ax+m ．（1）当a ＝2，m ＝﹣5时，求抛物线的最值；（2）当a ＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y 轴向上平移k 个单位长度后，得到新的抛物线与x 轴没有交点，请判断k 的取值情况，并说明理由；（3）当m ＝0时，平行于y 轴的直线l 分别与直线y ＝x ﹣（a ﹣1）和该抛物线交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使点P ，Q 都在x 轴的下方，求a 的取值范围．9．如图，Rt △OAB 如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA 与x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt △OAB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点O ，C ，A 三点．x A B y C x 0y <0y >(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，m ，连结，，与直线交于点E ．设别为和，设己，试求t 关于m 的函数解析式并求出OD (05)m <<MQ BQ MQ OB 1S 2S 12S t S =(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线CB上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，－2)为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点，点M 为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．参考答案：∴β=1，∴A(-1，0)，B (3，0)，∴，解得：，∴抛物线的表达式为，当x =1时，y =1-2-3=-4，∴点D 的坐标为(1，4)；（2）解：∵A (-1，0)，B (3，0)，D (1，4)，设直线AD 的表达式为y =kx +c ，∴，解得，∴直线AD 的表达式为y =-2x -2，当x =0时，y =-2，∴点E 的坐标为(0，-2)，∵P 是抛物线上的一个动点，Q 是抛物线对称轴上一个点，∴设P (m ，)，Q (1，t )，①当BE 为边时，PQ BE 且PQ =BE ，当E 对应Q ，由(0，-2)变为(1，t )，要向右平移1个单位，则当B (3，0)对应P (m ，)，也要向右平移1个单位，即m =3+1=4，∴=5，∴P (4，5)；309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩12a b =⎧⎨=-⎩2=23y x x --04k c k c -+=⎧⎨+=⎩22k c =-⎧⎨=-⎩223m m --∥223m m --223m m --∵∠OBC=45°，∵轴∴时，轴∴，即，解得：，∴此时；②时，如图②，PD x ⊥90CDP ∠=︒//CP x 3c p y y ==263m -+=32m =3,32P ⎛⎫ ⎪⎝⎭90P CD ''∠=︒∵轴，∴，∴，又∵，∴，即，∵，，，P D x ''⊥//P D OC ''12∠=∠90P CD D OC '''∠=∠=︒P CD D OC '''∆∆∽OC CD CD P D '='''(0,3)C (,0)D m (,26)P m m -+【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，掌握二次函数的性质以及解二次函数的方法是解题的关键．8．（1）-9；（2）当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；（3）a＞1或a＜﹣1【分析】(1)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；(3)根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．【详解】解：(1)当a＝2，m＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9所以抛物线的最小值为﹣9．(2)当a＝2时，y＝x2﹣4x+m因为该抛物线与坐标轴有两个交点，①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点∴△=16-4m=0，∴m=4，∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，则k＞0；②该抛物线与x轴、y轴交于原点，即m=0，∴y＝x2﹣4x∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，∴y＝x2﹣4x+k此时△＜0，即16﹣4k＜0解得k＞4;综上，当m=0时，k＞4或当m=4时，k＞0时，得到新的抛物线与x轴没有交点；(3)当m＝0时，y＝x2﹣2ax抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，①当a＞0时，如图1所示，此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，如图2所示，此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．综上：a＞1或a＜﹣1．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的最值问题和根据题意进行分类讨论是解本题的关键.9．(1)、y=﹣x2+4x；(2)、10；(3)、N1（2+2，﹣4），N2（2﹣2，﹣4）【详解】试题分析：(1)、根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；(2)、四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；(3)、在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．试题解析：(1)、因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°，可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；(2)、四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，L max=10；=2+，﹣2+，﹣，，点Q 的横坐标为m ()1,16N MN ∴--=， (,Q m m ∴，()2245KQ m m m m m ∴=--=-+()121122B E S QK x x S MN =-= ，()21S 115QK m m ∴==--=-【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，最值，是解题的关键．13．（1）；（2）①m=2或4+2和．【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y=a 2122y x x =-50.5-50.5+（2）∵点P在第四象限的抛物线上，设直线AP的解析式为代入，∵，∴，y=(1,0)A-2(,2P m m-03m<<10m+≠∵点C 与点关于对称轴对称∴设直线的解析式为解得：∴直线的解析式为：C '1x =()2,3C '-AC 'y kx b =+13432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩AC '3y =-设点在中，当时，在中，由勾股定理知：即：化简得：解得：（舍），233,384R k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭Rt OBC 222BC OC OB =+190BCR ∠= 1Rt BCR ()222334384k k k k ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭29+140k k =()9+14=0k k 0k =14k =-。

2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)

2023年中考数学复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练(含解析)

2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A的右侧，且AB＝7．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D 的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值．2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值．3．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．6．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点H．当点P 运动到何处时满足PC＝CH？求出此时点P的坐标；（3）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值．9．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，0），点C在y轴上，其坐标为（0，﹣3），抛物线经过点A，B，C．P为第三象限内抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式．（2）连接AC，过点P作PD⊥AC，PE∥y轴交AC于点E，当△PDE的周长最大时，求P点的坐标和△PDE周长的最大值．（3）若点M为x轴上一动点，点F为平面直角坐标系内一点．当点M，B，C，F构成菱形时，请直接写出点F的坐标．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C 的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．11．如图，矩形AOBC放置在平面直角坐标系xOy中，边OA在y轴的正半轴上，边OB在x轴的正半轴上，抛物线的顶点为F，对称轴交AC于点E，且抛物线经过点A（0，2），点C，点D（3，0）．∠AOB的平分线是OE，交抛物线对称轴左侧于点H，连接HF．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上有动点M，线段BC上有动点N，求四边形EAMN的周长的最小值；（3）该抛物线上是否存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．15．如图，已知直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+3经过B、C两点并与x轴的另一个交点为A，且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点R为直线BC上方对称轴右侧抛物线上一点，当△RBC的面积为时，求R点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接CR，作RH⊥x轴于H，连接CH、AC，点P为线段CR上一点，点Q为线段CH上一点，满足QH＝CP，过点P作PE∥AC交x轴于点E，连接EQ，当∠PEQ＝45°时，求CP的长．16．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y ＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是OB上的一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，4），在第一象限内有一点P（m，n），且满足4m+3n＝12．（1）求二次函数解析式．（2）若以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，求点P的坐标．（3）若点A关于y轴的对称点为点A′，点C在对称轴上，且2∠CBA+∠P A′O＝90◦．求点C的坐标．19．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．20．如图，抛物线y＝ax2+6x﹣5交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（5，0），直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求△BCP面积S的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC当直线AM与直线BC的一个夹角等于∠ACB的3倍时，请直接写出点M的坐标．21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．24．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．25．如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A （﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．27．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求顶点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2．点G是抛物线y ＝ax2+bx+c位于直线y＝﹣x+3下方的任意一点，连接PB、GB、GC、AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△GBC面积的最大值；（3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）由y＝x2+x+m，令y＝0，则（x+2）（x﹣m）＝0，∴AO＝2，BO＝m，∴A（﹣2，0），B（m，0），∵AB＝7，∴m﹣（﹣2）＝7，m＝5，∴y＝；（2）过点D作DK⊥x轴于点K，设∠DAB＝α，则D（d，﹣），∴＝．∴EO＝AO•tanα＝5﹣d，CE＝5﹣（5﹣d）＝d，∴；（3）过点E作CE的垂线，过C作∠OCP的平分线交DE于点J，交CE的垂线于点F，过点F作ED的平行线交HD于点N．∴∠ECF＝∠HDE＝α，HE＝3k，CP＝5k，CE＝HD＝d，∵CE＝HD，∠CEF＝∠CHD＝90°，∴△CEF≌△DHE（ASA），∵EF∥DN，NF∥DE，∴四边形EDNF为平行四边形，∴EF＝HE＝DN＝3k，CF＝DE＝FN，∴△CFN为等腰直角三角形，∴∠PCN＝∠FNC＝45°，∴∠PCN＝∠PNC＝45°﹣α，∴PC＝PN＝5k，∴PD＝2k，∴CH＝d﹣3k，PH＝d﹣2k，∴（d﹣3k）2+（d﹣2k）2＝（5k）2，∴（d﹣6k）（d+k）＝0，∴d＝6k，∴在Rt△DHE中，tan，由（2）知，∴．∴d＝4，∴D（4，3），∴＝＝8．2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），∴A（1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，得0＝4a+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴PE∥DC，∴△APN∽△ADC，∵PN分△ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝；当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴AP＝，∴t的值为×2＝，综上所述，t的值为或；（3）如图2﹣1，当CN为菱形的对角线时，点P，N的横坐标均为，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即EN＝4﹣t，由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH，可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，∵，∴，在Rt△CHE中，∵CE2+EH2＝CH2，∴，解得，t1＝，t2＝4（舍）；如图2﹣2，当CN为菱形的边时，由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t，在Rt△CNE中，∵NE2+CE2＝CN2，∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2，解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．3．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时，S△ACD有最大值，当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．4．解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1∴S△AED＝S△AEF+S△EFD＝＝，∴当m为﹣2时，S△AED的最大值为1，如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．5．解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，∴S△AOB＝OC•（y A﹣y B）＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，∵△POB为等腰三角形，∴①PO2＝OB2时，+y2＝8，解得，y＝±，∴P1（﹣，﹣），P2（﹣，）；②PB2＝OB2时，+（y+2）2＝8，解得，y＝﹣2±，∴P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+）；③PB2＝OP2时，+（y+2）2＝+y2，解得，y＝﹣，∴P5（﹣，﹣）；综上所述，点P的坐标为P1（﹣，﹣），P2（﹣，），P3（﹣，﹣2﹣），P4（﹣，﹣2+），P5（﹣，﹣）；（3）设M（x，y），∵A（1，4），B（﹣2，﹣2），O（0，0），∴MO2＝x2+y2，MA2＝（x﹣1）2+（y﹣4）2，MB2＝（x+2）2+（y+2）2，又∵MO＝MA＝MB，∴，解得，，∴M（﹣，），作B关于y轴的对称点B'（2，﹣2），连接B'M交y轴于Q，则此时MQ+BQ的值最小，理由是两点之间，线段最短，又∵MB的长度为定值，∴此时△BQM的周长最小，C△BQM＝MB+MQ+BQ＝MB+MB'＝＝，∴M的坐标为（﹣，），△BQM周长的最小值为．6．解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当k＝﹣1时，直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，设P（x，x2﹣3x﹣4），则E（x，﹣x﹣1），D（x，0），则PE＝|x2﹣3x﹣4﹣（﹣x﹣1）|＝|x2﹣2x﹣3|，DE＝|x+1|，∵PE＝2ED，∴|x2﹣2x﹣3|＝2|x+1|，当x2﹣2x﹣3＝2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝5，∴P（5，6）；当x2﹣2x﹣3＝﹣2（x+1）时，解得，x1＝﹣1（舍去），x2＝1，∴P（1，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（5，6）或（1，﹣6）；（3）存在，理由如下；∵∠AED＝∠PEC，∴要使△ADE与△PCE相似，必有∠EPC＝∠ADE＝90°或∠ECP＝∠ADE＝90°，①当∠EPC＝∠ADE＝90°时，如图1，CP∥x轴，∵P（1，﹣6），根据对称性可得C（2，﹣6），将C（2，﹣6），代入直线AC解析式中，得2k+k＝﹣6，解得，k＝﹣2；②当∠ECP＝∠ADE＝90°时，如图2，过C点作CF⊥PD于点F，则有∠FCP＝∠PEC＝∠AED，则△PCF∽△AED，∴＝，在直线y＝kx+k上，当x＝1时，y＝2k，∴E（1，2k），∴DE＝﹣2k，由，得或，∴C（k+4，k2+5k），∴F（1，k2+5k），∴CF＝k+3，FP＝k2+5k+6，∴＝，解得，k1＝k2＝﹣1，k3＝﹣3（此时C与P重合，舍去），综上，当k＝﹣2或﹣1时，△ADE与△PCE相似．7．（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，交BE于G，由（1），C（0，﹣2），将B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BC的解析式为，∵H（1，y）在直线BC上，∴，∴，将点B（3，0），E（0，﹣1）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线BE的解析式为y＝x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH＝，∵直线BE：y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+x﹣2相交于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB＝GH×（x B﹣x F）＝××（3﹣）＝；（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），∵动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，∴设M（2，m），m＞，∴OM2＝m2+4，BM2＝m2+1，OB2＝9，∵∠OMB＝90°，∴OM2+BM2＝OB2，∴m2+4+m2+1＝9，∴m1＝，m2＝﹣（舍），∴M（2，），∴MD＝﹣，∴，∴当时，∠OMB＝90°．8．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得，x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；（3）在y＝﹣x2+2x+3中，对称轴为x＝1，若m+1≤1，即m≤0时，当x＝m+1时，函数有最大值m，∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝；若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时，当x＝1时，函数有最大值为m＝4（舍）；若m＞1，当x＝m时，函数有最大值为m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得，m1＝（舍去），m2＝，综上所述，m的值为或．9．解：（1）∵抛物线经过点A，B，它们的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴设其解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将点C（0，﹣3）代入y＝a（x+4）（x﹣2），解得，，∴抛物线的解析式为；（2）∵OA＝4，OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝5，∵PD⊥AC，∠PDE＝∠AOC＝90°，又∵PE∥y轴，∴∠PED＝∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴PD：AO＝DE：OC＝PE：AC，即PD：4＝DE：3＝PE：5，∴，∴△PDE的周长＝，则要使△PDE周长最大，PE取最大值即可，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣4，0）代入y＝kx﹣3，得，k＝﹣，∴直线AC的解析式为，设点，则，∴当a＝﹣2时，取得最PE大值，最大值为，则，∴P（﹣2，﹣3），△PDE周长的最大值为；（3）如右图，①当BM为对角线时，显然，点F在y轴上，根据对称性得到点F的坐标为（0，3）；②当BM为边时，∵，则有以下几种情况：（I）BC为边时，BM＝BC＝，点M在x轴负半轴上时，点M是点B向左平移个单位长度得到的，∴M（2﹣，0），∴点C（0，﹣3）向左平移个单位长度得到点F；点M在x轴正半轴上时，点M是点B向平右移个单位长度得到的，∴M（2+，0），∴点C（0，﹣3）向右平移个单位长度得到点F；（II）BC为对角线时，设OM＝x，在直角三角形OMC中，由勾股定理可得OM2+OC2＝MC2，即x2+32＝（x+2）2，解得，x＝，∴菱形的边长为2+＝，∴CF＝，∴F（，﹣3），综上所述，点F的坐标为（0，3）或或或．10．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，由翻折知，△BCO≌△BHO，∴BH＝BC＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，∴△AHO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AO＝，∴A（，0），B（﹣，3），∵抛物线经过原点O，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得，，∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，∴S△MAB＝PM（x A﹣x B）＝（﹣x2+x+）×4＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+4，∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；（3）在y＝x2﹣x中，对称轴为x＝，①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，∵OA＝，∴EF＝，∵x F＝，∴x E＝±＝或﹣，当x E＝或﹣，时y E＝，∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，∵当x＝时，y＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．11．解：（1）∵AE∥x轴，OE平分∠AOB，∴∠AEO＝∠EOB＝∠AOE，∴AO＝AE，∵A（0，2），∴E（2，2），∴点C（4，2），设二次函数解析式为y＝ax2+bx+2，∵C（4，2）和D（3，0）在该函数图象上，∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；（2）作点A关于x轴的对称点A1，作点E关于直线BC的对称点E1，连接A1E1，交x 轴于点M，交线段BC于点N．根据对称与最短路径原理，此时，四边形AMNE周长最小．易知A1（0，﹣2），E1（6，2）．设直线A1E1的解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A1E1的解析式为．当y＝0时，x＝3，∴点M的坐标为（3，0）．∴由勾股定理得AM＝，ME1＝，∴四边形EAMN周长的最小值为AM+MN+NE+AE＝AM+ME1+AE＝；（3）不存在．理由：过点F作EH的平行线，交抛物线于点P．易得直线OE的解析式为y＝x，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2＝，∴抛物线的顶点F的坐标为（2，﹣），设直线FP的解析式为y＝x+b，将点F代入，得，∴直线FP的解析式为．，解得或，∴点P的坐标为（，），FP＝×（﹣2）＝，，解得，或，∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，∴点H的坐标为（，），∴OH＝×＝，易得，OE＝2，EH＝OE﹣OH＝2﹣＝，∵EH≠FP，∴点P不符合要求，∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（1，2），∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），∴AC＝，BC＝3，∴△P AC的周长是：AC+CP+P A＝AC+CB＝，即点P的坐标为（1，2），△P AC的周长是；（3）存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，∵S△P AM＝S△P AC，∴当以P A为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到P A的距离相等，当点M在点C的上方时，则CM∥P A时，点M和点C到P A的距离相等，设过点A（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m，，得，∴直线AP的解析式为y＝x+1，∴直线CM的解析式为y＝x+3，由得，，，∴点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP 之间的距离相等，∴直线l2的的解析式为y＝x﹣1，由得，，，∴M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）．13．（1）证明：△＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．14．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S△ABP＝＝，∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，化简得，44t2﹣388t+803＝0，即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．15．解：（1）在直线y＝﹣x+3中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝4，∴C（0，3），B（4，0），∴OC＝3，∵OC＝3OA，∴OA＝1，∴A（﹣1，0），把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）如图1，连接RO，RC，RB，设R（t，﹣t2+t+3），则S△RBC＝S△OCR+S△OBR﹣S△OBC＝×3t+×4（﹣t2+t+3）﹣×3×4＝﹣t2+6t，∵S△RBC＝，∴﹣t2+6t＝，解得，t1＝1，t2＝3，∵点R为直线BC上方对称轴右侧，∴R（3，3）；（3）如图2﹣1，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，作QF⊥OB 于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ，∴AM∥QE，∴∠MAH＝∠QEF，∵∠QFE＝MHA＝90°，∴△QEF∽△MAH，∴＝，∴EF＝2QF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝2m，∴EH＝3m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴3m＝4﹣m，∴m＝1，∴CP＝1；如图2﹣2，在RH上截取RM＝OA，连接CM、AM，AM交PE于G，交QE于N，作QF ⊥OB于H，∵CR＝CO，∠CRM＝∠COA，∴△CRM≌△COA（SAS），∴CM＝CA，∠RCM＝∠OCA，∴∠ACM＝∠OCR＝90°，∴∠CAM＝∠CMA＝45°，∵AC∥PE，∴∠CAM＝∠AGE＝45°，∴∠PEQ＝45°，∴∠AGE＝∠PEQ＝45°，∴∠ENG＝∠ENA＝90°，∵∠EQF+∠QEF＝90°，∠EAN+∠QEF＝90°，∴∠EQF＝∠MAB，∵∠QFE＝∠AHM＝90°，∴△QEF∽△AMH，∴＝，∴QF＝2EF，设CP＝m，∴QH＝CP＝m，∵OC＝OH，∴∠OHC＝45°，∴QF＝FH＝m，∴EF＝m，∴EH＝m，∵四边形ACPE为平行四边形，∴AE＝CP＝m，∵EH＝AH﹣AE＝4﹣m，∴4﹣m＝m，∴m＝，∴CP＝，综上所述，CP的长度为1或．16．解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4．∴A（4，0），C（0，﹣4）把A（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax2﹣3x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x﹣4．（2）如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠ACO＝45°，∴∠HEC＝∠HCE＝45°．∵点D（m，m2﹣3m﹣4），E（m，m﹣4），∴EH＝HC＝m，ED＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m．∴，∴当∠ECD＝∠EDC时，EC＝ED．∴，解得m＝0（舍去）或；（3）存在．∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，在抛物线y＝x2﹣3x﹣4中，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点B坐标为（﹣1，0）．∵∠F AE＝∠FEA＝45°，∴EF＝AF．设△BFE的周长为n，则n＝BF+FE+BE＝BF+AF+BE＝AB+BE，∵AB的值不变，∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．∵当BE⊥AC时，∠EBA＝∠BAE＝45°，∴BE＝AE，∴BF＝AF＝2.5．∴m＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF的周长最小．17．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（4，0），∴，解得，∴该抛物线的解析式：y＝x+3；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0），∴A、B关于对称轴对称，。

人教版数学九年级上学期期末压轴备考练习题：《二次函数》(含答案)

人教版数学九年级上学期期末压轴备考练习题：《二次函数》(含答案)

人教版数学九年级上学期期末压轴备考练习题：《二次函数》（含答案）1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点c的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．解：（1）且抛物线经过A（1，0），x＝﹣1，故点B（﹣3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1；故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B（﹣3，0），直线BC交函数对称轴于点M，则点M为所求，将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，故点M（﹣1，2）；（3）△APB的面积与△ACB的面积相等，则|y P|＝y C＝3，即﹣x2﹣2x+3＝±3，解得：x＝0（舍去）﹣2或1±，故点P的坐标为：（﹣2，2）或（1，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2）．2．如图1，已知抛物线；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C（点B 在点C的左侧），与y轴交于点E．（1）求点B、点C的坐标；（2）当△BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0，b），在抛物线C1的对称轴上是否存在点H，使得△BGH的周长最小，若存在，则求点H的坐标（用含b的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0），令y＝0，则x＝﹣2或m，故点B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（m，0）；（2）存在，理由：y＝﹣（x+2）（x﹣m），令x＝0，则y＝2，故点E（0，2），△BCE的面积＝×BC×OE＝（m+2）×2＝6，解得：m＝4，则抛物线的对称轴为：x＝（﹣2+4）＝1，点B关于函数对称轴的对称点为点C（m，0），连接CE交对称轴于点H，则点H为所求，将点C、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CE的表达式为：y＝﹣bx+b，当x＝1时，y＝b，故点H（1，b）；（3）∵OE＝OB＝2，故∠EBO＝45°，过点F作FT⊥x轴于点F；①当△BEC∽△BCF时，则BC2＝BE•BF，∠FBO＝EBO＝45°，则直线BF的函数表达式为：y＝﹣x﹣2，故点F（x，﹣x﹣2）；将点F的坐标代入抛物线表达式得：﹣x﹣2＝﹣（x+2）（x﹣m），解得：x＝﹣2（舍去）或2m，故点F（2m，﹣2m﹣2），则BF＝2（m+1），BE＝2，∵BC2＝BE•BF，则（m+2）2＝22（m+1），解得：m＝2±2（舍去负值），故m＝2+2；②当△BEC∽△FCB时，则BC2＝BF•EC，∠CBF＝∠ECO，则△BFT∽△COE，则，则点F[x，﹣（x+2）]，将点F的坐标代入抛物线表达式得：﹣（x+2）＝﹣（x+2）（x﹣m），解得：x＝﹣2（舍去）或m+2；则点F[m+2，﹣（m+4）]BC2＝BF•EC，则（m+2）2＝，化简得：m3+4m2+4m＝m3+4m2+4m+16，此方程无解；综上，m＝2．3．四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．（1）如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线；（2）如图2，直线y＝﹣x+分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y＝（k＜0）上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；（3）如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为（3，1），AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连接BD，△BCD的面积为．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c （a＜0）与x轴交于E，F两点，记|m|＝AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．解：（1）如图1，设∠ACD＝α，则∠ACB＝130°﹣α，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，在△ABC和△ACD中，∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴AC是四边形ABCD的相似对角线；（2）①当∠APO为直角时，当∠OAP＝30°时，过点P作PH⊥x轴于点H，设OH＝x，则HP＝x，HA＝3x，则x+3x＝4，解得：x＝1，故点P（1，﹣），故k＝﹣；当∠AOP＝30°时，同理可得：k＝﹣3；②当∠OAP为直角时，当∠OP A＝30°时，点P（4，﹣4），k＝﹣16；当∠AOP＝30°时，同理可得：k＝﹣；综上，反比例函数的表达式为：y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；（3）如图3，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH＝60°﹣∠BCD＝30°，故CH＝BC，则BH＝BC，△BCD的面积＝CD•BH＝CD×HB＝，故CD•BC＝4而△BAC∽△ACD，故CD2＝BC•CD＝4，故CD＝2，则点A（1，1），而点C（3，1），将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为：y＝ax2+（4a+3）x+3a+1，AC＝1，则m＝±3，故直线的表达式为：y＝±3x，直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，则直线y＝3x与抛物线有一个交点，联立直线y＝3x于抛物线的表达式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0，△＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0，解得：a＝﹣或﹣．4．如图，已知一次函数y＝﹣x与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象相交于原点O和另一点A （4，﹣4）．（1）求二次函数表达式；（2）直线x＝m和x＝m+2分别交线段AO于C、D，交二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象于点E、F，当m为何值时，四边形CEFD是平行四边形；（3）在第（2）题的条件下，设CE与x轴的交点为M，将△COM绕点O逆时针旋转得到△C′OM′，当C′、M′、F三点第一次共线时，请画出图形并直接写出点C′的纵坐标．解：（1）把（0，0），A（4，4）代入y＝x2+bx+c得，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x；（2）设C（m，m），D（m+2，m+2），则E（m，m2﹣3m），F[m+2，（m+2）2﹣3（m+2）]，即F（m+2，m2+m﹣2），∵CE∥DF，∴当CE＝DF时，四边形CEFD为平行四边形，即m+2﹣（m2﹣3m）＝m+2﹣（m2+m ﹣2），解得m＝1，即当m为1时，四边形CEFD是平行四边形；（3）画图如下，作C′H⊥x轴于H，当m＝1时，C（1，1），D（3，3），F（3，0），即F点为抛物线与x轴的一个交点，∴OM＝CM＝1，OC＝，∵△COM绕点O逆时针旋转得到△C′OM′，∴OM′＝C′M′＝1，∠OM′C′＝∠OMC＝90°，在Rt△OM′F中，FM′＝＝2，∴FC′＝2﹣1，∵∠C′FH＝OFM′，∴△FHC′∽△FM′O，∴，即＝∴FH ＝，C ′H ＝，∴OH ＝OF ﹣FH ＝，∴C ′（，）．5．二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣x +1相交于A 、B 两点（如图），A 点在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C （﹣3，0）．（1）填空：b ＝ ﹣ ，c ＝ 1 ；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标．解：（1）由直线y ＝﹣x +1得到：A （0，1），把x ＝﹣3代入y ＝﹣x +1得到：y ＝﹣×（﹣3）+1＝．故B （﹣3，）．将A 、B 的坐标分别代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得．解得b ＝﹣，c ＝1；（2）设N （m ，﹣m 2﹣m +1）则，M，P点的坐标分别是（m，﹣m+1），（m，0）∴MN＝（﹣m2﹣m+1）﹣（﹣m2+1）＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+∴当m＝﹣时，MN的最大值为；（3）连接MN，BN，由BM与NC互相垂直平分∴四边形BCMN是菱形由BC∥MN∴MN＝BC，且BC＝MC而BC＝﹣×（﹣3）+1＝即：﹣m2﹣m＝且（﹣m+1）2+（m+3）2＝．解得：m＝﹣1故当N（﹣1，4）时，BM与NC互相垂直平分．6．综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD、BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：（1）求点A的坐标与直线l的表达式；（2）①请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值．解：（1）当y＝0时，，解得x1＝1，x2＝﹣3，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0），当x＝0时，y＝，即C（0，），设直线l的表达式为y＝kx+b，将B，C两点坐标代入得，，解得，，则直线l的表达式为y＝﹣x+；（2）①如图1，当点M在AO上运动时，过点D作DN⊥x轴于N，由题意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，则∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，∴∠MCO＝∠DMN，在△MCO与△DMN中，，∴△MCO≌△DMN（AAS），∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，∴D（t﹣3+，t﹣3）；同理，如图2，当点M在OB上运动时，点D的坐标为：D（﹣3+t+，t﹣3）将D点坐标代入直线BC的解析式y＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+，t＝6﹣2，即点D落在直线l上时，t＝6﹣2；②∵△COD是等腰直角三角形，∴CM＝MD，∴线段CM最小时，线段CD长度的最小，∵M在AB上运动，∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，根据勾股定理得，CD的最小值为．7．如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过原点O和A、P两点．（1）求抛物线的函数关系式．（2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC＝AB，求点B坐标；（3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值．解：（1）△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点P坐标为（8，0），则点A在抛物线的对称轴上，故点A（4，﹣4），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）2﹣4…①，将点P的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x；（2）设点B（0，m），过点C作CH⊥y轴于点H，过点A作AQ⊥y轴于点Q，∵∠BAQ+∠QBA＝90°，∠QBA+∠HBC＝90°，∴∠HBC＝∠BAQ，BC＝AB，∠CHB＝∠BQA＝90°，∴△CHB≌△BQA（AAS），∴AQ＝BH＝4，CH＝BQ＝4+m，故点C（m+4，m+4），将点C的坐标代入①式并解得：m＝8，故点B（0，8）；（3）点B（0，8），点C（12，12），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+4，设点M（x，x2﹣2x），则点N（x，x+4），△CBN面积S＝×MN×CH＝12×（x+4﹣x2+2x）＝﹣x2+14x+24，∵﹣＜0，故S有最大值．8．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b和c的值；（2）求直线AC的解析式．解：（1）抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3，∴b＝﹣4，c＝3；（2）当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使S△ABC ＝S△ABD？若存在，请求出点D坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +2经过点A （﹣1，0），B （4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +2； （2）存在点D ，使S △ABC ＝S △ABD ．当x ＝0时，y ＝﹣x 2+x +2＝2，则C （0，2），设D （x ，﹣x 2+x +2）（x ＞0），×（4+1）×|﹣x 2+x +2|＝×（4+1）×2，当﹣x 2+x +2＝2时，解得x 1＝0（舍去），x 2＝3，此时D （3，2）；当﹣x 2+x +2＝﹣2时，解得x 1＝（舍去），x 2＝，此时D （，2）．10．如图1，点A 在x 轴的负半轴上，点B 的坐标为（﹣2，﹣4），抛物线y ＝ax 2+bx 的对称轴为x ＝﹣5，该抛物线经过点A 、B ，点E 是AB 与对称轴x ＝﹣5的交点．（1）如图1，点P 为直线AB 下方的抛物线上的任意一点，在对称轴x ＝﹣5上有一动点M ，当△ABP 的面积最大时，求|PM ﹣OM |的最大值以及点P 的坐标．（2）如图2，把△ABO 沿射线BA 方向平移，得到△CDF ，其中点C 、D 、F 分别是点A 、B 、O 的对应点，且点F 与点O 不重合，平移过程中，是否存在这样的点F ，使得以点A 、E 、F 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数的对称轴为x ＝﹣5，则点A （﹣10，0），则函数表达式为：y＝ax（x+10），将点B的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x，将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣5，过点P作x轴的垂线交AB于点H，设点P（x，x2+x）、点H（x，﹣x﹣5），△ABP的面积S＝×PH×（x B﹣x A）＝（﹣x﹣5﹣x2﹣x）×（10﹣2）＝﹣x2﹣12x﹣20，∵﹣1＜0，故当x＝﹣6时，S有最大值，此时点P（﹣6，﹣6），点P关于抛物线对称轴的对称点Q（﹣4，﹣6），连接OQ交函数对称轴于点M，则点M 为所求，同理：直线OQ的表达式为：y＝x，当x＝﹣5时，y＝﹣，即点M（﹣5，﹣）；|PM﹣OM|的最大值＝OQ＝＝2；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣5，当x＝﹣5时，y＝﹣，即点E（﹣5，﹣），则设图线向上平移m个单位，则向左平移2m个单位，故点F（﹣2m，m），而点A（﹣10，0），则AF2＝（10﹣2m）2+m2，EF2＝（2m﹣5）2+（m+）2，AE2＝25+；①当AF＝EF时，则（10﹣2m）2+m2＝（2m﹣5）2+（m+）2，解得：m＝；②当AF＝AE时，同理可得：m＝﹣5或﹣11；③当EF＝AE时，同理可得：m＝0（舍去）或7；综上点F 的坐标为：（﹣，）或（﹣5，）或（﹣11，）或（﹣14，7）．11．如图，已知抛物线y 1＝﹣2x 2+2与直线y 2＝2x +2交于A ，B 两点， （1）求A ，B 两点的坐标． （2）求△ABO 的面积．解：（1）联立，解得：或，所以A 、B 两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2）； （2）∵A 、B 两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2）， ∴OA ＝1，OB ＝2，∴S △OAB ＝OA •OB ＝＝112．如图所示，已知抛物线经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，﹣8），抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y ＝x ﹣4交于B 、D 两点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）求D 点坐标；（3）点P 为抛物线上的一个动点，且在直线BD 下方，试求出△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），故﹣8a＝﹣8，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣8；（2）联立y＝x﹣4和y＝x2﹣2x﹣8并解得：x＝4或﹣1（舍去4），故点D（﹣1，﹣5）；（3）过点P作y轴的平行线交BD于点H，设点P（x，x2﹣2x﹣8），则点H（x，x﹣4）△BDP面积＝PH×（x B﹣x D）＝×（x﹣4﹣x2+2x+8）×（4+1）＝（﹣x2+3x+4），∵0，故面积有最大值为：；此时，x＝，即点P（，﹣）．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0），B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝kx+b得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设P（t，t﹣3）（0＜t＜3），则M（t，t2﹣2t﹣3），∴PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，线段PM最长，最长为，此时△ABM的面积＝×3×＝．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y＝﹣x+2经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求△PBC面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．解：（1）直线y＝﹣x+2经过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝，c＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，则点P（m，﹣m2+m+2），点H（m，﹣m+2），△PBC面积＝×PH×OB＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣2m2+8m，∵﹣2＜0，∴面积存在最大值为8，此时，m＝2；②设P（m，﹣m2+m+2），点Q（n，﹣n+2），当AB是平行四边形的边时，点A向右平移个单位得到B，同样点P（Q）向右平移个单位得到Q（P），则m＝n，﹣m2+m+2＝﹣n+2，解得：m＝﹣（舍去）或（舍去）或；当AB是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+n＝，﹣m2+m+2﹣n+2＝0，解得：m＝﹣或（重复，舍去）；综上点P的坐标为：（，）或（，）．15．抛物线y＝ax2﹣1交x轴于A，B（A左B右），交y轴于C，且AB＝4OC．（1）求a的值；（2）过抛物线上的点P（不与点B重合）作y轴的平行线交直线CB与点M，交x轴于点N，当PM＝2MN时，求点P的坐标．解：（1）点C（0，﹣1），则OA＝OB＝2，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），点B的坐标代入函数表达式并解得：a＝；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x﹣1，设点P（x，x2﹣1），点M（x，x﹣1），PM＝2MN，即|x2﹣1﹣x+1|＝2|x﹣1|，解得：x＝2（舍去）或4或﹣4，故点P的坐标为：（4，3）或（﹣4，3）．。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点且经过点C ，已知A 点坐标为()1,0-．C 点坐标为()4,5．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为第四象限内抛物线上一个动点，连接AC 、AP ，PC ，过点B 作BG AC ∥交PC 于点G ，连接AG ．请求出APG 面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线2y x bx c =++沿射线AC y '，记y 与y '的交点为M ，点D 是直线AC 与y 轴的交点，点N 为直线AC 上一点，点K 为平面内一点，若以D 、M 、K 、N 为顶点的四边形是菱形且DM 为菱形的边，请直接写出点K 的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程．2．如图1，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ．点P 是抛物线上一点，且在直线BC 的上方．(1)直接写出点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； (2)当点P 的坐标为()1,4时，求四边形BOCP 的面积；(3)如图2，AP 交BC 于点D ．PE AC ∥交BC 于点E ，记,,DEP CPD CDA 的面积分别为123,,S S S ，判断1223S S S S +是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．(4)如图3，点C 在线段MN 上，满足90MAN ∠=︒，2CN CM =，直线1l 过点M ，直线2l 过点N ，且12l AC l ∥∥，求直线1l 与2l 之间的最大距离．3．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ．抛物线的对称轴为直线1x=-，点C 坐标为()04，．(1)求抛物线表达式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使ABP BCO ∠=∠，如果存在，求出点P 坐标；如果不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若点P 在x 轴上方，点M 是直线BP 上方抛物线上的一个动点，求点M 到直线BP 的最大距离．4．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =-++与x 轴分别交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)如图2，点P 是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B 运动至点A ，连接PO 、PB ，并以PO 、PB 为边作POQB ．①当POQB 的面积为9时，求点P 的坐标；①在整个运动过程中，求点Q 与线段BC 的最大距离．5．如图，已知抛物线2=++30y ax bx a ≠（）经过点10A （），和点30B （），，与y 轴相交于点C ．(1)求此抛物线的解析式．(2)若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设点P 的横坐标为m ． ①用含有m 的代数式表示线段PD 的长；①连接PB ，PC ，求PBC 的面积最大时点P 的坐标．6．如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,2C -，(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在第四象限的抛物线上，设ABC 的面积为1S ，PBC 的面积为2S ，当2S =451S 时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上，当2MAB ACO ∠∠=时，求点M 的横坐标．7．如图，已知抛物线2y ax c =+交x 轴于点()10A -，和点B ，交y 轴于点()01C -，．(1)求此抛物线的解析式．(2)过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与ACP △相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．8．如图1，直线25y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线2L y x bx c =-++:(1)①点A 的坐标为__________，点B 的坐标为__________；①求L 的解析式； (2)当点P 到AB 距离最大时，求出点P 的坐标；(3)尺规作图：在图2中作出经过C 、D 两点且圆心在抛物线对称轴上的圆，并结合图像直接写出该圆与抛物线的交点P 的坐标．9．在平面直角坐标系中，抛物线(1)(3)y a x x =+-(0)a ≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，点D 为抛物线的顶点，点P 是抛物线的对称轴上一点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图①连接PB ，PD ，求PB 的最小值； (3)如图①，连接CP ，PB ，BC ，若135CPB ∠=︒，求点P 的坐标．的左边），与y 轴交于点C ．点P ，Q 为抛物线上两动点．(1)若点P 坐标为(1,3)，求抛物线的表达式；(2)如图①，连接BC ，在（1）的条件下，是否存在点Q ，使得BCQ ABC ∠=∠．若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点P 为抛物线顶点，连接OP ，当a 的值从3-变化到1-的过程中，求线段OP 扫过的面积．11．如图，已知二次函数2y ax 2x c =++的图象经过点()0,3C ，与x 轴分别交于点()1,0A -和点B ，点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式； (2)求BC 所在直线的函数解析式；(3)过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，求线段PM 长度的最大值．12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A （1，0），点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在第二象限的抛物线上，连接PC 、PO ，线段PO 交线段BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)设：PCE 的面积为1S ，OCP △的面积为2S ，当1225S S =时，求点P 的坐标； (3)设：点C 关于抛物线对称轴的对称点为点N ，连接BN ，点H 在x 轴上，当HCB NBC ∠=∠时，①直接写出所有满足条件的所有点H 的坐标；①当点H 在线段AB 上时，点Q 是线段BH 外一点，1QH =，连接AQ ，将线段AQ 绕着点Q 逆时针旋转90︒得到线段QM ，连接MH ，直接写出线段MH 的取值范围．13．如图，直线1112y x =+与抛物线221482y x x =-+交于B 、C 两点（B 在C 的左侧）(1)求B 、C 两点的坐标；(2)直接写出12y y <时，x 的取值范围； (3)抛物线的顶点为A ，求ABC 的面积．14．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于()1,0A -，()2,0B ，交y 轴于()0,2C -．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 在该二次函数图象的对称轴上，且使PB PC -最大，求点P 的坐标； (3)若点M 为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M 运动到何处时，四边形ACMB 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形ACMB 面积的最大值．15．如图，直线1112y x =+与抛物线221482y x x =-+交于B 、C 两点（B 在C 的左侧）．(1)求B 、C 两点的坐标；(2)直接写出12y y <时，x 的取值范围； (3)抛物线的顶点为A ，求ABC 的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于()1,0A -，(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P ，使POC △是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和PBC 的最大面积．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++的顶点为()2,8D ，与x 轴交于两点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接AD BC ，，点P 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PQ AD ∥交CB 于点Q ，求PQ 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线关于直线1x =对称得到新抛物线1y ，点E 是原抛物线y 和新抛物线1y 的交点，F 是原抛物线对称轴上一点，G 为新抛物线上一点，若以E 、F 、A 、G 为顶点的四边形是是平行四边形，请直接写出点F 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于()()4010A C -，，，两点，于y 轴相交于点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为线段AB 的中点，连接OP ，求三角形PAO 的面积；(3)在（2）的条件下，点M 是抛物线第二象限上一点，若2APM ABO ∠∠=，求点M 的横坐标．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)当32t =时，APG 面积的最大，最大值为458；点P 的坐标为31524⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(3)(23-或(23-．2．(1)()1,0-；()3,0 (2)152(3)存在，983．(1)2142y x x =--+ (2)532P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或752P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(3)MN4．(1)(3,0)B ；(0,3)C(2)点P 的坐标为(0,3)或(2,3)；点Q 与线段BC ．5．(1)2=4+3y x x -(2)①2+3m m -；①3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，6．(1)213222y x x =-- (2)P 的坐标为()2,3-(3)点M 的横坐标为203或437．(1)21y x =-(2)4(3)存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似，M 点的坐标为()23-，，4739⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()415，8．(1)①5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,5；①23522y x x =-++ (2)733416P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (3)39,44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++，(1,4)D(2)(3)P 或(1,3P10．(1)233322y x x =-++； (2)存在；()1,3Q ；339(,)525Q -； (3)3411．(1)223y x x =-++(2)3y x =-+ (3)9412．(1)223y x x =--+；(2)()1,4-或()2,3-；(3)①()1,0-或()9,0-；①22MH ≤≤13．(1)()2,2B ，97,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)2x <或7x > (3)15214．(1)2y x x 2=-- (2)1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)1,2，415．(1)(2,2)B ，9(7,)2C ； (2)7x >或2x <； (3)152．16．(1)234y x x =--(2)2-） (3)当P 点坐标为()26-，时，PBC 的最大面积为817．(1)21262y x x =-++(2)PQ =153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)()2,4或()2,15或()2,12-．18．(1)213222y x x =--+ (2)2(3)7-。

二次函数(10大题型)(50道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(沪教版)

二次函数(10大题型)(50道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(沪教版)

二次函数（10大题型）（50道压轴题专练）压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题1．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)-．若关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=<有整数根，则p 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个2．已知抛物线221(0)y x bx b b =-++->，当46x ££时，y 的值恒大于等于9．则b 的取值范围为 ．3．在平面直角坐标系中，抛物线2221y x mx m =-++存在两点()11,A m y -，()22,B m y +．(1)请比较1y 与2y 的大小，并说明理由；(2)记抛物线在A ，B 之间的部分为图象F （包括A ，B 两点）；y 轴上一动点()0,C a ，过点C 作垂直于y 轴的直线l 与F 有且仅有一个交点，求a 的取值范围；(3)若点()32,M y 也是抛物线上的点，记抛物线在A ，M 之间的部分为图象G （包括M ，A 两点），记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t ，若21t y y ³-，求m 的取值范围．4．问题：已知抛物线L ：22y x x =-，抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．(1)解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是 ② ；然后求出抛物线L 的顶点是 ③ ；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W 的表达式是 ⑤ ．(2)用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式．(3)如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x bx =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．点D CD x ∥轴，2CD =．(1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E 的坐标；(2)在x 轴上有一点F ，若以点F 、B 、C 为顶点的三角形与BCD △相似，求点F 坐标；(3)点Q 是二次函数图象上一点，过点Q 向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H ，若3HE HQ =，求点Q 的坐标．压轴题型二 二次函数的最值问题1．如图，在平面直角坐标系中，E 、F 、C 三点的坐标分别为1(4，1)、(3,1)、(3,0)，点A 为线段EF 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB AC ^交y 轴于点B ，点A 从E 运动到F 时，点B 随之运动．设点B 的坐标为(0,)b ，则b 的最小值为（ ）A ．94-B ．94C ．54-D ．542．如图，在ABC V 中，AB AC ==4BC =，D 为边AB 上一动点（不与点B 重合），以CD 为边作正方形CDEF ，连接BE ，则当BDE V 的面积最大时，AD 的长为 ．3．已知抛物线2421y x mx m =-++，m 为实数．(1)如果该抛物线经过点()4,3，求此抛物线的顶点坐标．(2)如果当2321m x m -+≤≤时，y 的最大值为4，求m 的值．(3)点()0,0O ，点()1,0A ，如果该抛物线与线段OA （不含端点）恰有一个交点，求m 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）经过点()1,0A ，()3,0B ，动点P 在抛物线上，其横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 到y 轴的距离小于3，求点P 的纵坐标的取值范围；(3)若抛物线位于点P 右侧（包含点P ）部分的函数值最小为2m -，求m 的值．5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），其中()()1,0,3,0A B -，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图所示，点P 是抛物线上位于第一象限内的一个动点，过点P 作PF CE ^，求PF 的最大值．压轴题型三 二次函数的平移问题1．如图，抛物线21445y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ，若直线y x k =+与1C 、2C 共有3个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．2554k -<<-B ．51k -£<-C ．95k -£<-D ．2954k -<<-2．二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点,A B （A 在B 的左侧），将该函数图象向右平移()0m m >个单位后与x 轴交于点,C D （C 在D 的左侧），平移前后的函数图象相交于点E ，若90AED Ð=°，则m 的值为 ．3．已知抛物线L 的解析式为22y x mx n =-++（m ，n 为常数）．(1)若抛物线L 的顶点在第四象限，且221n m m =-+-，求m 的取值范围；(2)若抛物线L 经过点()1,1P ，将抛物线L 经过平移后得到抛物线S ，点P 的对应点为点()1,2Q t m -，其中1t ³．抛物线仍然经过点P ，求m 的最小值．4．已知抛物线213:4L y x bx c =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于(4,0)(1,0)A B -，两点．(1)求抛物线1L 的函数解析式及点C 的坐标；(2)平移抛物线1L 得到抛物线2L ，抛物线2L 经过点C ，且与x 轴交于()3,0M N ，两点，连接CB ，CN ．点P 是抛物线2L 上的点，连接PN ，若PNC BCN Ð=Ð，请求出所有符合条件的点P 的坐标．5．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点()3,0A -和点C ，与y 轴交于点B (0,3)，点P 是抛物线上点A 与点C 之间的动点（不包括点A ，点C ）．　备用图(1)求抛物线的解析式；(2)动点P 在抛物线上，且在直线AB 上方，求ABP V 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点E ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若QFE △是以QE 为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点Q 的坐标．压轴题型四 二次函数的翻折问题1．函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象是由函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象x 轴上方部分不变，下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）①20a b += ；②3c =； ③0abc >；④将图象向上平移1个单位后与直线5y =有3个交点．A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④2．函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象是由函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象轴上方部分不变，x 轴下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是①20a b +=；②3c =；③0abc >； ④30a c +=；⑤将图象向上平移1个单位后与直线5y =有3个交点．3．已知二次函数图像的对称轴为y 轴，且经过点()1,5和111,24æö-ç÷èø．(1)求此二次函数的解析式；(2)若将该二次函数图像先向下平移4个单位，再沿x 轴翻折后与x 轴交于A ，B 两点，设顶点为P ，求AOP V 的面积．4．如图，二次函数2y x bx c =＋＋的图象过点(3520())A B ，-，-，．(1)求这个二次函数的解析式；(2)将一次函数21y x =＋的图象向下平移a 个单位长度，与二次函数的图象总有交点，求a 的取值范围；(3)过点()0N m ，作y 轴的垂线EF ，以EF 为对称轴将二次函数的图象位于EF 下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x 轴有交点，且交点都位于x 轴的正半轴，直接写出m 的取值范围．5．如图，函数()()21130y a x x =-++£的图象过原点，将其沿y 轴翻折，得到函数2y 的图象，把函数1y 与2y的图象合并后称为函数L 的图象.(1)a 的值为__________；函数2y 的解析式为_______________（注明x 的取值范围）；(2)对于函数L ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是_____________；(3)当直线y x b =+与函数L 的图象有3个公共点时，求b 的值.压轴题型五 二次函数与方程、不等式压轴题1．函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①240b c ->；②1b c +=-；③360b c ++=；④当13x <<时，()210x b x c +-+<，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知二次函数22y x x =-++，当3a x a ££+对应的函数值y 随x 的增大而增大，且对应的图象与直线4y =-有公共点时，a 的取值范围为 ．3．二次函数2y x bx c =++的图象经过点()1,0A ，B (0,3)，点C 与点B 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y mx n =+的图象经过A ，C 两点．(1)求二次函数解析式；(2)根据图象，写出满足不等式2x bx c mx n ++<+的解集_____；(3)二次函数2y x bx c =++，当13x ££时，对应的函数值y 的取值范围为_____．4．在平面直角坐标系中，设二函数1()(2)y x m x m =-++，其中0m ¹．(1)求证：函数1y 与x 轴有交点；(2)若函数2y mx n =+经过函数1y 的顶点，求实数n 的最大值；(3)已知点()1(3,),,P a Q x b -在函数1y 的图象上，若a b ³，求1x 的取值范围．5．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++（a b 、为常数）的对称轴为直线1x =，且经过点()1,0-．(1)当132x -££时，二次函数的最大值是_____，最小值是______；(2)当1t x t -££时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求t 的值；(3)现有一点P 在抛物线上，横坐标为m ，过点P 作直线PQ 平行于x 轴，交抛物线于另一点Q ．抛物线上另有两点M N 、，横坐标分别为1-和4，M N 、两点之间的部分（不包括M N 、两点）记作图象G ．若图象G 上恰好有三个点到直线PQ 的距离为2，求出m 的取值范围．压轴题型六 二次函数的销售问题（含参问题）1．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A ．50B ．90C ．80D ．702．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．3．为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x 天（x 为整数）的售价为y （元/斤），日销售额为w （元）．据销售记录知：①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤；②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，(1)当1130x ££时，写出y 与x 的关系式；(2)当x 为何值时日销售额w 最大，最大为多少？(3)若日销售额不低于31680元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款m 元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求m 的最小整数值．4．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x （元），每天的销售量为y （件）．(1)求y 关于x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m 元（m >0）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m 的值．5．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 件．(1)①当售价上涨时，y 与x 的函数关系为______，自变量x 的取值范围是______；②当售价下降时，y 与x 的函数关系为______，自变量x 的取值范围是______；(2)每件商品的售价x 定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有()0a a >元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x 的增大而减小，请直接写出a 的取值范围______．压轴题型七 二次函数的存在性问题1．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使PMN V 为正三角形，则称图形G 为点P 的T 型线，点P 为图形G 的T 型点，PMN V 为图形G 关于点P 的T 型三角形．若()0,2H -是抛物线2y x n =+的T 型点，则n 的取值范围是（ ）A ．1n ³-B ．1n £-C ．54n £-D ．54n ³-2．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知BAC V 的面积是6，若在抛物线上存在一点P （与点C 不重合），使ABP ABC S S =△△，则点P 的坐标为 ．3．如图所示，已知以M 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)连接AC ，在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若ABD ACO Ð=Ð，求点D 的坐标；(3)若点P 为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P 作PQ BC ^，求PQ 的最大值；(4)在x 轴上是否存在一点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形与BCM V 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线()240y ax bx a =++¹与x 轴，y 轴分别交于()1,0A -，B (4,0)，C 三点．(1)试求抛物线的解析式；(2)若P 点在第一象限的抛物线上，连接PC PB 、，当PCB V 的面积最大时，求点P 的坐标．(3)点()3,D m 在第一象限的抛物线上，连接,BC BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足PBC DBC Ð=Ð？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =+-经过()()1,0,4,0A B -两点，与y 轴交于点C ，P 是抛物线上一动点，设点P 的横坐标为302m m æö<<ç÷èø，连接AC CP BC BP ，，，．(1)求抛物线的函数表达式及点C 的坐标．(2)当BCP V 的面积等于ABC V 的面积的35时，求m 的值．(3)在（2）的条件下，若M 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一动点，是否存在以点C ，P ，M ，N 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．压轴题型八 二次函数的角度问题1．已知抛物线 ²30y ax bx a =++<（）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B - 两点， 与y 轴交于点C ．若点P 在抛物线的对称轴上，线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ¢恰好也落在此抛物线上，则点P 的坐标为（ ）A ．()1,1-B ．()1,1--C ．()1,1- 或()1,2--D ．()1,1-- 或()1,2-2．如图，抛物线213222y x x =+-与x 轴交于点A 和点B 两点，与y 轴交于点C ，D 点为抛物线上第三象限内一动点，当2180ACD ABC ÐÐ=°＋时，点D 的坐标为 ．3．抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A (―2,0)，()60B ，两点，与y 轴交于点C ，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D 在BC 上方的抛物线上，当BCD △的面积最大时，求点D 的坐标；(3)是否存在点D ，使得BCD ABC Ð=Ð？若存在，求出点D 的坐标；若存在，请说明理由．4．抛物线22y x x c =-+经过点115,24P æö-ç÷èø，与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)直接写出c 的值及点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，连接,AC BC ，点F 在抛物线上，满足FCB ACO Ð=Ð，求点F 的坐标；(3)如图2，向上平移直线BC 交抛物线于M ，N 两点，直线,MP NP 分别交y 轴的负半轴于D ，E 两点，求证：PD PE =．5．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，点()2,3D 在抛物线上．(1)求抛物线的表达式；(2)判断ABC V 的形状，并说明理由；(3)连接CD ，点M 在抛物线上，ACM BCD Ð=Ð，求点M 的坐标．压轴题型九 二次函数铅垂高、水平宽求面积最大值1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,4,0A B -，交y 轴的正半轴于点C ，对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，则下列结论：①20a b +=；②0abc >；③2a b am bm +>+（m 为任意实数）；④若点(),Q m n 是抛物线上第一象限上的动点，当QBC △的面积最大时，1,m n a b c ==++，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，已知抛物线2y x =和直线21y x =+相交与点A ，B ．点P 是抛物线上一点，且在直线AB 的下方，连接AP ，BP ，当ABP V 的面积最大时，则点P 的坐标是 ．3．如图，在直角坐标系中，二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴相交于点A (―2,0)和点()6,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求b 、c 的值；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC △的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC △面积的最大值．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为()3,0，点P 是抛物线上一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使得ABP V 的面积等于10．若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．(3)若点P 在直线BC 的上方，当点P 运动到什么位置时，BPC V 的面积最大？请求出点P 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线1y ax =+与抛物线23y x bx =+-交于点A 和点()4,5B ．(1)求a 和b 的值；(2)求点A 的坐标，并结合图象写出不等式231x bx ax +->+的解集；(3)点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A ，B 重合），请直接写出当PAB V 的面积最大时，点P 的坐标．压轴题型十 二次函数与相似相关压轴题1．抛物线()230y ax ax b a =++<，设该抛物线与x 轴的交点为()5,0A -和B ，与y 轴的交点为C ，若ACO CBO D D ∽，则tan CAB Ð的值为 （ ）A B C D 2．在同一平面内，直线1y kx =+与抛物线 214y x =交于A 、B 两点，设 ()()1122,,A x y B x y ，．（1） 12x x = ；（2）若点()01N -，，且AN 与BN 不垂直，则k 的取值范围是： ．3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于()1,0A ，()3,0B -两点，交y 轴于点()0,3C ，点M 是线段OB 上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线BC 于点F ，交抛物线于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)当BCE V 面积最大时，求M 点的坐标；(3)如图2，是否存在以点C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC V 相似，若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系内，点(20)A -，，点(40)B ，，点4(0)C ，．连接AC BC ，．(1)求经过点A 、B 、C 三点的抛物线的表达式；(2)点D 在x 轴正半轴上，当以点D 、O 、C 为顶点的三角形与AOC △相似时，求点D 的坐标．(3)在（1）的抛物线上找一点E ，使得BE CE -的值最小并求点E 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++¹与x 轴交于()1,0A -、()4,0C 两点，与y 轴交于点B ．(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)若点D 是抛物线上的一个动点，满足ABD △与BCD △的面积相等．求出点D 的坐标；(3)若点E 在第一象限内抛物线上，过点E 作EF x ^轴于点F ，交BC 于点P ，且满足BFP △与CEP △相似，求出点E 的横坐标．。

人教版九年级数学上册期末备考训练：二次函数压轴(含答案)

人教版九年级数学上册期末备考训练：二次函数压轴(含答案)

期末备考训练：二次函数压轴1．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．3．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，对称轴为直线x＝1，且OB＝OC，（1）求抛物线的表达式；（2）D是直线BC上方抛物线上一点，DE⊥BC于E，若CE＝3DE，求点D的坐标；（3）将抛物线向左平移，使顶点P落在y轴上，直线l与抛物线相交于M、N两点（点M，N都不与点P重合），若以MN为直径的圆恰好经过O，P两点，求直线l的表达式．5．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．（1）求A，C两点的坐标．（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）7．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c 经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣2，3），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点A，与x轴正半轴交于点C．（1）求c的值；（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围；（3）连结BC，设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果B、C、E、F构成平行四边形，请求出点E的坐标．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点M，当△BCM面积最大时，求△BPN的周长．（3）在（2）的条件下，当△BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△CNQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2﹣9（其中a＞0）上，AB∥x轴，点P是抛物线的顶点，tan∠PBA＝2，∠BAC＝45°（1）填空：抛物线的顶点P的坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为10，当2m﹣3≤x≤2m+5时，y的最小值为5，求m的值．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A （0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．13．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，将图象l沿坐标轴翻折得到新的图象，与图象l开口方向相同的新的图象l1交x轴于点A1（在x轴的正半轴上）（1）求出b的值，并写出点A1的坐标以及新的图象所对应的函数解析式；（2）若P为y轴上的一个动点，E为直线A1C上的一个动点，请找出点P，使得PB+PE 最小，并求出最小值；（3）在y轴的正半轴上有一点M，使得∠MA1O＝k∠OCB，直线A1M交图象l1于点D （点D在第二象限）．①若k＝2，试求点D的坐标；②若k＝3，请直接写出OM的长．14．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D是直线BC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD、CD，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为s．试求出s与m的函数关系式，并求出s的最大值；（3）如图2，设AB的中点为E，作DF⊥BC，垂足为F，连接CD、CE，是否存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知，如图在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与抛物线y＝﹣x2﹣x交于点A，抛物线与x轴的一个交点为B，以A为圆心，AB的长为半径的圆与y轴的正半轴交于点C，过点B作BD⊥x轴交圆于点D，连接CD交直线y＝﹣x于点E．（1）请直接写出点A、B、C、D的坐标；（2）在抛物线上是否存在一点P，使得△AEP的面积等于△ACE的面积；若存在求出点P坐标；（3）若点M是直线y＝﹣x上一个动点，点N抛物线上一个动点，若以点B、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求此时抛物线上点N的坐标．参考答案1．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）．2．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C′（2，﹣3），连接AC′交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，将点A、C′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AC′的表达式为：y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G，设NG＝n，则NE＝3﹣n，∵∠CNG+∠GCN＝90°，∠CNG+∠MNE＝90°，∴∠NCG＝∠MNE，则tan∠NCG＝n＝tan∠MNE＝，故ME＝﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n＝时，ME＝，则m的最小值为：﹣；如下图所示，当点N与点D处时，m取得最大值，同理可得：m＝5；故：﹣≤m≤5．3．解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理，1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，∵AB2＝22＝4，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，由对称性有AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形；（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，∵A、B两点关于直线x＝2对称，∴PB＝P A，∴PC﹣PB＝PC﹣P A＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），A令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（0，3），∵A（1，0），∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，∴P（2，﹣3）．4．解：（1）x＝﹣，则b＝2，设点C（0，c），则点B（c，0），将点B的坐标代入二次函数表达式并解得：c＝3，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，函数的顶点为（1，4）；（2）过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，过点C作x轴的平行线交DH于点R，将点C、B的坐标代入一次函数表达式得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，3﹣m），∵OB＝OB＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴CR＝CH＝m，DH＝﹣m2+2m+3﹣3+m＝﹣m2+3m，3DE＝3×DH，CE＝CH﹣EH＝m﹣DH，∵CE＝3DE，即RH＝2DH，则m＝2（﹣m2+3m），解得：m＝，则点D（，）；（3）平移前函数的顶点为（1，4），则平移后函数的表达式为：y＝﹣x2+4，如图所示，以MN为直径的圆恰好经过O，P两点，则∠MON＝∠MPN＝90°，在点O处，过点M、N分别作x轴的垂线交于点G、H，∵∠GOM+∠NOH＝90°，∠NOH+∠ONH＝90°，∴∠MOG＝∠ONH＝α，设点M、N的坐标分别为（m，4﹣m2）、（n，4﹣n2），（m＜n，m＜0），则tan∠MOG＝tan∠ONH＝α，即：…①，在点P处，同理可得：…②，联立①②并整理得：m2+n2＝4，mn＝﹣1，解得：m＝±，n＝，将点M、N的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：k＝，b＝3，故直线l的表达式：y＝x+3．5．解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，，解得：c＝4，令y＝0，则，解得x1＝3，x2＝﹣4，∴A（﹣4，0），C（0，4）；（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的解析式y＝x+4，点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），∴PQ＝＝，∵，∴a＝﹣2时，PQ有最大值；（3）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，①当BC＝BQ时，如图1，∴BC＝BQ＝5，设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q1（﹣1，3）；②当BC＝CQ时，如图1，∴CQ＝5，则AQ＝AC﹣CQ＝4，∴，∴，③当CQ＝BQ时，联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，解得x＝﹣（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．6．解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，∵0≤x≤2，∴x+y＝3，∴，解得：，∴B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，根据题意，得，∵x＞0，∴，，∴，∴x2+4＝3x，∴x2﹣3x+4＝0，∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）设D（x，y），根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，∵，又x≥0，∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．∵∠EFH＝45°，∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，同理d（O，P）＝OG，∵OG≥OF，∴d（O，P）≥d（O，E），∴上述方案修建的道路最短．7．解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S 四边形ACPB ＝S △AOC +S △PCB ，∵S △AOC 是常数，故四边形面积最大，只需要S △PCB 最大即可，S △PCB ＝×OB ×PH ＝×2（x ﹣3﹣x 2+x +3）＝﹣x 2+3x ，∵﹣＜0，∴S △PCB 有最大值，此时，点P （2，﹣）；（3）过点B 作∠ABC 的角平分线交y 轴于点G ，设∠MBC ＝∠ABC ＝2α，过点B 分别在x 轴之上和BC 之下作角度数为α的两个角，分别交y 轴于点N 交抛物线于点M ′，交抛物线于点M ，过点G 作GK ⊥BC 交BC 于点K ，延长GK 交BM 于点H ，则GH ＝GN ，BC 是GH 的中垂线，OB ＝4，OC ＝3，则BC ＝5，设：OG ＝GK ＝m ，则CK ＝CB ﹣HB ＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m ）2＝m 2+1，解得：m ＝，则OG ＝ON ＝，GH ＝GN ＝2OG ＝，点G （0，﹣），在Rt △GCK 中，GK ＝OG ＝，GC ＝OC ﹣OG ＝3﹣＝，则cos ∠CGK ＝＝，sin ∠CGK ＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BN的表达式为：y＝﹣x+…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝1或4（舍去4），则点M（1，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，）；故点M（1，﹣）或（﹣，）．8．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；∵﹣1＜0，故S△POD（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，△ABC则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝，故点Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q3（，），Q4（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（，）或（﹣，2）或（，）．9．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：﹣4+4+c＝3，解得：c＝3；（2）则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，抛物线的对称轴是：x＝﹣1，点A（﹣2，3），则直线AO的函数表达式为：y＝﹣x，当x＝﹣1时，y＝，∵平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），∴4﹣3＜m＜4﹣，即1＜m＜；（3）设点F（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3，点E（s，0），①当BC是平行四边形的一条边时，则点B向右平移一个单位、向下平移3个单位得到C，同样：点F（E）向右平移一个单位、向下平移3个单位得到E（F），故：m+1＝s，n﹣3＝0，或m﹣1＝s，n﹣3＝0；解得：m＝0或﹣2（舍去0）或m＝﹣1，故点E的坐标为（﹣1，0）或（﹣2+，0）或（﹣﹣2，0）；②当BC是平行四边形的对角线时，则由中点的性质得：1＝m+s，3＝n，解得：m＝0或﹣2（舍去0），故点E（3，0）；综上，点E的坐标为：（﹣1，0）或（﹣2+，0）、（﹣﹣2，0）或（3，0）．10．解：（1）由题意可得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），∴PM＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．∴S△BCM ＝S△PMC+S△PMB＝（x B﹣x C）＝，∴S△BCM＝＝，∴当x＝时，△BCM的面积最大．此时P（），∴PN＝ON＝，∴BN＝OB﹣ON＝3﹣＝，在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB＝，C△BCN＝BN+PN+PB＝3+，∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+；（3）由（2）知P点坐标为（），∴，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为x＝1，设Q（1，a），∵C（0，3），N（），∴CQ2＝12+（3﹣a）2，，，若△CNQ为等腰三角形，可分三种情况：当CQ＝QN时，1+，解得：a＝，∴点Q的坐标为（1，），当CQ＝CN时，1+，解得：a＝3，∴点Q的坐标为（1，3﹣），（1，3+），当QN＝CN时，，解得：a＝，∴点Q的坐标为（1，），（1﹣），综合以上可得点Q的坐标为（1，）或（1，3﹣）或（1，3+）或（1，）或（1，﹣）．11．解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2﹣9＝a（x﹣m）2﹣9∴顶点P的坐标为（m，﹣9）故答案为：（m，﹣9）．（2）过点P作PD⊥AB于点D，过点C作CE⊥AB于点E∵AB∥x轴，且点A、B在抛物线上∴P A＝PB∴AD＝BD∵tan∠PBA＝＝2∴PD＝2BD＝AB设AD＝BD＝n（n＞0），则PD＝AB＝2n∴A（m﹣n，﹣9+2n）把A的坐标代入抛物线解析式得：a（m﹣n﹣m）2﹣9＝﹣9+2n整理得：n＝∴AB＝，A（m﹣，﹣9+）∵∠AE C＝90°，∠BAC＝45°∴AE＝CE设AE＝CE＝t（t＞0），则C（m﹣+t，﹣9++t）把C的坐标代入抛物线解析式得：a（m﹣+t﹣m）2﹣9＝﹣9++t整理得：t＝∴CE＝＝AB•CE＝∴S△ABC（3）∵S＝＝10，a＞0△ABC∴a＝1∴抛物线解析式为：y＝（x﹣m）2﹣9∴抛物线最小值y＝﹣9＜5∴当2m﹣3≤x≤2m+5时，不包含有对称轴x＝m①若2m+5＜m，即m＜﹣5时，x＝2m+5对应最小值y＝5∴（2m+5﹣m）2﹣9＝5解得：m1＝﹣5+（舍去），m2＝﹣5﹣②若2m﹣3＞m，即m＞3时，x＝2m﹣3对应最小值y＝5∴（2m﹣3﹣m）2﹣9＝5解得：m1＝3+，m2＝3﹣（舍去）综上所述，m的值为﹣5﹣或3+．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△P AB ＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，∴当m＝时，△P AB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．13．解：（1）函数l的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故函数l的表达式为：y＝x2+2x﹣3，b＝2，点A、A1关于y轴对称，故点A1（3，0）；（2）点B′是点B关于y轴的对称点，过点B′作B′E⊥A1C交于点E，B′E交y轴于点P，则此时，PB+PE最小，最小值为B′E，∵OA1＝OC＝3，故直线A1C的表达式为：y＝x﹣3…①，B′E⊥A1C，则B′E的函数表达式为：y＝﹣x+s，将点B′坐标代入上式并解得：直线B′E的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝1，故点E（1，﹣2），则PB+PE的最小值B′E＝2；（3）将图象A、B、C区域放大为图2，连接OB′，则∠BCB′＝2OCB＝2α，在点B右侧作∠BCB″＝α，交x轴于点B″，则∠B′CB″＝3α，则tan∠OCB＝＝＝tanα，B′C＝BC＝，设∠CB′B＝β，则tanβ＝3，则sinβ＝当k＝2时，即∠MA1O＝2∠OCB＝2α，故点B作BH⊥CB′，BH＝B′B sinβ＝2×＝，tan∠HCB＝tan2α＝＝，当k＝3时，同理tan∠MA1O＝tan3α＝；①当k＝2时，tan∠MA1O＝tan2α＝，则直线A1M的表达式为：y＝﹣x+b，将点A1（3，0）的坐标代入上式并解得：直线A1M的表达式为：y＝﹣x+，将A1M表达式与l的表达式联立并解得：x＝﹣（正值也舍去），故点D（﹣，），②k＝3时，tan∠MA1O＝tan3α＝；则OM＝OA1tan∠MA1O＝×3＝．14．解：（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3OA＝3∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为，解得，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l＝﹣＝﹣1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，∴＝＝＝∴MP＝3ME，∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3），∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得t1＝﹣2，t2＝3，（与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去），当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3∴P（﹣2，3），∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．15．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3（2）过点D作DM∥y轴，交BC于点M∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3∴C（0，3）∴直线BC解析式为y＝﹣x+3∵点D的横坐标为m（0＜m＜3）∴D（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+3）∴DM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m∴s＝OB•DM＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+∴s与m的函数关系式为s＝﹣m2+m，s的最大值为．（3）存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似如图2，连接BD∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）∴E（1，0），OE＝1，OC＝3，CD2＝m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2∴CE＝∴sin∠OCE＝，cos∠OCE＝∵BC＝，DF⊥BC∴s＝BC•DF＝﹣m2+m∴DF＝∵以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°∴△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC①若△CFD∽△COE，则∠FCD＝∠OCE∴sin∠FCD＝∴10DF2＝CD2∴10（）2＝m2+（﹣m2+2m）2解得：m1＝4（舍去），m2＝∴﹣m2+2m+3＝﹣+5+3＝∴D（，）②若△CFD∽△EOC，则∠FDC＝∠OCE∴cos∠FDC＝∴10DF2＝9CD2∴10（）2＝9[m2+（﹣m2+2m）2]解得：m1＝0（舍去），m2＝∴﹣m2+2m+3＝﹣+3+3＝∴D（，）∴点D的坐标为（，）或（，）．16．解：（1）∵直线y＝﹣x与抛物线y＝﹣x2﹣x交于点A，∴﹣x＝﹣x2﹣x，∴x1＝0，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，1），令﹣x2﹣x＝0，解得x1＝﹣3，x2＝0，∴B（﹣3，0），AB＝＝，设点C的坐标为（0，c），∴AC＝＝，解得c＝3，∴C（0，3），设点D的坐标为（﹣3，n），∴AD＝＝，解得n＝2，∴D（﹣3，2）．∴A（﹣1，1）、B（﹣3，0）、C（0，3）、D（﹣3，2）．（2）过点C作OA的平行线，则解析式为y＝﹣x+3，将y＝﹣x+3向下平移6个单位后与抛物线的交点就是所求的点P，令﹣x﹣3＝﹣x2﹣x，解得，，∴点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣3，0）．（3）①当BC为对角线时，点O即为点N，∴N1（0，0）．②当BC为边时，过N作y轴的平行线交直线OA于点Q，∵OA⊥BC，BC∥MN，∴∠QMN＝90°，又∵BC＝OB＝3，∴MN＝3，∵∠MQN＝45°，∴NQ＝MN＝6，设N（a，﹣a2﹣a），则点Q（a，﹣a），∴﹣a﹣（﹣a2﹣a）＝6，解得a1＝3，a2＝﹣4，∴N2（3，﹣9），N3（﹣4，﹣2）．综上所述，点N的坐标为（0，0）、（3，﹣9）、（﹣4，﹣2）．。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案附答案

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案附答案

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题附答案1．如图，已知抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，顶点为C ，点P 为线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过P 作PQ BC ∥交抛物线于点Q ，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)求CPD △面积的最大值；(3)连接CQ ，当CQ PQ ⊥时，求点Q 的坐标；(4)点P 在运动过程中，是否存在以A 、O 、D 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由2．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知：如图，抛物线()2430y mx mx m =++>交x 轴于E 、F 两点，交y 轴于A 点，直线AE ：y x b =+交x 轴于E 点，交y 轴于A 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q 为抛物线上一点，连接,QE QA ，设点Q 的横坐标为()3t t <-，QAE 的面积为S ，求S 与t 函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M 在线段QA 上，点N 是位于Q 、E 两点之间的抛物线上一点，15S =，QMN AEM ∠=∠，且MN EM =，求点N 的坐标．4．如图，抛物线22y ax ax c =++经过()()1003B C ，，，两点，与x 轴交于另一点A ，点D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图1，连接AC ，点E 在直线AC 上方的抛物线上，连接EA EC ，，当EAC 面积最大时，求点E 坐标；(3)如图2，连接AC BC 、，在抛物线上是否存在点M ，使ACM BCO ∠=∠，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线21164y ax x =+-与x 轴交于(,0),(8,0)A t B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y kx =-经过点B ．点P 在抛物线上，设点P 的横坐标为m ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若APC △是以CP 为斜边的直角三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，求12CQ PQ +的最大值．6．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴为直线l ，点P 是抛物线上位于点B 、C 之间的动点．(1)求ABC ∠的度数；(2)若PBC ACO ∠=∠，求点P 的坐标；(3)已知点(),P p n ，若点(),Q q n 在抛物线上，且p q >；①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q ；②若2PQ t =，求232022p tq t +-+的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过()0,1A ，()4,1B -．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 上方且在对称轴右侧的一个动点，过P 作PD AB ⊥，垂足为D ，E 为点P 关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)PE +的最大值时，求此时点P PE +的最大值；(3)将抛物线y 关于直线3x =作对称后得新抛物线y '，新抛物线与原抛物线相交于点F ，M 是新抛物线对称轴上一点，N 是平面中任意一点，是否存在点N ，使得以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．(1)求出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是线段CB 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 的坐标．10．二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B -，，交y 轴于点()03C -，．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E 为抛物线的顶点，点()0T t ，为y 轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T 旋转180︒，得到新的抛物线，其中B ，E 旋转后的对应点分别记为B E ''，，当四边形BEB E ''的面积为12时，求t 的值；(3)如图2，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ．点M 是直线CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ．是否存在点M 使PBC 为直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线2y ax 2x c =++交x 轴于点()10A -，和点()30B ，，交y 轴于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求该抛物线的表达式，并求出点D 的坐标；(2)若点E 为该抛物线上的点，点F 为直线AD 上的点，若EF x ∥轴，且1EF =（点E 在点F 左侧），求点E 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使得APD △为直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接写出点P 坐标．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)如图1，求b 、c 的值；(2)如图2，点P 是第一象限抛物线2y x bx c =-++上一点，直线AP 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，ADC △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，E 是直线BC 上一点，45EPD ∠=︒，ADC △的面积S 为54，求E 点坐标．13．抛物线24y ax =-经过A 、B 两点，且OA OB =，直线EC 过点()41E -，，()03C -，，点D 是线段OA （不含端点）上的动点，过D 作PD x ⊥轴交抛物线于点P ，连接PC 、PE ．(1)求抛物线与直线CE 的解析式；(2)求证：PC PD +为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q ，使得以C 、P 、E 、Q 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A 、()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D 的坐标；(2)若四边形BCEF 为矩形，3CE =．点M 以每秒1个单位的速度从点C 沿CE 向点E 运动，同时点N 以每秒2个单位的速度从点E 沿EF 向点F 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M 、E 、N 为顶点的三角形与BOC 相似时，求运动时间t 的值；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点P ，点G 是点P 关于点D 的对称点，点Q 是x 轴下方抛物线上的动点．若过点Q 的直线l ：94y kx m k ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA 、GB 相交于点H 、K ，求证：GH GK +为定值．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx =+经过(40)(13)A B ，，，两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的表达式；(2)若OAB 面积是PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记CPB △，BCO 的面积分别为12S S ，，判断12S S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线212y x bx c =-++（b 、c 是常数）的顶点B 坐标为()1,2-，抛物线的对称轴为直线l ，点A 为抛物线与x 轴的右交点，作直线AB ．点P 是抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点Q ，过点P 作PN l ⊥于点N ，以PQ PN 、为边作矩形PQMN ．(1)b =___________，c =___________．(2)当点Q 在线段AB 上（点Q 不与A 、B 重合）时，求PQ 的长度d 与m 的函数关系式，并直接写出d 的最大值．(3)当抛物线被矩形PQMN 截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P 的坐标．(4)矩形PQMN 的任意两个顶点到直线AB 的距离相等时，直接写出m 的值．17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点()0,2C ．(2)点P 是第一象限内的抛物线上一点．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点Q ，求PQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2．将地物线沿射线BC()2111110y a x b x c a =++≠，新抛物线与原抛物线交于点G ，点M 是x 轴上一点，点N 是新抛物线上一点，若以点C 、G 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．18．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标；(3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =+-(2)2(3)11524Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4)1,05⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()0,0或1,05⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)()0,5(2)点P 到直线AC 距离为8，此时535,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点M 的坐标为()3,8-或()7,16--或()3,16-3．(1)243y x x =++(2)23922S t t =+(3)()2N -4．(1)223y x x =--+，()14D -，(2)E 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)存在，()45M --，或5724⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2111644y x x =-+-；364y x =-(2)710,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)169166．(1)45︒(2)(1,4)P(3)①见解析；②20237．(1)2712y x x =-++PE +的最大值为1，此时点P 的坐标为961,416⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在点N ，使以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，此时点N 的坐标为215,424N ⎛+ ⎝⎭或215,424⎛- ⎝⎭或13,544N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或13,544N ⎛- ⎝⎭或299,204N ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =-++(2)2m =(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--9．(1)2=23y x x --(2)满足PCB CBD ∠=∠，点P 的坐标为(4,5)或(2,2)-(3)M 点的坐标为(1,2)-或(2,5)--或924,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)243y x x =---(2)3t =-(3)存在，532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或532⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(23)--，或(53)--，11．(1)223y x x =-++，()23D ，(2)11024E ++⎝⎭，或1124E --+⎝⎭，(3)存在点P ，使得APD △为直角三角形，此时点P 的坐标为312⎛⎫+ ⎪⎝⎭，或312⎛ ⎝⎭，或()12-，或()14，12．(1)2b =，3c =(2)12S t =(3)3513,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)2144y x =-；132y x =-(2)见解析(3)存在，754Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2315344y x x =-+，527,216D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)当911t =或65t =时(3)见解析15．(1)24y x x=-+(2)(24)P ，或(3,3)(3)见解析16．(1)1-，32(2)21122d m =-+()11m -<<，d 最大值为12(3)()3,0-或1--(4)3-或0或317．(1)211242y x x =-++；(2)5PQ +最大值为94，此时点5(3,4P ；(3)(1-，14-或(1-，1)4-或(1-+1)4或(1--1)4．18．(1)2246y x x =-++(2)129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫ ⎪⎝⎭。

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二次函数常考题型与解析一．选择题（共12小题）1．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=72．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y33．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．4．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣5．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤7．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．108．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜110．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧11．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=1212．如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0二．填空题（共9小题）13．已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是．14．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）15．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．16．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．17．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．18．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为．19．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB 时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为．20．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．21．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．三．解答题（共12小题）22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．23．已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．24．已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．25．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．26．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．28．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．29．如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．30．已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y=kx与抛物线交于A，B两点．（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．32．小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（m）与时间t（s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与t满足表达式s=at2（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a的值；（2）求图2中A点的纵坐标h，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v（m/s）与时间t（s）的关系如图1中的折线O﹣B﹣C所示，加速过程中行驶路程s（m）与时间t（s）的关系也满足s=at2，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．33．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？20XX年03月20日初中数学3的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•荆门）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．2．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．3．（2016•贺州）抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选：B．【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．4．（2016•临沂）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【解答】解：将点（﹣4，0）、（﹣1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c 中，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、﹣=﹣，当x≥﹣时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确；D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣，D正确．故选D．【点评】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．5．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A （﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．7．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选A．【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式，解题关键是明确题意，列出相应的关系式．8．（2016•泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，于是0＜a＜2，∴﹣2＜2a﹣2＜2，又a﹣b为整数，∴2a﹣2=﹣1，0，1，故a=，1，，b=，1，，∴ab=或1，故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定a+b+c的值和a、b的符号，难度中等．9．（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（）A．c＜3 B．m≤C．n≤2 D．b＜1【分析】根据已知条件得到，解方程组得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二次函数的对称轴为x=﹣=﹣=﹣＜，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论．【解答】解：由已知可知：，消去b得：c=3﹣2a＜3，消去c得：b=1﹣a＜1，对称轴：m=x=﹣=﹣=﹣＜，∵A（﹣1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值，∴n≤2，故B错．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键．10．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．11．（2007•临沂）如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（）A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=12【分析】由直角三角形相似得，得x=•（24﹣y），化简矩形面积S=xy 的解析式为S=﹣（y﹣12）2+180，再利用二次函数的性质求出S 的最大值，以及取得最大值时x、y的值．【解答】解：以直角梯形的下底直角边端点为原点，两直角边方向为x，y轴建立直角坐标系，过点D作DE⊥x轴于点E，∵NH∥DE，∴△CNH∽△CDE，∴=，∵CH=24﹣y，CE=24﹣8，DE=OA=20，NH=x，∴，得x=•（24﹣y），∴矩形面积S=xy=﹣（y﹣12）2+180，∴当y=12时，S有最大值，此时x=15．故选D．【点评】本题考查的是直角梯形以及矩形的性质的相关知识点．12．（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0【分析】把（﹣，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论．【解答】解：∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，∴顶点（﹣，﹣），把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，由图象知：抛物线的开口向下，∴a＜0，∴a＜k＜0，故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二．填空题（共9小题）13．（2016•厦门）已知点P（m，n）在抛物线y=ax2﹣x﹣a上，当m≥﹣1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是﹣≤a＜0．【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围．【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示．由已知得：，解得：﹣≤a＜0．故答案为：﹣≤a＜0【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键．14．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b＜c（用“＞”或“＜”号填空）【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，∴b＜c，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．15．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．16．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．【解答】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．17．（2014•宁德）如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y=﹣x2+x+2，∴当y=0时，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．=6，．∴当x=1时，C最大值即：四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．18．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3）或（2，﹣3）．【分析】△ABC是等边三角形，且边长为2，所以该等边三角形的高为3，又点C在二次函数上，所以令y=±3代入解析式中，分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上，所以x＞0．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）【点评】本题考查二次函数的图象性质，涉及等边三角形的性质，分类讨论的思想等知识，题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3．19．（2016•大庆）直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两根之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，∴kx+b=，化简，得x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴=，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．20．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD根据二次函数的性质即可求得最大值．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，△BCD∵﹣＜0，∴S有最大值，最大值为15，△BCD故答案为15．【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．21．（2016•自贡）抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．【分析】（1）根据抛物线经过原点b=0，把a=、b=0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．（2）利用△PCB∽△APM，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，∴b=0，∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，∵x=2时，y=8，∴点B坐标（2，8），∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，8），∴BC=2．（2）∵AP⊥PC，∴∠APC=90°，∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，∴∠CPB=∠PAM，∵∠PBC=∠PMA=90°，∴△PCB∽△APM，∴=，∴=，整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±，∵a＞1，∴a=2+．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．三．解答题（共12小题）22．（2016•黔南州）已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围．【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围．【解答】解：（1）∵把C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A（﹣2，0）代入y=x2+bx﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6．∴y=（x﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D（，﹣）．（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣．令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x1=，x2=﹣．∵a＞0，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．23．（2016•无锡）已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B 且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．【分析】（1）由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点P作PE⊥x轴于点E，所以OE：EB=CP：PD；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，构造直角三角形CDF，利用tan∠PDB=即可求出FD，由于△CPG∽△CDF，所以可求出PG的长度，进而求出a 的值，最后将A（或B）的坐标代入解析式即可求出c的值．【解答】解：（1）过点P作PE⊥x轴于点E，∵y=ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的对称轴为：x=1，∴OE=1∵OC∥BD，∴CP：PD=OE：EB，∴OE：EB=2：3，∴EB=，∴OB=OE+EB=，∴B（，0）∵A与B关于直线x=1对称，∴A（﹣，0）；（2）过点C作CF⊥BD于点F，交PE于点G，令x=1代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c﹣a，令x=0代入y=ax2﹣2ax+c，∴y=c∴PG=a，∵CF=OB=，∴tan∠PDB=，∴FD=2，∵PG∥BD∴△CPG∽△CDF，∴==∴PG=，∴a=，∴y=x2﹣x+c，把A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c，∴解得：c=﹣1，∴该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣1．【点评】本题考查二次函数，涉及待定系数法求出二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数等知识内容，解题的关键是利用作垂线构造直角三角形，再利用相似三角形的对应边的比相等即可得出答案．24．（2016•淄博）已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为．（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．【分析】（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题．（2）设M（t，t2），Q（m，），根据K OM=K OQ，求出t、m的关系，根据QO=QM 列出方程即可解决问题．（3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF 即可解决问题．【解答】解：（1）∵圆心Q的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，），∵QO=QF，∴m2+（）2=m2+（﹣）2，∴a=1，∴抛物线为y=x2．（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），。

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