求解0_1背包问题算法综述
0-1背包问题的算法决策分析
0-1背包问题的算法决策分析0-1背包问题是计算机科学领域的一个经典问题，其解法被广泛应用在算法设计中。
其主要思想是在一定的容量限制下，如何选择一些物品放置到背包中，使得背包的总价值最大化。
在该问题中，每个物品不仅有一个重量，还有一个价值，我们需要在这两个限制因素下做好物品的选择。
该问题的求解方法有好几个，其中最常见的方法是动态规划。
下面，我们来分析一下0-1背包问题的算法决策分析。
1. 问题描述在组织摆市集时，有一块摊位的承重力有限，你有一些物品，每个物品有一个重量和一个价值，你需要将这些物品放入摊位中，并最大化摆摊的总价值，但是不能超过摊位的承重力限制。
2. 动态规划算法动态规划算法是一种高效解决0-1背包问题的方法。
该算法基于一个简单的思想：将问题拆分成小的、重叠的子问题，然后将这些问题组合起来解决原问题。
在这里，我们使用下面的方法来解决动态规划问题：1. 定义状态方程我们需要定义一个状态方程，以确定哪些值需要存储下来，以及如何将它们组合在一起来解决整个问题。
在这里，我们定义一个状态表格，记录放入物品的不同方法，以及每种放置方法的总价值。
2. 初始化状态我们需要初始化状态表格，以确定当没有物品可以放置时的状态。
在这种情况下，状态表格的所有值都应该是0。
3. 递推方程我们需要递推填充状态表格，以确定每一个单元格的最优值。
这需要根据当前单元格的背包限制和当前物品的重量和价值来计算。
4. 计算最终结果我们需要遍历状态表格，以找到摆摊中最大值的那个单元格。
这会告诉我们哪些物品放到了摊位中，以及它们的总价值。
3. 时间复杂度动态规划算法的时间复杂度为O(NW)，其中N是物品数量，W是背包的重量限制。
该算法的时间复杂度相对较低，因此它被广泛应用于0-1背包问题的求解。
5. 总结0-1背包问题是一种经典问题，其求解方法多种多样，其中动态规划算法是最常用的方法之一。
该算法的时间和空间复杂度相对较低，因此它可以处理较大规模的问题。
0-1背包问题
0/1背包问题一、问题描述已知一个容量为M的背包和n件物品，物品编号为0～n-1，第i件物品的重量为w i,若将其装入背包将获益p i。
这里w i＞0, p i ＞0(0≤i＜n)。
所谓的0/1背包问题，是指在物品只能整件装入或不装入的情况下，求一种使得总效益最大的装载方案。
上述问题可形式化描述为：给定M＞0，w i＞0, p i＞0(0≤i＜n)，求一个n元向量x=(x0,x1,…,x n-1),x i∈{0,1}(0≤i＜n)使得∑<≤ni0w i x i≤M且∑<≤nip i x i最大。
为了叙述方便将该问题简记为KNAP(0,n-1,M)。
二、递归法求解1．分析已知x i∈{0,1}，0≤i＜n，假定对x i 作决策的次序是x=(x n-1,x n-2,…,x0),在对x n-1作出决策时存在以下两种情况：(1)x n-1=1，将编号为n-1的物品装入包中，接着求解子问题KNAP(0,n-2,M-w n-1);(2)x n-1=0，不将编号为n-1的物品装入包中，接着求解子问题KNAP(0,n-2,M)。
设f(j,X)是当背包容量为X ，可供选择的物品为0,1,…,j 时的最优解(即最大总效益)，那么f(n-1,M)可表示为：f(n-1,M)=max{f(n-2,M),f(n-2,M-w n-1)+p n-1}对于任意的j ，0≤j ＜n,有f(j,X)=max{f(j-1,X),f(j-1,X-w j )+p j } 若将物品j 装入包中，则f(j,X)= f(j-1,X-w j )+p j反之f(j,X)= f(j-1,X)2．算法(1)f(-1,X)=⎩⎨⎧≥<∞-)0(0)0(X X ；(2)f(j,X)= max{f(j-1,X),f(j-1,X-w j )+p j } 其中0≤j ＜n 。
3．考虑以下背包问题，n=3, (w 0,w 1,w 2)=(2,3,4),(p 0,p 1,p 2)=(1,2,5)和M=6。
0-1背包问题的枚举算法
0-1背包问题的枚举算法一、问题概述0-1背包问题是一种经典的优化问题，给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，而你有一个限制容量的背包。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择物品使得总价值最大化。
然而，在某些情况下，所有的物品都不能被放入背包中，这时就需要用到0-1背包问题的枚举算法。
二、算法原理枚举算法的基本思想是从所有可能的物品组合中逐个尝试，找出满足条件的组合。
对于0-1背包问题，我们可以枚举所有可能的物品组合，对于每个组合，计算其总价值和当前背包的剩余容量，如果总价值大于当前背包容量所能获得的最大价值，那么就将这个物品放入背包中，并更新背包剩余容量和总价值。
如果当前物品的价值小于或等于当前背包容量所能获得的最大价值，那么就将这个物品标记为0（表示已经考虑过），并继续尝试下一个物品。
最终得到的组合就是最优解。
三、算法实现以下是一个简单的Python实现：```pythondefknapsack_enumeration(items,capacity):#初始化结果列表和当前价值result=[]current_value=0#枚举所有可能的物品组合foriinrange(len(items)):#标记当前物品为0（已考虑过）items[i][1]=0#计算当前物品的价值并更新总价值forjinrange(len(items)):ifj<i:#不考虑之前的物品对当前物品的价值影响current_value+=items[j][1]*items[i][0]/capacityelse:#考虑之前的物品对当前物品的价值影响（假设不考虑前一个物品的重量）current_value+=items[j][0]*(capacity-items[i][0])/capacity#将当前物品从物品列表中移除（放入背包中）delitems[i]#将当前价值添加到结果列表中result.append(current_value)returnresult```四、应用场景枚举算法在许多实际应用中都有应用，如计算机科学、运筹学、工程学等。
求解0—1背包问题算法综述
0-1背包问题是一种常见的动态规划问题，其目标是在给定背包容量和物品集合的情况下，选择某些物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。
以下是求解0-1背包问题的算法综述：
1. 定义变量和参数：
* 物品集合：包括每个物品的重量和价值。
* 背包容量：表示背包能够容纳的最大重量。
* dp数组：用于存储每个状态下的最大价值，dp[i][j]表示前i个物品、背包承重为j时的最大价值。
2. 初始化dp数组：
* 对于每个物品i和背包容量j，如果物品i能够装入背包，则令dp[i][j]为0；否则，令dp[i][j]为负无穷。
3. 递推计算dp数组：
* 对于每个物品i和背包容量j，如果物品i能够装入背包，则令dp[i][j]为当前物品的价值加上前i-1个物品、背包容量为j-w[i]时的最大价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + p[i]；否则，
令dp[i][j]为前i-1个物品、背包容量为j时的最大价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。
4. 返回dp数组的最后一个元素，即为所求的最大价值。
以上是求解0-1背包问题的算法综述，实际实现时可以根据具体情况进行优化，以提高算法的效率和性能。
0_1背包问题的多种解法
、问题描述0/1背包问题：现有n种物品，对1<=i<=n，已知第i种物品的重量为正整数W,价值为正整数V，背包能承受的最大载重量为正整数V，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)、算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nw i x i Wi i ⑴X i {0,1(1 i n)nmax v i x (2)i 1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1)，并使目标函数式(2)达到最大的解向量首先说明一下0-1背包问题拥有最优解假设(X1, X2,X3,……,X n)是所给的问题的一个最优解，则 (X2,X3,……,X n)是下面问题的一个最优解:nWi 2X i {0,1}(2W1X1 maxi n) inv i X。
如果不是的话，设(y2> y3>....2..,y n)是这个问题的一个最优解，则n nV i y i V i X ii 2 i 2，且 W1X1n nW i y i W。
因此，V1X1 V i y ii 2 i 2n nV1X1V j X VX i，这说明i 2 i 1(X1,y2,y3, ....... , y n)是所给的0-1背包问题比(X1,X2,X3, ............ , X n)更优的解，从而与假设矛盾穷举法:用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集)，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
由于精品(X1, X2,X3,……X n)。
程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。
下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1背包问题的过程。
(a)四个物品和一个容量为10的背包(b)用回溯法求解0-1背包问题的过程递归法：在利用递归法解决0-1背包问题时，我们可以先从第n个物品看起。
求解0-1背包问题算法研究
现代经济信息求解０－１背包问题算法研究田秀芹 百色学院数学与统计学院摘要：本文主要概述了求解0-1背包问题的两大类算法：精确算法和近似算法，并分析了这些算法的优缺点，并提出了求解该问题的算法发展趋势。
关键词：0-1背包问题；精确算法；近似算法中图分类号：TP312 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)010-0386-03The Study of the 0-1 Knapsack Problem AlgorithmAbstract: This paper mainly summarizes the solving 0-1 knapsack problem algorithm of two categories: accurate and approximate algorithms, and analyzes the advantages and disadvantages of these algorithms, and put forward the development trend of algorithms to solve the problem.Keywords: 0-1 knapsack problem, precise algorithm, approximate algorithmDantzig[1]在20世纪50年代首次提出了背包问题(Knapsack problem，简称KP)，在文献[2]中，阐述了该问题是一个NP-难问题，在背包问题中，我们很难设计出多项式时间算法，除非P=NP。
0-1背包问题就是，给定一个容量为的背包和件具有价值的物品，在不超过背包容量的前提下，选择若干物品放入背包，使得装入背包的物品总价值最大。
同时给出一种放置物品的方案。
背包问题就有普遍的应用背景，在日常的许多实践中如：材料切割、资源有效分配问题、资金估算的问题、运输过程的货仓装载等起着很大的作用，许多的组合优化问题都可以简化为背包问题，背包问题的各种解法也可用来解决组合优化问题，因此对0-1背包问题的解法进行深入的研究具有重大的意义。
求解0_1背包问题算法综述
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软 件 导 刊
2009 年
件 ， 不难看出是满足优化原则的 。 使用动态规划法求解 ， 所得递 推公式和边界条件是 ：
从 i 到 j 的路径以罚值 ， 以使后续的蚂蚁不再选择本路径 。 当所 有节点都受罚以后将结束一次求解过程 。 然后记录最优解 ， 更 新信息素 。 更新的公式可为 ：
实的蚁群行为而提出的一种模拟进化算法 。 蚂蚁之间是通过一 种称 为 信 息 素 （Pheromone ） 的 物 质 传 递信 息 的 ， 蚂 蚁 能 够 在 经 过的路径上留下该种物质 ， 而且能够感知这种物质的存在及其 强度 ， 并以此来指导自己的运动方向 。 因此 ， 由大量蚂蚁组成的 集体行为便表现出一种信息正反馈现象 ： 某一条路径上走过的 蚂蚁越多 ， 该路径上留下的信息素就越多 ， 则后来者选择该路 径的概率就越大 。 蚂蚁之间就是通过这种信息素的交流 ， 搜索 到一条从蚁巢到食物源的最短路径 。 将这一问题的核心运用到 背包问题中 ： 在某一物品上聚集的信息素越多 ， 则该物品被选 择的概率就越大 。 就蚁群算法而言 ， 当处理的数据比较小时 ， 其 具有很快的收敛速度 ， 而随着数据规模的增大 ， 算法的收敛速 度明显降低 。 假设有 m 只蚂 蚁 ，n ＋1 个 城 市 ， 第 o 个城 市 代 表 背 包 ， 第 1～n 个 城 市代 表 各 个 物 品 。 把 第 o 个 城市 看 成 蚂 蚁 的 寻 优 起 点 。 令 nij＝pi ／ wi 表示蚂蚁从城市转移到城市的期望程度 ， 这样 价值越高同时重量越小的物品对蚂蚁的吸引就越大 。 令 τij 表 示路径中留下的信息素强度 。 任一只蚂蚁 k 由城市 i 转移到城 市 j 的概率可设为 ：
作者简介 ： 田烽楠 （1982- ）， 男 ， 山东文登人 ， 中国地质大学 （ 武汉 ） 计算机学院硕士研究生 ， 研究方向为算法设计和多 目标 优化 ； 王 于 （1983 - ）， 男 ， 湖北武汉人 ， 中国地质大学 （ 武汉 ） 计算机学院硕士研究生 ， 研究方向为最优化方法 、 科学计算可视化 。
0-1背包问题的递归方法
0-1背包问题的递归方法0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用递归方法求解。
定义一个函数`knapsack(weights, values, capacity, n)`，其中`weights`和`values`分别代表物品的重量和价值，`capacity`代表背包的容量，`n`代表当前考虑的物品个数。
递归的思路是对于每个物品，有两种选择：放入背包中或者不放入背包中。
1. 如果第`n`个物品的重量大于背包的容量`capacity`，则不放入背包中，返回`0`；2. 否则，有两种选择：- 选择放入第`n`个物品，则总价值为第`n`个物品的价值加上考虑前`n-1`个物品，背包容量减去第`n`个物品重量的最优解； - 不放入第`n`个物品，则总价值为考虑前`n-1`个物品，背包容量不变的最优解。
代码如下所示：```pythondef knapsack(weights, values, capacity, n):if n == 0 or capacity == 0:return 0if weights[n-1] > capacity:return knapsack(weights, values, capacity, n-1)else:return max(values[n-1] + knapsack(weights, values, capacity-weights[n-1], n-1),knapsack(weights, values, capacity, n-1))```可以通过调用`knapsack`函数来求解0-1背包问题，如下所示：```pythonweights = [2, 3, 4, 5]values = [3, 4, 5, 6]capacity = 5n = len(weights)result = knapsack(weights, values, capacity, n)print(result)```以上代码会输出最优解的总价值。
背包问题问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。
2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。
4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。
c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。
2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。
0-1背包问题的各种算法求解
一.动态规划求解0-1背包问题/************************************************************************/ /* 0-1背包问题：/* 给定n种物品和一个背包/* 物品i的重量为wi，其价值为vi/* 背包的容量为c/* 应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品/* 的总价值最大？/* 注：在选择装入背包的物品时，对物品i只有两种选择，/* 即装入或不装入背包。
不能将物品i装入多次，也/* 不能只装入部分的物品i。
/*/* 1. 0-1背包问题的形式化描述：/* 给定c>0, wi>0, vi>0, 0<=i<=n，要求找到一个n元的/* 0-1向量(x1, x2, ..., xn), 使得：/* max sum_{i=1 to n} (vi*xi),且满足如下约束：/* (1) sum_{i=1 to n} (wi*xi) <= c/* (2) xi∈{0, 1}, 1<=i<=n/*/* 2. 0-1背包问题的求解/* 0-1背包问题具有最优子结构性质和子问题重叠性质，适于/* 采用动态规划方法求解/*/* 2.1 最优子结构性质/* 设(y1,y2,...,yn)是给定0-1背包问题的一个最优解，则必有/* 结论，(y2,y3,...,yn)是如下子问题的一个最优解：/* max sum_{i=2 to n} (vi*xi)/* (1) sum_{i=2 to n} (wi*xi) <= c - w1*y1/* (2) xi∈{0, 1}, 2<=i<=n/* 因为如若不然，则该子问题存在一个最优解(z2,z3,...,zn)，/* 而(y2,y3,...,yn)不是其最优解。
那么有：/* sum_{i=2 to n} (vi*zi) > sum_{i=2 to n} (vi*yi)/* 且，w1*y1 + sum_{i=2 to n} (wi*zi) <= c/* 进一步有：/* v1*y1 + sum_{i=2 to n} (vi*zi) > sum_{i=1 to n} (vi*yi)/* w1*y1 + sum_{i=2 to n} (wi*zi) <= c/* 这说明：(y1,z2,z3,...zn)是所给0-1背包问题的更优解，那么/* 说明(y1,y2,...,yn)不是问题的最优解，与前提矛盾，所以最优/* 子结构性质成立。
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0－1 背包问题 ， 而整数线性规划问题都可以转化为 0－l 整数线
性规划问题 。 所以 ， 对 0－1 背包问题求解方法的研究无论是在 理论上还是在实践中都具有一定的意义 。
1
0－1 背包问题的数学模型及其分类
0－1 背包问题的数学模型如下 ：
假设 有 n 个 物 件 ， 其 重 量 用 wi 表示 ， 价 值 为 pi （i ＝1 ，2 ，… ，
Fk（y ）＝max （Fk－1（y ），F （y－wk）＋pk）， F0（y ）＝0 ， 对一切 y ，0≤y≤c ， Fk（y ）＝0 ， 对一切 y ，0≤k≤n ，
· F1（y ）＝[y/w1] p1 用动态规划方法求解 0－1 背包问题的过程如下 ：① 将问题 分解为若干个子问题 （ 一般每个子问题是相互关联和影响的 ）， 再依次研究逐个问题的决策 ， 也就是把整个问题的最优解与子 问题的局部最优解用递推等式联系起来 ； ② 定义边界条件 ；③ 把边界条件代入递推公式 ， 逐步求得最优解 。 动态规划算法是一种经典的背包问题求解算法 ， 其原理简 单 ， 算法思路清晰 ， 易于实现 。 动态规划算法虽然高效 ， 但是对 于规模较大的问题它并不是一个理想的算法 ， 最重要的原因就 是它的维数障碍 ， 即计算和存储量的需要对于状态空间和决策 空间的维数的增长呈指数增长关系 。 这样惊人的增长速度是计 算机难以承受的 ， 这就使得直接的动态规划方法求解规划较大 的背包问题发生了困难 ， 且目前尚没有好的解决办法 。
值为最大 。 其数学模型表示如下 ：
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Fk（y ）＝maxΣpixi（0≤k≤n ）
i=1 k
n
MaxinizeΣpixi
i=1 n
Σw x ≤y（0≤y≤b）
i i i=1
Subject toΣwixi≤0
i=1
这两个式子分别为背包问题子问题的目标函 数 和约 束 条
α β
pkij＝
τij nij
n
② 忽略先前的物品排序 ， 按照价值密度 ， 进行非升序排列 ：（p
（i=0 ，j=1 ，2 ，…，n ）
β
Στ
j=1
α
（1 ）/w （1 ）） ≥ （p （2 ）/w （2 ）） ≥ … ≥ （p （n ）/w （n ））； ③ 重 复 以 下 步 骤 ， 直到不满足条件为止 ： 对于当前的物品 ， 如果重量小于包中 剩余的容量 ， 则放入 ， 并置物品标志为 1 （ 表明被选中 ）， 否则就 停止 。 算法主要耗时是在于将各种物品按价值密度大小排序 ， 本 文利用 MATLAB 软件中的 SORTROWS 函数进行排序 ， 此函数 是 基 于 快 速 排 序 （quicksort ） 实 现 的 ， 因 此 ， 算 法 的 时 间 复 杂 度 为 O （nlogn ）。
0
引言
背包问题又称子集合问题 ， 最早是由 Dantzing 于 20 世纪
50 年代首次提出的 ， 已成为计算 机学 科 中 一 个 经 典 的 NP 问
题 。 0－1 背包问题可描述为 ： 给定 n 个物品和一个背包 ， 物品 i 的 重 量 为 wi， 价 值 为 pi （i＝1 ，2 ，…… ，n ）， 背 包 能 容 纳 的 物 品 的 重 量 为 c ， 要从 这 n 个 物 品 中 选 出 若 干件 放 入 背 包 ， 使 得 放 入 物品 的 总 重 量 不 超 过 c ， 而 总 价值 达 到 最 大 ， 并 找 出 一 种 放 物 品的方案 。 注意 ： 在本问题中 ， 所有的重量值均为整数 。
作者简介 ： 田烽楠 （1982- ）， 男 ， 山东文登人 ， 中国地质大学 （ 武汉 ） 计算机学院硕士研究生 ， 研究方向为算法设计和多 目标 优化 ； 王 于 （1983 - ）， 男 ， 湖北武汉人 ， 中国地质大学 （ 武汉 ） 计算机学院硕士研究生 ， 研究方向为最优化方法 、 科学计算可视化 。
0 ／ 1 背包问题的算法设计方法进行阐述 。
2
2．1
求解 0-1 背包问题的常用算法
动态规划法 动 态 规 划 法 DM （Dynamic Programming ， 简 称 DM ） 是 美 国
0－1 背包问题是一个 NP 难题 ， 它在很多领域都有广泛的
应用 。 很多实际问题都可转换为 0－1 背包问题 ， 例如下料问题 、 贷款组合优化决策问题等 。 0－l 整数线性规划问题可以归结为
的算法设计方法 ， 并指出各种方法的优缺点 ， 提出了 0－1 背包问题的发展趋势 。 关键词 ：0－1 背包问题 ； 动态规划法 ； 递归法 ； 回溯法 ； 贪心算法 中图分类号 ：TP312 文献标识码 ：A 文章编号 ：1672-7800 （2009 ）01-0059-03 式中 xi 取 0 或 1 ，i＝1 ，2 ，…，n ，c 均为正值 。 到目前为止 ， 求解 0－1 背包问题的方法很多 。 精确算法有 分 支 限 界 法 、动 态 规 划 法 等 ，近 似 算 法 有 贪 婪 方 法 、蚁 群 算 法 等 。 一般来说 ， 精确算法不能在较短时间内求解大规模 0－1 背 包问题 ， 使其实用性受到限制 。 而近似算法只能求解问题的近 似解 ， 有时所得的近似解质量很低 。 本文主要针对常见的求解
is nis
其中 α 表示路径上的信息量对蚂蚁选择路径所起的作用 大小 ，β 为吸引度的重要性 。 每只蚂蚁从寻优起点出发只需一 步就 可 到 达 1～n 当 中 任 意 一 个 食 物 源 ， 所以 上 式 中 有 （i ＝1 ，2 ， …，n ）。 寻优过程由多只蚂蚁进行 ， 当每只蚂蚁以较大的概率选
n ）， 背包的最大容纳重量为 c ， 当物件 i 被 选 入 背 包 时 ， 定 义变
量 xi＝1 ， 否则 xi＝0 。 现在考虑 n 个物件的选择与否 ， 则背包内 n
n n i i i i
个物件总重量为
Σw x ，物件的总价值为 Σp x ， 如何决定变量
i=1 i=1
xi（i＝1 ，2 ，…，n ） 的值 （ 即确定一个物件组合 ） 使背包内物件总价
数学家 Bellman R E 等 人 在 20 世 纪 50 年 代 初在 研 究 多 阶 段 决策过程的优化问题时提出的 ， 把多阶段决策过程转化为一系 列单阶段决策问题 ， 逐个求解 ， 创立了解决这类过程优化问题 的新方法 — —— 动态规划 。 动态规划算法是先把问题分成多个子 问题 （ 一般地每个子问题是互相关联和影响的 ）， 再依次研究逐 个问题的决策 。 决策就是某个阶段的状态确定后 ， 从该状态演 变到下一阶段状态的选择 。 当全体子问题都解决时 ， 整体问题 也随之解决 。 用枚举的方法从所有可能的决策序列中去选取最 优决策序列可能是较费时的笨拙方法 ， 但利用最优性原理去找 出递推关系 ， 再找最优决策序列就可能使得枚举数量大 大 下 降 ， 这就是动态规划方法设计算法的主要思路 。 设 Fk（y ） 为背 包 只 装 前 k 种 东 西 ， 总重 限 制 为 y 的 情 况 下 所具有的最大价值 ， 即 ：
Δτij＝Q*wj*xj τij（t＋1 ）＝ （1－ρ ）*τij（t ）＋Δτij（i＝0 ，j＝1 ，2 ，…，n ）
上式 中 ρ 为 挥 发 系 数 ，Q 为 正 常 数 ，xj 为 经 过 该 路 径 的 蚂 蚁数量 。 用蚁群算法求解 0－1 背包问题的过程如下 ： ① 初始化 ： 即 将任意两个城市之间的道路上的信息素赋一个初值 ； ② 搜索 ： 让若干只蚂蚁根据信息素和距离选择城市 ； ③ 每到一个新 城 市 ， 进行信息素局部更新 ；④ 所有蚂蚁完成回路后 ， 进行全局信 息素更新 ；⑤ 记录最优路径 ， 返回步骤 ② 循环直到满足退出条 件。 蚁群算法是近年来发展起来的一种随机算法 ， 已经证明可 以有效解决背包问题 。 但是蚁群算法的收敛性证明尚处于初步 阶段 ， 缺乏完善的理论基础 。 并且在减少寻优计算量和缩短算 法运行时间方面 ， 有待进一步改进 。
实的蚁群行为而提出的一种模拟进化算法 。 蚂蚁之间是通过一 种称 为 信 息 素 （Pheromone ） 的 物 质 传 递信 息 的 ， 蚂 蚁 能 够 在 经 过的路径上留下该种物质 ， 而且能够感知这种物质的存在及其 强度 ， 并以此来指导自己的运动方向 。 因此 ， 由大量蚂蚁组成的 集体行为便表现出一种信息正反馈现象 ： 某一条路径上走过的 蚂蚁越多 ， 该路径上留下的信息素就越多 ， 则后来者选择该路 径的概率就越大 。 蚂蚁之间就是通过这种信息素的交流 ， 搜索 到一条从蚁巢到食物源的最短路径 。 将这一问题的核心运用到 背包问题中 ： 在某一物品上聚集的信息素越多 ， 则该物品被选 择的概率就越大 。 就蚁群算法而言 ， 当处理的数据比较小时 ， 其 具有很快的收敛速度 ， 而随着数据规模的增大 ， 算法的收敛速 度明显降低 。 假设有 m 只蚂 蚁 ，n ＋1 个 城 市 ， 第 o 个城 市 代 表 背 包 ， 第 1～n 个 城 市代 表 各 个 物 品 。 把 第 o 个 城市 看 成 蚂 蚁 的 寻 优 起 点 。 令 nij＝pi ／ wi 表示蚂蚁从城市转移到城市的期望程度 ， 这样 价值越高同时重量越小的物品对蚂蚁的吸引就越大 。 令 τij 表 示路径中留下的信息素强度 。 任一只蚂蚁 k 由城市 i 转移到城 市 j 的概率可设为 ：
第8卷第1期 第1 年期 2009 1月
软 件 导 刊
Vol.8 No.1 Jan. 2009
Software Guide
求解 0－1 背包问题算法综述
田烽楠 ，王 于
（ 中国地质大学 计算机学院 ， 湖北 武汉 430074 ） 摘 要 ：0－1 背包问题是一个典型的组合优化问题 。 给出了 0-1 背包问题的数学模型 ， 概述了各种求解 0 ／ 1 背包问题