2020届安徽省六安市一中2017级高三3月线上模拟考试数学(理)试卷参考答案
【数学】安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(六)(理)(解析版)
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（六）（理）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{3x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则AB =（ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为 （ ） A ．131i 55-+ B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55- 3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且b ，则实数m 的值为 （ ） A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或45．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填 （ ）A ．30S <B ．62S <C ．62S ≤D ．128S <6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒ （ ）A．12B．12C．12-D．12-7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称 B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称 C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称 D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z B ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZD ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z 9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为 （ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）A ．1 BCD ．211．已知椭圆222:19x y C b+=，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅的取值范围为 （ ）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--12．已知函数()212ln xf x x -=的定义域为1(0,]e ，若对任意的12,x x 1(0,]e ∈， ()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．(,3]-∞B ．(,4]-∞C ．(,5]-∞D ．(,6]-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为 .14．多项式822x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 项的系数为 . 15．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且AB CD //，12AB CD =，PA PB AD ==，PA AD CD +==PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD-外接球的表面积为 .第15题图 第16题图16．如第16题图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥4MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.19．（12分）如图，三棱锥1-E EBC 中，90EBC ∠=︒，124AE EB BC ===，,A D 分别为,EB EC 的中点，1E A AD ⊥；连接1111,,,EE E B E C E D ，平面1AE D ⊥平面ABCD . （1）证明：1EE BC ⊥；（2）求二面角1C BE D --的余弦值.20．（12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为12，点23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线l 与圆22:20x y y Ω++=相切，且与椭圆C 交于,M N 两点.探究：在椭圆C 上是否存在点Q ，使得OM ON mOQ +=，若存在，请求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数()emxf x x =.（1）若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2e ，求函数()f x 在[]2,2-上的最小值；（2）若关于x 的方程()1f x x=在()0,+∞上有两个解，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．【答案】C 【解析】依题意，集合{9293332xx A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=>=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，{}{}{}2121101112,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x =∈-+<∈<<N =N =，故{}5,6,7,8,9,10AB =，故选C.2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()35i 2i 35i 113i i 2i 2i 2i 5a b ----+===++-，故113,55a b ==-，故131i i 55z b a =-=--，故复数z 的共轭复数为131i 55z =-+，故选A. 3．【答案】B 【解析】不妨取04x π=，此时0023sin 02x x π-=<，故命题p 为真；特称命题的否定 为全称命题，故:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥，故选B.4．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数， 观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051， 1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253. 5．【答案】B 【解析】运行该程序，第一次，2,2S k ；第二次，6,3Sk ；第三次，14,4S k ；第四次，30,5S k ；第五次；62,6S k ；第六次，126,7S k；观察可知，判断框中可以填“62S <”故选B.6．【答案】A 【解析】依题意，()cos240sin30sin 60sin120︒︒--︒︒sin30cos120cos30sin120=︒︒+︒︒1sin1502=︒=；00tan 751tan 75tan 45tan 301tan 751tan 75tan 45-︒-︒==︒++︒︒；故原式的值为12，故选A. 7．【答案】D 【解析】依题意，()()()()321ln 1121x f x x x -+=++-++，将函数()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数32ln 2xy x x-=++的图象，这是一个奇函数，图象关于(0,0)中心对称，故 函数()321ln333xf x x x x x-=++++的对称中心为(1,1)--，故选D. 8．【答案】C 【解析】依题意，将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到sin 43y x ωππω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，此时()2432k k ωπωππππ--=+∈Z ， 解得()546k k ωπππ=+∈Z ，故()1043k k ω=+∈Z ，故ω的最小值为103故()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令()10222332k x k k πππππ--∈++Z ≤≤，解得()10522636k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，即()3320545k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，故选C.9．【答案】A 【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出()()221,1,1,,5,25A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；要使0z ≥恒成立，需且仅需130223055230m m m --⎧⎪⎪--⎨⎪⎪--⎩≥≥≥解得375m ≥；故m 的取值不可能为7，故选A.第9题答案图 第10题答案图10．【答案】B 【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为AC 或BD ，均为2，故选B.11．【答案】A 【解析】依题意，()22PM MN PM PN PM PM PN PM PM ⋅=⋅-=⋅-=-；因为22219b e =-=，故21b =；设(),M x y ，则()2,PM x y =--，故()2222222282444414599x x PM x y x x y x x x =-+=-++=-++-=-+，[]3,3x ∈-，可知，当3x =-时，2PM 有最大值25，当94x =时，2PM 有小值12；故PM MN ⋅的取值范围为125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选A. 12．【答案】B 【解析】()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-，可得122212()()11f x f x m x x ->-，令21()()g f x x=，则()ln g x x x x =+，其中，2[e ,)x ∈+∞，()2ln g x x '=+，又2[e ,)x ∈+∞，则()2ln 4g x x '=+≥，即122212()()411f x f x x x ->-，因此实数m的取值范围是(,4]-∞，故选B.13．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.14．【答案】420【解析】依题意，多项式8222x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，要凑出7x ，则必须有四个2x ，两个2x ，以及两个2-，故所求系数为()224284124202C C ⎛⎫⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭.15．【答案】52π【解析】因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD //，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =，,43PA PB AD PA AD CD ==+===23PA PB AB AD BC ====， 故3ADC π∠=；取CD 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD外接圆圆心；F 是PAB △外心，作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面PAB ，则O 是四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且3,2OF GE PF ===；设四棱锥P ABCD -的外接球半径R ，则22213R PF OF =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积是52π. 16．【答案】524+【解析】因为2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，故42MPN ππ∠+=， 故4MPN π∠=，故MNP △是等腰直角三角形；在QNP △中，2,1QN QP ==，由余弦定理，254cos NP Q =-；2211os 42c 45MNP S MN NP Q =-==△； 又1sin 2sin QNP S NQ P Q Q Q =⋅⋅=△，55cos sin 2sin()444MNQP S Q Q Q π=-+=+-； 易知当4Q 3π=时，四边形MNQP 的面积有最大值，最大值为524+． 17．【解析】（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，故13n na a +=； 故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+，解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分）（2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列， 故1231111n n T a a a a =++++111113133=1113323213nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率24113124P C ⨯=⨯=；（4分）（2）依题意，ξ的可能取值为1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为241312C ⨯=； ()1111224P ξ==⨯=，()121112222P C ξ==⨯⨯=，()1113224P ξ==⨯=，故ξ的分布列为 ξ123P141214故所求期望()2E ξ=.（12分） 19．【解析】（1）1E A AD ⊥，平面1AE D ⊥平面ABCD ，平面1AE D平面ABCD AD =，故1E A ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，∴1,,AE AD AE 两两垂直，以1,,AE AD AE为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知条件知，1(2,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,1,0),(0,0,2)E B C D E --， 且1111(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2),(0,1,2)EE BE CE DE =-==-=-，11112200220,220(2)220EE BE EE CE ⋅=-⨯+⨯+⨯=⋅=-⨯+⨯-+⨯=， ∴1111,EE BE EE CE ⊥⊥,111BE CE E =,∴1EE ⊥平面1E BC ∴1EE BC ⊥．（6分）（2）由（1）可知，平面1E BC 的法向量为1(2,0,2)EE =-．令平面1E BD 的法向量为(,,)x y z =m ，故11(,,)(2,0,2)220(,,)(0,1,2)20BE x y z x z DE x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩m m ，即,2x z y z =-=，取(1,2,1)=-m．1cos ,EE <m ，∴二面角1C BE D --.（12分） 20．【解析】（1）依题意，12c e a ==，故2234b a =.①将23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆的方程中，可得2248193a b +=.② 联立①②，解得224,3a b ==，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=.（4分） （2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=.依题意，设直线:()(0,0)l y k x t k t =+≠≠，圆22:20x y y Ω++=，即()2211x y ++=. 直线:()(0)l y k x t t =+≠与圆22:(1)1x y Ω++=1=，整理得2222=0k t kt k +-.当1t =±时，切线的斜率k 不存在，不合题意，舍去； 当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得221tk t =-，把:()(0)l y k x t t =+≠代入椭圆C 的方程22143y x +=得：22222(43)63120k x k tx k t +++-=. 易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 相交，设1122(,),(,)M x y N x y ， 则2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=-+，12121228()()()243kty y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=+，212122268(,)(,)4343k t ktOM ON x x y y k k +=++=-++. 因为OM ON mOQ +=，故22268(,)(43)(43)k t ktOQ m k m k =-++， 即Q 的坐标为22268(,)(43)(43)k t ktQ m k m k -++.又因为Q 在椭圆上，所以2222268(43)(43)143k t ktm k m k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 得2222443k t m k =+，把221t k t =-代入得2242242222424()441211143()11t t t t m t t t t t t-===+++++-； 因为210t >，所以421111t t++>，204m <<，于是20m -<<或02m <<， 综上所述()(2,0)0,2m ∈-.（12分）21．【解析】（1）依题意，()'e e mx mx f x mx =+，故()()'1e e 1e 2e m m mf m m =+=+=， 解得1m =，故()()'e e 1e x x xf x x x =+=+；令()'0f x =，故1x =-； 因为()222e f --=-,()11e f --=-,()20f >，故函数()f x 在[]2,2-上的最小值为()11e f --=-；（4分）（2）依题意，()211e 1e 00mx mxx f x x x x x-=⇔-=⇔=； 问题转化为2e 10mx x -=在()0,+∞有两个解；令()2e 1mx x x ϕ=-,()()2e 2e e 2mx mx mxx mx x x mx ϕ'=+=+．①当0m ≥时,()()e20mxx x mx ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在()0,+∞上单调递增．由零点存在性定理，()y x ϕ=在()0,+∞至多一个零点，与题设发生矛盾． ②当0m <时，令()e20mxx mx +=，则2x m=-．因为()01ϕ=-，当（或），∴要使()2e 1mx x x ϕ=-在()0,+∞内有两个零点，则20m ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可，得224e m <，又因为0m <，所以20e m -<<；综上，实数m 的取值范围为2,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭．（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24C xy -+=；直线::0l x y -+；（4分）（2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)， 设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ， 则P l d →(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l （10分）23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min111222mf x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞.（10分）。
2020届安徽省六安市一中2017级高三下学期模拟考试理科综合物理试卷及解析
2020届安徽省六安市一中2017级高三下学期模拟考试理科综合物理试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题（本大题共 24 小题,每小题 3 分,共 72 分）1.光滑平面上一运动质点以速度v 通过原点O ,v 与x 轴正方向成α角(如图),与此同时对质点加上沿x 轴正方向的恒力F x 和沿y 轴正方向的恒力F y ,则( )A. 因为有F x ,质点一定做曲线运动B. 如果F y >F x ,质点向y 轴一侧做曲线运动C. 质点不可能做直线运动D. 如果F x >F y cot α,质点向x 轴一侧做曲线运动【答案】D【详解】若F x =F y cotα,则合力方向与速度方向在同一条直线上,物体做直线运动；选项AC 错误；若F x ＞F y cotα,则合力方向与速度方向不在同一条直线上,合力偏向于速度方向下侧,则质点向x 轴一侧做曲线运动,选项B 错误；若F x >F y cotα,则合力方向与速度方向不在同一条直线上,合力偏向于速度方向下侧,质点向x 轴一侧做曲线运动．故D 正确,ABC 错误．故选D ．2.牛顿在思考万有引力定律时就曾想,把物体从高山上水平抛出,速度一次比一次大, 落点一次比一次远．如果速度足够大,物体就不再落回地面,它将绕地球运动,成为人造地球卫星．如图所示是牛顿设想的一颗卫星,它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是A. 地球的球心与椭圆的中心重合B. 卫星在近地点的速率小于在远地点的速率C. 卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度D. 卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积【答案】C【解析】根据开普勒定律可知,地球的球心应与椭圆的一个焦点重合,故A 错误；卫星在近地点时的速率要大于在远地点的速率,故B 错误；根据万有引力定律2Mm G ma r =,得2M a G r=,故卫星在远地点的加速度一定小于在近地点的加速度,故C 正确；根据开普勒第二定律可知,卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积,而与椭圆中心的连线不能保证面积相同,故D 错误；故选C ．3.质量不同的两个小球A 、B 从同一位置水平抛出,运动过程中两小球受到的水平风力恒定且相等,运动轨迹如图所示,则A. B 的初速度一定大B. B 的加速度一定大C. A 的质量一定小D. A 水平方向的平均速度一定小【答案】D【解析】 分析小球在水平方向和竖直方向的运动,根据匀变速直线运动规律分析处理．【详解】小球在竖直方向只受重力,所以竖直方向做自由落体运动,由于高度相同,由公式2h t g=,两小球运动时间相同, 由图可知,A 小球水平位移小于B 小球水平位移,水平方向上两小球做匀减速直线运动, 所以A 水平方向的平均速度一定比B 的小由于无法知道两小球落地时的速度大小,所以无法判断两球的初速度大小,从而无法判断两球的质量大小和加速度大小关系．故选D ．。
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（五）数学（理）试题
2020届模拟05 理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>，则UA B = （ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．若复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数所对应的点位于 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 （ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<，则双曲线的离心率的范围为 （ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．已知桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，若小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，则第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为 （ ） A ．15B ．25C ．325D ．4256．已知向量21(),(2cos ,sin )(0)2x x x ωωωω==+>a b ，函数()f x =⋅a b 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，则()2f π= （ ） A ．2B ．74 C ．54D ．17．如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的i = （ ）A ．10B ．11C ．12D ．138．设M 是ABCD 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-= （ ）A ．6B ．16C ．24D ．489．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥，则22(1)(1)z x y =-++的取值范围为（ ） A ．[2,13]B ．[4,13]C ．[4,13]D ．[2,13]10．已知数列{}n a 满足113,1n n a a a +==,012123164nnn n n n a C a C a C a C +++++=，则21(1)(2)n x x x--展开式中的常数项为 （ ）A ．160-B ．80-C ．80D ．16011．如图，已知六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，则该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为 （ ）A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π12．已知函数1,0 ()ln,0xxf xxxx⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx=-在R上有3个零点，则实数k的取值范围为（）A．1(0,)eB．1(0,)2eC．1(,)2e-∞D．11(,)2e e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知抛物线2:8C y x=，Q是C上的一点，若焦点F关于Q的对称点P落在y轴上，则FP=.14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3hV a b ab=++其中a为上底边长，b为下底边长，h为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n层，最下层(即下底)由b b⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b aS a b ab-=+++根据以上材料，我们可得22212n+++=.15．某一几何体三视图如图所示，已知几何体的体积为3，则俯视图的面积为.16．在ABC△中，,E F分别是,AC AB的中点，且4,6AB AC==，若ABC△的面积不小于63BECF的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a的前n项和记为n T,121(1)n na T n+=+≥，11a=；等差数列{}n b中，且{}n b的前n项和为n S，1333,27b a S=+=.（1）求{}n a与{}n b的通项公式；（2）设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.18．（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术大师梅兰芳先生，某电视台《我爱京剧》的一期比赛中，2位“梅派”传人和4位京剧票友（资深业余爱好者）在幕后登台演唱同一曲目《贵妃醉酒》选段，假设6位演员的演唱水平相当，由现场40位大众评委和“梅派”传人的朋友猜测哪两位是真正的“梅派”传人.（1）此栏目编导对本期的40位大众评委的年龄和对京剧知识的了解进行调查，根据调查得到的数据如下：试问：关系？（2）若在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派”传人”或猜出5人后就终止，记本轮竞猜一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++19．（12分）在如图（1）梯形ABCD 中，9,:1:2AB AD DC EB ===，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图（2），使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =. （1）证明：//CF 平面BDM ；（2）求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M 为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线2a x c=与x 轴的交点为S ,过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长,交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.21．（12分）已知函数()m x f x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.（1）若函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，若2M N >，求实数t 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos2sin x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P 的极坐标)2π.（1）求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；（2）若直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()||||f x x a x b c =++-+（1）若1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集； （2）当0,0,0.a b c >>>时，若()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值.2020届模拟05理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】因为{}1UB x x =≤，所以{|01}UAB x x =<≤．2．【答案】C 【解析】由i 1i z z =-得i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--，所以1i22z =--，所以z 对应的点在第三象限.3．【答案】A 【解析】因为幂函数1()n f x mx +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以1,2m n ==， 即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<，又()f x 为增函数，所以b a c <<. 4．【答案】A 【解析】根据题意，120CA CA ⋅<，所以12ACA ∠为钝角，所以ab >，所以22222,2,1c a c e a>∴<∴<<5．【答案】C 【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140C C C C C C C C C C P A P AB C C C +====， 所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===.6．【答案】D 【解析】21()(2cos )sin 2f x x x x ωωω=⋅=+a b 211cos 22x x ωω=+1cos2124x x ωω+=+511(cos22)422x x ωω=+15sin(2)264x πω=++，由题意：T π=,22ππω∴=,1ω∴=，即15()sin(2)264f x x π=++， 所以15()1244f π=-+=.7．【答案】C 【解析】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<;2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<； 3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<;4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<；10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=； 11i =，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<；12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=；所以输出的12.i =8．【答案】B 【解析】因为AP BD ⊥，AM 在向量AP 的射影为AP ， 所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=. 9．【答案】A 【解析】由约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥作出可行域如图，令22(1)(1)t x y =-++，则表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的距离，由图可得，max t DC =,联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC ==过(1,1)D -作DH BD ⊥于H ，则min 22t DH ===，故[2,13]z ∈. 10．【答案】D 【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13n n a -=，所以01200112212313333(13)464,3n n nn n n n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C n +++++=++++=+==∴=，所以61(1)(2)x x x --，其中61(2)x x -展开式的第r +1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C xx---+=-=-⋅⋅⋅,令621r -=-，得72r =（舍去），令3r =可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=．11．【答案】B 【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为22221333212[()(3)()(3)]3224πππππ⨯⨯++⨯=，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332()()132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π. 12．【答案】B 【解析】当0x >时，ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，又(0,)x e ∈时，()0f x '＞，∴()f x 在(0,)e 上单调递增，(,)x e ∈+∞时，()0f x '＜，∴()f x 在(,)e +∞上单调递减，(0,1),()0x f x '∈＞()(1)0f x f ＜＜.(1,),'()0,()(1)0x e f x f x f ∈>>=;(,),'()0,()0x e f x f x ∈+∞<>，所以()f x 的值域为1(,)e -∞，设y kx =与ln xy x=相切时的切点为00(,)x y ，所以切线方程为0002200ln 1ln ()x x y x x x x --=-，代入(0,0)，得0x e =， 故切线的斜率为12e，所以()f x 与y kx =的图象如下：根据题意，120k e k ⎧<⎪⎨⎪>⎩，故102k e <<，所以实数k 的取值范围为1(0,)2e .13．【答案】6【解析】根据题意，Q 为FP 的中点，所以Q 的横坐标为1x =，所以2(12)6FP =+=. 14．【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】观察规律令1,a b n ==，可得222112(1)(21)6n n n n +++=++.15．【答案】3【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为h ，几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=，即点E 到平面ABCD 的距离为3，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为3，16．【答案】91【解析】根据题意，画出图形，如图所示：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，则3,2AE AF ==， 所以在ABE △中，由余弦定理得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-,2222624cos 4024cos CF A A =+-=-， 所以2524cos 1514024cos 4024cos BEA CFA A----又若ABC △的面积不少于6， 所以1311sin 12sin 3,sin cos [,]222ABC S AB AC A A A A =⋅=∴∈-△≥ 当cos A 取最大时，BE CF 9117．【解析】（1）111121(1)21(2),2(2),3(2)n n n n n n n n n a T n a T n a a a n a a n +-++=+∴=+∴-=∴=≥≥≥≥， 又11a =，2213,3a a a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=（3分） 设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=3n b n ∴=.（6分）（2）由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++（9分）所以前n 项和11111(1)()()22311n n A n n n =-+-++-=++.（12分） 18．【解析】（1）因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯，（3分） 所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的了解有关系.（5分）（2）由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.（6分）22261(2) 15A P X A ===,112242362(3) 15C C A P X A ===， 12342434464(4) 15C C A A P X A +===,1248(5)115151515P X ==---=，（10分） ∴随机变量X 的分布列为：X 2 3 4 5 P115215415815（11分） ∴随机变量X 的期望为：12486423451515151515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，则:2:1EN CN =2,:2:1EM MF EM MF =∴=，∴//MN CF ，（2分） 又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .（4分）（2）证明：由EA EB EF +=，得四边形AFBE 为平行四边形，所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥，（6分） 又,,DE EB DE EA EBEA E ⊥⊥=，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥，又EA ED E =，EF ∴⊥平面ADE ADE.（8分）以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M -， 所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM =-=-，（9分） 设平面BMD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以(,,)(3,33,1)03330,(,,)(3,3,0)0330BD x y z x y z BM x y z x y ⎧⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅-==⎪⎪⎩⎩n n令y=n ，（10分）又平面AED 得一个法向量为(0,1,0)=m ，（10分）所以cos ,⋅<>==⋅n m n m n m 又平面BMD 与平面AED 所成的二面角显然为锐角， 所以平面BMD 与平面AED.（12分） 20．【解析】（1）根据题意122212()4,22MF MF MF MF a a +⋅==∴=≤，（1分）又设00(,)M x y ，所以000022222002222200(1)x b y y y b a x a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234b a -=-，（3分） 故23b =，从而椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（4分） （2）根据题意，(4,0)S ，所以设直线l 的方程4x ky =+， 联立224143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得22(34)24360k y ky +++=，222(24)436(34)144(4)0k k k ∆=-⨯+=->，即24k >. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则00'(,)P x y . 由根与系数的关系得，1212222436,3434k y y y y k k +=-=++.（7分） 设直线2QF 的方程为2211x x y y -=+， 所以222222111434x x y y x y x ky -⎧=+⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90ky ky y y y y ++++-=， 220022222222222999,27(34)1827(3)(34)1834y y y y k y ky ky k y k y y ---=∴==++++++++12221199273621(34)181827()3y k y k k k y y y --===-+++++--.（10分）所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -，所以22'P F PF =.（12分） 21．【解析】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=，又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=.（2分）（1）由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，若函数()f x 存在单调减区间， 则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a （5分） （2）因为2(1)1()xx t x G x e +-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---= ①当1t ≥时，()0h x '≤，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <， 所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32et >-；（7分） ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增， 所以2(0)(1)G G <，即32te-<，得32t e <-，（8分） ③当01t <<时，在[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减， 在(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增， 所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t te e+-⋅<*.（10分） 令1()t t p t e +=,(0,1)t ∈，则()0t t p t e -'=<，所以1()tt p t e +=在(0,1)t ∈上单调递减，故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式（*）无解， 综上所述，(,32)(3,)2et e ∈-∞--+∞.（12分）22．【解析】（1）直线'l 的普通方程为0x y -=，直线'l 的极坐标方程4πρ=，（3分）曲线C 的普通方程22((4x y+-=，所以2cos sin 60ρθθ--+=.（5分） （2）由（1）得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-8分） 点P 到直线'l 的距离d 为34π=，所以132PAB S =⨯=.（10分） 23．【解析】 （1）根据题意，22,2()|1||2|36,1242,1x x f x x x x x x +⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪--⎩≥≤，（3分）解210228x x ⎧⎨>+>⎩≥，或110428x x -⎧⎨>->⎩≤，得34x <<或32x -<<-， 所以解集为(3,2)(3,4)--.（5分）（2）因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，（8分） 又0,0a b >>，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a ac c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=+++++++++=≥.（10分）。
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(四)数学(理)试题
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（四）理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U 是不大于5的自然数集，2{|340}A x x x =∈--N ≤，3{|1log 2}B x U x =∈<≤，则()U A B =I ð（ ） A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}4D ．{}52．在复平面内，复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(1,2),(1,1)-，则复数12z z的共轭复数的虚部为 （ ） A ．32 B ．32-C ．12 D ．12-3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 （ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．执行如图所示程序框图输出的S 值为 （ ）A ．2021B ．1921C ．215231D ．3575065．已知函数()f x 的定义域为D ，满足：①对任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=，②对任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数()f x 叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是 （ ） A ．()tan f x x =B ．()sin f x x x =+C．2 ()ln2x f xx-=+D．()x xf x e e-=-6．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表:ix0.04 1 4.84 10.24iy 1.1 2.1 2.3 3.3 4.2若依据表中数据画出散点图，则样本点(,)(1,2,3,4,5)i ix y i=都在曲线1y x=+附近波动.但由于某种原因表中一个x值被污损，将方程1y x=+作为回归方程，则根据回归方程1y x=+和表中数据可求得被污损数据为（）A． 4.32-B．1.69 C．1.96 D．4.327．已知变量,x y满足约束条件2240240x yx yx y+⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，若222x y x k++≥恒成立，则实数k的最大值为（）A．40 B．9 C．8 D．728．已知12,F F是双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的左、右焦点，P是双曲线E右支上一点，M是线段1F P 的中点，O是坐标原点，若1OF M△周长为3c a+（c为双曲线的半焦距），13F MOπ∠=，则双曲线E的渐近线方程为（）A．2y x=±B．12y x=±C．2y x=±D．2y x=±9．某简单组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．164π+B．484π+C．4812π+D．4816π+10．在四棱锥A BCDE-中，ABC△是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为（）A．2121πB．84πC．721πD．2821π11．在DEF△中，曲线P上动点Q满足3(1)34DQ DF DEλλ=+-u u u r u u u r u u u r，4DE=,9cos16D=，若曲线P与直线,DE DF围成封闭区域的面积为157，则sin E=（ ） A ．37B ．18C ．7 D ．3412．若()ln (1)ln f x ax x e a x x =+--（1x >）恰有1个零点，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．[0,+)∞B ．1{0}[,)4+∞U C (,)e +∞D ．(0,1)(1,)+∞U第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知2(2)n x y -+展开式的各项系数和为128，则展开式中含43x y 项的系数为 .14．在梯形ABCD 中，//AD BC ,0AB BC ⋅=u u u r u u u r ,||2AB =u u u r ,||4BC =u u u r ，AC BD E =I ,AC BD ⊥u u u r u u u r，则向量AE CD ⋅u u u r u u u r= .15．已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,||)2A πωφ>><图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为5(,2),(,0)612ππ，则()()cos2g x f x x =在区间[0,)4π的值域为 .16．已知直线l 与抛物线2:4G y x =自下到上交于,A B ，C 是抛物线G 准线与直线l 的交点，F 是抛物线G的焦点，若2AC AF =-u u u r u u u r，则以AB 为直径的圆的方程为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n+==+++.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（12分）中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取n名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示，已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3.（1）求n的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；（2）已知抽取的n名参赛人员中，成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人，现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为X，求X的分布列与数学期望.19．（12分）在多面体ABCDE 中，ABCD 为菱形，3DCB π∠=，BCE △为正三角形.（1）求证：DE BC ⊥；（2）若平面ABCD ⊥平面BCE ，求直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值.20．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，满足122F M MF =-u u u u r u u u u r，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若与圆221x y +=相切的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r （其中O 为坐标原点)的取值范围.21．（12分）已知()sin x f x e ax x =-+.（1）若函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与圆221x y +=相切，求实数a 的值.（2）已知()ln(1)1g x x =++，当0x ≥时()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2247cos2ρθ=-，直线l 过点(1,0)，倾斜角为34π. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的参数方程的标准形式； （2）已知直线l 交曲线C 于,A B 两点，求||AB .23．（10分）选修4—5不等式选讲（1）已知函数()|21||2|f x x x =++-，当23x -≤≤时，()f x m ≤恒成立，求实数m 的最小值. （2）已知正实数,a b 满足，a b ab +=，求22a b +的最小值.2020届模拟04理科数学1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】A 【答案】B 13．【答案】840- 14．【答案】165- 15．【答案】16．【答案】22564()(39x y -+=17．【解析】（1）由题知1n a +=1n n S S +-=3(1)(2)n a n n ++，即1321n n a an n+=⨯++， 即113(1)1n n a an n++=++，（2分） Q 111,130a a =∴+=≠，10na n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，（4分）∴13n na n+=，∴3n n a n n =⨯-；（6分） （2）由（1）知，3nn a n n =⨯-，∴221312323333n n T n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-L221323333123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-----L L ，（7分）设221323333nn M n =⨯+⨯+⨯++⨯L ， ①∴23131323(1)33n n n M n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②①-②得，123113(13)(12)3323333331322n n n n n n n M n n +++---=++++-⨯=-⨯=--L ， ∴1(21)3344n n n M +-=+，Q (1)1232n n n +-----=-L ，（11分）∴1(21)3(1)3424n n n n n T +-+=-+.（12分） 18．【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)频率为1(0.04000.03000.01250.0100)100.075-+++⨯=，Q 成绩在[50,60)内频数为3，∴抽取的样本容量3400.075n ==，（2分） ∴参赛人员平均成绩为550.075650.3750.4850.125950.173.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（4分）（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5， 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4，∴X 的可能取值为0,1,2,3,4，（5分）∴223222541(0)20C C P X C C ===；11221123232222543(1)10C C C C C C P X C C +===， 221111222223223222547(2)15C C C C C C C C P X C C ++===，21111222232222541(3)6C C C C C C P X C C +===， 222222541(4)60C C P X C C ===.（10分） ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P12031071516160∴137119()012342010156605E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）取BC 的中点为O ，连接,,EO DO BD ，Q BCE △为正三角形,∴EO BC ⊥， Q ABCD 为菱形，3DCB π∠=,∴BCD △为正三角形，∴DO BC ⊥，Q DO EO O =I ,∴BC ⊥平面DOE ,∴BC DE ⊥.（5分）（2）由（1）知，DO BC ⊥，Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，∴DO ⊥平面BCE ，（6分） 以O 为原点，,,OE OC OD 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2BC =， 直线AE 与平面CDE 所成的角θ，则(0,1,0),(0,0,3),(3,0,0),(0,2,3)C D E A -，则(3,2,3),(3,1,0),(0,1,3)EA EC CD =--=-=-u u u r u u u r u u u u u r，（7分）设平面CDE 的法向量为(,,)x y z =n ，则3030EC x y CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1x =， 则3y =,1z =,∴(1,3,1)n =，（9分）∴||3233|6sin |||105EA EA θ⋅--+===⋅⨯u u u ru u u r n |n |,∴直线AE 与平面CDE 所成的角的正弦值为6.（12分） 20．【解析】（1）连接2PF ,Q 122F M MF =-u u u u r u u u u r ,∴122F F F M =u u u u r u u u u u r，∴2F 是线段1F M 的中点，Q P 是线段1F N 的中点，∴21//2PF MN =， 由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，∴1F MN △周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=， 由离心率为12知，12c a =，解得2,1a c ==，∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分） （2）当直线l 的斜率不存在时，直线1x =±，代入椭圆方程22143x y +=解得32y =±，此时95144OA OB ⋅=-=-u u u r u u u r ，（5分） 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由直线l 与圆221x y +=1=，221m k ∴=+，（6分）将直线l 方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得，222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，222222(8)4(34)(412)48(43)4832)0km k m k m k ∆=-+-=-+=+（＞，（8分） 1212()()y y kx m kx m =++=2222222221212222(412)8312()343434k m k m m k k x x km x x m m k k k --+++=-+=+++，2221212224123123434m m k OA OB x x y y k k --⋅=+=+++u u u r u u u r 222222712125555344341612m k k k k k --+==-=--+++， Q 2161212k +≥，∴2110161212k <+≤，∴2550121612k --<+≤， ∴5534OA OB -⋅-u u u r u u u r ≤＜，（11分）综上所述，OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围为55[,]34--.（12分）21．【解析】（1）由题知，()cos x f x e a x '=-+，(0)1f =，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线斜率为(0)2f a '=-，∴()f x 在点(0,(0))f 的切线方程为(2)1y a x =-+，即(2)10a x y --+=，（2分）1=，解得2a =.（4分）（2）设()()()sin ln(1)1x h x f x g x e ax x x =-=-+-+-∴1()cos 1xh x e a x x '=-+-+，（5分） 设1()cos 1xm x e a x x =-+-+，∴21()sin (1)xm x e x x '=-++，Q 当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤，210(1)x >+，∴()0m x '＞，∴()m x 即()h x '在[0,)+∞上是增函数，(0)1h a '=-，（7分）当1a ≤时，10a -≥，则当0x ≥时，()(0)10h x h a ''=-≥≥，∴函数()h x 在[0,)+∞上是增函数，∴当0x ≥时，()(0)0h x h =≥，满足题意，（9分）当1a >时，(0)10h a '=-＜，Q ()h x '在[0,)+∞上是增函数，x 趋近于正无穷大时，()h x '趋近于正无穷大， ∴存在0(0,)x ∈+∞上，使0()0h x '=，当00x x <<时，0()()0h x h x ''=＜，∴函数()h x 在0(0,)x 是减函数，∴当00x x <<时，()(0)0h x h =＜，不满足题意，（11分）综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-∞.（12分） 22．【解析】（1）由2247cos 2ρθ=-得，222227cos sin 240ρρθρθ-+-=，将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式整理得22143x y +=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=，（3分） 由题知直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）.（5分）（2）设直线l 与曲线C 交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 是参数）代入曲线C 方程22143x y +=整理得，27180t --=，∴1212187t t t t +=-，（8分）∴1224||||7AB t t =-.（10分）23．【解析】（1）Q 113,21()3,2231,2x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥，（2分）∴()f x 在区间1[2,]2--上是减函数，在区间1[,3]2-是增函数，Q (2)7,(3)8f f -==，∴()f x 在区间[2,3]-上的最大值为8， ∴8m ≥，∴实数m 的最小值为8.（5分）（2）Q a b ab +=，0,0a b >>，∴111a b+=，∴22222222211()()22()28b a b a a b a b a b a b a b +=++=+++++≥，当且仅当2222a b b a=且b a a b =，即a b =时，22a b +取最小值8.∴22a b +的最小值为8.（10分）。
2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(六)数学(理)试题(解析版)
2020届模拟06理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{3x A x =>,{}2N 12110B x x x =∈-+<，则A B =I （）A. {}2,3,4B. {}2,3,4,5C. {}5,6,7,8,9,10D. {}6,7,8,9,10【答案】C【解析】【分析】对集合A 和B 进行化简，然后根据集合交集运算，得到答案.【详解】集合{3x A x =>3x >9233x >， 解得92x >， 所以集合92A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭. 集合{}2N 12110B x x x =∈-+<，212110x x -+<，()()1110x x --<， 的解得111x <<，所以集合{}2,3,4,5,6,7,8,9,10B =，所以A B =I {}5,6,7,8,9,10.故选：C.【点睛】本题考查解指数不等式，解一元二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为（） A. 131i 55-+ B. 131i 55-- C. 131i 55+ D. 131i 55-【答案】A【解析】【分析】根据()()i 2i 35i a b ++=-得到,a b 的值，从而得到复数z ，在得到复数z 的共轭复数.【详解】因为()()i 2i 35i a b ++=-，所以()()2235a b a b i i -++=-，所以2325a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得15135a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以13155z b ai i =-=--所以复数z 的共轭复数为131i 55-+.故选：A.【点睛】本题考查根据复数相等求参数的值，求共轭复数，属于简单题.3.已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ） A. 真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -> B. 真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥ C. 假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -> D. 假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥ 【答案】B【解析】【分析】 根据命题，当6x π=时，判断出命题p 为真命题，根据含有一个量词的命题的否定，写出命题p 的否定. 【详解】命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -<， 当0,62x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时，32923sin 066326ππππ-⨯-=-=<， 所以命题p 为真命题；命题p 的否定为：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥. 故选：B.【点睛】本题考查判断命题的真假，含有一个量词的命题的否定，属于简单题.4.已知向量()2,a m =-r ，()1,b n =r ，若()a b b -r r r ∥，且b =r m 的值为（ ）A. 2B. 4C. 2-或2D. 4-或4【答案】C【解析】【分析】根据已知得到a b -r r 的坐标，然后根据()a b b -r r r ∥，b =r m ，n 的方程组，从而得到答案.【详解】向量()2,a m =-r ，()1,b n =r ，所以()3,a b m n -=--r r ，因为()a b b -r r r ∥，b =r所以()2312n m n n ⎧-=-⎨+=⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=-⎩ 所以m 的值为2-或2.故选：C.【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题.5.运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填（ ）A. 30S <B. 62S <C. 62S ≤D. 128S <【解析】【分析】根据框图得到S 和k 的变化规律，根据输出的k 的值为6，得到6k =时S 的值，从而得到判断语句，得到答案.【详解】根据框图可知，0,1S k ==，12S =，2k =，1222,3S k =+=，123222,4S k =++=12342222,5S k =+++=1234522222,6S k =++++=要使k 的输出值为6，此时()52126212S -==-， 所以判断框内的语句可以为62S <.故选：B.【点睛】本题考查框图中根据输出值填写判断语句，属于简单题.6.()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒（ ）A. 12+B. 12 C. 12- D. 12--【答案】A【解析】根据诱导公式，两角和的正切公式的逆用，对条件中的式子进行化简，结合特殊角的三角函数值，得到答案.【详解】()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒++︒()tan 75tan 45cos 18060sin 30sin 60sin1201tan 75tan 45︒-︒=︒+︒︒+︒︒++︒︒cos60sin30sin60sin120tan30=-︒︒+︒︒+︒1122=-⨯++12=. 故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，属于简单题.7.已知函数()321ln 333x f x x x x x-=++++，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于1x =-对称B. 函数()f x 的图象关于1y =-对称C. 函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，根据定义域得到对称中心的横坐标或者对称轴，然后进行判断，得到答案.【详解】函数()321ln 333x f x x x x x-=++++， 所以103x x->+，解得31x -<< 即函数()f x 的定义域为()3,1-，若函数()f x 的对称中心横坐标为1-，或者对称轴为1x =-，则()()()()3232ln 232321x f x x x x x+--=+--+--+--- 323ln 3321x x x x x+=----- 此时得到()()2f x f x ≠--所以()f x 不是关于1x =-对称，()()2f x f x +--323213ln 33ln 33231x x x x x x x x x x-+=++++----+- 2=-.所以函数()f x 关于()1,1--成中心对称.故选：D.【点睛】本题考查判断函数的对称性，求函数的对称中心，属于中档题.8.将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ） A. ()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z B. ()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C. ()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z D. ()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z【答案】C【解析】【分析】根据平移，得到平移后的解析式()g x ，然后由对称轴为2x π=，得到ω的表达式，从而得到ω的最小值，确定出()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递增区间.【详解】函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位， 得到()sin 43g x x ππω⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 图象关于2x π=对称， 所以2432k ππππωπ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ， 整理得1043k ω=+，k ∈Z ， 因为0>ω，所以当0k =时，ω的最小值为103， 所以()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 10222332k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ， 解得3320545k x k ππππ-≤≤++，k ∈Z ， 所以()f x 的单调增区间为()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z . 故选：C.【点睛】本题考查函数平移后的解析式，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，求正弦型函数的单调区间，属于简单题.9.已知实数,x y 满足343125510x y x y x +⎧≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪-≥⎪⎪⎩，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，然后得到过点A 时，z 取最小值，根据0z ≥恒成立，得到关于m 的不等式，从而得到m 的范围，确定出答案. 【详解】实数,x y 满足343125510x y x y x +⎧≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪-≥⎪⎪⎩，根据约束条件，画出可行域，如图所示，将目标函数3z mx y =--化为斜截式3y mx z =--，根据选项可知m 的值为正，即直线斜率大于0所以当直线3y mx z =--过A 点时，在y 轴上的截距3z --最大，即z 最小，解13525x x y =⎧⎨+=⎩得1225x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即221,5A ⎛⎫⎪⎝⎭ 此时min 2235z m =--因为0z ≥恒成立，所以22305m --≥ 解得375m ≥，所以m 不可取值为7. 故选：A.【点睛】本题考查线性规划求最小值，考查了数形结合的思想，属于中档题. 10.已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（）A. 1B.D. 2的【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，得到将几何体放入到长方体中，根据长方体棱长，求出几何体的各棱的长度，从而得到最短的棱长.-，如图所示，【详解】根据三视图还原出几何体，为三棱锥A BCD根据三视图中的数据，可将几何体放入长为1，宽为2，高为2的长方体中，则B，C为长方体侧棱的中点，-中，所以由图可知三棱锥A BCD最短棱为AB CD===.故选：B. 的【点睛】本题考查三视图还原几何体，根据三视图求几何体的最短棱长，属于中档题.11.已知椭圆222:19x y C b +=的离心率为3，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r的取值范围为（ ） A. 125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. 15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. []25,1--D. []5,1--【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率，求出b 的值，得到椭圆的标准方程，然后根据()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，结合PM PN ⊥，得到PM MN ⋅uuu r uuu r的坐标表示，得到关于x 的函数，结合x 的范围，得到答案.【详解】椭圆222:19x y C b+=的3a =，其离心率为3，所以3c a =，所以c =所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为22+19x y =，设(),P x y ，[]3,3x ∈-，则()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2PM PN PM =⋅-u u u u r u u u r u u u u r因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，所以()2222PM MN PM x y ⎡⎤⋅=-=--+⎣⎦uuu r uuu r uuu r ()22219x x ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦2891942x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以PM MN ⋅uuu r uuu r 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为94x =，所以当94x =时，取得最大值为12- 当3x =-时，取得最小值为25-，所以125,2PM MN ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦uuu r uuu r .故选：A.【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题.12.已知函数()212ln xf x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. (],3-∞B. (],4-∞C. (],5-∞D. (],6-∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，将不等式()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-两边同时乘以12x x -，变形为()()12221211f x f x mx x ->-，不妨设12x x >，则()()122212f x f x x x m m -<-，构造新函数()()21,0,m g x f x x x e ⎛⎫⎛⎤=-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则需()10,0,g x x e ⎛⎫⎛⎤'≤∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立，即()min 22ln m x ?，求解即可.【详解】Q ()212ln xf x x -=∴()()()()()()2223212ln 12ln 4ln 1x x x x x f x xx ''----'==Q 函数()f x 的定义域为10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦∴()0f x '<，即函数()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.Q 121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1222120x x x x +∴> ∴()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-变形为()()()()1212122212x x f x f x mx x x x+->-即()()12221211f x f x mx x ->- 不妨设12x x >，则()()12f x f x <，221211x x < 即()()122212f x f x x x m m-<- 令2212ln 1()(),0,m m x g x f x x x x e ⎛⎫--⎛⎤=-=∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 则()()()()()2223212ln 1ln 424ln m x x x m x m xg x x x ''------++'==若使得对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立. 则需()10,0,g x x e ⎛⎫⎛⎤'≤∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立. 则1424ln 0,0,m x x e⎛⎫⎛⎤-++≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.即122ln ,0,m x x e⎛⎫⎛⎤≤-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立. 所以()min 122ln 22ln4m x e≤-=-=. 即实数m 的取值范围是(],4-∞. 故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13.杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为_____________. 【答案】253 【解析】 【分析】根据23n =，共有24个数，则所求为这一行的倒数第3个数，找到每一行倒数第3个数的规律，从而得到所求.【详解】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数， 观察可知，每一行倒数第3个数（从第3行，2n =开始） 为1，3，6，10，15，⋅⋅⋅，即为122⨯，232´，342⨯，452⨯，562⨯，⋅⋅⋅，()12n n -， 所以当23n =时，左往右第22个数为22232532⨯=. 故答案为：253.【点睛】本题考查数字中的归纳推理，属于中档题.14.多项式822x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 项的系数为______. 【答案】420 【解析】 【分析】先确定多项式882222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦的通项()82182rrr r T C x -+⎛=- ⎝，再求二项式82rx -⎛ ⎝的通项51622182k r kkk rTCx---+-=，然后根据516272r k --=，求解，即可. 【详解】多项式882222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦的通项为()82182rrr r T C x -+⎛=- ⎝由题意可知，r N ∈且8r ≤若求7x项的系数，则需求二项式82rx -⎛⎝中含7x 项二项式82rx -⎛+ ⎝的通项为：()516221628222188822kk kr k r r kkk k k k k rr r T Cx C xC x ---------+---=== 由题意可知，k ∈N 且8k r ≤- 令516272r k --=即5292r k += 若使得r N ∈且8r ≤，k ∈N 且8k r ≤-成立 则2k r ==则所求系数为()22228622420C C --=.故答案为：420【点睛】本题考查二项式定理，属于中档题.15.已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且//AB CD ，12AB CD =，PA PB AD ==，PA AD CD +==PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为_____________.【答案】52π 【解析】 【分析】根据已知条件，求出四棱锥P ABCD -中各棱的长度，四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在平面ABCD 的射影为CD 中点G ，PF AB ⊥得到F 为AB 中点，作OE PF ⊥，得到OG EF d ==，3OE FG ==，利用勾股定理得到关于d 的方程，解得d 的值，再求出半径R 的值，从而求出外接球的表面积.【详解】因为四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =,PA PB AD ==,PA AD CD +==PA PB AB AD BC =====3ADCπ∠=；取CD 的中点G ，则G 是等腰梯形ABCD 外接圆圆心； 设四棱锥P ABCD -外接球的球心为O ，所以O 在平面ABCD 的射影为G ，作PF AB ⊥于F ，则F 为AB 中点，3PF =因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB = 所以PF ⊥平面ABCD ，而FG ⊂平面ABCD ，所以PF FG ⊥ 由PF OG P ，可得在平面PAGF 中，作OE PF ⊥， 则OG EF d ==，3OE FG ==由22OP OC =，可得2222OE PE OG GC +=+，即()(22293d d +-=+，解得1d =，所以R ==，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为2452ππ⨯=.、故答案为：52π.【点睛】本题考查求四棱锥外接球的表面积，确定球心的位置，属于中档题.16.如图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥，4MPN π⎛⎫∠+ ⎪⎝⎭22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为_____________.【答案】54【解析】 【分析】设MQN θ∠=，在NPQ ∆中，利用余弦定理，表示出2NP 4MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭4MPN π∠=，从而把MNP ∆的面积用NP 表示，然后得到四边形MNQP 面积关于θ的函数，从而得到其最大值.【详解】设MQN θ∠=，在NPQ ∆中，由余弦定理得2222cos NP NQ PQ NQ PQ θ=+-⋅⋅54cos θ=-，4MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭sin 14MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，所以4MPN π∠=，因为MN MP ⊥，所以MNP ∆为等腰直角三角形， 所以215cos 44MNP S NP θ∆==- 121sin sin 2NPQ S θθ∆=⨯⨯⨯=所以5cos sin 4MNQP MNP NPQ S S S θθ∆∆=+=-+544πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以当34θπ=时，MNQP S面积最大，最大值为54+故答案为：54+【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，辅助角公式，正弦型函数的最值，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围. 【答案】（1）13-=n n a ； （2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】 【分析】（1）根据题意得到13n na a +=，根据22a +是13,a a 的等差中项，得到1a 的值，从而得到{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知1113n n a -=，利用等比数列的求和，得到n T ，由n T M <恒成立，得到M 的取值范围. 【详解】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n naa +=-，所以13n n aa +=； 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+， 所以()1112329a a a +=+， 解得11a =；数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ；（2）由（1）可知1113n n a -=， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，1123111111133n n n T a a a a -=+++⋯+=++⋯+ 1131331123213nn⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-， 因为n T M <恒成立， 所以32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查等差中项的应用，求等比数列的通项，等比数列求和，属于简单题.18.某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望. 【答案】（1）14（2）见解析，2 【解析】 【分析】（1）甲、乙同时参加围棋比赛为相互独立事件，由于甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，则甲参加围棋比赛的概率为12，乙同时参加围棋比赛的概率为13241C C ⨯，利用相互独立事件的概率乘法公式,计算即可.（2）已知甲同学必选“中国象棋”，则甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数ξ的可能取值为1，2，3，则乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为12.分别求解()1P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，即可. 【详解】（1）由题意可知，甲、乙同时参加围棋比赛的概率132411124C p C ⨯=⨯=. （2）由题意可知，选择“中国象棋”比赛的人数ξ的可能取值为1，2，3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为1324112C C ⨯=； ()111111224P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1211121222P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭()1113224P ξ==⨯=ξ的分布列为：故所求期望()1111232424E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的概率分布列及数学期望，属于中档题.19.如图，三棱锥1-E EBC 中，90EBC ∠=o ，,A D 分别为,EB EC 的中点，1224AE EB BC ===，1E A AD ⊥；连接1111,,,EE E BE C E D ，平面1AE D ⊥平面ABCD .（1）证明：1EE BC ⊥；（2）求二面角1C BE D --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）根面面垂直的性质定理可知1E A ⊥底面ABCD ，从而证明1E A BC ⊥，根据题意以及线面垂直的判定定理可知，BC ⊥平面1BEE ，再根据线面垂直的性质定理，证明即可.（2）以1,,AE AD AE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，确定平面1E BC 的法向量1(2,0,2)EE =-u u u v，平面1E BD 的法向量()1,2,1m =-u r，利用111cos ,m EE m EE m EE =⨯u r u u u ru r u u u r g u r u u u r ，求解即可.【详解】（1）Q1E A AD ⊥，平面1AE D ⊥平面ABCD平面1AE D I 平面ABCD AD =，1E A ⊂平面1AE D∴1E A ⊥底面ABCD又Q BC ⊂底面ABCD∴1E A BC ⊥ Q 90EBC ∠=oBC BE ∴⊥Q 1E A BE A =I ，1E A ⊂平面1BEE ，BE ⊂平面1BEE ∴BC ⊥平面1BEE1EE ⊂Q 平面1BEE ∴1EE BC ⊥（2）由（1）可知，1E A ⊥底面ABCD ，1EE BC ⊥Q BE ⊂底面ABCD1E A BE ∴⊥以1,,AE AD AE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知，()2,0,0E ，()2,0,0B -，()2,2,0C -，()0,1,0D ，()10,0,2E ，即()12,0,2EE =-u u u r ，()12,0,2BE =u u u r ，()10,1,2DE =-u u u u r1122220EE BE =-⨯+⨯=u u u r u u u rQ g∴11EE BE ⊥Q 1BE BC B =I ，1BE ⊂平面1E BC ，BC ⊂平面1E BC ∴1EE ⊥平面1E BC ，即平面1E BC 的法向量为1(2,0,2)EE =-u u u v．设平面1E BD 的法向量为(,,)m x y z =u r，1122020m BE x z m DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，即x z =-，2y z = 取1z =，则()1,2,1m =-u r. 则111210212cos ,m EE m EE m EE -⨯-+⨯+⨯====⨯u r u u u ru r u u u r g u r uu u r ∴二面角1C BE D --【点睛】本题考查由线线垂直的证明以及求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10y xC a b a b +=>>的离心率为12，点23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线l 与圆22:20x y y Ω++=相切，且与椭圆C 交于,M N 两点.探究：在椭圆C 上是否存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，若存在，请求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143y x +=（2）存在，()()2,00,2-U 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组22223448193b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 求解即可.（2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r.设直线()():,0,0l y k x t k t =+≠≠，圆心()0,1-到直线l 的距离等于半径11=，整理的221t k t =-，直线l 与椭圆联立得，()222224363120k xk tx k t +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=+，根据OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r ，表示出点()()22268,4343k t kt Q m k m k ⎛⎫ ⎪- ⎪++⎝⎭，代入椭圆得2242242222424()441211143()11t t t t m t t t t t t-===+++++-，求解即可.【详解】（1）依题意，12c e a ===，故2234b a =①.将233P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中，可得2248193a b +=②. 联立①②，解得224,3a b ==故椭圆C 的标准方程为22143y x +=.（2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u ru u u ru u u r. 依题意，设直线()():,0,0l y k x t k t =+≠≠，因为直线()():,0,0l y k x t k t =+≠≠与圆22:20x y y Ω++=相切， 所以圆心()0,1-到直线l 的距离等于半径11=整理得2222=0k t kt k +-.当1t =±时，不合题意，舍去；的当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得221tk t =-，把()():,0,0l y k x t k t =+≠≠代入椭圆C的方程22143y x +=得：()222224363120k x k tx k t +++-=.易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 相交，设()()1122,,,M x y N x y ，则2122643k tx x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=+， ()()()12121228243kty y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=+，()212122268,,4343k t kt OM ON x x y y k k ⎛⎫+=++=- ⎪++⎝⎭u u u u r u u u r . 因为OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，故()()22268,4343k t ktOQ m k m k ⎛⎫ ⎪=-⎪++⎝⎭uuu r ， 即Q 的坐标为()()22268,4343k t ktQ m k m k ⎛⎫ ⎪-⎪++⎝⎭. 又因为Q 在椭圆上，所以()()22222864343143ktk t m k m k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 得2222443k t m k=+. 把221t k t =-代入得224222422422444111121431t t t t m t t t t t t ⎛⎫ ⎪-⎝⎭===++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭； 因为210t >，所以421111t t++>，204m <<， 即20m -<<或02m <<，综上所述实数m 的取值范围为()()2,00,2-U .【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆位置关系问题，属于较难的题.21.已知函数()e mxf x x =.（1）若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2e ，求函数()f x 在[]22-,上的最小值； （2）若关于x 的方程()1f x x =在()0,∞+上有两个解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1e --（2）2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先求()mx mxf x e mxe '=+，导数的几何意义求解1m =，利用导数求函数的最值，即可.（2）由题意可知()211100mx mxx e f x xe x x x-=⇔-=⇔=，若使得关于x 的方程()1f x x =在()0,∞+上有两个解，则需2e10mxx -=在()0,∞+有两个解. 令()2e1mxx x ϕ=-，()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+，利用导数研究函数的极值与最值，令20m ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】（1）由题意可知，()mx mxf x e mxe '=+，则()()112mmmf e me m e e '=+=+=，即1m =，故()()1xxxf x e xe x e '=+=+；令()0f x '=，即1x =-；当1x ≤-时()0f x '≤，()f x 在[]2,1--上单调递减. 当1x >-时()0f x '<，()f x 在(]1,2上单调递增.因为()222f e =，()22222f e e --=-=-，()111f e e--=-=- 所以222122e e e e e-=-<-< 故函数()f x 在[]22-,上的最小值为()11f e --=-. （2）依题意，()211100mx mxx e f x xe x x x-=⇔-=⇔=；若使得关于x 的方程()1f x x=在()0,∞+上有两个解 则需2e 10mx x -=在()0,∞+有两个解. 令()2e 1mx x xϕ=-，()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+．①当0m ≥时，()()e 20mxx x mx ϕ'=+>所以()y x ϕ=在()0,∞+上单调递增．由零点存在性定理，()y x ϕ=在()0,∞+至多一个零点，不符合题意舍去．②当0m <时，令()e 20mxx mx +=，则2x m=-．因为()01ϕ=-，()1e 10mϕ=-<，所以要使()2e 1mx x xϕ=-在()0,∞+内有两个零点，则20mϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可，即224e m <， 又因为0m <，所以20e m -<<综上所述，实数m 的取值范围为2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，以及利用导数研究函数零点问题，属于较难的一道题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）()22:24C x y -+=；:0l x y -+=； （2【解析】【分析】（1）曲线C 的参数方程化简消参后得到普通方程，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，对直线l 的极坐标方程进行化简，得到l 的直角坐标方程； （2）根据变换规则，得到变换后的曲线1C 的方程，写出其参数方程，从而得到曲线1C 上任一点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合正弦型函数的值域，得到最小值.【详解】（1）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数） 所以22cos 2sin x y θθ-=⎧⎨=⎩，两式平方后相加得()2224x y -+=， 即曲线C 的普通方程为：()2224x y -+=.直线l 的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即cos sin 022ρθρθ-+=cos sin 0ρθρθ-+=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y -+=（2）曲线C ：()2224x y -+=向左平移2个单位， 得到224x y +=， 再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12得到2244x y +=， 即曲线221:14y C x +=； 所以曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数)， 设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为：则d ==其中1tan 2ϕ=-)，当()sin 1θϕ+=时，d所以点P 到直线l . 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，曲线方程的平移和伸缩，参数方程的应用，属于中档题.23.已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()3,4； （2）(][),62,-∞-+∞U . 【解析】【分析】（1）根据题意得到223x x ->-，可以先确定3x >，从而去掉绝对值，化一次不等式，得到解集；（2）分2m ≥-和2m <-，得到()112f x x ++的分段形式，从而得到其最小值，然后根据()1122f x x ++≥恒成立，得到关于m 的不等式，解得m 的范围. 【详解】（1）当2m =时，不等式()23f x x >-，即223x x ->-，因为20-≥x ，所以3x >，所以由223x x ->-，得()223x x ->-， 解得4x <，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4； （2）依题意，当2m ≥-，()31,21111,22231,22x m x mf x x x m x m x m x ⎧+-≥⎪⎪⎪++=-++-≤≤⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩， 故()min 11122m f x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，因为不等式()1122f x x ++≥恒成立， 所以122m +≥，解得2m ≥； 当2m <-时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<≤-⎨⎪⎪-+-≤⎪⎩， 故()min 11122m f x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦， 因为不等式()1122f x x ++≥恒成立， 所以122m --≥，解得6m ≤-； 综上所述，实数m 的值为(][),62,-∞-+∞U .【点睛】本题考查含绝对值的不等式，求分段函数的最小值，不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.。
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(九)数学(理)(含答案)
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷（九）数学（理科）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数满足(23i)15i 0z -++=（i 为虚数单位），则2017z = （ ） A ．10082(1i)+B ．10082(1i)-C ．10082(1i)-+D ．10082(1i)--2．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x x =∈-<<Z ，则A B I 的真子集个数为 （ ） A ．3B ．4C ．7D ．83．已知,,0x y z >，则“22222()()()xy yz x y y z +=++”是“z yy x=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．用max{,}a b 表示,a b 中的最大值，若2()max{||,2}f x x x =-，则()f x 的最小值为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，圆A 过正六边形ABCDEF 的两个顶点,B F ，记圆A 与正六边形ABCDEF 的公共部分为Ω，则往正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点不落在Ω内的概率为 （ ）A．4327πB．4354πC．43127π-D．23127π-6．已知正项等比数列{}n a的前n项和为n S，且432110,99SaS==，若()72M a=，()e496,logN a P a==，则,,M N P的大小关系为（）A．M P N>>B．M N P>>C．N M P>>D．N P M>>7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为（）A．16πB．18πC．20πD．24π8．已知单位向量,a b的夹角为34π，若向量2,4λ==-m a n a b，且⊥m n，则=n （）A．2 B．4 C．8 D．169．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值是35，则判断框内应补充的条件为（）A．9i≤B．10i≤C．11i≤D．12i≤10．过椭圆22221(0) x yaba b+=>>一个焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于,A B两点，O是原点，若ABO△是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．32B．1714-C．2625-D．3936-11．已知函数()f x的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A．|cos3|xxB．1cos22xx+C．22225(4)(49)x xxππ--D．|sin2|xx12．若函数2()lnf x x ax=-在区间2[1,]e上不单调，则a的取值范围为（）A．24(0,)eB．24[0,]eC．2(0,)eD．2[0,]e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．已知函数()sin(2)cos(2)44f x x xππ=-+，则函数()f x图象的对称轴为 . 14．22017()(1)a x x+-展开式中2018x的系数为2016，则展开式中常数项为 .（用数字作答）15．已知点(,)x y满足280260370x yx yx y+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥，则11xzy+=-的取值范围为 .16．设nS是数列{}n a的前n项的和，10,1nS S>=，如果2112nS+是(1)n nS S n++与1(1)nn S++的等差中项，则8()nnSna*+∈N的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin (sin sin )6sin A A B B +=.（1）求ab；（2）若3cos 4C =，求sin()A B -.18．（12分）每逢节日，电商之间的价格厮杀已经不是什么新鲜事，今年的6月18日也不例外.某电商在6月18日之后，随机抽取100名顾客进行回访，按顾客的年龄分成6组，得到如下频数分布表：顾客年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 频数4243220164（1（2）用分层抽样的方法从这100名顾客中抽取25人，再从抽取的25人中随机抽取2人，求年龄在[)25,35内的顾客人数X 的分布列、数学期望．19．（12分）如图1，平面五边形ABCFE 是由边长为2的正方形ABCD 与上底为13的直角梯形CDFE 组合而成，将五边形ABCFE 沿着CD 折叠，得到图2所示的空间几何体，其中AF CF ⊥.（1）证明：BD ⊥平面AFC ； （2）求二面角A FB C --的余弦值.图1 图220．（12分）已知抛物线22(0)y px p =>，不与坐标轴垂直的直线:l y kx m =+与抛物线交于,P Q 两点，当2k =且1m =时，||15PQ =（1）求抛物线的标准方程；（2）若l 过定点(,0)s ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线Q P '过定点，并求出定点坐标.21．（12分）已知(1)()ln(1)1ax x f x ax ax+=+-+(0)a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：22221111(1)(1)(1)(1)234e n++++<L (,2)n n *∈N ≥.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).（1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）点P 在曲线C 上，且到直线l 2，求符合条件的P 点的直角坐标.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知定义在R 上的函数2()4||2f x x a x a +=--. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.2020届模拟09理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】注意到15(15i)(23i)(15i)(23i)1i 23(23i)(23i)13i z i +++++=-=-=-=---+，则2017201721008100810081008(1i)[(1i)](1i)2i (1i)2(1i)z =-=--=-=-，故选B.2．【答案】C 【解析】依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =--，故{}1,2,3A B =I ，故A B I 的真子集个数为7，故选C.3．【答案】C 【解析】由22222()()()xy yz x y y z +=++，得22242xy z x z y =+，即22()0xz y -=，2xz y =，从而z yy x=，以上推导过程均是可逆的，故选C.4．【答案】B 【解析】可知当1x <-时，2||2x x >-，此时()f x x =-.当11x -≤≤时，可得2||2x x -≤，此时2()2f x x =-.当1x >时，2||2x x >-，此时()f x x =.综上，2,1()2,11,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，可得当1x =-或1x =时()f x 取得最小值1，故选B.5．【答案】D 【解析】依题意，不妨设2AB =，故正六边形ABCDEF的面积2126S ⨯=Ω的面积2214233πS π=⨯⨯=，故所求概率41πP =，故选D.6．【答案】B 【解析】依题意，242101011993S q q S =⇒+=⇒=，故246111,,327243a a a ===，则97e 3e 1111,,log 03273243M N P ====<，故M N P >>，故选B. 7．【答案】C 【解析】将三视图还原，可知原几何体是由半球体与圆柱体拼接而成，其中半球体的半径为2，圆柱体的底面半径为2，高为2，故所求几何体的表面积2222222220S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯=，故选C.8．【答案】B 【解析】依题意，⊥m n ，故()240λ⋅-=a a b ，故2820λ-⋅=a a b ，故40λ⎛-⋅= ⎝⎭，解得λ=-故4=+n a，故()22416=+=n a ，故4=n .9．【答案】C 【解析】当2i =，可得2,2T a S a =+=+； 当3i =，可得1,3T a S =-+=； 当4i =，可得5,8T a S a =-+=-+；当5i =，可得,8T a S ==； 当6i =，可得6,14T a S a =+=+； 当7i =，可得1,15T a S =-+=； 当8i =，可得9,24T a S a =-+=-+； 当9i =，可得,24T a S ==； 当10i =，可得10,34T a S a =+=+； 当11i =，可得1,35T a S =-+=.故判断框内应补充的条件为11i ≤，故选C.10．【答案】D 【解析】不妨设题中的焦点为椭圆的右焦点，将焦点坐标(,0)c 代入椭圆方程中，得两交点坐标分别为22(,),(,)b b c c a a-，由于ABO △是等边三角形，则可得2tan 30b ac =︒=，从而22a c ac -=，即1e e -=，解之得e =e =，故选D. 11．【答案】B 【解析】由图象可得当0x >，()0f x ≥，故可排除C ，因为当322x ππ<<时，22225(4)(49)0x x x ππ--<.当322x ππ<<，可得()0f x >，而当x π=时，|sin 2|0x x =，故可排除D 选项，当56x π=时，|cos3|0x x=，故可排除A 选项，故选B. 12．【答案】C 【解析】2ln ()x f x a x '=-，若2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上单调递增，可得2ln 0x a x -≥，记2ln ()xg x x=，要使得对2[1,]x e ∀∈恒有()0g x a -≥，只需 min ()a g x ≤.若2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上单调递减，可得2ln 0x a x -≤，要使得对2[1,]x e ∀∈恒有()0g x a -≤，只需max ()a g x ≥.由于22(1ln )()x g x x -'=，令()0g x '>可得1x e <≤，令()0g x '<可得2e x e <≤，则()g x 在[1,)e 单调递增，在2(,]e e 单调递减，由于224()(1)0g e g e =>=，则min ()(1)0g x g ==，max 2()()g x g e e==，由此可得当0a ≤时，2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上单调递增，当2a e ≥，2()ln f x x ax =-在区间2[1,]e 上单调递减，所以a 的取值范围为2(0,)e，故选C.13．【答案】()84k x k ππ=+∈Z 【解析】依题意，21cos(4)112()sin (2)sin 44222x f x x x ππ--=--=-=-， 由4,2x k k ππ=+∈Z 得84k x ππ=+，故11()sin 422f x x =-关于直线()84kx k ππ=+∈Z 对称. 14．【答案】14【解析】222(2)a a a x x x =+++，2020171720170(1())1kk k k x C x ==--∑，则2018x 的系数等于2017201720162016201720172(1)1(1)220172016a C C a ⨯-+⨯-=-+=，由此可得12a =，故展开式中常数项为214a =. 15．【答案】3[,5]2【解析】不等式组280260370x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥所表示的平面区域如图所示阴影部分(包括边界)，其中,,A B C 为直线的交点，11(1)y z x -=--表示阴影部分区域内的点与点(1,1)P -连线的斜率，计算可得,,A B C 三点坐标分别为(2,3),(4,2),(5,4)，由图象可得1(1)y x ---的最大值为3122(1)3AP k -==--，1(1)y x ---的最小值为2114(1)5BP k -==--，故112[,]53z ∈，从而3[,5]2z ∈.16．【答案】92【解析】由条件得211(1)(1)n n n n S S S n n S ++=++++， 即11(1)()0n n n n S S n S S ++---+=，由于0n S >，则110n n S S n +---=，即11n n S S n +=++，那么11232211(1)()()()()13212n n n n n n n S S S S S S S S S S n n ---+=-+-++-+-+=+-++++=L L .当111,1n a S ===，当2n ≥，1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-=，故()n a n n *=∈N . 81811611619(1)()22222n n S n n n a n n n +=++=++⨯+=≥，等号成立当且仅当16n n =，即4n =. 17．【解析】（1）由2sin (sin sin )6sin A A B B +=得22sin sin sin 6sin 0A A B B +-=， 即2sin sin ()60sin sin A A B B +-=，解得sin 2sin A B =或3-（舍去），由正弦定理得sin 2sin a Ab B==.（6分） （2）由余弦定理得2223cos 24a b c C ab +-==，将2a b =代入，得22253b c b -=， 解得2c b =，由余弦定理得222222(2)(2)52cos 2222a c b b b b B ac b b+-+-===⨯⨯， 则21414sin 1cos ,sin 2sin B B A B =-===,222222(2)(2)2cos 222b c a b b b A bc b b+-+-===-⨯， 从而145221437sin()sin cos cos sin ()A B A B A B -=-=⨯--⨯=.（12分） 18．【解析】（1）频率分布直方图如下图所示（6分）（2）由题意，抽取25人中，有8人的年龄在[)25,35内，X 的可能取值为0,1,2，且21722534(0)75C P X C ===，1117822534(1)75C C P X C ===，282257(2)75C P X C ===，故随机变量X 的分布列为X1 2 P3475 3475 775X 的数学期望为3434()01275757525E X =⨯+⨯+⨯=.（12分） 19．【解析】（1）以D 为原点，以平行于DA 的方向为x 轴，平行于DC 的方向为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.过E 点作EAD △的高，交AD 于点G .由于,,CD AD CD DE AD DE D ⊥⊥=I ， 所以CD ⊥平面ADE ，所以EG CD ⊥，又因为,EG AD AD CD D ⊥=I ， 所以EG ⊥平面ABCD .设EG h =，由题设条件可得下列坐标： 22(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(3,0,),(3,1,)A C D E h h F h h --. 22(32,1,),(3,1,)AF h h CF h h =-=--u u u r u u u r，由于AF CF ⊥，所以222(32)310AF CF h h h ⋅=--+=u u u r u u u r，解得2h故(12),(1,,2)AF CF =-=-u u u r .可求(2,2,0)DB =u u u r，且(2,2,0)(2)0DB AF ⋅=⋅-=u u u r u u u r，(2,2,0)(1,2)0DB CF ⋅=⋅-=u u u r u u u r ，从而DB AF ⊥u u u r u u u r ，DB CF ⊥u u ur u u u r .因为,AF CF ⊂平面AFC ，且AF CF F =I ，故BD ⊥平面AFC .（6分）（2）由（1）得(1,2),(0,2,0),(1,2),(2,0,0)AF AB CF BC =-==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r.设平面ABF 的法向量111(,,)a b c =u ，由0AF ⋅=u u u r u 及0AB ⋅=u u u r u 得11112020a b c b ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令12a =，由此可得(2,0,1)=u .设平面BCF 的法向量222(,,)a b c =v ，由0CF ⋅=u u u r v 及0BC ⋅=u u u r v 得22222020a b c a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令22b =，由此可得2,1)=v .则·1cos ,333==⨯u v u v u v ，因为二面角A FB C --大于90︒，则二面角A FB C --的余弦值为13-.（12分）另解：取BF 中点H ，连接,AH CH ，可证AHC ∠是二面角A FB C --的平面角．易求3AH CH =理得1cos 3AHC ∠=-．（12分）20．【解析】（1）将抛物线方程和直线方程联立，得2221y px y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得24(24)10x p x --+=，由根与系数关系可得21,24P Q P Q p x x x x -+==，则21P Q PQ k x x =+-22215()45()41524P Q P Q p x x x x -=+-=-⨯=， 则234p p -=，化简得24120p p --=，解之得6p =或2p =-（舍去）， 故抛物线的标准方程为212y x =.（6分）（2）直线l 方程为()y k x s =-，设,P Q 坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．因为点Q 与点Q '关于x 轴对称,所以Q '坐标为22(,)x y -，显然点Q '也在抛物线上.设直线Q P '与x 轴交点T 的坐标为(,0)X .由2()12y k x s y x =-⎧⎨=⎩消去y 得22222(21)02k x k s x k s -++=.所以221212221,2x x x x ks s k =++=.由于,,P T Q '三点共线，则PT TQ k k '=， 从而1212y y x X x X -=--，化简得211212x y x yX y y +=+， 又21122112121212()()2()sx y x y x k x s x k x s kx x x kks x +=⋅-+⋅-=--+=， 121212()()(1)22y y k x s k x s k x x ks k+=-+-=+-=，则211212x y x yX s y y +==-+，故Q P '过定点(,0)s -.（12分） 21．【解析】（1）(1)()ln(1)1ax x f x ax ax +=+-+的定义域为1(,)a-+∞，2222(2)(1)(1)2()[(1)]1(1)(1)a a ax ax a x x a f x x x ax ax ax a++-+-'=-=--+++. 令()0f x '=，可得0x =或21x a=-. 当01a <<时，2110a a -<-<，由()0f x '>得10x a-<<，由()0f x '<得0x >， 由此可得()f x 的单调递增区间为1(,0)a-，单调递减区间为(0,)+∞.当1a =时，21110a a-=-=-<，由()0f x '>得10x -<<，由()0f x '<得0x >， 由此可得()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞. 当12a <<时，1210a a -<-<，由()0f x '>得210x a -<<，由()0f x '<得121x a a-<<-或0x >，由此可得()f x 的单调递增区间为2(1,0)a-，单调递减区间为12(,1)a a--，(0,)+∞.当2a =时，1210a a -<-=，可得()0f x '≤，故()f x 的单调递减区间为1(,)a -+∞. 当2a >时，1201a a -<<-，由()0f x '>得201x a<<-， 由()0f x '<得10x a -<<或21x a >-，由此可得()f x 的单调递增区间为2(0,1)a -， 单调递减区间为1(,0)a -,2(1,)a-+∞.（6分） （2）当1a =时，由（1）得()ln(1)f x x x =+-在区间(0,)+∞单调递减， 由此可得当(0,)x ∈+∞时()(0)f x f <，即ln(1)x x +<. 令21(2)x n n =≥，则2211111ln(1)(1)1n n n n n n +<<=---，从而 2222111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12342231n n n ++++++++<-+-++--L L 111n=-<，由此得22221111ln[(1)(1)(1)(1)]1234n ++++<L ,22221111(1)(1)(1)(1)234e n ++++<L .（12分） 22．【解析】（1）由曲线C 的极坐标方程为10cos ρθ=，则210cos ρρθ=，即2210x y x +=，得其标准方程为22(5)25x y -+=.直线l参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 则其普通方程为20x y --=.（5分）（2）由（1）得曲线C 为圆心为(5,0)，半径为5的圆，曲线C 的参数方程为55cos 5sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)， 化简的|35cos 5sin |2ϕϕ+-=，可得5cos 5sin 1ϕϕ-=-或5cos 5sin 5ϕϕ-=-. 当5cos 5sin 1ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组， 得3cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5ϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此时对应的P 点坐标为(8,4),(1,3)-. 当5cos 5sin 5ϕϕ-=-时，注意到22sin cos 1ϕϕ+=，联立方程组，得cos 0sin 1ϕϕ=⎧⎨=⎩或cos 1sin 0ϕϕ=-⎧⎨=⎩，此时对应的P 点坐标为(5,5),(0,0).综上，符合条件的P 点坐标为(8,4),(1,3),(5,5),(0,0)-.（10分）23．【解析】（1）当1a =时，()1|24|f x x x =+--.当1x ≤时，原不等式可化为1425x x -+-≥， 解得0x ≤，结合1x ≤得此时0x ≤.当12x <<时，原不等式可化为1425x x -+-≥， 解得2x -≤，结合12x <<得此时x 不存在.当2x ≥时，原不等式可化为1245x x -+-≥，解得103x ≥，结合2x ≥得此时103x ≥.综上，原不等式的解集为10{|0}3x x x ≤或≥.（5分） （2）由于2402||x a x a -+-≥对任意x ∈R 恒成立，故当240a -≤时，不等式2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，此时22a -≤≤. 当24a >，即2a <-或2a >时，由于22a a >，记2()()(4)g x f x a =--， 下面对x 分三种情况讨论.当2x a ≤时，22()4(42)344g x a x a x a x a =-+---=-++， ()g x 在区间(,2]a -∞内单调递减.当22a x a <<时，22()4(4)442g x a x x a a x a =-+---=-+，()g x 在区间2(2,)a a 内单调递增.当2x a ≥时，2222()4(4)3244g x x a x a a x a a =-+---=--+，()g x 在区间2[,)a +∞内单调递增.综上，可得()(2)24g x g a a =-+≥，要使得2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，只需min ()0g x ≥，即240a -+≥，得2a ≤， 结合2a <-或2a >，得2a <-.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.（10分）。
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷(六)(理)(解析版)
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期模拟卷数学（理）测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{3x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则A B =I （ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为 （ ） A ．131i 55-+ B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55- 3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为（ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且=b ，则实数m 的值为 （ ）A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或45．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填 （ ）A ．30S <B ．62S <C ．62S ≤D ．128S <6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒ （ ）A．12B．12 C．12-+D．12-7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称 B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称 C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称 D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z B ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++ZD ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为 （ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）A ．1 BCD ．211．已知椭圆222:19x y C b +=，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r的取值范围为 （ ） A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--12．已知函数()212ln x f x x -=的定义域为1(0,]e ，若对任意的12,x x 1(0,]e ∈， ()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）A ．(,3]-∞B ．(,4]-∞C ．(,5]-∞D ．(,6]-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为 .14．多项式822x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 项的系数为 . 15．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且AB CD //，12AB CD =，PA PB AD ==，PA AD CD +==PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD-外接球的表面积为 .第15题图 第16题图16．如第16题图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥4MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.19．（12分）如图，三棱锥1-E EBC 中，90EBC ∠=︒，124AE EB BC ===，,A D 分别为,EB EC 的中点，1E A AD ⊥；连接1111,,,EE E B E C E D ，平面1AE D ⊥平面ABCD . （1）证明：1EE BC ⊥；（2）求二面角1C BE D --的余弦值.20．（12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为12，点23P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线l 与圆22:20x y y Ω++=相切，且与椭圆C 交于,M N 两点.探究：在椭圆C 上是否存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u r u u u r u u u r，若存在，请求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数()emxf x x =.（1）若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2e ，求函数()f x 在[]2,2-上的最小值；（2）若关于x 的方程()1f x x=在()0,+∞上有两个解，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为22cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos04πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；（2）将曲线C向左平移2个单位，再将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C，求曲线1C上的点到直线l的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．【答案】C【解析】依题意，集合{9293332xx A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=>=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭， {}{}{}2121101112,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x =∈-+<∈<<N =N =，故{}5,6,7,8,9,10A B =I ，故选C.2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()35i 2i 35i 113i i 2i 2i 2i 5a b ----+===++-，故113,55a b ==-，故131i i 55z b a =-=--， 故复数z 的共轭复数为131i 55z =-+，故选A. 3．【答案】B 【解析】不妨取04x π=，此时0023sin 02x x π-=<，故命题p 为真；特称命题的否定 为全称命题，故:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥，故选B.4．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数， 观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051，1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253.5．【答案】B 【解析】运行该程序，第一次，2,2S k ==；第二次，6,3S k ==；第三次，14,4S k ==； 第四次，30,5S k ==；第五次；62,6S k ==；第六次，126,7S k ==；观察可知，判断框中可以填“62S <” 故选B.6．【答案】A 【解析】依题意，()cos240sin30sin 60sin120︒︒--︒︒sin30cos120cos30sin120=︒︒+︒︒1sin1502=︒=；00tan 751tan 75tan 45tan 301tan 751tan 75tan 45-︒-︒==︒=++︒︒；故原式的值为12，故选A. 7．【答案】D 【解析】依题意，()()()()321ln1121x f x x x -+=++-++，将函数()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数32ln 2xy x x-=++的图象，这是一个奇函数，图象关于(0,0)中心对称，故 函数()321ln333xf x x x x x-=++++的对称中心为(1,1)--，故选D. 8．【答案】C 【解析】依题意，将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到sin 43y x ωππω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，此时()2432k k ωπωππππ--=+∈Z ， 解得()546k k ωπππ=+∈Z ，故()1043k k ω=+∈Z ，故ω的最小值为103故()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令()10222332k x k k πππππ--∈++Z ≤≤，解得()10522636k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，即()3320545k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，故选C.9．【答案】A 【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出()()221,1,1,,5,25A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；要使0z ≥恒成立，需且仅需130223055230m m m --⎧⎪⎪--⎨⎪⎪--⎩≥≥≥解得375m ≥；故m 的取值不可能为7，故选A.第9题答案图 第10题答案图10．【答案】B 【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为AC 或BD ，均为2，故选B.11．【答案】A 【解析】依题意，()22PM MN PM PN PM PM PN PM PM ⋅=⋅-=⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；因为22219b e =-=，故21b =；设(),M x y ，则()2,PM x y =--uuu r，故()2222222282444414599x x PM x y x x y x x x =-+=-++=-++-=-+uuu r ，[]3,3x ∈-，可知，当3x =-时，2PM uuu r 有最大值25，当94x =时，2PM uuu r 有小值12；故PM MN ⋅u u u r u u u r 的取值范围为125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选A. 12．【答案】B 【解析】()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-，可得122212()()11f x f x m x x ->-，令21()()g f x x =，则()ln g x x x x =+，其中，2[e ,)x ∈+∞，()2ln g x x '=+，又2[e ,)x ∈+∞，则()2ln 4g x x '=+≥，即122212()()411f x f x x x ->-，因此实数m 的取值范围是(,4]-∞，故选B.13．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.14．【答案】420【解析】依题意，多项式8222x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，要凑出7x ，则必须有四个2x ，两个2x ，以及两个2-，故所求系数为()224284124202C C ⎛⎫⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭.15．【答案】52π【解析】因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD //，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =，,43PA PB AD PA AD CD ==+===23PA PB AB AD BC ====， 故3ADC π∠=；取CD 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD外接圆圆心；F 是PAB △外心，作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面PAB ，则O 是四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且3,2OF GE PF ===；设四棱锥P ABCD -的外接球半径R ，则22213R PF OF =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积是52π.16．【答案】524+【解析】因为2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，故42MPN ππ∠+=， 故4MPN π∠=，故MNP △是等腰直角三角形；在QNP △中，2,1QN QP ==，由余弦定理，254cos NP Q =-；2211os 42c 45MNP S MN NP Q =-==△； 又1sin 2sin QNP S NQ P Q Q Q =⋅⋅=△，55cos sin 2sin()444MNQP S Q Q Q π=-+=+-； 易知当4Q 3π=时，四边形MNQP 的面积有最大值，最大值为524+． 17．【解析】（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，故13n na a +=；故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+，解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分）（2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列， 故1231111n n T a a a a =++++L 111113133=1113323213nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-L 故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲、乙同时参加围棋比赛的概率24113124P C ⨯=⨯=；（4分）（2）依题意，ξ的可能取值为1,2,3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为241312C ⨯=； ()1111224P ξ==⨯=，()121112222P C ξ==⨯⨯=，()1113224P ξ==⨯=，故ξ的分布列为 ξ123P141214故所求期望()2E ξ=.（12分）19．【解析】（1）Q 1E A AD ⊥，平面1AE D ⊥平面ABCD ， 平面1AE D I 平面ABCD AD =，故1E A ⊥底面ABCD ， AB AD ⊥，∴1,,AE AD AE 两两垂直，以1,,AE AD AE为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知条件知，1(2,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,1,0),(0,0,2)E B C D E --， 且1111(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2),(0,1,2)EE BE CE DE =-==-=-uuu r uuu r uuu r uuu r，11112200220,220(2)220EE BE EE CE ⋅=-⨯+⨯+⨯=⋅=-⨯+⨯-+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1111,EE BE EE CE ⊥⊥,Q 111BE CE E =I ,∴1EE ⊥平面1E BC ∴1EE BC ⊥．（6分） （2）由（1）可知，平面1E BC 的法向量为1(2,0,2)EE =-uuu r．令平面1E BD 的法向量为(,,)x y z =m ，故11(,,)(2,0,2)220(,,)(0,1,2)20BE x y z x z DE x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩uuu r uuu r m m ，即,2x z y z =-=，取(1,2,1)=-m．1cos ,EE <u u u r m∴二面角1C BE D --.（12分） 20．【解析】（1）依题意，12c e a ==，故2234b a =.①将2,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆的方程中，可得2248193a b +=.② 联立①②，解得224,3a b ==，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=.（4分） （2）假设在椭圆C 上存在点Q ，使得OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r.依题意，设直线:()(0,0)l y k x t k t =+≠≠，圆22:20x y y Ω++=，即()2211x y ++=.直线:()(0)l y k x t t =+≠与圆22:(1)1x y Ω++=1=，整理得2222=0k t kt k +-.当1t =±时，切线的斜率k 不存在，不合题意，舍去； 当0k ≠且1,0t t ≠±≠时，得221tk t =-，把:()(0)l y k x t t =+≠代入椭圆C 的方程22143y x +=得：22222(43)63120k x k tx k t +++-=. 易知，圆在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 相交，设1122(,),(,)M x y N x y ， 则2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -⋅=-+， 12121228()()()243kty y k x t k x t k x x kt k +=+++=++=+，212122268(,)(,)4343k t kt OM ON x x y y k k +=++=-++uuu u r uuu r . 因为OM ON mOQ +=u u u u r u u u r u u u r，故22268(,)(43)(43)k t ktOQ m k m k =-++u u u r ，即Q 的坐标为22268(,)(43)(43)k t ktQ m k m k -++. 又因为Q 在椭圆上，所以2222268(43)(43)143k t ktm k m k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 得2222443k t m k =+，把221t k t =-代入得2242242222424()441211143()11t t t t m t t t t t t-===+++++-； 因为210t >，所以421111t t++>，204m <<，于是20m -<<或02m <<， 综上所述()(2,0)0,2m ∈-U .（12分）21．【解析】（1）依题意，()'e e mx mxf x mx =+，故()()'1e e 1e 2e m m m f m m =+=+=， 解得1m =，故()()'e e 1e x x xf x x x =+=+；令()'0f x =，故1x =-； 因为()222e f --=-,()11e f --=-,()20f >，故函数()f x 在[]2,2-上的最小值为()11e f --=-；（4分）（2）依题意，()211e 1e 00mx mxx f x x x x x-=⇔-=⇔=； 问题转化为2e 10mx x -=在()0,+∞有两个解；令()2e 1mxx x ϕ=-,()()2e 2e e 2mx mx mx x mx x x mx ϕ'=+=+．①当0m ≥时,()()e20mxx x mx ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在()0,+∞上单调递增．由零点存在性定理，()y x ϕ=在()0,+∞至多一个零点，与题设发生矛盾． ②当0m <时，令()e20mxx mx +=，则2x m=-．因为()01ϕ=-，当∴要使()2e 1mx x x ϕ=-在()0,+∞内有两个零点，则20m ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可，得224e m <，又因为0m <，所以20e m -<<；综上，实数m 的取值范围为2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24C x y -+=；直线::0l x y -+=；（4分）（2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)，设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则P l d →(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l （10分） 23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min111222mf x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞U .（10分）。
安徽省2017届高三3月联考数学(理)试题Word版含答案
C.
x3 x 1
f ( x)
x2 1
11. 已知球的直径 SC 6, A、 B 是该球球面上的两点，且 AB SA SB 3，则棱锥
S ABC 的体积为 ( )
A． 3 2
B
．9 2
C.
32
D
．9 2
4
4
2
2
12. 设 x 表示不小于实数 x 的最小整数，如 2.6 3, 3.5 3 . 已知函数
3 x
1 ，则 A B ( )
2x
A.{1,2} B
． {-1,-2} C
． {-2,-1,2} D
． {-2,-1,0,2}
3. 已知平面向量 a (1, m), b (2,5), c ( m,3) ，且 (a c) / /( a b) ，则 m ( )
A． 3 17 2
B
． 3 17 C.
2
3 17 2
D ． 3 17 2
4. 已知 tan
21
A．
B
25
3 ，则 sin ( sian
4
cos ) ( )
25
4
5
．
C.
D.
21
5
4
5. 已知 MOD 函数是一个求余函数，其格式为 MOD (n, m) ，其结果为 n 除以 m 的余数，
例如 MOD (8,3) 2 . 下面是一个算法的程序框图， 当输入 n 的值为 36 时， 则输出的结果为
C.
D．
8
16
8
16
7. 《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：
“今有五人分五钱，
令上二人所得与下三人等 . 问各德几何 . ”其意思为“已知 A、 B、 C、 D、 E 五人分 5 钱，