太原理工大学2014级研究生《数值分析》试题及参考解答
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解 (1) 由差商表
k
0 1 2
xk
0 1 4
f ( xk )
0 1 2
f [ xk 1 , xk ]
1 1/3
f [ xk 2 , xk 1 , xk ]
-1/6
1 x( x 1) ， 6 1 记 H ( x) N 2 ( x) Ax( x 1)( x 4) x x( x 1) Ax( x 1)( x 4) ， 6 1 1 由 1 H (1) 1 3 A ，得 A ，所以所求 Hermite 插值多项式为 6 18 1 1 1 1 17 H ( x) x x( x 1) x( x 1)( x 4) x 3 x 2 x ， (0 x 4) 6 18 18 9 18
2014 级
考试日期
2015/07
时间
120
分钟
时,二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 xk 1 局部收敛的牛顿迭代公式是 xk 1 2. 3. 4.
， 求 x2 的近似值时,二阶
*
2 3 xk 6 xk 3 4 x k 10
； ；
拟合三点 A(0, 1), B (1,1), C (2,3) 的直线方程为
证 由 Lagrange 插值多项式 f ( x)
f ( x )l ( x) ，余项为
j 0 j j
n
Rn ( x) f ( x) f ( x j )l j ( x)
j 0
n
f ( n 1) ( ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) ， (n 1)!
得牛顿(Newton)插值多项式 N 2 ( x) x 或由拉格朗日(Lagrange) 插值多项式，计算基函数
解 由 ( x, x )
1
x 2 dx
2. 设 x j ( j 0,, n ) 为互异节点， l j ( x ) 为 n 次插值基函数，试证明
1 x l (0) 0 j 0 (1) n x x x 0 1 n
n k j j
k 0 k 1, 2, , n . k n 1
因此结论得证.
3. 已知 x F ( x ) 在 [a , b] 内仅有一个根，而当 x [a , b] 时， | F ( x ) | L 1 （L 为常数） ， 试问如何将 x F ( x ) 化为适合迭代的形式， 将 x tan x 化为适合迭代的形式用于求方程的 最小正根。 解 因为在 [a , b] 上 F ( x) 有导数，则 F ( x) 在 [a , b] 上连续，又 x F ( x ) 在 [a , b] 内仅有 一个根，所以存在此根的一个邻域 U 使 x F ( x ) 单调且有反函数 x F ( x) ，根据反函数 的导数，由于 | F ( x ) | L 1（L 为常数） ， 有
k ( ) 0 ，即 Rn ( x) 0 ，有 x k j l j ( x ) f ( x ) x ，故有 j 0 n
且当 f ( x) x , k n 时， f
k
( n 1)
(1) 取 k 0 时，再取 x 0 ，有
x l (0) l (0) 1 ，
式，并求出其代数精度。 解 设
2
0
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) ，取 f ( x) 1, x, x 2 有 A0 A2
4 2 , A2 , 即有 3 3 2 4 2 4 0 f ( x)dx 3 f (0.5) 3 f (1) 3 f (1.5) 3 4 2 4 1 2 2 4 3 2 取 f ( x) x 有， 4 1 4 2 左 右 3 ( 2 ) 3 1 3 ( 2 ) 4 ， 2 A0 A1 A2 3 1 2 2 A0 A1 2 A2 ，得 8 1 A A 9 A 1 4 2 3 4 0
积分计算得到插值型求积分系数为
2 2 8 5 22 3 4 5 3 A0 l0 ( x)dx 2 x 2 x dx 2 2 ， 0 0 2 2 3 2 2 2 3 2 2 8 3 22 3 2 2 A1 l1 ( x)dx 4 x 2 x dx 4 2 2 ， 0 0 4 2 4 3 3 2 2 8 3 22 1 4 3 1 A2 l2 ( x)dx 2 x 2 x dx 2 2 . 0 0 2 2 3 2 2 2 3
a 1, a 3
时， A 可作 LDL 分解，其中 L
T
是单位下三角矩阵； 7. 8. 幂法是用来求
已知 f 0 1, f 1 2, f 2 3 , 用三点式求得 f (1)
1
。
矩阵按摸最大
特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。
（二）单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1、截断误差是(
1 n
而 即有
f ( x )l ( x) f ( x) ( x x )( x x ) ( x x ) ，
j 0 n j j 0
x l (0) x
j 0 k jΒιβλιοθήκη Baiduj j 0
n
n 1 j j
l (0) 0 (0 x0 )(0 x1 ) (0 xn ) (1) n x0 x1 xn ，
1 2 在 span{x, x } 中的最佳平方逼近多项式。 x
1 1 1 1 1 2 3 2 2 4 ， ( x, x ) x dx ， ( x , x ) x dx ， 0 0 0 3 4 5 1 1 1 1 1 ( x, f ) x dx 1 ， ( x 2 , f ) x 2 dx ，得法方程为 0 0 x x 2 1 1 3 4 a0 1 a0 18 1 1 1 ，解得 ，故所求最佳平方逼近多项式为 a a 20 1 1 2 4 5 S ( x) 18 x 20 x 2 .
点的三次样条插值函数，则 a __3__， b __3__； 5.
{ k ( x)} 0 是区间[0,1]上权函数为 ( x ) x 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中
0 ( x) 1， 则 1 ( x)
6. 已知 A
x
2 3
。
a 1 2 ，当 a 满足条件 1 2
2. 已知 y f ( x) 的函数表
xi
f ( xi )
0 0
1 1
4 2
(1) 试求 f ( x) 在 [0, 4] 上的 Hermite 插值多项式 H ( x) ，使其满足下列条件：
H ( xk ) f ( xk ), k 0,1, 2 ， H ( x1 ) 1 ； (2) 写出余项 R ( x) f ( x) H ( x) 的表达式(导数型)。
1 1
f
1
( x)
1 1 1 ，满足 Lip 条件， F ( x) L
因此求根的适合迭代形式可写为 xk 1 F ( xk ) . 对 x tan x ，在最小正根附近有 (tan x) s ec x 1 ，故取 x arc tan x ，在最小
太原理工大学《数值分析》试题（A）
适用专业 一、共 40 分 （一）填空题（每空 2 分，共 20 分） 1. 已知方程 f ( x) ( x 3 x 3 x 1)( x 3) 0 的根 x1 1, x 2 3 ,则求 x1 的近似值
3 2 * * *
2 xk 2 xk 9 4 x k 10
1、用 1 3、在插值问题中,插值多项式次数越高,误差越小。 4、追赶法可用于求解方程组 Ax b 。 5、若 A 为正定矩阵，则松弛法收敛的必要条件为 0 2 。 二、每小题 10 分，共 30 分 1. 在区间[0,1]上，求 f ( x)
（ （ （
） ）
） （ ） （ ）
j 0 k j j j 0 j
n
n
(2) 取 k 1, 2, , n 时，再取 x 0 ，有 (3) 当 k n 1 时， 根据余项公式， 因为
n
x l (0) f (0) 0
j 0 k j j
n
k
0，
f ( n 1) ( ) (n 1)! 再取 x 0 ， 有 f (0) 0 ， 1， (n 1)! (n 1)!
B
)产生的误差。 B. 模型准确值与用数值方法求得的准确值 D. 数学模型准确值与实际值
A. 只取有限位数 C. 观察与测量 2、Jacobi 法是求矩阵( A. 按模最大
C
)特征值及相应特征向量的迭代法。 C. 所有的 D. 任意一个
B. 按模最小
3、Seidel 迭代法解方程组 Ax b 的必要条件是( C )。 A．A 的各阶顺序主子式不为零 B. ( A) 1 C. aii 0, i 1,2, , n 4、五点的高斯求积公式的代数精度为( A. 2 B.5 C. 3
4 1 4 1 2 4 3 取 f ( x) x 有， 32 5 5 2 左 右 3 ( 2 ) 3 1 3 ( 2 ) 5 3 3 3 76 12
，故代数精度为 3.
或由
先计算基函数 l0 ( x), l1 ( x), l2 ( x) ，
( x 1)( x 1.5) 5 3 2( x 1)( x 1.5) 2 x 2 x ， (0.5 1)(0.5 1.5) 2 2 ( x 0.5)( x 1.5) 3 l1 ( x) 4( x 0.5)( x 1.5) 4 x 2 2 x ， (1 0.5)(1 1.5) 4 ( x 0.5)( x 1) 3 1 l2 ( x ) 2( x 0.5)( x 1) 2 x 2 x ， (1.5 0.5)(1.5 1) 2 2 l0 ( x)
2
正根附近有 ( arc tan x)
xk 1 arctan xk .
1 1 ，因此用于求方程的最小正根的适合迭代形式为 1 x2
三、每小题 10 分，共 30 分 1. 对于积分
2
0
f ( x)dx ，若取节点 x0 0.5 ， x1 1 ， x2 1.5 ，试推导一个插值型求积公
4
D.
A 1
D
)。 D. 9 )。 C.
5、计算 (2 3) 比较精确的表达式是( A. 97 56 3 B. (7 4 3)
2
D
1 (2 3)
4
D.
1 (7 4 3) 2
(三) 判断题： （每小题 2 分，共 10 分。 认为正确的在后面的括弧中打，否则打。 ）
x2 近似表示 cosx 产生模型误差。 2 ( x x 0 )( x x 2 ) 2、 表示在节点 x1 的二次插值基函数。 ( x1 x 0 )( x1 x 2 )
S ( x ) 1 2 x
解线性方程组的主元素消去法中,选择主元的目的是 已知 s ( x)
减少舍入误差 ；
，且 s ( x) 是以 0,1,3 为节
0 x 1 x 3 2 ( x 1) a ( x 1) b( x 1) 1
3
1 x 3
k
0 1 2
xk
0 1 4
f ( xk )
0 1 2
f [ xk 1 , xk ]
1 1/3
f [ xk 2 , xk 1 , xk ]
-1/6
1 x( x 1) ， 6 1 记 H ( x) N 2 ( x) Ax( x 1)( x 4) x x( x 1) Ax( x 1)( x 4) ， 6 1 1 由 1 H (1) 1 3 A ，得 A ，所以所求 Hermite 插值多项式为 6 18 1 1 1 1 17 H ( x) x x( x 1) x( x 1)( x 4) x 3 x 2 x ， (0 x 4) 6 18 18 9 18
2014 级
考试日期
2015/07
时间
120
分钟
时,二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 xk 1 局部收敛的牛顿迭代公式是 xk 1 2. 3. 4.
， 求 x2 的近似值时,二阶
*
2 3 xk 6 xk 3 4 x k 10
； ；
拟合三点 A(0, 1), B (1,1), C (2,3) 的直线方程为
证 由 Lagrange 插值多项式 f ( x)
f ( x )l ( x) ，余项为
j 0 j j
n
Rn ( x) f ( x) f ( x j )l j ( x)
j 0
n
f ( n 1) ( ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) ， (n 1)!
得牛顿(Newton)插值多项式 N 2 ( x) x 或由拉格朗日(Lagrange) 插值多项式，计算基函数
解 由 ( x, x )
1
x 2 dx
2. 设 x j ( j 0,, n ) 为互异节点， l j ( x ) 为 n 次插值基函数，试证明
1 x l (0) 0 j 0 (1) n x x x 0 1 n
n k j j
k 0 k 1, 2, , n . k n 1
因此结论得证.
3. 已知 x F ( x ) 在 [a , b] 内仅有一个根，而当 x [a , b] 时， | F ( x ) | L 1 （L 为常数） ， 试问如何将 x F ( x ) 化为适合迭代的形式， 将 x tan x 化为适合迭代的形式用于求方程的 最小正根。 解 因为在 [a , b] 上 F ( x) 有导数，则 F ( x) 在 [a , b] 上连续，又 x F ( x ) 在 [a , b] 内仅有 一个根，所以存在此根的一个邻域 U 使 x F ( x ) 单调且有反函数 x F ( x) ，根据反函数 的导数，由于 | F ( x ) | L 1（L 为常数） ， 有
k ( ) 0 ，即 Rn ( x) 0 ，有 x k j l j ( x ) f ( x ) x ，故有 j 0 n
且当 f ( x) x , k n 时， f
k
( n 1)
(1) 取 k 0 时，再取 x 0 ，有
x l (0) l (0) 1 ，
式，并求出其代数精度。 解 设
2
0
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) ，取 f ( x) 1, x, x 2 有 A0 A2
4 2 , A2 , 即有 3 3 2 4 2 4 0 f ( x)dx 3 f (0.5) 3 f (1) 3 f (1.5) 3 4 2 4 1 2 2 4 3 2 取 f ( x) x 有， 4 1 4 2 左 右 3 ( 2 ) 3 1 3 ( 2 ) 4 ， 2 A0 A1 A2 3 1 2 2 A0 A1 2 A2 ，得 8 1 A A 9 A 1 4 2 3 4 0
积分计算得到插值型求积分系数为
2 2 8 5 22 3 4 5 3 A0 l0 ( x)dx 2 x 2 x dx 2 2 ， 0 0 2 2 3 2 2 2 3 2 2 8 3 22 3 2 2 A1 l1 ( x)dx 4 x 2 x dx 4 2 2 ， 0 0 4 2 4 3 3 2 2 8 3 22 1 4 3 1 A2 l2 ( x)dx 2 x 2 x dx 2 2 . 0 0 2 2 3 2 2 2 3
a 1, a 3
时， A 可作 LDL 分解，其中 L
T
是单位下三角矩阵； 7. 8. 幂法是用来求
已知 f 0 1, f 1 2, f 2 3 , 用三点式求得 f (1)
1
。
矩阵按摸最大
特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。
（二）单项选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1、截断误差是(
1 n
而 即有
f ( x )l ( x) f ( x) ( x x )( x x ) ( x x ) ，
j 0 n j j 0
x l (0) x
j 0 k jΒιβλιοθήκη Baiduj j 0
n
n 1 j j
l (0) 0 (0 x0 )(0 x1 ) (0 xn ) (1) n x0 x1 xn ，
1 2 在 span{x, x } 中的最佳平方逼近多项式。 x
1 1 1 1 1 2 3 2 2 4 ， ( x, x ) x dx ， ( x , x ) x dx ， 0 0 0 3 4 5 1 1 1 1 1 ( x, f ) x dx 1 ， ( x 2 , f ) x 2 dx ，得法方程为 0 0 x x 2 1 1 3 4 a0 1 a0 18 1 1 1 ，解得 ，故所求最佳平方逼近多项式为 a a 20 1 1 2 4 5 S ( x) 18 x 20 x 2 .
点的三次样条插值函数，则 a __3__， b __3__； 5.
{ k ( x)} 0 是区间[0,1]上权函数为 ( x ) x 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中
0 ( x) 1， 则 1 ( x)
6. 已知 A
x
2 3
。
a 1 2 ，当 a 满足条件 1 2
2. 已知 y f ( x) 的函数表
xi
f ( xi )
0 0
1 1
4 2
(1) 试求 f ( x) 在 [0, 4] 上的 Hermite 插值多项式 H ( x) ，使其满足下列条件：
H ( xk ) f ( xk ), k 0,1, 2 ， H ( x1 ) 1 ； (2) 写出余项 R ( x) f ( x) H ( x) 的表达式(导数型)。
1 1
f
1
( x)
1 1 1 ，满足 Lip 条件， F ( x) L
因此求根的适合迭代形式可写为 xk 1 F ( xk ) . 对 x tan x ，在最小正根附近有 (tan x) s ec x 1 ，故取 x arc tan x ，在最小
太原理工大学《数值分析》试题（A）
适用专业 一、共 40 分 （一）填空题（每空 2 分，共 20 分） 1. 已知方程 f ( x) ( x 3 x 3 x 1)( x 3) 0 的根 x1 1, x 2 3 ,则求 x1 的近似值
3 2 * * *
2 xk 2 xk 9 4 x k 10
1、用 1 3、在插值问题中,插值多项式次数越高,误差越小。 4、追赶法可用于求解方程组 Ax b 。 5、若 A 为正定矩阵，则松弛法收敛的必要条件为 0 2 。 二、每小题 10 分，共 30 分 1. 在区间[0,1]上，求 f ( x)
（ （ （
） ）
） （ ） （ ）
j 0 k j j j 0 j
n
n
(2) 取 k 1, 2, , n 时，再取 x 0 ，有 (3) 当 k n 1 时， 根据余项公式， 因为
n
x l (0) f (0) 0
j 0 k j j
n
k
0，
f ( n 1) ( ) (n 1)! 再取 x 0 ， 有 f (0) 0 ， 1， (n 1)! (n 1)!
B
)产生的误差。 B. 模型准确值与用数值方法求得的准确值 D. 数学模型准确值与实际值
A. 只取有限位数 C. 观察与测量 2、Jacobi 法是求矩阵( A. 按模最大
C
)特征值及相应特征向量的迭代法。 C. 所有的 D. 任意一个
B. 按模最小
3、Seidel 迭代法解方程组 Ax b 的必要条件是( C )。 A．A 的各阶顺序主子式不为零 B. ( A) 1 C. aii 0, i 1,2, , n 4、五点的高斯求积公式的代数精度为( A. 2 B.5 C. 3
4 1 4 1 2 4 3 取 f ( x) x 有， 32 5 5 2 左 右 3 ( 2 ) 3 1 3 ( 2 ) 5 3 3 3 76 12
，故代数精度为 3.
或由
先计算基函数 l0 ( x), l1 ( x), l2 ( x) ，
( x 1)( x 1.5) 5 3 2( x 1)( x 1.5) 2 x 2 x ， (0.5 1)(0.5 1.5) 2 2 ( x 0.5)( x 1.5) 3 l1 ( x) 4( x 0.5)( x 1.5) 4 x 2 2 x ， (1 0.5)(1 1.5) 4 ( x 0.5)( x 1) 3 1 l2 ( x ) 2( x 0.5)( x 1) 2 x 2 x ， (1.5 0.5)(1.5 1) 2 2 l0 ( x)
2
正根附近有 ( arc tan x)
xk 1 arctan xk .
1 1 ，因此用于求方程的最小正根的适合迭代形式为 1 x2
三、每小题 10 分，共 30 分 1. 对于积分
2
0
f ( x)dx ，若取节点 x0 0.5 ， x1 1 ， x2 1.5 ，试推导一个插值型求积公
4
D.
A 1
D
)。 D. 9 )。 C.
5、计算 (2 3) 比较精确的表达式是( A. 97 56 3 B. (7 4 3)
2
D
1 (2 3)
4
D.
1 (7 4 3) 2
(三) 判断题： （每小题 2 分，共 10 分。 认为正确的在后面的括弧中打，否则打。 ）
x2 近似表示 cosx 产生模型误差。 2 ( x x 0 )( x x 2 ) 2、 表示在节点 x1 的二次插值基函数。 ( x1 x 0 )( x1 x 2 )
S ( x ) 1 2 x
解线性方程组的主元素消去法中,选择主元的目的是 已知 s ( x)
减少舍入误差 ；
，且 s ( x) 是以 0,1,3 为节
0 x 1 x 3 2 ( x 1) a ( x 1) b( x 1) 1
3
1 x 3