2017-2018学年安徽省六安市寿县一中高一(下)期中数学试卷 Word版含解析
最新版安徽省六安市高一下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
舒城中学2017—2018学年度第二学期期中考试高一理数（总分：150分 时间：120分钟）命题： 审校： 磨题：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b<D ．若0a b <<，则b a a b> 2．在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠，若12345m a a a a a a =，则m =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．不等式412--x x ＞0的解集为（ ）A ．（－2，1）B ．（2，+∞）C ．（－∞，－2）∪（1，+∞）D ．（－2，1）∪（2，+∞）4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,若5a，9a ，15a 成等比数列,那么公比为（ ）A ．34 B ．23 C ．32 D ．435．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定6．若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S a -=+, 则a 等于（ ）A ．12B ．12-C ． -1D ． 2 7．已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为（ ）A ．{}12>-<x x x 或B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<211x x x 或C ．{}12<<-x xD ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x8．已知等差数列的前n 项和为18，若13=S ，321=++--n n n a a a ,则n 的值为（ ）A ．9B ．21C ．27D ．369．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．2X Z Y +=B ． Y ( Y －X )＝X ( Z －X )C ．2Y XZ =D ．Y ( Y －X )＝Z ( Z －X )10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则3151212315S S S S a a a a 、、…中最大项为（ ） A ．66S a B ． 77Sa C ．88S a D ．99S a 11．若不等式()()1112n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．33,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭12．为激发学生学习数学的兴趣，学校推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）A ．110B ．220C ．330D ．440二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式()()311sin 20x x --->的解集为______________ ．14．三角形一边长为14，它对的角为60°，另两边之比为8：5，则此三角形面积为______． 15．数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+，则n a ＝______________ ． 16．若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是______________________ ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (本大题共6个小题，共70分)。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁RB）=（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．175．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±647．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S138．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．201512．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016= ．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）的取值范围．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A 1B 1=x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A、C、D错误，利用反证法说明B正确．【解答】解：a、b为非零实数，且a＜b．当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2＞b2，故A错误；若a＜0，b＞0，则＜；若a＜b＜0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立；若b＞a＞0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立．综上，＜，故B正确；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2b＞ab2，故C错误；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但，故D错误．故选：B．2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁B）=（）RA．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：A={x|x2≥1}={x|x≤﹣1或x≥1}，由，得0＜x≤2，∴={x|0＜x≤2}，∴∁RB={x|x≤0或x＞2}，∴A∩（∁RB）=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：C．3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理可得A，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=，又bc=2，∴△ABC的面积S=sinA==，故选：D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得：an+3=an，再利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=﹣（n∈N*），∴a2=﹣，同理可得：a3=，a4=3，…，∴an+3=an，∴a16=a1=3，能使an=3的n可以等于16．故选：C．5．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意设a=7k、b=4k、c=5k（k＞0），由余弦定理求出cosA的值，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简所求的式子，可得答案．【解答】解：∵，∴设a=7k、b=4k、c=5k，（k＞0）在△ABC中，由余弦定理得cosA==，由正弦定理得===，故选：C．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{an }，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．7．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S13【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a6=1，从而利用等差数列的前n项和公式能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和记为Sn，a2+a6+a10=3，∴3a6=3，解得a6=1，∴．∴各和数S6，S11，S12，S13中可确定值的是S11．故选：B．8．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．【解答】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣bc，即（b﹣c）2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列【考点】87：等比数列．【分析】可根据数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），求出a1，以及n≥2时，an，再观察，t等于多少时，{an}是等比数列即可．【解答】解：∵数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t为常数），∴a1=s1=2+t，n≥2时，an =sn﹣sn﹣1=2n+t﹣（2n﹣1+t）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1当t=﹣1时，a1=1满足an=2n﹣1故选：B10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立，利用判别式小于0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立∴[2（3﹣m）]2﹣4×2×（3﹣m）＜0，故m的取值范围为（1，3）．故选：A．11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．2015【考点】8F：等差数列的性质．【分析】正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，可得a1+a2015=2=a2+a2014，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，∴a1+a2015=2=a2+a2014，则=（a2+a2014）=≥=2，当且仅当a2=a2014=1时取等号．故选：B．12．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数Z=+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则Z=+=3t+，∵3t+≥2=2，当且仅当3t=，即t=时取等号，故a≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为{x|x＜3} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立，x≥2时，x﹣＜，解得：2≤x＜3，综上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案为：{x|x＜3}．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016=18 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．根据{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2013=，a2014=．q=3．即可得出．【解答】解：由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．∵{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴a2013=，a2014=，∴q=3．∴a2015+a2016=q2（a2013+a2014）=18．故答案为：18．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=bcsinA，利用基本不等式可得最大值．【解答】解：向量，，∵，∴b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=0．得：b2﹣bc=﹣c2+a2．即﹣a2+b2+c2=bc由余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA可是：bc=2bccosA．∴cosA=．∵0＜A＜π∴A=又b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．∴b+c，（当且仅当b=c时取等号）可得：bc≤．则△ABC面积S=bcsinA≤=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1} …（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n=2n+1+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到Tn．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此an =a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即an=2n+1．（Ⅱ）依题意，．Tn =b1+b2+…+bn=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差数列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化积、诱导公式等即可得出．（2）由，可得A﹣C=2A﹣，再利用倍角公式即可化为2sin2A﹣1+cos（A﹣C）=，由于，可得＜π，即可得出．【解答】解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），sinB ≠0，∴cosB=，B=．（2）∵，∴A﹣C=2A﹣，∴=，∵，∴＜π，∴＜≤1，∴2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知米∴=（2）当且仅当，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和；8I ：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n 项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a n }的通项公式，根据{b n }的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T n 是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a n =s n+2， 当n=1时，a 1=2，当n ≥2时，有2a n ﹣1=s n ﹣1+2，两式相减，整理得a n =2a n ﹣1即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上得出b n ﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n =2， 即数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此b n =2n ﹣1．（Ⅱ）B n =1+3+5+…+（2n ﹣1）=n 2 ∴=． （Ⅲ）T n =①②①﹣②得∴又∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．。
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高一下期中数学试题精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2017-2018学年度第二学期高一年级期中考试数学试题（考试时间：120分钟，满分160分）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．若直线l 过两点()()6,3,2,1B A ，则l 的斜率为 .2．已知等差数列{}n a 中，7,141==a a ，则它的第5项为__________. 3．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c，若60a A ︒==，则=Bbsin ________． 4．不等式01<-xx 的解集为 .5．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝________．6．若点()t P ,2-在直线062:=++y x l 的上方，则t 的取值范围是 .7．已知点()1,1-A 与点B 关于直线03:=+-y x l 对称，则点B 坐标为 .8．若圆M 过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -，则圆M 的面积为__________．9．若方程组23{22ax y x ay +=+=无解，则实数a =_____． 10．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15323S S S +=，则{}n a 的公比等于__________．11．已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，若{}y x y x z 24,3m ax --=，则z 的取值范围是____________．({}b a ,m ax 表示b a ,中的较大数) 12．已知实数x,y 满足322=+y x ，22y x ≠，则()()22222122y x y x y x -+++的最小值为____________．13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1,,51221=-=+=+n n n n a a n a a a ，则100S =___________．14．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，且32cos 422=-+C ab b a ，则ABC ∆的面积的最大值为___________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在ABC ∆中， 36,4AB B π=∠=， D 是BC 边上一点，且3ADB π∠=.（1）求AD 的长；（2）若10CD =，求AC 的长.16．（本小题满分14分）已知函数1)1()(2++-=x a a x x f ，（1）当2a =时,解关于x 的不等式0)(≤x f ； （2）若0>a ,解关于x 的不等式0)(≤x f ．17．（本小题满分14分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足63,7272351==+S a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1111,++=-=n n n a b b a b ，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和为n T ，求使得20kT n <对任意的*N n ∈都成立的最小正整数k 的值.18.（本小题满分16分）如图所示，直角三角形ABC 是一块绿地，90C =，20AC =米，50BC =米，现要扩大成更大的直角三角形DEF 绿地，其斜边EF 过点A ，且与BC 平行，DE 过点C ，DF 过点B .（1）设∠=BCD α，试用α表示出三角形DEF 面积S （平方米）；（2）如果在新增绿地上种植草皮，且种植草皮的费用是每平方米100元，那么在新增绿地上种植草皮的费用最少需要多少元？19.（本小题满分16分）已知圆C 过A （0,2）且与圆M ：04822=+++y x y x 切于原点． （1）求圆C 的方程；（2）已知D 为y 轴上一点，若圆C 上存在两点M ，N ，使得2π=∠MDN ，求D 点纵坐标的取值范围；（3）12,l l 是过点B （1,0）且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点．求三角形EPQ 的面积的最小值．F EDABC20. （本小题满分16分）已知数列{}n a 满足112++-=n n n n a a a a ，且*1,21N n a ∈=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++-=+k n a a k n n n b nn n 2,12,111122()*∈N k ，求{}n b 的前n 项和n S （用n 表示）； （3）设nn a C 1=，n T 为{}n C 前n 项和，从{}n C 中抽取一个公比为q 的等比数列{}nk C ，其中11=k，且*∈<<<<N k k k k n n ,21 ，若关于()*∈N n n 的不等式12+>n n k T 有解，求q 的值．数学试题参考答案1．2 2．9 3．2 4．{}10<<x x 5．120° 6．()+∞-,2 7．()2,2- 8．π25 9．2± 10．2 11．[]8,2- 12．5913．1314 14．5515．解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB=∠，2=∴6AD=（2）∵3ADBπ∠=，∴23ADCπ∠=在ACD∆中，由余弦定理得22222cos3AC AD DC AD DCπ=+-⋅⋅13610026101962⎛⎫=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭∴14AC=16．解：（1）当2a=时得()2111210202222x x x x x⎛⎫⎛⎫-++≤∴--≤∴≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解集为1[,2]2（2）∵不等式))(1()(≤--=axaxxf,>a当10<<a时，有aa>1，∴不等式的解集为}1|{axax≤≤；当1>a时，有aa<1，∴不等式的解集为}1|{axax≤≤；当1=a时，不等式的解集为{1}.17．解：（1）12+=nan（2）321+=-+nbbnn，当2≥n时，()()()112211bbbbbbbbnnnnn+-++-+-=---=()2+n n又31=b也满足上式，所以()2+=nnbn()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=∴21121211nnnnbn⎪⎭⎫⎝⎛+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=∴21112143211412131121nnnnTnkkTn∴≤∴<204343的最小正整数值为15.18．（1）αααααcos 20sin 50tan ,sin 20cos 50+==+=DE DF DE ⎪⎭⎫⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅=∴∆2,0,1000cos sin 4cos sin 2550cos 20sin 50sin 20cos 502121παααααααααDF DE S DEF（2）设新增绿地上种植草皮的费用为()15000050000cos sin 4cos sin 2550001005001000cos sin 4cos sin 2550≥+⎪⎭⎫⎝⎛+=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫⎝⎛+=αααααααααf当且仅当52cos sin =αα即542sin =α时等号成立 答：（1）⎪⎭⎫⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆2,0,1000cos sin 4cos sin 2550παααααDEF S（2）新增绿地上种植草皮的费用最少需要15万元．19．（1）圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= （2）设()t D ,0，则()61611014102+≤≤-∴≤-+∴≤t t CD所以D 点纵坐标范围是[]61,61+-；（3）（i ）当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQS=；（ii ）当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)y k x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)y x k =--，点1(0,)E k．所以，BE =．又圆心Ｃ到2l 的距离为1|1|2+-k k ,所以，222214242)1|1|(52k k k k k PQ +++=+--=．故12EPQSBE PQ =⋅=2<所以，()EPQ min S =20．解：（1）由112++-=n n n n a a a a ，得：21,21111==-+a a a n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是首项为2公差为2的等差数列，所以()na n n a n n 2122121=∴=-+= （2）由（1）可得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=+111411411n n n n a a n n ， ,211111--+=++-n n n n当n 为偶数时，()2422214121212131212114122224202++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n n n n n n n S n 当n 为奇数时，()211141211--+++-+-=+=-n n n n n b S S n n n =()14121+-++n n n ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++++=∴为奇数为偶数n n n n n n nn S n ,14121,242； （3）()1,2+==n n T n C n n ，1122--=∴==n n n n k q k q k C n ， 由*∈<<<<N k k k k n n ,21 ，得*∈>N q q ,112+>n n k T 即()()11212>+∴>+nn qn n q n n 当3,2=q 时均存在n 满足上式，下面证明*∈≥N q q ,4时，不满足题意， 设()nn qn n e 12+=， ()()[]()n n n n n e e q n q q q n q n e e <∴<+-≤+-∴≥+-+=-+++1110221221422112{}n e ∴递减，()112141≤+=∴≤=n n qn n e q e 综上, 3,2=q ．。
最新版安徽省六安市高一下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
舒城中学2017—2018学年度第二学期期中考试高一文数命题： 审题：( 时间：120分钟 满分：150分 )一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 不等式26x x ->的解集是（ ）A.)3,2(- B. )2,3(- C. ),3()2,(+∞⋃--∞ D.),2()3,(+∞⋃--∞2. 若0>>b a ，0<<d c ，则一定有（ ）A.c bd a > B. c b d a < C. dbc a > D.dbc a < 3. 在ABC ∆中，内角A ， B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若b a 23=，则AAB 222s i n s i ns i n2-的 值为（ ） A ．91 B. 31C. 1D.274．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为（ ） A ．130B. 170C. 210D. 2605．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知2=b ，6π=B ，4π=C ,则ABC∆的 面积为（ ）A ．13+ B. 232+ C. 232-D.13-6．在等比数列{}n a 中，若3a ，9a 是方程091132=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）A. 3B. 3或—3C. 3D. 3±7. 在ABC ∆中，若2=a ，o 60=∠B ，7=b ，则BC 边上的高为（ ） A.233 B.3 C. 3D.58．在等差数列{}n a 中，0,06766><a a ，且6667a a >，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使0>n S 成立的n 的最小值为（ ） A. 66B. 67C. 132D. 1339．在ABC ∆中，若2cossin sin 2AC B =，则ABC ∆是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形10.在等差数列{}n a 中，01>a ，13853a a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ） A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S11.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，7814=-a a ，393=S ，设n n a b 3log =，那么数列{}n b 的前10项和为（ ）A. 71log 3B.269C. 50D. 5512.数列{}n a 满足11=a ，且对任意的m ，*N n ∈都有mn a a a n m n m ++=+，则20123211111a a a a +⋅⋅⋅+++等于（ ） A. 20124018 B. 20134024 C. 20112010 D. 20102009二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。
2017—2018学年人教版高一数学第二学期期中考试卷题库（共10套）
2017—2018学年人教版高一数学第二学期期中考试卷题库（共10套）2017—2018学年人教版高一数学第二学期期中考试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（?U M）∩N C．M∩（?U N）D．（?U M）∩（?U N）2．设函数f（x）=，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是（）A．（﹣∞，0]B．[0，1）C．[1，+∞）D．[﹣1，0]3．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C． D．24．函数f（x）=2x﹣的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（0，3）D．（0，2）二．填空题：共2小题，每小题5分，共10分．5．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是______．6．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．7．已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．若直线l与圆C相交于A，B两点，且，求直线l的方程．8．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．第二部分本学期知识和能力部分一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．9．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．10．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．11．已知tanθ=，θ∈（0，），则cos（﹣θ）=（）A．B．﹣C． D．12．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则?=（）A．1 B．2 C．3 D．513．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A． B． C．D．14．已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=（）A．2 B．4 C．6 D．815．函数是（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数16．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位二．填空题：共2小题，每小题5分，共10分．17．设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=______．18．已知，是单位向量，?=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．20．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣（3+m））．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，﹣π＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示．（1）求f（x）的表达式；（2）在△ABC中，f（C+）=﹣1且?＜0，求角C．22．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．23．已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性；（3）当x∈[0，]时，关于x的方程f（x）=a 恰有两个不同的解，求实数a的取值范围．参考答案一．单项选择题：1． B 2．B．3．C4．C．二．填空题：5．答案为：4x﹣2y﹣5=06．答案为：．三、解答题：7．解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心坐标为（0，4），半径为2．…过圆心C作CD⊥AB，则D为AB的中点，，因为|BC|=2，所以．…由，解得a=﹣7，或a=﹣1．…即所求直线的方程为7x﹣y+14=0或x﹣y+2=0．…8．（Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1，），D（，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此=0，所以EF⊥BC．（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．第二部分本学期知识和能力部分一．选择题：9．A．10．C．11．C．12．A．13． B 14．A．15． C 16．C．二．填空题：17．解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，而cos2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，则sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案为：﹣18．解：由，是单位向量，?=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．∵向量满足|﹣﹣|=1，∴|（x﹣1，y﹣1）|=1，∴=1，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．其圆心C（1，1），半径r=1．∴|OC|=．∴≤||=．∴||的取值范围是．故答案为：．三、解答题：19．解：（1）依题意有A=1，则f（x）=sin（x+φ），将点代入得，而0＜φ＜π，∴，∴，故．（2）依题意有，而，∴，．20．解：（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，∵，故知3（1﹣m）≠2﹣m∴实数时，满足条件．（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴3（2﹣m）+（1﹣m）=0解得．21．解：（1）由图可知函数的最大值是2，最小值是﹣2，∴A=2，…∵T=+=，∴T=π=，可得：ω=2，…又∵f（x）过点（﹣，0），且根据图象特征得：﹣2×+φ=0+2kπ，k∈Z，∴φ=+2kπ，k∈Z，…而﹣π＜φ＜π，∴φ=．…∴f（x）=2sin（2x+）．…（2）∵f（x）=2sin（2x+），∴f（C）=2sin（2C）=﹣1，…∴sin（2C）=﹣，…因为C为三角形内角，∴C=或，…又∵?=abcosC＜0，0＜C＜π，∴cosC＜0，＜C＜π，∴C=．．…22．解：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，结合余弦定理知cosA===，又A∈（0，π），∴A=，∴2sinBcosC﹣sin（B﹣C）=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sin[π﹣A]=sinA=；（2）由a=2，结合正弦定理得：====，∴b=sinB，c=sinC，则a+b+c=2+sinB+sinC=2+sinB+sin（﹣B）=2+2sinB+2cosB=2+4sin（B+），可知周长的最大值为6．23．解：（1）f（x）=4cosωx?sin（ωx+）=2sinωx?cosωx+2cos2ωx，=（sin 2ωx+cos 2ωx）+，=2sin（2ωx+）+，因为f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，从而有=π，故ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+．若0≤x≤，则≤2x+≤．当≤2x+≤，即0≤x≤时，f（x）单调递增；当≤2x+≤，即≤x≤时，f（x）单调递减．综上可知，f（x）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减；（3）x∈[0，]时，关于x的方程f（x）=a 恰有两个不同的解，即y=a与函数在[0，]上，与f（x）=2sin（2x+）+由两个交点，由函数图象可知：a∈[2，2+），实数a的取值范围[2，2+）．2017—2018学年人教版高一数学第二学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（?U B）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C． D．3．过点A（2，3）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=04．在同一坐标系中画出函数y=log a x，y=a x，y=x+a的图象，可能正确的是（）A．B．C．D．二．填空题：共2小题，每小题5分，共10分．5．函数f（x）=的定义域为______．6．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得弦长为时，则a=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣GBF的体积．第二部分本学期知识和能力部分一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．8．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．9．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．10．已知tanθ=，θ∈（0，），则cos（﹣θ）=（）A．B．﹣C． D．11．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则?=（）A．1 B．2 C．3 D．512．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点P（0，），如图，则φ的值为（）A．B． C．或D．﹣或13．已知函数y=f（x），将f（x）的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，那么函数y=f（x）的解析式是（）A．B．C． D．14．已知，O为平面内任意一点，则下列各式成立的是（）A．B．C．D．15．函数是（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数二．填空题：共2小题，每小题5分，共10分．16．已知tanα=﹣，则=______．17．已知为非零向量，且夹角为，若向量=，则||=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知，且cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，求：cos2α的值．19．已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣m，﹣（3+m））．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．20．已知函数f（x）=A（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=时取最大值2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α）=，α∈（，），求sin（﹣2α）的值．21．已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．22．已知向量=（2cos（﹣θ），2sin（﹣θ）），=（cos（90°﹣θ），sin（90°﹣θ））（1）求证：⊥；（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t2﹣3），=﹣k+t满足⊥．试求此时的最小值．参考答案一．单项选择题：1．D．2．B．3．A．4． D二．填空题：5．答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．6．答案为：三、解答题：7．（I）证明：∵AD⊥面ABE，AD∥BC，∴BC⊥面ABE，AE?平面ABE，∴AE⊥BC．…又∵AE⊥EB，且BC∩EB=B，∴AE⊥面BCE．…（II）解：∵在△BCE中，EB=BC=2，BF⊥CE，∴点F是EC的中点，且点G是AC的中点，…∴FG∥AE且．…∵AE⊥面BCE，∴FG⊥面BCE．∴GF是三棱锥G﹣BFC的高…在Rt△BCE中，EB=BC=2，且F是EC的中点．…∴．…第二部分本学期知识和能力部分一．选择题：8．A．9．C．10．C．11．A．12． A 13．D．14．A．15． C 二．填空题：16．答案为：．17．答案为：．三、解答题：18．解：∵＜β＜α＜，∴0＜α﹣β＜，π＜α+β＜，∵cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，∴sin（α﹣β）==，cos（α+β）=﹣=﹣，则cos2α=cos[（α﹣β）+（α+β）]=cos（α﹣β）cos（α+β）﹣sin（α﹣β）sin（α+β）=×（﹣）﹣（﹣）×=﹣．19．解：（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，∵，故知3（1﹣m）≠2﹣m∴实数时，满足条件．（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴3（2﹣m）+（1﹣m）=0解得．20．解：（1）由x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1﹣x2|的最小值为．得：T=π．函数f（x）=A（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=时取最大值2，∴A=2．∴=π，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+φ），∵在x=时取最大值，∴+φ=+2kπ，（k∈Z），0＜φ＜π），∴φ=，∴f（x）=2sin．（2）∵f（α）=，∴2sin=，∴sin=，∵sin（﹣2α）=cos，∵＜2＜π，∴==﹣，∴sin（﹣2α）=﹣．21．解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx?cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．22．解：（1）∵=2cos（﹣θ）cos（90°﹣θ）+2sin（﹣θ）sin（90°﹣θ）=2cosθsinθ﹣2sinθcosθ=0，∴．（2）=4cos2θ+4sin2θ=4，=1，∵⊥，∴=[+（t2﹣3）]?（﹣k+t）=+=﹣4k+t（t2﹣3）=0，（k≠0，t≠0）．∴，∴==﹣．2017—2018学年人教版高一数学第二学期期中考试卷（三）一、单项选择题（每小题5分满分60分）1．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．82．下列说法中，正确的是（）A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天3．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，这种选法（）A．公平，每个班被选到的概率都为B．公平，每个班被选到的概率都为C．不公平，6班被选到的概率最大D．不公平，7班被选到的概率最大4．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至多有1件正品5．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A．660 B．720 C．780 D．8006．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是（）A．B．C．D．7．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．﹣3 B．﹣C．D．28．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，410．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=4外，则直线ax+by=4与圆O的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定11．已知两定点A（﹣3，0），B（3，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．9πD．16π12．（理科）已知两点A（0，﹣3），B（4，0），若点P是圆x2+y2﹣2y=0上的动点，则△ABP面积的最小值为（）A．6 B．C．8 D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．把二进制数11011（2）化为十进制数是______．14．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=______．15．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法把编号分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0013，那么抽取的第40个号码为______．16．超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过80km/h，否则视为违规．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为______辆．三、解答题（共70分）17．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2， (6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5成绩x n70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．18．已知A、B、C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2．现从A、B、C三个箱子中各摸出1个球．（I）若用数组（x，y，z）中的x、y、z分别表示从A、B、C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组（x，y，z）的所有情形，并回答一共有多少种；（Ⅱ）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．19．设点M（x，y）在|x|≤1，|y|≤1时按均匀分布出现，试求满足：（1）x+y≥0的概率；（2）x+y＜1的概率；（3）x2+y2≥1的概率．20．已知圆心为C的圆经过点A（0，2）和B（1，1），且圆心C在直线l：x+y+5=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若P（x，y）是圆C上的动点，求3x﹣4y的最大值与最小值．21．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表：商店名称 A B C D E销售额x/千万元 3 5 6 7 9利润额y/百万元 2 3 3 4 5（1）画出销售额和利润额的散点图；（2）若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（3）据（2）的结果估计当销售额为1亿元时的利润额．参考答案一、单项选择题：1．B．2．D．3．D．4． B 5．B．6．B．7．D．8．D．9．C．10．C．11．D．12．B．二、填空题13．答案为：27．14．答案为：9．15．答案为：0793．16．答案为280．三、解答题17．解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．18．解：（Ⅰ）数组（x，y，z）的所有情形为：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种．答：一共有8种．注：列出5、6、7种情形，得；列出所有情形，得；写出所有情形共8种，得．（Ⅱ）记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件A i（i=3，4，5，6），…∵事件A3包含有1个基本事件，事件A4包含有3个基本事件，事件A5包含有3个基本事件，事件A6包含有1个基本事件，所以，，，，．…故所摸出的两球号码之和为4、为5的概率相等且最大．答：猜4或5获奖的可能性最大．…19．解：（1）如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点组成一个边长为2的正方形ABCD，则S正方形ABCD=4；x+y=0的图象是AC所在直线，满足x+y≥0的点在AC的右上方，即在△ACD内（含边界），而S△ACD=S正方形ABCD=2，所以P（x+y≥0）==．（2）在|x|≤1，|y|≤1且x+y＜1的面积为4﹣=，所以P（x+y＜1）=．（3）在|x|≤1，|y|≤1且x2+y2≥1的面积为4﹣π，所以P（x2+y2≥1）=1﹣．20．解：（1）线段AB的中点为，又k AB=﹣1故线段AB的垂直平分线方程为即x﹣y+1=0…由得圆心C（﹣3，﹣2）…圆C的半径长故圆C的标准方程为（x+3）2+（y+2）2=25…（2）令z=3x﹣4y，即3x﹣4y﹣z=0当直线3x﹣4y﹣z=0与圆C相切于点P时，z取得最值…则圆心C（﹣3，﹣2）到直线3x﹣4y﹣z=0的距离为，解得z=﹣26或z=24故3x﹣4y的最小值为﹣26，最大值为24…21．解：（1）销售额与利润额成线性相关关系；（2）由已知数据计算得：=6，=3.4，b==0.5，a=3.4﹣0.5×6=0.4∴y对销售额x的回归直线方程为：y=0.5x+0.4；（3）∴当销售额为1亿元时，将x=10代入线性回归方程中得到y=5.4（千万元）．2017—2018学年人教版高一数学第二学期期中考试卷（四）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.）1．在平行四边形ABCD中， ++=（）A．B．C．D．2．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A．4 B．2 C．8 D．13．以（﹣1，2）为圆心，为半径的圆的方程为（）A．x 2+y2﹣2x+4y=0 B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x﹣4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=04．α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．5．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位6．对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是（）A．若?=0，则=0或=0 B．若λ=，则λ=0或=C．若2=2，则=或=﹣D．若?=?，则=7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．B．C．D．8．直线x﹣2y﹣3=0与圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为（）A．B． C．D．9．在平行四边形ABCD中，=，=，=2，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D． +10．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣11．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]12．曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）A．（，]B．（，+∞）C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）内切，则r的值为．14．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k=．15．函数y=的定义域为．16．在等腰直角△ABC中，AB=AC=，D、E是线段BC上的点，且DE=BC，则?的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知半径为2的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是正数，且与直线4x﹣3y+2=0相切．（1）求圆的方程；（2）若直线ax﹣y+5=0与圆总有公共点，求实数a的取值范围．18．已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：（1）（）?（+）（2）|2﹣|（3）与+的夹角．19．已知tan（π+α）=2，求下列各式的值：（1）；（2）．20．已知函数f（x）=sin（2x+）+1．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．21．已知点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足．（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（Ⅱ）若点Q在直线l1：3x﹣4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．22．设0＜α＜π＜β＜2π，向量=（1，﹣2），=（2cosα，sinα），=（sinβ，2cosβ），=（cosβ，﹣2sinβ）．（1）⊥，求α；（2）若|+|=，求sinβ+cosβ的值；（3 ）若tanαtanβ=4，求证：∥．参考答案一．单项选择题：1．D．2．A．3．C．4．B．5．B．6．B．7．A．8．B．9．C．10．C．11．A．12．A．二．填空题：13．答案为：4．14．答案为5．15．答案为：{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}．16．答案为：．三．解答题：17．解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x﹣3y+2=0相切，且半径为2，所以=2，即|4m+2|=10．因为m为整数，故m=2．故所求的圆的方程是（x﹣2）2+y2=4．（2）因为直线ax﹣y+5=0与圆总有公共点，则圆心（2，0）到直线ax﹣y+5=0的距离不超过圆的半径，即≤2，解得a≤﹣，所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．18．解：由题意可得||2=16，||2=4，且?=||||cos120°=﹣4，（1））（）?（+）==16﹣8+4=12；（2）|2﹣|2=4=64+16+4=84，所以|2﹣|=2；（3）设与+的夹角为θ，则cosθ==，又0°≤θ≤180°，所以θ=30°，与的夹角为30°．19．解：（1）由已知得tanα=2．∴．（2）=20．解：（1）函数f（x）=sin（2x+）+1的最小正周期=π．由2x+=kπ，解得x=﹣，∴对称中心为（﹣，1）．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），解得kπ﹣≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．（3）在区间[0，]上，2x+∈[，]，∴当2x+=，即x=时，函数f（x）取得最大值+1，当2x+=，即x=时，函数f（x）取得最小值0．21．解：（Ⅰ）设P（x，y），则∵点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足，∴，∴化简（x﹣1）2+y2=4；（Ⅱ）由题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，此时d==3，∴由勾股定理可得|QM|的最小值为=．22．解：（1）若，则=2cosα﹣2sinα=0，∴tanα=1．再由0＜α＜π＜β＜2π，可得α=．（2）由题意可得=（sinβ+cosβ，2cosβ﹣2sinβ），∴===，∴sinβcosβ=．结合0＜α＜π＜β＜2π，可得β为第三象限角，故sinβ+cosβ＜0．∴sinβ+cosβ=﹣=﹣=﹣．（3）若tanαtanβ=4，则有，∴sinαsinβ=4cosαcosβ，∴，故与的坐标对应成比例，故．2017—2018学年人教版高一数学第二学期期中考试卷（五）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．﹣300°化为弧度是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3．若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（3，7）D．（﹣3，﹣7）4．若tanα=2，则等于（）A．﹣3 B． C．D．35．若||=1，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a?cosA=bcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形10．已知向量，，且=+2，=﹣5+6，=7﹣2，则一定共线的（）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D11．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2 012）的值等于（）A．B．2+2C． +2 D．﹣212．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置. 13．函数y=tan（x+）的单调区间为______．14．已知向量是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数λ=______．15．函数f（x）=2sinxcos（x﹣），x∈[0，]的最小值为______．16．把函数的图象向左平移m（m＞0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知α的终边经过点（﹣4，3），求下列各式的值：（1）；（2）sinα？cosα．18．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若⊥，求x的值；（2）若∥，求|﹣|．19．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角P﹣AB﹣D余弦值．21．已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．22．已知向量=（1+cosωx，1），=（1，a+sinωx）（ω为常数且ω＞0），函数f（x）=在R上的最大值为2．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，]上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．参考答案一、单项选择题：1．B．2．B．3．B．4．D．5．B．6．B．7．A．8．C．9．C．10．A．11．B．12．A．二、填空题：13．答案为：递增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z14．答案为：﹣15．答案为：0．16．答案为：π．三、解答题：17．解：∵α的终边经过点P（﹣4，3），∴|PO|=r=因此，，，…（1）根据诱导公式，得sin（±α）=cosα，cos（π+α）=﹣cosα，sin（π﹣α）=sinα∴…（2）sinα？cosα=﹣×=…18．解：（1）∵⊥，∴?=（1，x）?（2x+3，﹣x）=2x+3﹣x2=0整理得：x2﹣2x﹣3=0解得：x=﹣1，或x=3（2）∵∥∴1×（﹣x）﹣x（2x+3）=0即x（2x+4）=0解得x=﹣2，或x=0当x=﹣2时，=（1，﹣2），=（﹣1，2）﹣=（2，﹣4）∴|﹣|=2当x=0时，=（1，0），=（3，0）﹣=（﹣2，0）∴|﹣|=2故|﹣|的值为2或2．19．解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵∠DBA=30°，∠DAB=60°，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，∴BD⊥PD，∴BD⊥面PAD，∴PA⊥BD．（Ⅱ）过D作DO⊥AB交AB于O，连接PO，∵PD⊥底面ABCD，∴∠POD为二面角P﹣AB﹣D的平面角．在Rt△ABD中，∵AD=1，∠ABD=30°，∴，∴，而PD=AD=1，在Rt△PDO中，，∴，∴．∴二面角P﹣AB﹣D余弦值为．21．解：（1）由，平方可得1+sinα=，解得sinα=．再由已知，可得α=，∴cosα=﹣．（2）∵，，∴﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=．∴cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]=cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=+=﹣．22．解：（Ⅰ）函数f（x）==1+cosωx+a+sinx=2sin（ωx+）+a+1，…∵函数f（x）在R上的最大值为2，∴3+a=2故a=﹣1…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2sin（ωx+），把函数f（x）=2sin（ωx+）的图象向右平移个单位，可得函数y=g（x）=2sinωx…又∵y=g（x）在[0，]上为增函数，∴g（x）的周期T=≥π即ω≤2．∴ω的最大值为2…此时单调增区间为…2017—2018学年人教版高一数学第二学期期中考试卷（六）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|y=lnx}，N={x|2x≤8}，则M∩N=（）A．?B．{x|0＜x≤3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜3}2．sin（﹣）的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣3．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（）弧度A．1 B．2 C．3 D．44．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2B．2C．2D．45．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．已知某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如表所示：x（万元）0 1 3 4y（万元） 2.2 4.3 4.8 6.7从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+，则据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．2.6万元B．8.3万元C．7.3万元D．9.3万元7．已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=log a（x﹣k）的大致图象是（）A．B．C．D．8．给出下列结论：①若=，则ABCD是平行四边形；②cosπ＜sinπ＜tanπ；③若∥，∥，则∥；④若=，则=．则以上正确结论的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．把函数y=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．10．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，]D．[0，]∪（，π）11．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则tanθ的值是（）A．B．C．D．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．2D．1二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知，则=．14．一个总体分为A、B两层，用分层抽样法从总体中抽取容量为10的样本，已知B层中个体甲被抽到的概率是，则总体中的个体数是．15．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=．16．已知圆C：x2+y2﹣2ax﹣2（a﹣1）y﹣1+2a=0（a≠1）对所有的a∈R且a≠1总存在直线l与圆C相切，则直线l的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知角θ的终边经过点P（a，﹣2），且cosθ=﹣．（1）求sinθ，tanθ的值；（2）求的值．18．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（I）求分数在[120，130]内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在分段[110，130]的学生中抽取一个容量为6的样本，将样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130]内的概率．19．已知函数f（x）=Asin（2ωx+?）+k（A＞0，ω＞0，?∈[﹣]）的最小正周期为，函数的值域为[﹣]，且当x=时，函数f（x）取得最大值．（1）求f（x）的表达式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．20．如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．（1）求证：AO⊥平面B'OC；（2）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B'C﹣O的余弦值；（3）在（2）的条件下，试问在线段B'A上是否存在一点P，使CP与平面B'OA所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求AP的长．21．已知函数f（x）=ax+．（1）从区间（﹣2，2）内任取一个实数a，设事件A={函数y=f（x）﹣2在区间（0，+∞）上有两个不同的零点}，求事件A发生的概率；（2）当a＞0，x＞0时，f（x）=ax+．若连续掷两次骰子（骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6）得到的点数分别为a和b，记事件B={f（x）＞b2在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B发生的概率．22．已知f（x）=asin（x+）+1﹣a（x∈R）．（1）当x∈[0，]时，恒有|f（x）|≤2，求实数a的取值范围；（2）若f（x）=0在[0，]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．参考答案一、单项选择题：1．B．2．C．3． B 4．C．5．B．6．B．7．A8．B．9．D．10． B 11．A．12．A．二、填空题：13．解：由题意分式的分子与分母都除以cosα可得又∴==故答案为14．解：∵用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．由B层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，∴总体中的个体数为10÷=100．故答案为：10015．解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．故答案为：3．16．解：圆的圆心坐标为（a，1﹣a），半径为： |a﹣1|显然，满足题意切线一定存在斜率，∴可设所求切线方程为：y=kx+b，即kx﹣y+b=0，则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=|a﹣1|恒成立，即2（1+k2）a2﹣4（1+k2）a+2（1+k2）=（1+k）2a2+2（b﹣1）（k+1）a+（b﹣1）2恒成立，比较系数得，解之得k=﹣1，b=1，所以所求的直线方程为y=﹣x+1．故答案为：y=﹣x+1．三、解答题：17．解：（1）∵，且过P（a，﹣2），∴θ为第三象限的角…∴……（2）…18．解（I）分数在[120，130）内的频率为：1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3…，补全后的直方图如右（II）平均分为：125×0.3+135×0.25+145×0.05=121（III）由题意，[110，120）分数段的人数为：60×0.15=9人[120，130）分数段的人数为：60×0.3=18人∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，分别记为a，b，c，d设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件共有：（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种…则事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种∴19．解：（1）∵函数函数f（x）=Asin（2ωx+?）+k的值域为，A＞0，∴，∴．又，∴ω=2，∵当时，函数f（x）取得最大值．∴，又，∴，∴．令2kπ﹣≤4x﹣≤2kπ+，解得≤x≤+（k∈Z），所以f（x）的增区间为（k∈Z）．（2）因为x∈，所以4x﹣∈，所以sin∈，所以f（x）∈，故f（x）在区间上的取值范围是．20．解：（1）证明：∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC；…（2）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角．在，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为…（3）连接OP，在（2）的条件下，易证OC⊥平面B'OA，∴CP与平面B'OA所成的角为∠CPO，∴∴又在△ACB′中，，∴CP⊥AB′，∴，∴…。
安徽省六安市第一中学20172018学年高一数学下学期期末考试试题理
六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)n n a n =--C ．(1)(21)nn a n =-- D ．1(1)(21)n n a n +=--2.已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2018a 等于（ ） A ．12-B ．12C ． -1D ．2 3.已知数列{}n a 满足：12a =，0n a >，22*14()n n a a n N +-=∈，那么使10n a <成立的n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．24D ．254.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且1a ，3a ，7a 为等比数列{}n b 的连续三项，则2334b b b b ++的值为（ ）A ．12B ．4C ．2D 2 5.若01a <<，则不等式1()()0x a x a-->的解集是（ ）A ．1{|}x a x a <<B ．1{|}x x a a <<C ．1{|}x x a x a <>或D ．1{|}x x x a a<>或6.已知,a b R ∈，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．220a b -< B ．220ab-< C ．110a b-> D ．cos cos 0a b -< 7.已知点(2,2)A ，若动点(,)P x y 的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ ）A ．22．2 C 2 D 58.若20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或，则对于函数2()f x cx bx a =++应有（ ）A ．(5)(0)(1)f f f <<-B ．(5)(1)(0)f f f <-<C ．(1)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(1)(5)f f f <-<9.已知,a b R ∈，且2a b P +=，222a b Q +=P ，Q 的关系是（ ）A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <10.已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ）A ．[1,7]B ．[5,13]-C ．[5,7]-D ．[1,13] 11.已知数列{}n a 的通项为258n na n =+，则数列{}n a 的最大值为（ ）A 258B ．7107C ．461 D ．不存在12.设正数a ，b 满足2b a -<，若关于x 的不等式222(4)40a x bx b -+-<的解集中的整数解恰有4个，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(2,4)D ．(4,5) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为 里． 14.已知点(1,2)在直线2(0)x yab a b+=>上，则2a b +的最小值为 ． 15.不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于14，则k = ．16.已知,m n R ∈，若关于实数x 的方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根1x ，2x 满足101x <<，21x >，则ba的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.若221a x =+，22b x x =+，3c x =--，比较a ，b ，c 的大小.18.已知函数22()log (611)f x ax ax =-+.（1）当1a =时，求不等式2()log 3f x ≥的解集； （2）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围.19.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品甲（件）产品乙（件）研制成本与搭载费用之和（万元/件）200300计划最大资金额3000元产品重量（千克/件） 10 5最大搭载重量110千克预计收益（万元/件）160120试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20.各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，3564a a =，且*23log 2()n an b n N =+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*()nn nb c n N a =∈，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21.（1）若关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<的解集是[1,)+∞的子集，求实数a 的取值范围；（2）已知a ，b ，c 均为正数，且9()abc a b =+，求a b c ++的最小值.22.已知数列{}n a 中，112a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21n n n S a n S =≥-.（1）求证：数列1{}nS 是等差数列； （2）证明：123111123n S S S S n+++⋅⋅⋅+<.六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题1-5: CBCAC 6-10: BCDCA 11、12：CC 二、填空题13. 6 14. 4 15. 1 16. 1(2,)2-- 三、解答题17.解：∵221a x =+，22b x x =+，3c x =--，∴22(21)(2)a b x x x -=+-+2221(1)0x x x =-+=-≥，即a b ≥，2(2)(3)b c x x x -=+---223333()024x x x =++=++>，即b c >，综上可得：a b c ≥>.18.解：（1）1a =时，22()log (611)f x x x =-+，则222()log 3log (611)f x x x ≥⇔-+2log 3≥，即26113x x -+≥，解得2x ≤或4x ≥.∴不等式2()log 3f x ≥的解集为(,2][4,)-∞+∞；（2）∵()f x 的定义域为R ，∴26110ax ax -+>对任意x R ∈恒成立， 当0a >时，236440a a ∆=-<，解得1109a <<.又0a =成立， ∴a 的取值范围是11[0,)9. 19.解：设搭载产品甲x 件，产品乙y 件，预计总收益160120z x y =+.则2003003000105110,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，（或写成23302220,0,x y x y x y x y Z+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩）作出可行域，如图.作出直线0l ：430x y +=并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(9,4)M .∴max 160912041920z =⨯+⨯=（万元）.答：搭载产品甲9件，产品乙4件，可使得总预计收益最大，为1920万元.20.解：（1）12n n a -=，31n b n =-.（2）1312n n n n b n c a --==，数列{}n c 的前n 项和21258311222n n n T --=+++⋅⋅⋅+， ∴21125343122222n n n n n T ---=++⋅⋅⋅++， ∴21111113123()22222n n n n T ---=+++⋅⋅⋅+-111(1)3122231212n n n ---=+⨯--113123(1)22n n n --=+--3552n n +=-.∴135102n n n T -+=-.21.解：（1）由题(2)()0x x a --<，当2a ≥时，不等式的解集为{|2}x x a <<，此时显然是[1,)+∞的子集，当2a <时，不等式的解集为{|2}x a x <<，要使其为[1,)+∞的子集，∴12a ≤<，综上，[1,)a ∈+∞.（2）根据题意，9()abc a b =+，则9a bc ab+=⨯， 则()9a ba b c a b ab+++=++⨯99992a b a b a b a b =+++≥⨯⨯6612=+=，当且仅当3a b ==时，等号成立；则a b c ++的最小值为12.22.证明：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，整理得：112(2)n n n n S S S S n ---=⋅≥，1112n n S S --=，从而1{}nS 构成以2为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，111(1)22n n n S S ++-⨯=，∴12n S n=. ∴当1n =时，1112n S n =<， 当2n ≥时，2111122(1)n S n n n n =<⋅-111()21n n=--， ∴12311123n S S S S n +++⋅⋅⋅+1111111(1)222231n n <+-+-+⋅⋅⋅+--1112n<-<. 另解：当2n ≥时，2211111()22(1)411n n n n <=---+ ∴1111111(12432435<+-+-+-1111)211n n n n +⋅⋅⋅+-+---+ 11111(1)2421n n =++--+ 1117(1)12428<++=<.。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
安徽省六安市2017-2018学年高一下学期开学考试数学试卷(文科)卷word版含答案
2017-2018学年安徽省六安市第一中学高一下学期开学考试数学试卷(文科)卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.①0N ∈Q ；③{}0∅⊆；④0∈∉；⑤直线3y x =+与26y x =-+的交点组成的集合为{}1,4，上述五个关系中，正确的个数是( ) A.1个B.2个C.3个D.4个2.设()32x f x x =-.则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是( ) A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,33.在下列图形中，不是正方体的展开图的是( )ABCD4.过点()3,4P ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A.10x y -+= B.10x y -+=或430x y -= C.70x y +-=D.70x y +-=或430x y -=5.360y -+=的倾斜角为β，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A.30β=°，2b =B.30β=°，2b =-C.60β=°，2b =D.60β=°，2b =-6.若m ，n 表示不重合的两条直线，α表示平面，则下列正确命题的个数是( ) ①m n ∥，m n αα⊥⇒⊥ ②m α⊥，n m n α⊥⇒∥ ③m α⊥，n α∥m n ⇒⊥④m α∥，m n n α⊥⇒⊥ A.1个B.2个C.3个D.4个7.若f ：A B →能构成映射，则下列说法正确的有( )①A 中任意一个元素在B 中必有像且唯一 ②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像 ③B 中的元素可以在A 中无原像 ④像的集合就是集合B A.1个B.2个C.3个D.4个8.若1a >，且11213log log log 0a a ax x x +==<，则1x ，2x ，3x 的大小关系是( )A.123x x x <<B.231x x x <<C.321x x x <<D.312x x x <<9.对空间两条无公共点的直线a 与b ，必存在平面α使得( ) A.a α⊂，b α⊂B.a α⊂，b α⊥C.a α⊥，b α⊥D.a α⊂，b α∥10.函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()0.2log y f x =的图像大致是( )AB C D11.直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若MN ≥k 的取值范围是( )A.2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[)3,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ C.⎡⎢⎣⎦D.3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.已知函数()232f x ax x =-的最大值不大于16，又当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()18f x ≥，则a 的值为( )A.1B.1-C.34D.78二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()()3log 3f x x =+的定义域是_____________.(用集合或区间表示) 14.计算：1ln 3327lg 42lg5e ++-=_____________.15.Rt ABC △中，30A =°，斜边4cm AC =，将边BC 绕边AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为_____________2cm .16.已知动直线()()212430x y λλλ++-+-=与圆C ：()2219x y -+=相交，则相交的最短弦的长度为_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知全集U R =，集合{}36A x x =≤<，{}2,23x B y y x ==≤≤. ①求A B 和()U C B A ；②已知{}11C a a x a =-≤≤+，若C B ⊆，求a 的取值范围.18.某城市出租车的收费标准是：3千米以内(含3千米)，收起步价8元；3千米以上至8千米以内(含8千米)，超出3千米的部分按1.5元/千米收取；8千米以上，超出8千米的部分按2元/千米收取. (1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米时应付的车费；(2)试写出车费y (元)与里程x (千米)之间的函数解析式并画出图像；(3)小陈周末外出，行程为10千米，他设计了两种方案：方案1：分两段乘车，先乘一辆行驶5千米，下车换乘另一辆车再行5千米至目的地 方案2：只乘一辆车至目的地，试问：以上哪种方案更省钱，请说明理由. 19.下图是一个奖杯的三视图(单位cm ，π取3.14).(1)请你说明这个奖杯是由哪些基本几何体组成的； (2)求这个奖杯的体积； (3)求这个奖杯的表面积.20.已知直线1l 经过点()3,0A -，()3,2B ，直线2l 经过点B ，且12l l ⊥. (1)分别求直线1l ，2l 的方程；(2)设直线2l 与直线8y x =的交点为C ，求ABC △外接圆的方程. 21.已知函数()()()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求实数k 的值；(2)判断()f x 在[)0,+∞上的单调性.(不必证明)； (3)求函数()f x 的值域.22.如图，在三棱柱111BCD B C D -与四棱锥11A BB D D -的组合体中，已知1BB ⊥平面BCD ，四边形ABCD 是平行四边形，120ABC =∠°，4AB =，2AD =，11BB =，设O 是线段BD 中点.(1)求证：1C O ∥平面11AB D ； (2)证明：平面11AB D ⊥平面1ADD ； (3)求四棱锥11A BB D D -的体积.2017—2018学年度高三第一学期第二阶段考试数学试题(文科)参考答案一、选择题1-5:CCBDA 6-10:CBCDC 11、12：DA 二、填空题13.(]3,1- 14.2 15.12π 16.2 三、解答题17.解：(1)[)3,6A =，[]4,8B =[)4,6A B = ，()()(),68,U C B A =-∞+∞ . (2)∵C B ⊆，∴1418a a -≥⎧⎨+≤⎩，∴57a ≤≤.18. (1)84 1.514+⨯=元. (2)8,031.5 3.5,3820.5,8x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩(3)方案一的费用为：22元. 方案二的费用为：19.5元. 方案二更省钱.19.解：(1)该奖杯由一个球、一个圆柱、一个四棱台组成. (2)336cm V π=球，364cm V π=圆柱，3336cm V =台， ∴33664336650cm V ππ=++=. (3)2674cm .20.(1)∵直线1l 经过点()3,0A -，()3,2B ， ∴1103::3302033y x l l x y -+=⇒-+=-+， 设直线2l 的方程为30x y c ++=，∴11c =-，∴2:3110l x y +-=. (2)3110188x y x y x y +-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，即：()1,8C ，∴AC =AC 的中点为()1,4-，∴Rt ABC △的外接圆的圆心为()1,4-，半径为 ∴外接圆的方程为：()()221420x y ++-=. 21.解：(1)∵()f x 是偶函数，可知()()f x f x -=，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-，即4log 42x kx =-，∴2x kx =-对一切x R ∈恒成立，∴12k =-.(2)()41log 22x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2x t =，1t ≥，则()1g t t t =+在[)1,+∞上是增函数，所以()f x 在[)0,+∞上是增函数.(3)因为1222x x+≥， 所以()411log 222x xf x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭， 则函数()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.(1)证明：取11B D 的中点E ，连接1C E ，AE ，OA ，则A ，O ，C 三点共线， ∵111BCD B C D -为三棱柱，∴平面BCD ∥平面111B C D ，故1C E OA ∥且1C E OA =，∴四边形1C EAO 为平行四边形，∴1AE C O ∥， 又∵AE ⊂面11AB D ，1OC ⊄面111AB D C O ⇒∥面11AB D .(2)证明：∵120ABC =∠°，4AB =，2AD =，作D M AB ⊥于M ，可得1AM =，DM =3BM =，则BD =， ∴22290AB AD BD ADB =+⇒=∠°，即BD AD ⊥， 又1BB ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，1BB BD ⊥， 在三棱柱111BCD B C D -中，11BB D D ∥而1DD AD D = ， ∴BD ⊥平面1ADD ，又11BD B D ∥，得11B D ⊥平面1ADD ， 而11B D ⊂平面11AB D ，∴平面11AB D ⊥平面1ADD .(3)由(2)知，BD AD ⊥，又1D D AD ⊥，∴AD ⊥平面11BB D D ，即AD 为四棱锥11A B D DB -的高，2AD =，又11BB D D S =∴11A B D DB V -=。
安徽省六安市第一中学2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题 理
六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)n n a n =--C ．(1)(21)nn a n =-- D ．1(1)(21)n n a n +=--2.已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2018a 等于（ ） A ．12-B ．12C ． -1D ．2 3.已知数列{}n a 满足：12a =，0n a >，22*14()n n a a n N +-=∈，那么使10n a <成立的n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．24D ．254.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且1a ，3a ，7a 为等比数列{}n b 的连续三项，则2334b b b b ++的值为（ ）A ．12B ．4C ．2 D5.若01a <<，则不等式1()()0x a x a-->的解集是（ ）A ．1{|}x a x a <<B ．1{|}x x a a <<C ．1{|}x x a x a <>或D ．1{|}x x x a a<>或6.已知,a b R ∈，且a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．220a b -< B ．220ab-< C ．110a b-> D ．cos cos 0a b -< 7.已知点(2,2)A ，若动点(,)P x y 的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ ）A．．2 CD8.若20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或，则对于函数2()f x cx bx a =++应有（ ）A ．(5)(0)(1)f f f <<-B ．(5)(1)(0)f f f <-<C ．(1)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(1)(5)f f f <-<9.已知,a b R ∈，且2a b P +=，Q =P ，Q 的关系是（ ）A ．P Q ≥B ．P Q >C ．P Q ≤D ．P Q <10.已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（ ）A ．[1,7]B ．[5,13]-C ．[5,7]-D ．[1,13] 11.已知数列{}n a 的通项为258n na n =+，则数列{}n a 的最大值为（ ）A 258B ．7107C ．461 D ．不存在12.设正数a ，b 满足2b a -<，若关于x 的不等式222(4)40a x bx b -+-<的解集中的整数解恰有4个，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(2,4)D ．(4,5) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为 里． 14.已知点(1,2)在直线2(0)x yab a b+=>上，则2a b +的最小值为 ． 15.不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于14，则k = ．16.已知,m n R ∈，若关于实数x 的方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根1x ，2x 满足101x <<，21x >，则ba的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.若221a x =+，22b x x =+，3c x =--，比较a ，b ，c 的大小.18.已知函数22()log (611)f x ax ax =-+.（1）当1a =时，求不等式2()log 3f x ≥的解集； （2）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围.19.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20.各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，3564a a =，且*23log 2()n an b n N =+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*()nn nb c n N a =∈，求数列{}n c 的前n 项和n T . 21.（1）若关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<的解集是[1,)+∞的子集，求实数a 的取值范围；（2）已知a ，b ，c 均为正数，且9()abc a b =+，求a b c ++的最小值.22.已知数列{}n a 中，112a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21n n n S a n S =≥-.（1）求证：数列1{}nS 是等差数列； （2）证明：123111123n S S S S n+++⋅⋅⋅+<.六安一中2017～2018年度高一年级第二学期期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题1-5: CBCAC 6-10: BCDCA 11、12：CC 二、填空题13. 6 14. 4 15. 1 16. 1(2,)2-- 三、解答题17.解：∵221a x =+，22b x x =+，3c x =--，∴22(21)(2)a b x x x -=+-+2221(1)0x x x =-+=-≥，即a b ≥，2(2)(3)b c x x x -=+---223333()024x x x =++=++>，即b c >，综上可得：a b c ≥>.18.解：（1）1a =时，22()log (611)f x x x =-+，则222()log 3log (611)f x x x ≥⇔-+2log 3≥，即26113x x -+≥，解得2x ≤或4x ≥.∴不等式2()log 3f x ≥的解集为(,2][4,)-∞+∞；（2）∵()f x 的定义域为R ，∴26110ax ax -+>对任意x R ∈恒成立， 当0a >时，236440a a ∆=-<，解得1109a <<.又0a =成立， ∴a 的取值范围是11[0,)9. 19.解：设搭载产品甲x 件，产品乙y 件，预计总收益160120z x y =+.则2003003000105110,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，（或写成23302220,0,x y x y x y x y Z+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩）作出可行域，如图.作出直线0l ：430x y +=并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得(9,4)M .∴max 160912041920z =⨯+⨯=（万元）.答：搭载产品甲9件，产品乙4件，可使得总预计收益最大，为1920万元.20.解：（1）12n n a -=，31n b n =-.（2）1312n n n n b n c a --==，数列{}n c 的前n 项和21258311222n n n T --=+++⋅⋅⋅+， ∴21125343122222n n n n n T ---=++⋅⋅⋅++， ∴21111113123()22222n n n n T ---=+++⋅⋅⋅+-111(1)3122231212n n n ---=+⨯--113123(1)22n n n --=+--3552n n +=-.∴135102n n n T -+=-.21.解：（1）由题(2)()0x x a --<，当2a ≥时，不等式的解集为{|2}x x a <<，此时显然是[1,)+∞的子集，当2a <时，不等式的解集为{|2}x a x <<，要使其为[1,)+∞的子集，∴12a ≤<，综上，[1,)a ∈+∞.（2）根据题意，9()abc a b =+，则9a bc ab+=⨯， 则()9a ba b c a b ab+++=++⨯99a b a b =+++≥6612=+=，当且仅当3a b ==时，等号成立；则a b c ++的最小值为12.22.证明：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，整理得：112(2)n n n n S S S S n ---=⋅≥，1112n n S S --=，从而1{}nS 构成以2为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，111(1)22n n n S S ++-⨯=，∴12n S n=. ∴当1n =时，1112n S n =<， 当2n ≥时，2111122(1)n S n n n n =<⋅-111()21n n=--， ∴12311123n S S S S n +++⋅⋅⋅+1111111(1)222231n n <+-+-+⋅⋅⋅+--1112n<-<. 另解：当2n ≥时，2211111()22(1)411n n n n <=---+ ∴1111111(12432435<+-+-+-1111)211n n n n +⋅⋅⋅+-+---+ 11111(1)2421n n =++--+ 1117(1)12428<++=<.。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，A）∩B=（）则（∁UA．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．167．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．28．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥29．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣210．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是m/s．14．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．15．下列结论中，正确结论的序号为①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合CU A，再计算（CUA）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴CUA={﹣3，﹣4}，∴（CUA）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】利用函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，可求f（1）、f′（1）的值，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．8．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要条件的定义可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件，则需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故实数k的取值范围是（2，+∞），故选：C．9．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．），【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x结合已知可求）=2【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=﹣1∴f′（x故选B10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】63：导数的运算；3O ：函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x ）图象可知，函数f （x ）先减，再增，再减，故选：D ．11．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】IT ：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P 到直线y=x ﹣2的最小距离．【解答】解：过点P 作y=x ﹣2的平行直线，且与曲线y=x 2﹣lnx 相切，设P （x 0，x 02﹣lnx 0）则有k=y′|x=x 0=2x 0﹣．∴2x 0﹣=1，∴x 0=1或x 0=﹣（舍去）．∴P （1，1），∴d==．故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣2）=2021，对任意x ∈（﹣∞，+∞），都有f'（x ）＜2x 成立，则不等式f （x ）＞x 2+2017的解集为（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，+∞） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣x 2﹣2017，利用对任意x ∈R ，都有f′（x ）＜2x 成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是 4 m/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故答案为：414．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．【解答】解：x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，f′（x）=3x2，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．∴f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．15．下列结论中，正确结论的序号为①②④①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”⇔“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（4），求出切线方程即可；（2）设出切点为M（x0，y），表示出切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）∵g（x）=，∴g′（x）=，∴g′（4）=，∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即y=x+1；（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y），则点M的坐标满足y=x3﹣3x，因f′（x0）=3（x2﹣1），故切线的方程为y﹣y=3（x2﹣1）（x﹣x），将A（0，16）代入切线方程化简得x03=﹣8，解得x=﹣2．所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，即可得出．【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，∴恒成立…而当x＞0时∵．检验知，a=2时也成立∴a≥2…[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数g（x）在定义域上为减函数所以g（x）＜g（0）=2检验知，a=2时也成立∴a≥2…．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．。
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2017-2018学年安徽省六安市寿县一中高一（下）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共60分）1．（2012秋•马鞍山期末）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．﹣C．D．﹣考点：弧度制的应用．专题：计算题．分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到5分针是一周的十二分之一，进而可得答案．解答：解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨快是逆时针旋转∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为故选C．点评：本题考查弧度的定义：一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．2．（2015春•寿县校级期中）空间中，异面直线a，b所成的角为α，且=（）A． B．C．或D．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由异面直线所成角的范围，得到sinα大于0，利用cosα的值，根据同角三角函数间的基本关系即可求出sinα的值．解答：解：∵在空间，异面直线a，b所成的角为α，∴α∈（0，90°]，又sinα=，则cosα==．故选A点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（2015春•寿县校级期中）已知cos（π﹣α）=﹣且α是第四象限角，则sinα=（）A．B．C．±D．﹣考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由诱导公式及已知可求cosα，由同角三角函数间的基本关系结合角的范围即可求sinα的值．解答：解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，可得：cosα=且α是第四象限角，∴sinα=﹣=﹣=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了诱导公式及同角三角函数间的基本关系的应用，属于基本知识的考查．4．（2015春•寿县校级期中）已知函数y=sin2x+cosx+，则函数的值域为（）A．B．[1，2]C．D．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用余弦函数的定义域和值域可得cosx∈[﹣，1]，再利用二次函数的性质求得y=﹣+2 的值域．解答：解：∵函数y=sin2x+cosx+=1﹣cos2x+cosx+=﹣+2，x∈[0，]，∴cosx∈[﹣，1]，故当cosx=时，函数取得最大值为2；当cosx=﹣时，函数取得最小值为1，故函数的值域为[1，2]，故选：B．点评：本题主要考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．5．（2015春•寿县校级期中）若=3，=﹣5，且||=||，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：证明∥，利用||=||，即可证明四边形ABCD是等腰梯形．解答：解：∵=3，=﹣5，∴∥，∵||=||，∴四边形ABCD是等腰梯形．故选：C．点评：本题考查向量的平行，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（2015春•寿县校级期中）在△ABC中，=（1，1），=（1，﹣1），•=2，则•=（）A．﹣2 B． 2 C．0 D．﹣2或2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用向量的运算得出•=•﹣，再结合向量的数量积的坐标形式求解即可．解答：解：∵=，=（1，1），=（1，﹣1），•=2，∴=1×1﹣1×1=0，∴•=•﹣=2﹣0=2故选：B．点评：本题考察了平面向量的运算，数量积的运用，属于基础题，难度不大．7．（2015春•寿县校级期中）AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且=，=，那么为（）A．+B．﹣C．﹣D．﹣+考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，，=，=，，即可得出．解答：解：如图所示，，=，=，，∴=+，化为=+．故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2015春•寿县校级期中）在平面直角坐标系中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足，=4+3，=k﹣当A、B、C三点构成直角三角形时，实数k的可能值的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用已知可得=，利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：==﹣（4，3）=，当AB⊥BC时，=4（k﹣4）﹣×3=0，解得k=．当AB⊥AC时，==0，解得k=．当AC⊥BC时，•==0，化为4k2﹣16k+7=0，解得k=或．综上可得：当A、B、C三点构成直角三角形时，实数k的可能值的个数为4．故选：D．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2015春•寿县校级期中）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD中点，若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：综合题；平面向量及应用．分析：通过图形，分别表示，，然后进行向量数量积的运算即可．解答：解：由题意，求得=+，==﹣﹣，则=（+）•（﹣﹣）=﹣（32+32+10•）=﹣（15+20×）=﹣．故选：C．点评：本题考查平面向量的数量积的运算，用已知向量表示未知向量，是中档题．10．（2009•东营一模）已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣）考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．分析：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，由与为互相垂直的单位向量，我们易得，，代入，可求出•，又由与的夹角为锐角，故•＞0，由此得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围，但要注意，与同向的排除．解答：解：∵与为互相垂直的单位向量∴，，又∵，且与的夹角为锐角，∴，但当λ=﹣2时，，不满足要求故满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣2）故选A点评：两个向量夹角为锐角，则两个向量的数量积为正；两个向量夹角为钝角，则两个向量的数量积为负；两个向量夹角为直角，则两个向量的数量积为零；11．（2012•岳阳二模）定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，又α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＜f（sinβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行转化，确定函数f（x）在区间[0，1]上的单调性，即可判断得到答案．解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）为周期函数，周期T=2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为减函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为减函数，∵f（x）为偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，∴f（x）在[0，1]上为单调增函数．∵在锐角三角形中，则π﹣α﹣β＜，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ，∵f（x）在[0，1]上为单调增函数．∴f（sinα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，三角函数的图象和性质，综合考查了函数的奇偶性、周期性和单调性的应用，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．12．（2012•宜宾一模）设向量||=x，||=，且与的夹角为，若f（x）=（+）•（﹣λ）≤（λ﹣1）x在区间[，]上恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，+∞）C．[，5]D．[5，+∞）考点：平面向量的综合题．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，再利用分离参数法，确定相应函数的最值，即可求实数λ的取值范围．解答：解：由题意，∵||=x，||=，且与的夹角为，∴f（x）=（+）•（﹣λ）=5x2﹣2λ+（1﹣λ）×x××cos∴不等式等价于5x2﹣2λ+（1﹣λ）×x××cos≤（λ﹣1）x在区间[，]上恒成立，∴5x2﹣2λ≤0在区间[，]上恒成立，∴在区间[，]上恒成立∵函数在区间[，]上的最大值为5∴λ≥5故选D．点评：本题考查向量的数量积，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，确定相应函数的最值，属于中档题．二．填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）（2015春•寿县校级期中）已知向量与的夹角为30°，，，则=2．考点：向量的模．专题：计算题．分析：由题意可得：，再由向量模的计算公式可得==，进而求出答案．解答：解：因为向量与的夹角为30°，，，所以．又因为==，所以=2．故答案为：2．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量求模的公式即，以及向量的数量积运算，此题属于基础题，在计算时认真计算即可得到全分，此类型的题常以选择或者填空的形式出现．14．（4分）（2015春•寿县校级期中）一物体在力=（3，1）的共同作用下从点A（1，1）移动到点B（0，5）．在这个过程中三个力的合力所做的功等于﹣40．考点：向量在物理中的应用；导数的几何意义．专题：平面向量及应用．分析：先求合力大小，然后利用向量求位移，结合导数的物理应用进行求解即可．解答：解：∵=（3，1），∴合力==（8，﹣8），=（1+0，1+5）=（1，6），则=1×8﹣8×6=﹣40，即三个力的合力所做的功等于为﹣40；故答案为：﹣40点评：本题主要考查向量数量积的计算，根据向量的加法和数量积公式是解决本题的关键．15．（4分）（2015春•寿县校级期中）已知直线x+y=a（a＞0）与圆x2+y2=4交于A，B两点，且|+|=|﹣|（其中O为坐标原点），则实数a是2．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：以OA、OB为邻边作□AOBC，由已知得□AOBC为正方形，由此能求出a=2．解答：解：以OA、OB为邻边作□AOBC，则||=||，∴□AOBC为矩形，又||=||，∴四边形AOBC为正方形，∵a＞0，∴直线x+y=a经过点（0，2），∴a=2．故答案为：2．点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．16．（4分）（2015春•寿县校级期中）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f （x﹣4）=f（x）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=﹣1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x﹣4）=f（x），得f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2 ），由f（﹣x）=﹣f（x），得f（log2 ）=﹣f（﹣log2），代入已知表达式可求得答案．解答：解：∵f（x﹣4）=f（x），∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（）=﹣（2）=﹣（）=﹣1；故答案为：﹣1．点评：本题考查抽象函数及其应用、函数的求值，对数恒等式的运用，考查学生分析解决问题的能力．三．解答题（写出必要的过程，共74分）17．（2015春•寿县校级期中）平面内给定三个向量（1）求（2）若，求实数k的值．考点：向量的模；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）首先求出运算后的坐标，然后求模；（2）用k表示两个向量的坐标，利用向量平行的性质解答．解答：解：（1）∵…（6分）（2）由，而∴6+8k=12+6k，∴k=3…点评：本题考查了平面向量的坐标运算、向量平行的性质；属于基础题．18．（2015春•寿县校级期中）已知向量≠，||=1．（1）若||=2，|+|=2|﹣|，求向量与的夹角的余弦；（2）对任意实数t，恒有|﹣t|≥|﹣|，求证：（﹣）⊥．考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：（1）只要将等式平方，展开整理得到数量积，利用数量积公式可求夹角的余弦值；（2）对已知不等式平方化简得到关于t的二次不等式恒成立，借助于判别式得到证明．解答：解：（1）将|+|=2|﹣|两边平方，得，|+|2=4|﹣|2，展开得，所以=，所以向量与的夹角的余弦为：…．（6分）（2）将|﹣t|≥|﹣|平方展开得恒成立，所以∴，∴…点评：本题考查了平面向量的数量积公式的运用、由模的关系判断向量的关系；关键是明确向量的平方与模的平方相等的运用．19．（2010•浦东新区校级模拟）某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：t（小时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米）10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.010.0经长期观察：y=f（t）的曲线可近似看成函数y=Asinωt+b的图象（A＞0，ω＞0）．（1）求函数y=f（t）的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间？考点：在实际问题中建立三角函数模型；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：应用题．分析：（1）由表格得到三角函数的周期，利用周期公式求出ω；利用A等于最大值减去最小值和的一半；b等于最大值加上最小值的差的一半，求出f（t）．（2）将实际问题转化为不等式，列出不等式，结合三角函数的图象求出不等式的解集．解答：解：（1）由题知：周期T=12，故ω=，又b=10，A=3，∴t+10．（2）由题知：y=3sin t+10≥5+6.5，∴，，∴1≤t≤5或13≤t≤17，如图：当该船1时入港，5时出港，停留时间最长，为4小时．点评：本题考查据三角函数的性质求三角函数的解析式、结合三角函数的图象求三角不等式．20．（2015春•寿县校级期中）已知函数f（x）=sin2x+acosx﹣，x∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）对于任意x，不等式f（x）﹣都成立，求实数a的范围．考点：二次函数在闭区间上的最值；正弦函数的定义域和值域．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，对f（x）进行配方，根据二次函数的性质即可求得其最小值；（2）令t=cosx，t∈[，1]，则f（x）可转化为关于t的二次函数，根据二次函数的性质按a 的取值范围进行讨论求得该二次函数的最小值，令最小值大于等于﹣解出a即可；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=sin2x+cosx﹣2=﹣cos2x+cosx﹣1=﹣﹣，因为﹣1≤cosx≤1，所以当cosx=﹣1时f（x）取得最小值，为﹣3．（2）f（x）=sin2x+acosx﹣=﹣cos2x+acosx﹣a﹣=﹣+﹣，令t=cosx，由x，得t∈[，1]，则g（t）=﹣，对于任意x，不等式f（x）﹣都成立，则当≤即a时，g（t）min=g（1）=≥﹣，解得a≥2，与a矛盾；当＞即a＞时，g（t）min=g（）=﹣≥﹣，解得a，所以a；综上，实数a的取值范围为a．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查余弦函数的值域，考查函数恒成立，考查转化思想、分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数的最值解决．21．（2014秋•黄石期末）已知向量=（，﹣1），=（，），若存在非零实数k，t使得=+（t2﹣3），=﹣k+t，且⊥，试求：的最小值．考点：平面向量的综合题．专题：计算题；综合题；平面向量及应用．分析：根据向量数量积的坐标公式和性质，分别求出||=2，||=1且•=0，由此将•=0化简整理得到k=（t3﹣3t）．将此代入，可得关于t的二次函数，根据二次函数的单调性即可得到的最小值．解答：解：∵=（，﹣1），=（，），∴||==2，||==1，且•=×+（﹣1）×=0∵=+（t2﹣3），=﹣k+t，且⊥，∴•=0，即（+（t2﹣3））（﹣k+t）=0展开并化简，得﹣k2+（﹣kt2+3k+t）•+t（t2﹣3）2=0将||=2、||=1和•=0代入上式，可得﹣4k+t（t2﹣3）=0，整理得k=（t3﹣3t）∴==t2+t﹣=（t+2）2﹣由此可得，当t=﹣2时，的最小值等于﹣．点评：本题以向量的数量积运算为载体，求的最小值．着重考查了平面向量数量积的坐标公式、运算性质，以及二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．22．（2015春•寿县校级期中）设函数f（x）在R上关于x=3和x=8都对称，且在闭区间[0，8]上只有f（1）=f（5）=f（7）=0．（1）求证函数f（x）是周期函数；（2）求函数f（x）在闭区间[﹣10，0]上的所有零点；（3）求函数f（x）在闭区间[﹣2012，2012]上的零点个数及所有零点的和．考点：数列的求和；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数关于轴对称的结论列出等式，变形后利用周期函数的定义证明；（2）利用周期性结合已知条件提供的零点，求出其他的零点；（3）利用周期性可以判断在区间[﹣2010，2010]内零点个数，利用函数的周期性求出在闭区间[﹣2012，2012]上的零点个数，先求出函数f（x）在区间[﹣10，10]上的零点之和，再利用周期性求出所有零点的和．解答：证明：（1）∵函数f（x）在R上关于x=3和x=8都对称，∴f（6+x）=f（﹣x），f（16+x）=f（﹣x），则f（x+6）=f（﹣x）=f（x+16），易得f（x+10）=f（x），∴f（x）是周期函数，T=10；解：（2）由函数f（x）在R上x=8对称得，f（8+x）=f（8﹣x），∴f（9）=f（7）=0，f（1）=f（1﹣10）=f（﹣9）=0，f（5）=f（5﹣10）=f（﹣5）=0，f（7）=f（7﹣10）=f（﹣3）=0，f（9）=f（9﹣10）=f（﹣1）=0，所以函数f（x）在区间[﹣10，0]上的零点分别有﹣1，﹣3，﹣5，﹣9；（3）因为函数的周期是10，由（2）知一个周期内的零点个数为4个，∴在区间[﹣2010，2010]内零点个数为2×201×4=1608个零点．∵f（2011）=f（1）=f（﹣9）=0，f（2012）=f（2），f（﹣2011）=f（﹣1）=0，f（﹣2012）=f（﹣2），∴2011，﹣2011也是两个零点，∴在区间[﹣2012，2012]上共有1608+2=1610个零点；由（1）知，函数f（x）在区间[﹣10，0]上的零点分别有﹣1，﹣3，﹣5，﹣9，∴函数f（x）在区间[0，10]上的零点分别有1，5，7，9，则函数f（x）在区间[﹣10，10]上的零点之和为4，∴在区间[﹣2010，2010]内零点之和为201×4=804，∵2011，﹣2011也是两个零点，∴在闭区间[﹣2012，2012]上所有的零点之为和是804，综上可得：零点个数是1610个；所有零点的和是804．点评：本题主要考查了函数周期性和对称性的综合应用，以及函数零点的判断，综合性较强，考查分析、解决问题的能力．。