圆中常见的辅助线的作法分类大全

O

C

B

A

O

C

B

A

O

C

B

A

1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，

那么OP 的长的取值范围是_________．

2． 遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,

∠B=

3． 遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例4】如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，

AB=6，AC=8，⊙O 的半径是

4．遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，

则∠C的度数是________.

5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。【例8】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．

求证：AB是⊙O切线；

7．遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③

全等、相似三角形。

【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周

长为12，则PA长为______________

8．遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

②内心到三角形三条边的距离相等。

【例10】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=

A

B

C

D

E O

【例11】如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于D ，E ，F ，求Rt

△ABC 的内心I 与外心O 之间的距离．

9． 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

[课后冲浪]

一、证明解答题

16．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD.求

证：PO 平分∠BPD ．

17．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB

上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.

18．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.

A

B

C

D

O E

19．如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？

20．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.

C

A

O

B

.

.

.

.

A

N

o

P

M

N

Q C

D

A

21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.

22．如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．

23．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D

作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.

三、探索题

24．已知：图a ，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：（1）DC 是⊙O 的切线，（2）过D 点作DE ⊥AB ，图b 所示，交AC 于P 点，请考察P 点在DE 的什么位置？并说明理由.

B

图a

B

图b

A

C

D

O 1

O 2 B

. .