数形结合
巧用数形结合 培育核心素养
巧用数形结合培育核心素养
数形结合是一种培育核心素养的有效方法，通过将数学与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高他们的问题解决能力和创新思维。
数形结合可以培育学生的观察力和空间想象力。
在学习数学过程中，数只是一个抽象的概念，很难给学生带来具体的感觉。
通过将数学和各种形状相结合，例如平面图形、立体图形等，可以将抽象的数学概念转化为具体的几何形状，使学生更易于理解和记忆。
通过观察形状的特征和数学关系，学生可以培养自己的观察力和空间想象力，提高解决问题和创新思维的能力。
数形结合可以培育学生的问题解决能力。
在数学中，问题解决能力是一个非常重要的素养。
通过将数学与几何形状相结合，可以让学生在解决问题的过程中不仅仅局限于纸上计算，还可以借助图形的帮助进行更直观、更具体的思考。
通过绘制问题中的图形，可以更清楚地看到图形的特征、数学关系等，从而更有针对性地解决问题。
通过数形结合，学生可以培养自己的问题解决能力，使他们能够更好地应对各种数学问题。
数形结合可以培育学生的创新思维。
数学不仅是一门知识，还是培养学生创新思维的一种手段。
通过将数学与几何形状相结合，可以激发学生的创造力和想象力，培养他们的创新思维。
在解决一个数学问题时，学生可以思考如何利用几何形状的特征来推导出一般性的结论，从而解决更加复杂和有趣的问题。
通过数形结合，学生可以从一种新的角度思考问题，培养自己的创新思维，提高解决问题的能力。
数形结合思想研究总结
数形结合思想研究总结数形结合思想是指数学问题在解决过程中，既要运用抽象的数学符号和运算，又要结合具体的几何、图形等形象思维来进行分析和解答的一种思维方式。
数形结合思想在数学教育中被广泛应用，它能够帮助学生深入理解数学知识，提高解决问题的能力。
本文将从数形结合思想的定义、作用、优势以及在教学中的应用等方面进行总结分析。
数形结合思想的定义：数形结合思想是指通过将数学问题与几何形象结合在一起来解决问题的思维方式。
它要求学生以图形、图像的方式理解问题，通过数学符号、运算等数学工具进行计算和推理，从而得出最终的解答。
数形结合思想不局限于某一种数学问题，适用于许多领域，如代数、几何、概率等。
数形结合思想的作用：数形结合思想能够提供多种视角和方法来解决问题，从而增强学生的思维能力。
它能够培养学生的几何直观和数学抽象思维，使学生能够灵活运用数学知识解决实际问题。
数形结合思想还能够帮助学生更好地理解和记忆数学概念，提高对数学的兴趣和学习动力。
数形结合思想的优势：数形结合思想能够将数学问题转化为直观的图形和图像，使抽象的数学概念具象化。
这样一来，学生能够更容易理解和记忆知识点，减少了学习中的抽象性和难度。
数形结合思想还能够启发学生的创新思维，培养学生的解决问题的能力，提高数学思维的灵活性。
数形结合思想在教学中的应用：数形结合思想在数学教学中有着广泛的应用。
在代数运算中，可以通过图像来解释和表达算式的含义，帮助学生理解运算的过程。
在几何学习中，可以通过使用符号和运算来推导和证明几何定理，从而使学生更深入地理解几何原理。
在概率学习中，通过图形的方式来表示事件的概率，有助于学生理解概率的概念和计算方法。
总结：数形结合思想是一种将数学问题与几何形象结合在一起解决问题的思维方式。
它能够提供多种视角和方法来解决问题，培养学生的几何直观和数学抽象思维，提高解决问题的能力。
数形结合思想在数学教学中有着广泛的应用，能够帮助学生更好地理解和记忆数学知识，提高对数学的兴趣和学习动力。
以“线段图”为例看小学数学“数形结合”思想的渗透
以“线段图”为例看小学数学“数形结合”思想的渗透数形结合是指在数学学习中，将数学的概念与几何图形相结合，通过绘制图形、观察图形的特征来理解和解决数学问题的一种思维方式。
其目的是帮助学生更好地理解数学概念，培养学生的空间思维能力和逻辑推理能力。
在小学数学中，线段图是一个比较常见的概念，也是数形结合思想的一个典型例子。
线段图是用线段来图示数据的分布情况，常用于统计和描述数据的大小关系。
小明要统计班级同学的身高，并将数据用线段图表示出来。
他首先测量了每位同学的身高，并记录在表格中。
然后，他将每位同学的身高用线段表示出来，线段的长度表示对应同学的身高。
通过观察线段图，小明可以很直观地了解班级同学身高的分布情况。
他可以看到哪些同学身高较高，哪些同学身高较矮，哪些同学身高相差较大等等。
线段图还可以用来解决一些实际生活中的问题。
小明想知道班级同学的平均身高，他可以通过线段图计算每个同学身高的总和，并除以班级人数得到平均身高。
通过以上例子，我们可以看到线段图在数形结合思想中的渗透。
线段图可以帮助学生将抽象的数学概念转化为直观的图形，从而更好地理解和运用数学知识。
线段图不仅在统计中有应用，在其他领域中也有广泛的应用。
在地理学中，可以用线段图表示地形的起伏情况；在物理学中，可以用线段图表示速度和位移的关系等等。
这些应用都体现了数形结合思想的重要性和价值。
线段图作为数形结合思想的一个典型例子，在小学数学教学中有着重要的地位。
通过线段图，学生可以更直观、更深入地理解数学概念，培养空间思维能力和逻辑推理能力。
在小学数学教学中，应该重视数形结合思想的渗透，通过丰富的实例和练习，帮助学生更好地掌握数学知识。
《数形结合思想在小学数学教学中的应用研究—以高年级为例开题报告文献综述含提纲3300字》
开题报告文献综述题目：数形结合思想在小学数学教学中的应用研究—以高年级为例一、研究背景及意义数形结合思想与数学教学、数学学习都密不可分，它是学生把一些较为抽象的数学知识内化为数学思维并形成一定解题能力的过程中最为关键一个组成部分，也是学生把抽象的数学知识内化为数学思维并形成解题能力中最为关键的思想。
因此在小学阶段有效地开展数形结合的教学对学生的持续发展具有极其重要的意义。
本论文的实践意义在于首先通过分析高年级教材中蕴含“数形结合思想”的相关知识点分布情况，帮助教师特别是新老师快速准确的把握教材，找准切入点。
其次通过在某小学的实践，探究这一学校的高年级数学课堂中数形结合思想是否有效渗透进教学的实际情况，总结记录学生在应用该思想答题时产生的问题。
然后通过借鉴参考文献中问卷的调查维度，并结合该小学数形结合的教学现状制定合理的问卷。
最后对高年级师生的问卷调查结果进行分析，了解小学高年级数形结合思想教学存在的问题并提出相应的解决对策，最终达到优化教学方法，提高教学质量的目的。
二、文献综述为了搜索相关文献资料，笔者在中国知网上以“数形结合思想”为主题检索文献共9640篇，以“小学数形结合思想”为主题检索文献共2240篇，约占总论文数的23.2%，由此我们可以看到国内对数形结合思想的研究大多集中在中学阶段。
其原因是学生的认知水平和心理发展水平都与其年龄的增长呈正相关关系，学生到了中学阶段更容易理解抽象知识而且理解的程度也解越来越深入，学生能相对于在小学阶段更容易的接受并且领悟数形结合思想。
数形结合第一次在我国的正式出现与华罗庚有着密切的联系。
“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
”华罗庚先生的这首小诗流传在学界中，另外，随着改革开放的加深，高考制度的恢复，“数形结合”这个词开始受到学界的广泛重视，甚至开始出现在后来的很多知名教育教学刊物中（于珊珊，2020）。
1.关于“以形助数”“以数解形”“数形互助”的研究在现代的研究中，人们统一的将数形结合分为三个部分进行研究。
巧用数形结合 培育核心素养
巧用数形结合培育核心素养数学和几何学是人类文明发展中最基础的学科之一，它们不仅仅是我们生活中的一种工具，更是一种思维方式和方法。
在当今社会中，数学和几何学的教学已不再是简单地灌输知识，而是更注重培养学生的核心素养，例如逻辑思维能力、创新能力、问题解决能力等。
巧妙地将数学和几何学结合起来，培养学生的核心素养显得尤为重要。
下面我们将探讨如何巧妙地结合数形，培养学生的核心素养。
数形结合可以培养学生的空间想象能力。
数学与几何学都是空间思维的学科，数和形在其中相互交融，空间想象能力是学生在学习数学和几何学时必不可少的素养。
通过数学的排列组合、坐标系等概念，学生可以在大脑中形成更加清晰的空间想象图像，从而提高他们的空间想象能力。
通过数学中的排列组合，可以让学生在空间中想象不同的排列组合方式，从而培养他们的空间想象能力，这对于日后的科学研究、工程设计等领域都是十分重要的。
数形结合可以培养学生的逻辑思维能力。
在数学和几何学中，逻辑思维是非常重要的，学生需要通过推理、演绎等方式来解决问题。
通过数形结合，可以让学生学会通过逻辑推理和图形推演来解决问题，从而培养他们的逻辑思维能力。
在学习几何学时，学生可以通过数学的方法来证明几何定理，从而锻炼他们的逻辑推理能力，提高他们的综合分析能力。
数形结合也可以培养学生的创新能力。
数学与几何学的知识是可以不断创新和发展的，通过数形结合，可以让学生学会运用已有的知识来解决新问题，从而培养他们的创新能力。
在解决一个几何问题时，学生可以通过数学的方法来进行创新思维，找到更加简洁而有效的解决方案，这对于培养学生的创新能力是十分有益的。
数形结合是一种非常有效的教学方法，它可以帮助学生更好地理解数学和几何学的知识，从而培养他们的核心素养。
通过巧妙地结合数学和几何学，可以培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力、创新能力和问题解决能力，从而为他们的未来发展打下坚实的基础。
在教学实践中，我们应该充分利用数形结合的教学方法，培养学生的核心素养，让他们在未来的发展中能够更加出色地发挥自己的潜力。
数形结合作用
数形结合作用
数形结合是一种重要的数学思想方法，它将数学问题的数量关系和几何图形结合起来，通过相互转化和利用，使问题得以简化和解决。
数形结合的作用主要体现在以下几个方面：
简化问题：通过将数量关系和几何图形结合起来，可以将一些复杂的数学问题转化为直观的图形问题，从而简化问题的求解过程。
加深理解：数形结合有助于深入理解数学概念和原理，通过直观的图形展示，可以更加清晰地理解数学问题的本质和内涵。
拓展思维：数形结合能够拓展思维，激发创新灵感。
通过将数量关系和几何图形相互转化，可以开拓解题思路，发现新的解题方法。
提高解题效率：数形结合能够提高解题效率，减少计算量。
通过直观的图形展示，可以迅速找到问题的关键所在，从而快速求解。
总之，数形结合在数学学习和研究中具有重要的作用，它能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，简化问题求解过程，加深理解，拓展思维，提高解题效率。
因此，在数学学习和研究中，应该注重数形结合的思想方法的应用。
数形结合思想在高中数学中的应用
数形结合思想在高中数学中的应用数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数学中的两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。
数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想,其实质就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的支柱作用,实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化。
数形结合思想是贯穿高中数学的主线,是贯穿高中课程的主要脉络,纵观历年高考试题,用数形结合的思想方法巧妙解决的问题比比皆是,本文从以下七个方面介绍运用数形结合思想解决高中数学问题。
1 函数中的数形结合思想如果说坐标系是数与形结合的纽带,那么函数图象则是数的直观形象的反映。
新课标中有这样的话:“遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特殊点,并借助图象研究一下它的性质,在数学教学中要注意培养学生看见函数式立即想到它的图象,结合实际图象记性质、用性质的好习惯。
数形要结合,关键在于能根据函数式(或方程)画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。
例1使log2(-x)0-x0或x.>0f(x)<0再结合单调性也可解决问题。
显然麻烦得多。
2 运用数形结合思想解决与圆有关的问题例3: 求函数f(x)=2xx+1+x+2x+1的值域.分析注意到f(x)≥0,因而可以先求[f (x)]2的值域,再求f(x)的值域,平方后解析式变得十分复杂,是否还有其他方法呢?我们不妨用换元法试一试,如令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),由此可联想到其几何图形.解: 令u=xx+1,v =x+2x+1,则u2+v2=2(u≥0,v≥0),它表示以原点为圆心,2为半径的一段圆弧(在第一象限内),又2u+v=y,即v=-2u + y,故点P(u, v)又在直线v=-2u +y上,那么y的几何意义即为直线在y轴上的截距,因而原问题转化为”当直线与这段圆弧有交点时,求直线的纵截距的取值范围“.由图易知此范围为[2,6],故所求的值域为[2,6].例4:已知集合M={(x,y)|y=x=a|},N={(x,y)|y=1-x2|},若集合交集合有两个不同的公共元素,求的取值范围.分析:由于集合不是整个圆,而仅是圆的一部分,应用数形结合思想处理.解:如图2所示,集合M是斜率为1的平行直线系,集合N表示单位圆位于x 轴及其上方的半圆,当l通过A(-1,0)、B(0,1)时,l与半圆有两个交点,此时a=1,l记为l1;当l与半圆相切时,切线l记为l2;当l夹在l1与l2之间时, 与半圆有两个不同的公共元素,因此1a<2.3 数形结合思想在对数中的应用例5:已知函数f(x)=1gx,x≥321g(3-x),x<32,若方程无实数根,则实数k的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(-∞,1g32)D.(1g32,+∞)解析:所给的函数f(x)是分段函数,而方程f(x)=k无实数根,可利用数形结合法转化为两函数图象无交点.解:在同一坐标系内作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图1,∴若两函数图象无交点,则k<1g32,故选C.例6:已知x1是方程x+1gx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,那么x1+x2的值为()A.6B.3C.2D.1解:∵1gx=3-x,10x=3-x,令y1=1gx,y2=3-x,y3=10x,在同一坐标系中作出它们的简图,如图2.∵x1是方程x+1gx=3的解,x2是方程x+10x=3的解,∴x1,x2分别对应图中A,B两点的横坐标.∵函数y=1gx与y=10x的图象关于y=x对称,∴线段AB的中点C在直线上y=x.∴由y=x,y=3-x解得x=32.∴x1+x2=3,故选B.4 数形结合思想解决复数模长最值问题例7:设复数z满足|z+i|+|z-i| = 2,求|z+ +1|的最小值.解:由题设知,复数z在复平面内对应的点集是线段AB,如图所示,线段AB上B点到C点距离最短.∵|BC |=1,∴|z+i+1|的最小值为1.点评:在分析问题和解决问题时,要注意解析语言的意义及运用,要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化,自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”.例8:已知复数z = 2+ai(a∈R),求|z+1-i|+|z-1+i|的最小值.解:∵|z+1-i|+|z-1+i| = |z-(-1+i)|+|z-(1-i)|,设z1=-1+i,z2=1-i在复平面上对应的点分别为A(-1,1),B(1,-1).z = 2+ai在直线:x = 2上,B点关于直线l的对称点为C(3,-1),连AC,交于D,则|z+1-i|+|z-1+i|的最小值为:|BD|+|AD| = |AC| =25.5 数形结合思想解决数列问题数列可看成以n为自变量的函数,等差数列可看成自然数n的“一次函数”,前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”,等比数列可看成自然数n的“指数函数”,在解决数列问题时可借助相应的函数图象来解决。
“数形结合”巧解小学数学思维题
9（a+b+c)＜70
a+b+c＜70÷9
a+b+c＜ 8
a+b+c大于6小于8，所以a+b+c=7
例4: 计算：
我们用一个大正方形 表示整数1，依次表示出 、 、 ……
从图中可以 ，所以：
=1-
=
例5：计算：6²+8²+14²+22²+36²+58²
6、8、14、22、35、58这个数列是斐波那契数列，6²可以看作是边长为6的正方形，依次类推。
不难看出：6²+8²+14²+22²+36²+58²
=（36+58）×58-（8-6）×6
=5452-12
=5440
例6：甲、乙两站相距610千米，两站之间有丙站。快车从甲站开往丙站，已经行驶了90千米，慢车从乙站开往丙站，已经行驶了它全部路程的 ，这时丙站正好处在快慢两车中间的位置上，求甲站到丙站的距离。
例2：(16+△)÷(20-△)=3
根据题意有（16+△）是（20-△）的3倍，把（20-△）看作一份，（16+△）有这样的3份。由此画出线段图：
20- △：
16+△:
一份（20-△）就是36÷（1+3）=9 △=20-9=11
例3：9a+10b+11c=70(五年级思维题）
（a,b,c是非0的自然数）
求a+b+c=
先画长9、宽a的长方形，再画长10、宽b的长方形，最后画长11、宽c的长方形。
把这个图形补成一条边长11、一条边长（a+b+c)的长方形。由图可知，这个长方形的面积一定小于70，即：
以“线段图”为例看小学数学“数形结合”思想的渗透
以“线段图”为例看小学数学“数形结合”思想的渗透小学数学教学中，数形结合是一个重要的教学理念。
通过将数学概念与图形形象直观地结合起来，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
线段图作为数学中的一种图形表达方式，可以很好地体现数形结合的思想。
下面就以线段图为例，来探讨小学数学中数形结合思想的渗透。
一、线段图的概念线段图是指用线段来表示数值关系的图形。
在数学教学中，线段图常常用于表示比较两个数值的大小关系，或者表示数值在某个范围内的分布情况。
线段图可以直观地展示数值大小和数值之间的关系，有助于学生对数学概念的理解和记忆。
我们可以用线段图来表示不同班级的学生人数。
在横轴上表示班级，纵轴上表示学生人数，每个班级对应一个线段，线段的长度表示学生的人数。
通过线段图，学生可以一目了然地看出各个班级的学生人数多少，方便比较和分析。
二、线段图在数学教学中的应用1. 比较大小线段图可以很好地帮助学生比较数值的大小关系。
通过线段的长度来表示数值大小，学生可以直观地进行比较。
比较不同班级的学生人数、不同水果的价格、不同时间段的温度等。
这样，学生就能更容易地理解数值的大小关系，加强数学概念的掌握。
2. 数据分析线段图还可以用来表示数据的分布情况。
用线段图来表示一组数据的频数分布，通过线段的长度可以直观地看出各个数据所占的比例。
这样，学生可以更深入地理解数据的规律和特点，提高数据分析的能力。
3. 概率统计在概率统计的教学中，线段图也有着重要的作用。
用线段图来表示随机事件发生的概率，通过线段的长度来表示不同事件发生的可能性大小。
这样，学生可以通过线段图直观地理解概率的概念，更好地掌握概率统计的知识。
线段图能够帮助学生将抽象的数值概念转化为直观的图形表达。
通过线段的长度来表示数值的大小，使得抽象的数学概念变得形象化、直观化。
这有助于学生更容易地理解和记忆数学知识，提高数学学习的效果。
线段图也能够帮助学生将图形表达转化为数学概念。
浅谈数形结合思想在小学三年级数学教学中的渗透与应用
浅谈数形结合思想在小学三年级数学教学中的渗透与应用第一篇：浅谈数形结合思想在小学三年级数学教学中的渗透与应用浅谈数形结合思想在小学三年级数学教学中的渗透与应用数形结合思想是一种重要的数学思想。
数形结合就是通过数(数量关系)与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。
它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。
数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。
有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。
那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？一、在理解算理过程中渗透数形结合思想小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。
在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。
” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
比如：小学数学三年级上册第六单元“乘法”，借助点子图帮助学生理解乘法竖式的计算过程。
“蚂蚁做操”一课的第二个问题教学中可以借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4，并与竖式计算中的每一步对应起来，清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式的计算过程，同时还把列表的方法与两者建立了对应关系，沟通了表格、抽象竖式、直观点子图三者之间的内在联系，帮助学生理解每一步的具体含义。
对学生来说，这样处理直观生动、易于理解、印象深刻。
二、在教学新知中渗透数形结合思想在教学新知时，不少教师都会发现很多学生对题意理解不透彻、不全面，尤其是到了高年级，随着各种已知条件越来越复杂，更是让部分学生“无从下手”。
基于此，把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。
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平面直角坐标系中的特殊四边形
——数形结合学习感悟
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在
一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部
分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
数与形不是孤立的，用代数方法研究图形问题能是许多问题变得
简单。平面直角坐标系就是这样一个有力的工具。在前面的学习中，
我们已经看到了它的一些应用，例如研究平移、轴对称，二元一次方
程（组）、一次函数等。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百
般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我
们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结
合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结
合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的
结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题
途径的目的。
数形结合的方法具有双向性：借助“形 ”的生动和直观性认识
“数 ”。即以“形 ”为手段 ，“数”为 目的；或借助于“数”精确
和规范地阐明“形”的属性 。此时，“数”是手段 在新课程理念下 。
教学中我注重“数形结合 ”思想 的渗透 。使学生的能力得到了很
大的提升，也改变着我的教育教学观。
在平面直角坐标系中，我们常把图形的一个顶点作为坐标原点，
使它的一条边在一条坐标轴上：或者把对角线的交点作为原点，这样
能使顶点的坐标表示比较简单。在平面直角坐标系中特殊的四边形中，
给出了他们的一些顶点的坐标我们就能写出其他的顶点的坐标。
我们又可以利用平面直角坐标系中矩形的点的坐标，我们就能证
明矩形的对角线是相等的。在平面直角坐标系中，如果给出了一个四
边形的四个顶点的坐标，我们就可以判断这个四边形是什么四边形了。
在这节课中，数形结合的思想得到的很好的诠释。学生们也进一
步理解了数形结合的思想。