极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

极坐标化为直角坐标；

M（x0，

运动轨迹的直角坐标方程．

为参数），直线l 经过点(2,2)P ，倾斜角3

π

α=

.

（I ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；

（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值.

30． 已知P 为半圆C ：⎩

⎨⎧==θθ

sin cos y x （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，

点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧

的长度均为3

π

。

（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；

（II ）求直线AM 的参数方程。

曲线1C 上，求222

111ρρ+的值．

参考答案

1．（1）22(2)9y +-=圆方程x

∴直线0l y -=

(2) AB ==【解析】(1)圆C 在直角坐标系中的圆心坐标为(0,2),半径为3,所以其普通方程为22(2)9y +-=x .直线l 由于过原点，并且倾斜角为3π,

所以其方程为0y y =-=. (2)因为圆心C 到直线的距离为1,然后利用弦长公

式||AB =可求出|AB|的值 （1）∵(0,2)C 圆心，半径为322(2)9y +-=∴圆方程x (4)

分 ∵3l π过原点，倾斜角为，∴

直

线0l y y =-=方程： ……….8分 (2) 因为2(0,2)12

C l d -==圆心到直线的距离 所

以AB == 2．（Ⅰ）1-=x y （Ⅱ）621212=-+=x x k BC 【解析】 (I)先把曲线方程化成普通方程，转化公式为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==. (II)直线方程与抛物线方程联立消y 之后，借助韦达定理和弦定公式求出弦长即可

（Ⅰ）由题意得，点A 的直角坐标为()3,4 (1分)

曲线L 的普通方程为：x y 22= （3分） 直线l 的普通方程为：1-=x y （5分）

（Ⅱ）设B （11,y x ）C （22,y x ）

⎩⎨⎧-==122x y x y 联立得0142=+-x x

1

由韦达定理得421=+x x ，121=⋅x x （7分） 由弦长公式得621212=-+=x x k BC

3．解：（1）∵点M 的直角坐标是)3,0(，直线l 倾斜角是 135， …………（1分） ∴直线l 参数方程是⎩⎨⎧+== 135sin 3135cos t y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22322， ………（3分）

)4sin(22πθρ+=即2(sin cos )ρθθ=+， 两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，曲线C 的直角坐标方程

曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；………………（5

分）

（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22322代入02222=--+y x y x ，得03232=++t t ∵06>=∆，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 设03232=++t t 的两个根是21t t 、，321=t t ， ∴||||MB MA ⋅3||21==t t ． ………………（10分）

【解析】略

4．（I ）θθρsin 2cos 2-= ，

θρθρρsin 2cos 22-=∴， …………（2分）

02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分） 即1)22()22(22=++-

y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是

2

6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分）

∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是

62 …………（10分）

方法2：

024=+-∴y x l 的普通方程为直线， …………（8分）

圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++， ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是

621522=- 【解析】略 5．（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，…………２分 结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ

=⎧⎨=⎩得224x y x +=， 即22(2) 4.x y -+= …………５分 （Ⅱ）由直线l

的参数方程()x a t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程，

得，0x a --=. …………７分 结合圆C 与直线l

2=， 解得26a =-或. 【解析】略

6．解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为),(θρ，由余弦定理得)3cos(2221222πθρρ-⋅-+= 所

以圆的极坐标方程为03)3cos(42=+--πθρρ………………… （5分） （Ⅱ）设),(y x Q 则)2,2(y x P ，P 在圆上，则Q 的直角坐标方

程为 41)23()21(22=-+-y x ………………… （10分） 【解析】略

3

7．

【解析】略

8．解：曲线⎩⎨⎧==αsin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半得到⎩⎨⎧==αy αx sin cos 2，

然后整个图象向右平移1个单位得到⎩⎨⎧=+=αy αx sin 1cos 2， 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到⎩⎨⎧=+=αy αx sin 21cos 2， 所以1C 为4)1(22=+-y x ， 又2C 为θρsin 4=，即y y x 422=+， 所以1C 和2C 公共弦所在直线为0342=+-y x ， 所以)0,1(到

0342=+-y x 距离为25， 所以公共弦长为114542=-． 【解析】略

9．（1）极坐标为)32,23(πP （2）21min =-=r d MN 【解析】解：（1）由直线的参数方程消去参数t 得l ：033=+-y x ，

则l 的一个方向向量为)3,3(=， 设)21,233(t t P +-，则)21,233(t t +-=， 又⊥，则023)233(3=++-t t ，得：323=t ， 将323=t 代入直线l 的参数方程得)343,43(-P ，化为极坐标为)3

2,23(πP 。 （2）θρρθρcos 4cos 42=⇒=， 由222y x +=ρ及θρcos =x 得4)2(22=+-y x ， 设)0,2(E ，则E 到直线l 的距离25=d ，

则21min =-=r d MN 。