妙用三角形三边关系解决实际问题

妙用三角形三边关系解决实际问题

“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是三角形的一个重要性质。它不但在解答几何问题中有着广泛的应用，而且在其他学科和实际生活中也有着非常重要的应用。现举几例说明如下：

1、选择长度合适的钢筋

例1：某焊接工人要从长140厘米和150厘米的两根钢筋中，选择一根截成三段，焊接成两边长分别为50厘米和70厘米的三角形框架。问焊接工人应选择哪根钢筋合适？

解析：根据题意，设截成的三段长分别为50厘米、70厘米、X厘米的钢筋焊接成一个三角形框架，则由三角形三边关系，可得：70-50＜X＜70+50，即20＜X＜120，又由于140-（70+50）=20，150-（70+50）=30，所以，焊接工人应选择150厘米长的钢筋。

点拨：把实际问题转化为三角形问题，就可利用三角形三边关系求解。

2、估计物体的重量范围

例2：有甲、乙、丙三块物体，已知甲物体重25kg，乙物体重30kg，又知以这三块物体重的千克数为长度的线段恰好能构成一个三角形，请你估计一下丙物体的重量在哪个范

围内？

解析：设丙物体重Xkg ，则由题意知，X 应满足30-25＜X ＜30+25，即5＜X ＜55，因此，丙物体的重量大于5kg 而小于55kg 。

点拨：此题只要抓住“以这三块物体重的千克数为长度的线段恰好能构成一个三角形”这一关键语句，就可将估计丙物体的重量这一实际问题转化为三角形三边关系这一数学问题来解决。

3、求解线路最短问题

例3：如图1所示，有A 、B 、C 、D 四个居民小区，为了解决统一供暖问题，政府准备投资修建一个供暖厂，向四个居民小区供暖，请你帮助他们选择一个地点P ，使这点P 到四个小区的距离和最短，以更节省资金，并说明你的理由。

解析：如图2，连接AC 、BD 交于点P ，则在点P 处修

建供暖厂，到四个居民小区的距离和最短，且为AC+BD 。 理由：如图2，设点P 1是异于点P 的任意一点，连接P 1A 、P 1B 、P 1C 、P 1D ，则P 1A+P 1C ＞AC ，P 1B+P 1D ＞BD ，所以

A ·

B ·

·C P

B C

P 1 D

A

图2 ·D 图1

P1A+P1C+P1B+P1D＞AC+BD，所以，点P是到四个居民小区距离和最短的点。

点拨：1、本题要求线段（和）最小的问题，其基本原理是“两点之间，线段最短”。因此使A与C、B与D间的距离最短的点，必是AC、BD的交点。

2、利用三角形三边关系，任选另一点进行比较，是说明线路最短问题的重要途径。