北京市东城区2012届九年级上学期期末考试数学试卷
2024年北京初三九年级上学期数学期末考《新定义》
2024年1月九上期末——新定义1.【东城】28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y =3x +6的“和距离”d 的取值范围．2.【西城】28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0S -，()1,0T ．对于一个角α（0180α︒<≤︒），将一个图形先绕点S 顺时针旋转α，再绕点T 逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．备用图（1）点R 在线段ST 上，则在点()1,1A -，()3,2B -，()2,2C -，()0,2D -中，有可能是由点R 经过一次“90°对称旋转”后得到的点是________；（2）x 轴上的一点P 经过一次“α对称旋转”得到点Q ．①当60α=︒时，PQ =________；②当30α=︒时，若QT x ⊥轴，求点P 的坐标；（3）以点O 为圆心作半径为1的圆．若在O 上存在点M ，使得点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点在x 轴上，直接写出α的取值范围．3.【海淀】28.在平面直角坐标系xOy 中，将中心为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”.（1）如图、正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C -.①在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P -中，正方形T 的“伴随切点”是________；②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点(),1T t t +，正方形T 的边长为2.若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN △为等边三角形，直接写出t 的取值范围.4.【朝阳】28．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (t -2，0)，B (t +2，0).对于点P 给出如下定义：若∠APB=45°，则称P 为线段AB 的“等直点”．（1）当t =0时，①在点），（22201+P ，），（042-P ，）-，（2223-P ，），（524P 中,线段AB 的“等直点”是________；②点Q 在直线y =x 上，若点Q 为线段AB 的“等直点”，直接写出点Q 的横坐标．（2）当直线t x y +=上存在线段AB 的两个“等直点”时，直接写出t 取值范围．5.【石景山】28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和点C 给出如下定义：若点C 在弦AB 的垂直平分线上，且点C 关于直线AB 的对称点在⊙O 上，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点13(22A ,，13(22B -,．在点1(00)C ,，2(10)C ,，3(11)C ,，4(20)C ,中，弦AB 的“关联点”是；（2）若点1(0)2C ,是弦AB 的“关联点”，直接写出AB 的长；（3）已知点(02)M ,，(0)15N ,．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．6.【丰台】28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB和x轴上的点P，给出如下定义：将线段AB绕点P旋转180°可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB为⊙O以点P 为中心的“关联线段”．（1）如图，已知点A（-2，-1），B（-2，0），C（-2，１），D（-1，1），在线段AC，BD，CD中，⊙O以点P 为中心的“关联线段”是；x的取值范围；（2）已知点E（-4，1），线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标F （3）已知点E（m，1），若直线y=-x+2m上存在点F，使得线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围．备用图7.【昌平】28.对于在平面直角坐标系xOy 中⊙T 和⊙T 外的点P ，给出如下定义：已知⊙T 的半径为1，若⊙T 上存在点Q ，满足PQ ≤2，则称点P 为⊙T 的关联点.（1）如图1，若点T 的坐标为（0，0），28题图1①在点1P （3，0），2P （3，-2），3P （-2，2）中，是⊙T 的关联点的是____________；②直线2y x b =+分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，若线段AB 存在⊙T 的关联点，求b 的取值范围；（2）已知点C （0，D （1，0），T （m ，1），△COD 上的每一个点都是⊙T 的关联点，直接写出m 的取值范围.28题图28.【通州】28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．给出如下定义：过O 外一点P 做直线与O 交于点M 、N ，若M 为线段PN 的中点，则称线段PN 是O 的“外倍线”。
2022-2023学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案
2022-2023学年北京东城区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（每题2分，共16分）1. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为( ) x 220x x m -+=0m A. 2 B. 1C. 0D.1-【答案】C 【解析】【分析】将代入方程，即可求解．0x =220x x m -+=【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， x 220x x m -+=0∴， 0m =故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程是解题的关键． 0x =2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形C. 直角三角形D. 正五边形 【答案】A 【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A 、是中心对称图形，本选项正确； B 、不是中心对称图形，本选项错误； C 、不是中心对称图形，本选项错误； D 、不是中心对称图形，本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图形重合．3. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） 22(4)6y x =-+A. 有最大值4 B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6 【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数22(4)6y x =-+有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6）， 22(4)6y x =-+∴函数有最小值为6． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（ ） A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球【答案】A 【解析】【分析】列出摸出的三个球的颜色的所有可能情况即可．【详解】根据题意可得，摸出的三个球的颜色可能为：两个白球，一个黑球；一个白球，两个黑球；三个黑球，则可知摸出的三个球中，至少有一个黑球， 故必然事件是至少有一个黑球， 故选：A ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A. 180（1﹣x）2=461B. 180（1+x ）2=461C. 368（1﹣x）2=442D. 368（1+x ）2=442【答案】B 【解析】【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x ，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程：180（1+x ）2=461， 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．6. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D 在圆上，且， 则O AB AC 30ADC ∠=︒O 的半径为（ ）A. B. 5C. D.2.57.510【答案】B 【解析】【分析】连接,由题意易得，在中解三角形求解． BC 30ABC ADC ∠=∠=︒Rt ACB 【详解】连接,BC30ABC ADC ∴∠=∠=︒在中，是直径， O AB ，90ACB ∴∠=︒在中，Rt ACB ，，90ACB ∠=︒30ABC ∠=︒5AC =210AB AC ==5OA =故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含30︒直角三角形的性质是解题的关键．30︒7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC ，BD 分别与⊙O 切于点C ，D ，延长AC ，BD 交于点P ．若，⊙O 的半径为6cm ，则图中的120P ∠=︒ CD长为（ ）A. π cmB. 2π cmC. 3π cmD. 4π cm【答案】B 【解析】【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和90OCP ODP ∠=∠=︒求得，再利用弧长公式求得答案． 60COD ∠=︒【详解】连接OC 、OD ，分别与相切于点C ，D ，,AC BD Q O ∴，90OCP ODP ∠=∠=︒，120360P OCP ODP P COD ∠=︒∠+∠+∠+∠=︒， ∴，60COD ∠=︒的长， CD∴6062(cm)180ππ⨯==故选：B【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．8. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为ABCD O 20cm cm x ，阴影部分的面积为．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，cm y 2cm S 则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A. 一次函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，二次函数关系 C .二次函数关系，二次函数关系D. 二次函数关系，一次函数关系【答案】B 【解析】【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据152y x π=-+得到，由此即可得到答案．S S S =-阴影正方形圆2215254S x x πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边ABCD O 20cm cm x 长为， cm y ∴， 4220y x π+=∴， 152y x π=-+∵，S S S =-阴影正方形圆∴，22222211552524S y x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选B ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 二、填空题 (每题2分，共16分）9. 在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为xOy 245y x x =-+_________． 【答案】 (0,5)【解析】【分析】令，代入抛物线，得到点C 的纵坐标，即可得解． 0x =245y x x =-+【详解】解：依题意，令，得到，0x =5y =故抛物线与y 轴交于点C 的坐标为， 245y x x =-+(0,5)故答案为 ：(0,5)【点睛】本题考查了二次函数与y 轴交点问题，令，即可得到抛物线与y 轴交点的纵0x =坐标． 10. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线2112y x =+的解析式为_______． 【答案】 21(1)22y x =+-【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 2112y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 ()211132y x =++-即 ()21122y x =+-故答案为：． ()21122y x =+-【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．11. 请写出一个常数c 的值，使得关于x 的方程有两个不相等的实数根，则220x x c ++=c 的值可以是____________．【答案】0，（答案不唯一，即可）． 1c <【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 220x x c ++=所以 2Δ240c =->解得1c <故答案为：0，（答案不唯一，即可）1c <【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵）87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）【答案】0.9【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，故答案为：0.9．【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．【答案】（2，﹣1）【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．14. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D ，连接CD ．若∠B=50°，则∠OCD 的度数等于___________．【答案】20°##20度 【解析】【分析】连接OA ，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD 的度数．【详解】解：连接OA ，如图，∵AB 切⊙O 于点A ， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， ∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°， ∴∠ADC=∠AOB=20°， 12∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°． 故答案为：20°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所12=围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米120︒．）21.73≈【答案】 8.92【解析】【分析】由题意可知于D ，交圆弧于C ，由题意得米，解得OC AB ⊥4AO =120AOB ∠=︒米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得122OD OA ==CD AD AB 出结果．【详解】解：如图，由题意可知，，，（米），120AOB ∠=︒AB CD ⊥4OA OB ==， 30,90DAO ADO ∴∠=︒∠=︒12AD BD AB ==（米）122OD OA ∴==（米）422CD OC OD ∴=-=-=AD ∴===（米）2AB AD ∴==弧田面积 ∴()212AB CD CD =⨯+()21222=⨯+2=+（平方米）8.92≈故答案为：8.92【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O ，在矩形外有一点P ，，,4,2ABCD AB AD ==3OP =当矩形绕着点O 旋转时，则点P 到矩形的距离d 的取值范围为__________．【答案】 32d ≤≤【解析】【分析】根据题意分别求出当过的中点E 时，此时点P 与矩形上所有点的OP AB ABCD 连线中，；当过顶点A 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，；d PE =OP ABCD d PA =当过顶点边中点F 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，，即OP AD ABCD d PF =可求解．【详解】解：如图，当过的中点E 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，OP AB ABCD ，， d PE =112OE AD ==∴；2d PE OP OE ==-=如图，当过顶点A 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，，OP ABCD d PA =矩形，中心为O ，,4,2ABCD AB AD ==∴，2,90BC AD B ==∠=︒∴， AC ==∴ 12OA AC ==∴；3d AP OP OA ==-=-如图，当过顶点边中点F 时，此时点P 与矩形上所有点的连线中，OP AD ABCD ，， d PF =122OF AB ==∴；1d PF OP OF ==-=综上所述，点P 到矩形的距离d 的取值范围为．32d ≤≤故答案为：32d ≤≤【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d 的值是解题的关键．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在上．O 求作：的切线．O AB作法： ①作射线；OA ②以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C 和点D ；OA ③分别以点C ，D 为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B ； 12CD ④作直线．AB 则直线即为所求作的的切线.AB O 根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接，．BC BD 由作图可知，， ．AC AD =BC =∴ ．BA OA ∵ 点A 在上，O ∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．AB O 【答案】（1）见解析；（2）；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．BD ⊥【解析】【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；（2）结合作图，完成证明过程即可．【小问1详解】补全图形如图所示，【小问2详解】证明：连接，．BC BD由作图可知，，．AC AD =BC BD =∴，BA OA ⊥∵ 点A 在上，O ∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，AB O 故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线BD ⊥【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．18. 如图，是的直径，弦于点E ，，若，求的AB O CD AB ⊥2CD OE =4AB =CD 长.【答案】.CD =【解析】【分析】由垂径定理得到，推出，在中，利用勾股定理即CE DE =CE OE =Rt COE △可求解.【详解】解：如图，连接． OC∵是的直径，弦于点E ，AB O CD AB ⊥∴．CE DE =又∵，2CD OE =∴．CE OE =∵，4AB =∴．2OC =在中，，Rt COE △222CE OE OC +=∴CE =∴．CD =【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．19. 下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，2240x x p --=()0p >解答下面的问题．2240x x p --=解：移项，得：．①224x x p -=二次项系数化为1，得：．② 222p x x -=配方，得．③ 2212p x x -+=即. 2(1)2p x -=∵，0p >∴ 1x -=∴ 11x =+11x =（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．【答案】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（2）不正确，解答从第③步开始出错， 1x =2x =【解析】【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【小问1详解】等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；【小问2详解】不正确，解答从第③步开始出错，正确的步骤为：配方，得．③ 22112p x x -+=+即 22(1)2p x +-=∵，0p >∴．④ 1x -=∴．⑤ 1x =2x =此方程的解为． 1x =2x =【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．20. 如图，已知抛物线L ：y ＝x 2+bx+c 经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．（1）求b ，c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．求点M 的坐标；【答案】（1），；（2）交点M 的坐标为（2，-3）．4b =-5c =-【解析】【分析】（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式，求解方程组即可；（2）设直线AB 的解析式为：，将点A 、点B 坐标代入函数解析式求解确()0y kx b k =+≠定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M 的坐标．【详解】解：（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：， 50255c b c -=⎧⎨=++⎩解得：， 45b c =-⎧⎨=-⎩∴，；4b =-5c =-（2）设直线AB 的解析式为：，()0y kx b k =+≠将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：， 505b k b-=⎧⎨=+⎩解得：， 15k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数解析式为：，5y x =-由（1）得二次函数解析式为：，245y x x =--对称轴为：， 22b x a=-=直线与的交点为M ，5y x =-2x =∴当时，，2x ==3y -∴交点M 的坐标为（2，-3）．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点(每A B O 个小正方形的顶点叫做格点)．（1）作点关于点的对称点；A O 1A （2）连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点为，1AB 1A B 1A 90︒11A B B 1B 画出旋转后的线段；11A B （3）连接，，求出的面积（直接写出结果即可）．1AB 1BB 1ABB 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）8【解析】【分析】（1）根据网格的特点作出点关于点的对称点；A O 1A（2）根据题意，画出旋转后的线段，即可求解；11A B （3）根据网格的特点，以及三角形面积公式求得面积即可求解．【小问1详解】解：如图所示，点即为所求；1A 【小问2详解】解：如图所示，线段即为所求；11A B 【小问3详解】解：如图所示，． 118282ABB S =⨯⨯= 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，网格中求三角形面积，数形结合是解题的关键．22. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A ，B ，C ，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率． 【答案】 13【解析】【分析】先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出小明和小亮选择相同模块的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画树状图如下：由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，小明和小亮选择相同模块的结果有3种． 则小明和小亮选择相同模块的概率为， 3193P ==答：小明和小亮选择相同模块的概率为． 13【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．23. 已知关于x 的一元二次方程． ()22120x m x m +++-=（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解．【答案】（1）见解析 （2），m =122,1x x =-=【解析】【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；（2）求出判别式的值最小时的m 的值，再解一元二次方程即可．【小问1详解】证明：∵，22(21)4(2)49m m m ∆=+-⨯-=+∵，20m ≥∴．2Δ490m =+>∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由题意可知，当时，的值最小．0m =249m ∆=+将代入，得0m =2(21)20x m x m +++-=220x x +-=解得：．122,1x x =-=【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．24. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：y m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两x 2()y a x h k =-+(0)a <次投掷．（1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：x y 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10竖直距离y/m 1.67 2.632.95 2.63 1.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；2()y a x h k =-+(0)a <（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离近似满足函数关系x ．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点20.09( 3.8) 2.97y x =--+1d 的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)．2d 1d 2d 【答案】（1），2.9520.08(4) 2.95y x =--+（2）＞【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 和，然后进行比较即可．1d 2d 【小问1详解】解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为， (42.95)，所以实心球竖直高度的最大值为，2.95设抛物线的解析式为：，2(4) 2.95y a x =-+将点代入，得， (01.67)，1.67162.95a =+解得，0.08a =-∴抛物线的解析式为：；20.08(4) 2.95y x =--+【小问2详解】解：第一次抛物线解析式为，20.08(4) 2.95y x =--+令，得到（负值舍去）， 0y =4x =+第二次抛物线的解析式为，20.09( 3.8) 2.97y x =--+令，得到（负值舍去）0y = 3.8x =+， 4 3.8+>+ ，12d d ∴>故答案为：>【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25. 如图，点在以为直径的上，平分交于点D ，交于点E ，C AB O CD ACB ∠O AB 过点D 作交F ．DF AB CO（1）求证：直线是的切线；DF O（2）若°，DF 的长．30A ∠=AC =【答案】（1）见解析 （2） FD =【解析】【分析】（1）连接，证明可得结论；OD DF OD AB OD ⊥⊥，，（2）再中，，，得到，，再在Rt ACB △30A ∠=︒AC =4AB =2OD =Rt ODF △中，由，继而求得；60F ∠=︒FD 【小问1详解】证明：连接． OD∵ 是的直径，平分，AB O CD ACB ∠ AD DB∴=∴ .90AOD BOD ∠=∠=︒又∵ ，FD AB ∥∴ ．90ODF BOD ∠=∠=︒即 ．OD DF ⊥∴ 直线为的切线．DF O 【小问2详解】解：∵ 是的直径，AB O ∴．90ACB ∠=︒又∵，，30A ∠=︒AC =∴ ．4AB =∴ ．2OD =∵ ，AO CO =30ACO A ∴∠=∠=︒∴ .60COB A ACO ∠=∠+∠=︒∵ ，DF AB ∴ ,60F ∠=︒，30FOD ∴∠=︒设则，,FD x =22OF FD x ==又，2OD =在中，由勾股定理得：，Rt ODF △22224x x +=解得：， x =故 FD =【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．26. 已知二次函数． ()2430y ax ax a =-+≠（1）求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．（2）已知点都在该二次函数图象上，()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）；1y 2y 1y 2y >=<②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．1y 2y 3y 4y 【答案】（1）抛物线与y 轴交点的坐标为，对称轴()0,32x =（2）①； ② =3154a -≤<-【解析】【分析】（1），可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可0x =求解；（2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点()()12,3,1,y y 2x =在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：()()()2341,,,1,2,y y y --()13,y 当时，当时，即可求解．0a >a<0【小问1详解】解：令，则，0x =3y =∴抛物线与y 轴交点的坐标为 ．()0,3对称轴． 422a x a-=-=【小问2详解】解：① ∵函数图象的对称轴为直线，2x =∴点关于直线对称，()()12,3,1,y y 2x =∴，12y y =故答案为：；=②∵函数图象的对称轴为直线，，2x =3112>>->-∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧．()()()2341,,,1,2,y y y --()13,y 当时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，0a >∴，不合题意．1234y y y y =<<当时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，则，a<01234y y y y =>>，，，四个函数值可以满足，1y 2y 3y 4y 12340y y y y >=≥>∴，340,0y y ≥<即当时，，当时，．=1x -3430y a a =++≥2x =-44830y a a =++<解得 ． 3154a -≤<-【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．27.如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，ABC 90ACB AC BC ∠=︒=，D AC 连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于点，BD BD D 90︒DE E EFAC ⊥F 连接． AE（1）依题意补全图形；（2）比较与的大小，并证明；AF CD （3）连接，为的中点，连接，用等式表示线段之间的数量BE G BE CG CD CG BC ，，关系，并证明．【答案】（1）见解析 （2），见解析AF CD =（3），见解析BC CD =【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；（2）根据旋转的性质以及等腰直角三角形可以得到全等三角形，再根据全等三角形的性质即可求出结论；（3）根据题意画出已知图形，再根据图形得到全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结论．【小问1详解】解：补全图形如图所示【小问2详解】解：，理由如下：AF CD =∵EF AD ⊥∴90EFD ∠=︒∵90ACB ∠=︒∴EFD BCD ∠=∠∵90ACB ∠=︒∴90CBD CDB ∠∠=︒＋由题意可知，90BDE ∠=︒∴90EDF BDC ∠∠=︒＋∴EDF CBD ∠=∠在和中EFD △DCB △EDF CBD EFD DCB ED BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌EFD △()AAS DCB ∴EF CD DF BC ==，∵BC AC =∴AC DF =∴AF CD =【小问3详解】解： 理由如下：BC CD =连接，DGFG∵ ，为的中点，DE BD =G BE 90BDE ∠=︒∴EG BG DG ==，90DGB ∠=︒∵90EFD DGE ∠=∠=︒∴GEF CDG ∠=∠在和中EFG DCG △EF DC GEF CDG EG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌ EFG SAS DCG （）∴，FG CG =EGF DGC ∠=∠∴90EGF EGC DGC EGC ∠+∠=∠+∠=︒即90CGF ∠=︒∴为等腰直角三角形CGF △∴CF =∵ ，BC AC AF CF ==+AF CD ＝∴BC CD =+【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等相关知识点，掌握全等三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M 绕直线上某一点P 顺时xOy 3x =针旋转，再关于直线对称，得到图形N ，我们称图形N 为图形M 关于点P 的二次90︒3x =关联图形．已知点．()0,1A （1）若点P 的坐标是，直接写出点A 关于点P 的二次关联图形的坐标________；()3,0（2）若点A 关于点P 的二次关联图形与点A 重合，求点P 的坐标（直接写出结果即可）；（3）已知的半径为1，点A 关于点P 的二次关联图形在上且不与点A 重合． O O 若线段，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时 P 点1AB =O 坐标及点B 的纵坐标的取值范围．B y 【答案】（1）()2,3（2）()3,2-（3），， ()3,3-12102B y ≤≤【解析】【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D ，可A 'A ''A 'A D x '⊥证得，从而得到，即可求解；AOP PDA ' ≌1,3OA PD OP A D '====（2）根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，过点P 作轴于点PE y ⊥E ，过点作轴交延长线于点F ，坐标为m ，表达点的坐标，可得出结论；A 'A F x '⊥EP A '（3）由（2）可知，点的坐标，由A 关于点P 的二次关联图形在上且不与点A 重合A ''O 可得出点的坐标，由线段，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及A ''1AB =O 其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点B 的坐标，即可得出的取值B ''B ''B y 范围．【小问1详解】如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点D ，A 'A ''A 'A D x '⊥∴90A DP AOP '∠=∠=︒由旋转可知，，90,APA AP A P ''∠=︒=∴，90APO A PD A PD PA D '''∠+∠=∠+=︒∴，APO PA D '∠=∠∴，()AAS AOP PDA ' ≌∴，1,3OA PD OP A D '====∴，()4,3A '∵点和关于直线对称，A 'A ''3x =∴点，()2,3A ''即点A 关于点P 的二次关联图形的坐标为；()2,3故答案为：()2,3【小问2详解】解：根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，如图，过点P 作轴于点E ，过点作轴交延长线于点F ，PE y ⊥A 'A F x '⊥EP由（1）得： ，AEP PFA ' ≌∴，1,3AE PF m EP A F '==-==∴，()4,3A m m '-+根据题意得：点A 和点关于直线对称，A '3x =∴，46m -=解得：，2m =-∴点P 的坐标为，()3,2-【小问3详解】解：设点P 的纵坐标为n ，由（2）得：，()4,3A n n '-+∴，()2,3A n n ''++∵在上，A ''O ∴，()()22231n n +++=解得：（舍去）或，2n =-3-∴点P 的坐标为，()3,3-∵，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，1AB =AB O 此时点是一个临界点，连接，如图， B ''OB∵，1OA A B OB ''''''''===∴是等边三角形，OA B '''' 过点作轴于点M ，则， B ''B M x ''⊥12A M OM ''==∴ B M ''=∴， 1,2B ⎛''- ⎝∴， 13,2B ⎛' ⎝∴， 12B ⎫⎪⎭由对称性得：另一个点的坐标为， 12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴的取值范围为． B y 102B y ≤≤【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．。
北京市房山区2012届九年级上学期期末考试数学试卷
房山 2011——2012学年度第一学期终结性检测试卷一、（本题共32分，每小题4分）1．若3:4:=b a ，则下列各式中正确的式子是（ ）.A ．b a 34=B ．31-=-b b aC ．34=a b D ．b a 43=2、两个圆的半径分别是2cm 和7cm ，圆心距是8cm ，则这两个圆的位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切3、已知圆锥的母线长和底面圆的直径均是10㎝，则这个圆锥的侧面积是（ ）. A.50π㎝2 B. 50π㎝2 C. 50π㎝2 D. 50π㎝2.4、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，BD=2，则BCDE的值是（ ）A.32B.21C.43D.535．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 436．将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为（ ）.A ．22(1)y x =+ B ．22(1)y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =-7. 如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．8C ．43D ．838、根据图1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，如图2．若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ．则以下结论： ①x ＜0 时，②△OPQ 的面积为定值． ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大．MQ=2PM ．⑤∠POQ 可以等于90°．其中正确结论是（ ）A 、①②④B 、②④⑤C 、③④⑤D 、②③⑤PBAOED CB A二、（本大题共16分，每小题4分）填空题： 9．在△ABC 中，∠C=90° ，1cos 2B =，则B ∠= . 10. 已知反比例函数2k y x-=，其图象在第二、四象限内，则k 的取值范围是 . 11、 把抛物线=y 223x x --化为=y ()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m-k =.12. 如图，圆圈内分别标有0,1,2,3,…,11这12个数字，电子跳骚每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳骚从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 三、(本大题共30分，每小题5分)解答题：13. 计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos 245° 解：14. 已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，-4）和（-1，2）. 求抛物线解析式. 解：15. 如图：AC ⌒ =CB ⌒ ，D E ，分别是半径OA 和OB 的中点 求证：CD=CE. 证明：16. 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，F 是AB 上一点，连接DF 并延长交CB 的延长线于E.求证：AD ：AF ＝CE ：AB 证明：CBOEDA第3页17. 如图，△ABC 内接于⊙O ，点E 是⊙O 外一点，EO ⊥BC 于点D. 求证：∠1=∠E. 证明：18. 如图，在Rt OAB △中，90OAB ∠=，且点B 的坐标为（4，2）． （1）画出OAB △绕点O 逆时针旋转90后的11OA B △; （2）求点A 旋转到点1A 所经过的路线长． 解：四、（本大题共20分，每小题5分）解答题： 19、今年“五一”假期．某数学活动小组组织一次登山活动。
北京市怀柔区2012届九年级上学期期末考试数学试题
7题图6题图5题图4题图怀柔区2011——2012学年度第一学期期末九年级教学质量检测数 学 试 卷 2012.1一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．13-的相反数是 （ ） A ．3- B ．3 C ．13-D ．132．已知，ABC △中，∠C=90°，sin ∠3，则∠A 的度数是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ． 90° 3．若反比例函数2k y x+=的图象位于第二、四象限内，则k 的取值范围是 （ ） A ．2k >- B ．2k <- C ．0k > D ．0k <4．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝3，则弦AB 的长为（ ）. A ． 8 B ．6C ．4D ．105．如图，D 是ABC △边AB 上一点，则下列四个条件不．能单独判定．．．．．ABC ACD △∽△的是( ) A ．B ACD ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AC AB CD BC=D ．2AC AD AB =⋅6．如图，若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是 ( ) A ．12 B ．56 C ．13 D ．237．如图，BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上两点，若∠D = 35°，则∠OAC 的度数是 ( )A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=x ，CE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 ( )二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE=1，BC =3，那么△ADE 与△ABC 面积的比为 ．10．如图，点A 、B 、C 是半径为3cm 的⊙O 上三个点，且︒=∠30ABC ， 则劣弧 »AC 的长是 .11．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上， 则∠AED 的正弦值等于 ．12．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填 整数之和都相等，则第99个格子中的数为 ，2012个格子中的数为 .三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 452cos 60360+18.︒+︒︒ 14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x 轴交点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.3abc－12…11题图10题图AEOBC DOABCDE9题图BCAE解15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来．解：16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7. 求cos ∠C. 解：17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：18．如图，在ABC △中，90C =o∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，AC=8，BC=6．求DE 的长．解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米， 此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=o，牵引底端B 离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度． 解：20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．球 两 红 一红一白 两 白 礼金券（元）205020乙超市：球两 红一红一白两 白礼金券（元） 50 20 50（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=o，延长AB 到点C ，使得∠ACD =45°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若22AB =OC 的长．证明：22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积.解：五、解答题（本题共22分， 23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转BC D EDBACOAxyB OCD(第25题)α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=o时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③解：25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积. 解：x yαFE DBO AC xy αF ED BOAC参考答案一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 101112 答案91π55 2； －1三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2sin 452cos 6060︒+︒︒解: 原式=12+222⋅⋅分 =………………………………………………5分14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x 轴交点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.解（1）228y x x =--=x 2－2x+1－1－8=(x －1)2 －9.………………………………………………3分(2)抛物线的顶点坐标是 (1，－9)抛物线的对称轴方程是 x =1 ……………………………4分 抛物线与x 轴交点坐标是（－2，0）（4，0）；当x ＞1 时，y 随x 的增大而增大. ………………………………5分 15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来． 解： 去括号，得 4x ＋4≤5x ＋8 ……………………………… 1分 移项、合并同类项，得－x ≤4……………………………… 3分系数化为1，得 x ≥4- ……………………………… 4分不等式的解集在数轴上表示如下：………………… 5分16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3， BC =7.BCAED求cos ∠C.解:方法一、作DE ⊥BC ，如图1所示，…………1分 ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，∴四边形ABED 是正方形.…………………2分 ∴DE=BE=AB =3. 又∵BC =7，∴EC =4，……………………………………3分 由勾股定理得CD =5.…………………………4分 ∴ cos ∠C=45EC CD =.…………………………5分 方法二、作AE ∥CD ，如图2所示，……………1分 ∴∠1=∠C ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形.………………2分 ∵A B=AD=3，∴EC=AD =3， 又∵BC =7，∴BE=4，……………………………………3分∵ AB ⊥BC ，由勾股定理得AE=5. ………………4分 ∴ cos ∠C= cos ∠1=45BE AE =. …………………………5分 17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， ………………………………………1分Q 抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩… ………4分∴抛物线的解析式为223y x x =-++. ……………………………………5分18．如图，在ABC △中，90C =o∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长． 解：在ABC △中，9086C AC BC ===o，，∠， 2210AB AC BC ∴=+=．…………………2分又6BD BC ==Q ，4AD AB BD ∴=-=． DE AB ⊥Q ，90ADE C ∴==o∠∠．又A A =Q ∠∠， AED ABC ∴△∽△．………………………………4分图1图2DE ADBC AC∴=． .3684=⨯=⋅=BC AC AD DE ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=o，牵引底端B 离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度．解：依题意得，90CDB BAE ABD AED ∠=∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABDE 是矩形 ，…………1分1.5.DE AB ∴== ……………2分在Rt BCD △中，sin ,CDCBD BC∠=……………3分 又∵ 20BC = ，60CBD ∠=o，由BCCD=ο60sin ∴ 3sin 6020103CD BC =⋅︒=⨯= .……………4分 103 1.5CE ∴=+ .………………………………………5分即此时风筝离地面的高度为()103 1.5+米 .20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．球 两 红 一红一白 两 白 礼金券（元）205020乙超市：球 两 红 一红一白 两 白 礼金券（元）502050（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：（1）树状图为：…………2分（2）∵去甲超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （甲）=64=32，…………3分去乙超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （乙）=62=31……………………4分 ∴我选择去甲超市购物……………………………………………………………………5分21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=o，延长AB 到点C ，使得∠ACD =45°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB =OC 的长． （1）证明：连接OD .∵OA OD =，22.5A ∠=o， 22.5ODA A ∴∠=∠=︒，45DOC ∴∠=︒ . ……………………1分∵45ACD ∠=o，90ODC ∴∠=︒ ，OD CD ∴⊥ . ……………………2分又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线 .……………………3分 （2）∵直径AB =12OD AB ∴==. …………… 4分 在Rt OCD △中，sin ODC OC= ，∴sin 45OC ︒= ，∵sin 452︒=，2OC ∴= .……………………5分22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积. 解：（1）解：连结OD ，OC ，∵半圆与AC ，BC 分别相切于点D ，E .∴DCO ECO ∠=∠，且OD AC ⊥.…………………1分∵AC BC =， ∴CO AB ⊥且O 是AB 的中点.∴122AO AB ==.AC∵120C ∠=︒，∴60DCO ∠=︒. ∴30A ∠=︒.∴在R t AOD △中，112OD AO ==. 即半圆的半径为1. ……………………………………….3分（2）设CO =x ，则在R t AOC △中，因为30A ∠=︒，所以AC =2x ，由勾股定理得：222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -= 解得 23x =23x =舍去）∴ 112343422ABC S AB OC =⋅=⨯=△. …………………….4分 ∵ 半圆的半径为1， ∴ 半圆的面积为2π,∴ 438332S ππ-=-=阴影….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：作AE y ⊥轴于E ∵42AOD S OD ==△， ∴.421=⋅AE OD ∴4AE =. ………………………………………1分 ∵AB OB C ⊥，为OB 的中点，∴90DOC ABC OC BC OCD BCA ==︒==∠∠，，∠∠. ∴Rt Rt DOC ABC △≌△.…………………………………3分∴2AB OD ==. ∴A （4，2）. 将A （4，2）代入1k y x =中，得8k =. 18y x∴=． ……………4分 将()42A ，和()02D ，-代入2y ax b =+，得422a b b +=⎧⎨=-⎩解之得：12a b =⎧⎨=-⎩∴22y x =-.…………………………………………………………………5分 （2）在y 轴的右侧，当12y y >时，04x <<． ………………………6分当1y ＜2y 时x ＞4. ……………………………………………………7分24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角,旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=o时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③解：（1）E （4，132） ………………………………………………1分（2）︒60 …………………………………………………………………2分 （3）设x CG =，则x EG =，x FG -=6，在Rt △FGC 中，∵222CG FG CF =+，∴222)6(4x x =-+，解得 313=x ，即313=CG . ∴G （4，313）. …………………………………………………………4分（4）设以点C 为顶点的抛物线的解析式为2)4(-=x a y .x y αFE DBO A C xy αF ED BOACx(第25题)x把A （0，6）代入得，2)40(6-=a . 解得， 83=a . ∴此抛物线的解析式为2)4(83-=x y .……………………………………6分 ∵矩形EDCF 的对称中心为对角线FD 、CE 的交点H ，∴由题意可知H 的坐标为（7，2）. 当7=x 时，2827)47(832≠=-=y ， ∴点H 不在此抛物线上. ………………………………………………7分25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. …………2 (2) 答：l 与⊙C 相交. ……………………………………3证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）. ∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ， 则90BEC AOB ∠=︒=∠.∵90ABD ∠=︒，∴∠ABO ＋∠CBE =90°. 又∵∠ABO ＋∠BAO =90°，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆.∴CE BCOB AB =.∴2CE =.∴2CE =>.…………4分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. …………………5分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .由点A （0,3）点C （6,0）可求出直线AC 的解析式为132y x =-+.………………6分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………8分解答(3)的关键是作PQ ∥y 轴交AC 于Q ，以PQ 为公共底，OC 就是高，用抛物线、直线解析式表示P 、Q 两点的纵坐标，利用三角形的面积推导出面积与P 点横坐标m 的函数关系式， 即：2327(3)44PAC S m ∆=--+.评分说明：部分解答题有多种解法，以上各题只给出了部分解法，学生的其他解法可参照评分标准给分.。
2016-2017学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷含答案解析
2016-2017学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）（2019•开封一模）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≥﹣4D．k≥42．（3分）（2016•南充）抛物线y＝x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2 3．（3分）（2016秋•仙桃期末）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）（2016•宜昌）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组5．（3分）（2016秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+1）2+1B．y＝（x﹣3）2+1C．y＝（x﹣3）2﹣5D．y＝（x+1）2+2 6．（3分）（2016•苏州）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定7．（3分）（2016•河北）如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）（2016•宁波）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm29．（3分）（2016•湖州）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°10．（3分）（2016秋•东城区期末）城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（）A．4.8B．5C．5.2D．5.5二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）（2016秋•东城区期末）请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是．12．（3分）（2016•菏泽）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝．13．（3分）（2016秋•东城区期末）二次函数y＝x2﹣4x﹣2的最小值为．14．（3分）（2016秋•东城区期末）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为米．15．（3分）（2016秋•东城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为．16．（3分）（2016秋•东城区期末）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点D的坐标为；菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）（2018秋•丹东期末）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）18．（5分）（2016秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AD是中线，∠B＝∠DAC，若BC ＝8，求AC的长．19．（5分）（2016秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．20．（5分）（2016秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y1（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB＝4，AB＝3．（1）求反比例函数y1（x＞0）的解析式；（2）设经过C，D两点的一次函数解析式为y2＝k2x+b，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当y2＞y1时，x的取值范围．21．（5分）（2016秋•东城区期末）列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，求原正方形空地的边长．22．（5分）（2016秋•东城区期末）按照要求画图：（1）如图甲，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点为点A1，B1，C1．画出旋转后的△A1B1C1；（2）如图乙，下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．23．（5分）（2018•吉林模拟）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．24．（5分）（2016秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．25．（5分）（2019•临清市一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，AD＝4，求CE的长．26．（5分）（2016秋•东城区期末）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）27．（7分）（2016秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标；（3）将抛物线在B，C之间的部分记为图象G（包含B，C两点），若直线y＝5x+b与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．28．（7分）（2016秋•东城区期末）点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．29．（8分）（2016秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k．（1）若图形W是由A（﹣2，﹣1），B（﹣2，1），C（2，1），D（2，﹣1）顺次连线而成的矩形：①l1：y＝x+2，l2：y＝x+1，l3：y＝﹣x﹣3这三条直线中，与图形W成“相关”的直线有；②画出一条经过（0，1）的直线，使得这条直线与W成“相关”；③若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y x平行，与y轴交于点Q，求点Q纵坐标y Q的取值范围；（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于x轴上．若直线y x与图形W 成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标x K的取值范围．2016-2017学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）（2019•开封一模）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≥﹣4D．k≥4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝42﹣4k＝16﹣4k＝0，解得：k＝4．故选：A．2．（3分）（2016•南充）抛物线y＝x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．故选：B．3．（3分）（2016秋•仙桃期末）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．4．（3分）（2016•宜昌）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组【解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．故选：D．5．（3分）（2016秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+1）2+1B．y＝（x﹣3）2+1C．y＝（x﹣3）2﹣5D．y＝（x+1）2+2【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣1可化简为y＝（x﹣1）2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式y＝（x﹣1+2）2﹣2+3＝（x+1）2+1；故选：A．6．（3分）（2016•苏州）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，∴每个象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故选：B．7．（3分）（2016•河北）如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选：C．8．（3分）（2016•宁波）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【解答】解：∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．9．（3分）（2016•湖州）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°【解答】解：连接OC，∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∴AB是直径，∵∠A＝25°，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∵CD是圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：B．10．（3分）（2016秋•东城区期末）城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（）A．4.8B．5C．5.2D．5.5【解答】解：将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：，解得：，∴y＝﹣0.45x2+4.72x﹣11.25，当x 5.244时，y取得最大值，故选：C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）（2016秋•东城区期末）请你写出一个图象分别位于第二、四象限的反比例函数的解析式，这个解析式可以是y（答案不唯一）．【解答】解：∵函数图象分别位于第二、四象限，∴k＜0，∴符合条件的函数解析式为：y（答案不唯一）．故答案为：y（答案不唯一）．12．（3分）（2016•菏泽）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝6．【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴2m2﹣4m＝6，故答案为：6．13．（3分）（2016秋•东城区期末）二次函数y＝x2﹣4x﹣2的最小值为﹣6．【解答】解：y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣6，故答案为：﹣6．14．（3分）（2016秋•东城区期末）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为38米．【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设祈年殿DE的高度为x米，则可列比例为，解得x＝38．所以祈年殿DE的高度为38米．故答案为38．15．（3分）（2016秋•东城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：由旋转可知AD＝BD，∵∠ACB＝90°，AC＝2，∴CD＝BD，∵CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝∠CBD＝60°，∴BC AC＝2，∴阴影部分的面积22÷2，故答案为：．16．（3分）（2016秋•东城区期末）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点D的坐标为（1，1）；菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（﹣1，﹣1）．【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得D点坐标为（，），即（1，1）．每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），故答案为：（1，1），（﹣1，﹣1）．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）（2018秋•丹东期末）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0x2﹣2x0x2﹣2x+11（x﹣1）2∴x1＝1，x2＝1．18．（5分）（2016秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AD是中线，∠B＝∠DAC，若BC ＝8，求AC的长．【解答】解：∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴，∴AC2＝CD•BC，∵AD是中线，BC＝8，∴CD＝4，∴AC＝4．19．（5分）（2016秋•东城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．【解答】解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE，∴BE＝OB﹣OE＝4．20．（5分）（2016秋•东城区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△ABO 的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y1（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB＝4，AB＝3．（1）求反比例函数y1（x＞0）的解析式；（2）设经过C，D两点的一次函数解析式为y2＝k2x+b，求出其解析式，并根据图象直接写出在第一象限内，当y2＞y1时，x的取值范围．【解答】解：（1）∵OB＝4，AB＝3，点A在第一象限，∴点A的坐标为（4，3），∵点C为线段OA的中点，∴点C的坐标为（2，）．∵点C在反比例函数y1（x＞0）的图象上，∴k1＝23．∴反比例函数的解析式为y（x＞0）．（2）当x＝4时，y，∴点D的坐标为（4，）．将C（2，）、B（4，）代入y2＝k2x+b，，解得：，∴一次函数解析式为y2x．观察函数图象可知：当2＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y2＞y1时，x的取值范围为2＜x＜4．21．（5分）（2016秋•东城区期末）列方程或方程组解应用题：公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，求原正方形空地的边长．【解答】解：设原正方形空地的边长为xm，根据题意，得（x﹣1）（x﹣2）＝20，解方程，得x1＝6，x2＝﹣3（舍），答：原正方形空地的边长为6m．22．（5分）（2016秋•东城区期末）按照要求画图：（1）如图甲，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，3），（﹣4，1），（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点为点A1，B1，C1．画出旋转后的△A1B1C1；（2）如图乙，下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．【解答】解：（1）如图甲所示：旋转后的△A1B1C1即为所求；（2）如图乙所示：答案不唯一．23．（5分）（2018•吉林模拟）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为；（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．24．（5分）（2016秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可求点A的坐标为（3，0）．将点A（3，0）和点B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得解得∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，∵点C的坐标为（0，3），点D（1，0），∴满足条件的点P的纵坐标为2．∴﹣x2+2x+3＝2．解得，．∴点P的坐标为，或，．25．（5分）（2019•临清市一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O 于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，AD＝4，求CE的长．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．∴∠ODA＝∠DAC．∴OD∥AE．∵DE⊥AE，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵OB是直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADB＝∠E．又∵∠BAD＝∠DAC，∴△ABD∽△ADE．∴．∴AB＝10．由勾股定理可知．连接DC，∴．∵A，C，D，B四点共圆．∴∠DCE＝∠B．∴△DCE∽△ABD．∴．∴CE＝2．26．（5分）（2016秋•东城区期末）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，∴点D为线段BC的中点，BC＝4，∴AD＝2；（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，∴点D为AC的中点，∴AD，∴BD；如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积为：，∴△ADE的面积是2，设AD＝a，则，得a2＝4，∴DE．27．（7分）（2016秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标；（3）将抛物线在B，C之间的部分记为图象G（包含B，C两点），若直线y＝5x+b与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，m﹣4＝﹣3．∴m＝1．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图，点A关于抛物线的对称轴对称的点是B，连接BC交对称轴于点P，则点P就是使得P A+PC的值最小的点．由y＝x2﹣2x﹣3，得对称轴是x＝1，由B（3，0），C（0，﹣3），得直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，∴点P的坐标为（1，﹣2）．（3）当x＝0时，直线y＝5x+b≤﹣3，解得b≤﹣3；直线y＝5x+b与抛物线相切时，得x2﹣7x﹣（3+b）＝0，49+4（﹣3﹣b）≥0，解得b，符合题意的b的取值范围是b≤﹣3．28．（7分）（2016秋•东城区期末）点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE 之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．【解答】解：（1）OE＝OF．理由：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）补全图形如右图2，OE＝OF仍然成立．证明：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，又∵点O为AC的中点，∴AO＝CO，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG（ASA），∴OG＝OE，∴Rt△EFG中，OF EG，∴OE＝OF；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．证明：①如图2，当点P在线段OA上时，∵∠OEF＝30°，∠EFG＝90°，∴∠OGF＝60°，由（2）可得，OF＝OG，∴△OGF是等边三角形，∴FG＝OF＝OE，由（2）可得，△AOE≌△COG，∴CG＝AE，又∵CF＝GF+CG，∴CF＝OE+AE；②如图3，当点P在线段OA延长线上时，∵∠OEF＝30°，∠EFG＝90°，∴∠OGF＝60°，同理可得，△OGF是等边三角形，∴FG＝OF＝OE，同理可得，△AOE≌△COG，∴CG＝AE，又∵CF＝GF﹣CG，∴CF＝OE﹣AE．29．（8分）（2016秋•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离不小于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线与图形W的相关系数为k．（1）若图形W是由A（﹣2，﹣1），B（﹣2，1），C（2，1），D（2，﹣1）顺次连线而成的矩形：①l1：y＝x+2，l2：y＝x+1，l3：y＝﹣x﹣3这三条直线中，与图形W成“相关”的直线有l1和l2；②画出一条经过（0，1）的直线，使得这条直线与W成“相关”；③若存在直线与图形W成“2相关”，且该直线与直线y x平行，与y轴交于点Q，求点Q纵坐标y Q的取值范围；（2）若图形W为一个半径为2的圆，其圆心K位于x轴上．若直线y x与图形W 成“3相关”，请直接写出圆心K的横坐标x K的取值范围．【解答】解：（1）①如图1中，直线l1与l2图形W成“相关”的直线．故答案为l1和l2．②符合题意的直线如图2中所示．夹在直线a和b或c和d之间的（含直线a，b，c，d）都是符合题意的．③如图3中，设符合题意的直线的解析式为y x+b，由题意可知符合题意的临界直线分别经过点（﹣1，1），（1，﹣1）．分别代入可求出b1＝1，b2＝﹣1，∴﹣1y Q≤1．（2）如图4中，⊙K与直线交于点A、B，直线与x轴交于点D（﹣3，0），作KC⊥AB 于C．在Rt△AKC中，∵AC＝BC，KA＝2，∴CO，在Rt△CDK，∵∠CDO＝30°，∴DK＝2CO，根据对称性可知，当﹣3x K≤﹣3时，若直线y x与图形W成“3相关”．第31页（共31页）。
北京市东城区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案
北京市东城区2023年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题每题2分，共16分。
1. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则m 的值为( )A. 2 B. 1C. 0 D. 答案；C2. 下列图形中是中心对称图形的是（ ）A. 正方形 B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 正五边形答案；A3. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A. 有最大值4B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6答案；D4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（ ）A. 至少有1个球是黑球B. 至少有1个球是白球C. 至少有2个球是黑球D. 至少有2个球是白球答案；Ax 220x x m -+=1-22(4)6y x =-+5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A. 180（1﹣x）2=461B. 180（1+x ）2=461C. 368（1﹣x）2=442D. 368（1+x ）2=442答案；B6. 如图，在中，是直径，弦的长为5，点D 在圆上，且， 则的半径为（ ）A. B. 5C. D. 答案；B7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC ，BD 分别与⊙O切于点C ，D ，延长AC ，BD 交于点P ．若，⊙O 的半径为6cm ，则图中的长O e AB AC 30ADC ∠=︒O e 2.57.510120P ∠=︒»CDA. π cmB. 2π cmC. 3π cmD. 4π cm 答案；B8. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A. 一次函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，二次函数关系C 二次函数关系，二次函数关系D. 二次函数关系，一次函数关系答案；B.ABCD O e 20cm cm x cm y 2cm S每题2分，共16分。
北京市东城区2010-2011学年九年级(上)期末数学试卷(含答案)
东城区2010-2011学年第一学期期末统一检测初三数学试卷2011.011. 一元二次方程122=-bx x 的常数项为( ) A. 1- B. 1 C. 0 D. 1±2. 下列图形中，是中心对称的图形是( )3. 若DEF ABC ∆∆~，1:2:=DE AD 且ABC ∆的周长为16，则DEF ∆的周长为( ) A. 4 B. 16 C. 8 D. 324. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥于M ，8=AB ，5=OC ，则MD 的长为( )A. 4B. 2C.2 D. 15. 若关于x 的方程0222=--ax x 有两个不相等的实数根，则a 的值是( )A. 2B. 4C. 6D. 86. 抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是( )A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 7. 某圆与半径为2的圆相切，若两圆的圆心距为5，则此圆的半径为( )A. 3B. 7C. 3或7D. 5或78. 小明从二次函数c bx ax y ++=2的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0<c ； ②0>abc ；③0>+-c b a ；④032=-b a ；⑤04>-b c ；你认为正确的信息是( ) A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤ 9. 抛物线152--=x x y 与y 轴的交点坐标是__________ 10. 若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让生活更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率______11. 如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，︒=∠30A ，经过点C 的切线与OB 的延长线交于点D ，则D ∠的度数为_________ 12. 在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 4=，2=AD ，︒=∠45B 。
北京市怀柔区2012届九年级上学期期末考试数学试题
7题图6题图5题图4题图怀柔区2011——2012学年度第一学期期末九年级教学质量检测数 学 试 卷 2012.1一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．13-的相反数是 （ ） A ．3- B ．3 C ．13-D ．132．已知，ABC △中，∠C=90°，sin ∠3，则∠A 的度数是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ． 90° 3．若反比例函数2k y x+=的图象位于第二、四象限内，则k 的取值范围是 （ ） A ．2k >- B ．2k <- C ．0k > D ．0k <4．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝3，则弦AB 的长为（ ）. A ． 8 B ．6C ．4D ．105．如图，D 是ABC △边AB 上一点，则下列四个条件不．能单独判定．．．．．ABC ACD △∽△的是( ) A ．B ACD ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AC AB CD BC=D ．2AC AD AB =⋅6．如图，若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是 ( ) A ．12 B ．56 C ．13 D ．237．如图，BC 是⊙O 的直径，A 、D 是⊙O 上两点，若∠D = 35°，则∠OAC 的度数是 ( )A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=x ，CE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是 ( )二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE=1，BC =3，那么△ADE 与△ABC 面积的比为 ．10．如图，点A 、B 、C 是半径为3cm 的⊙O 上三个点，且︒=∠30ABC ， 则劣弧 »AC 的长是 .11．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上， 则∠AED 的正弦值等于 ．12．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第99个格子中的数为 ，2012个格子中的数为 .三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 452cos 60360+18.︒+︒︒ 14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，3abc－12…11题图10题图AEOBC DOABCDE9题图BCAED抛物线与x 轴交点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 解15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7. 求cos ∠C. 解：17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：18．如图，在ABC △中，90C =o∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，AC=8，BC=6．求DE 的长．解：四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米， 此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=o，牵引底端B 离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度． 解：20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．球 两 红 一红一白 两 白 礼金券（元）205020乙超市：球 两 红 一红一白 两 白 礼金券（元）502050（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=o，延长AB 到点C ，使得∠ACD =45°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若22AB =，求OC 的长．证明：22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积.解：五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：BC D E DBACOAxyB OCD24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=o时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③解：25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积. 解：x yαFE DBO AC xy αF ED BOAC参考答案一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案DCBACABC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 题号 9 101112 答案91π55 2； －1三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin 452cos 603tan 60+18.︒+︒-︒解: 原式=212+2-33+3222⋅⋅⋅…………………………4分 =2+1-3+32=42-2………………………………………………5分14．已知抛物线228y x x =--.（1）用配方法把228y x x =--化为2()y x h k =-+形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x 轴交点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.解（1）228y x x =--=x 2－2x+1－1－8=(x －1)2 －9.………………………………………………3分(2)抛物线的顶点坐标是 (1，－9)抛物线的对称轴方程是 x =1 ……………………………4分 抛物线与x 轴交点坐标是（－2，0）（4，0）；当x ＞1 时，y 随x 的增大而增大. ………………………………5分 15．解不等式： 4(x ＋1)≤5x ＋8，并把它的解集在数轴上表示出来． 解： 去括号，得 4x ＋4≤5x ＋8 ……………………………… 1分 移项、合并同类项，得－x ≤4……………………………… 3分系数化为1，得 x ≥4- ……………………………… 4分不等式的解集在数轴上表示如下：………………… 5分BCAED16．如图：已知，梯形ABCD 中，∠B =90°，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，BC =7. 求cos ∠C.解:方法一、作DE ⊥BC ，如图1所示，…………1分 ∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD =3，∴四边形ABED 是正方形.…………………2分 ∴DE=BE=AB =3. 又∵BC =7，∴EC =4，……………………………………3分 由勾股定理得CD =5.…………………………4分 ∴ cos ∠C=45EC CD =.…………………………5分 方法二、作AE ∥CD ，如图2所示，……………1分 ∴∠1=∠C ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形.………………2分 ∵A B=AD=3，∴EC=AD =3， 又∵BC =7，∴BE=4，……………………………………3分∵ AB ⊥BC ，由勾股定理得AE=5. ………………4分 ∴ cos ∠C= cos ∠1=45BE AE =. …………………………5分 17. 以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， ………………………………………1分Q 抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩… ………4分∴抛物线的解析式为223y x x =-++. ……………………………………5分18．如图，在ABC △中，90C =o∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长． 解：在ABC △中，9086C AC BC ===o，，∠， 2210AB AC BC ∴=+=．…………………2分又6BD BC ==Q ，4AD AB BD ∴=-=． DE AB ⊥Q ，90ADE C ∴==o∠∠． 又A A =Q ∠∠，图1 图2AED ABC ∴△∽△．………………………………4分DE ADBC AC∴=． .3684=⨯=⋅=BC AC AD DE ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小明正好站在A 处，并测得60CBD ∠=o，牵引底端B 离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度．解：依题意得，90CDB BAE ABD AED ∠=∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABDE 是矩形 ，…………1分1.5.DE AB ∴== ……………2分在Rt BCD △中，sin ,CDCBD BC∠=……………3分 又∵ 20BC = ，60CBD ∠=o，由BCCD=ο60sin ∴ 3sin 60201032CD BC =⋅︒=⨯= .……………4分 103 1.5CE ∴=+ .………………………………………5分即此时风筝离地面的高度为()103 1.5+米 .20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．甲超市．球 两 红 一红一白 两 白 礼金券（元）205020乙超市：球 两 红 一红一白 两 白 礼金券（元）502050（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：（1）树状图为：…………2分（2）∵去甲超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （甲）=64=32，…………3分去乙超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P （乙）=62=31……………………4分 ∴我选择去甲超市购物……………………………………………………………………5分21. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5A ∠=o，延长AB 到点C ，使得∠ACD =45°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若22AB =，求OC 的长． （1）证明：连接OD .∵OA OD =，22.5A ∠=o， 22.5ODA A ∴∠=∠=︒，45DOC ∴∠=︒ . ……………………1分∵45ACD ∠=o，90ODC ∴∠=︒ ，OD CD ∴⊥ . ……………………2分又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线 .……………………3分 （2）∵直径22AB =122OD AB ∴==. …………… 4分 在Rt OCD △中，sin ODC OC= ，∴ 2sin 45OC ︒= ，∵ 2sin 452︒=，2OC ∴= .……………………5分22．在△ABC 中，∠C=120°，AC=BC ，AB=4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC ，BC 分别相切于点D ，E .（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积. 解：（1）解：连结OD ，OC ，∵半圆与AC ，BC 分别相切于点D ，E .∴DCO ECO ∠=∠，且OD AC ⊥.…………………1分∵AC BC =， ∴CO AB ⊥且O 是AB 的中点.∴122AO AB ==. BCD E DBACO∵120C ∠=︒，∴60DCO ∠=︒. ∴30A ∠=︒.∴在R t AOD △中，112OD AO ==. 即半圆的半径为1. ……………………………………….3分（2）设CO =x ，则在R t AOC △中，因为30A ∠=︒，所以AC =2x ，由勾股定理得：222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -= 解得 23x =（23x =-舍去）∴ 112343422ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=△. …………………….4分 ∵ 半圆的半径为1， ∴ 半圆的面积为2π,∴ 438332S ππ-=-=阴影. ….…………………………….5分五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1ky x=的图象上一点，AB x ⊥轴的正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y 轴的右侧，当12y y >时x 的取值范围，当1y ＜2y 时x 的取值范围．解：作AE y ⊥轴于E ∵42AOD S OD ==△， ∴.421=⋅AE OD ∴4AE =. ………………………………………1分 ∵AB OB C ⊥，为OB 的中点，∴90DOC ABC OC BC OCD BCA ==︒==∠∠，，∠∠. ∴Rt Rt DOC ABC △≌△.…………………………………3分∴2AB OD ==. ∴A （4，2）. 将A （4，2）代入1k y x =中，得8k =. 18y x∴=． ……………4分 将()42A ，和()02D ，-代入2y ax b =+，得422a b b +=⎧⎨=-⎩解之得：12a b =⎧⎨=-⎩∴22y x =-.…………………………………………………………………5分 （2）在y 轴的右侧，当12y y >时，04x <<． ………………………6分当1y ＜2y 时x ＞4. ……………………………………………………7分24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角,旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α=o时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③解：（1）E （4，132） ………………………………………………1分（2）︒60 …………………………………………………………………2分 （3）设x CG =，则x EG =，x FG -=6，在Rt △FGC 中，∵222CG FG CF =+，∴222)6(4x x =-+，解得 313=x ，即313=CG . ∴G （4，313）. …………………………………………………………4分（4）设以点C 为顶点的抛物线的解析式为2)4(-=x a y .x y αFE DBO A C xy αF ED BOACAxyBOCD(第25题)EPQ Axy BOCD(第25题)把A （0，6）代入得，2)40(6-=a . 解得， 83=a . ∴此抛物线的解析式为2)4(83-=x y .……………………………………6分 ∵矩形EDCF 的对称中心为对角线FD 、CE 的交点H ，∴由题意可知H 的坐标为（7，2）. 当7=x 时，2827)47(832≠=-=y ， ∴点H 不在此抛物线上. ………………………………………………7分25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =. ∴抛物线为2211(4)12344y x x x =--=-+. …………2分 (2) 答：l 与⊙C 相交. ……………………………………3分 证明：当21(4)104x --=时，12x =，26x =.∴B 为（2，0），C 为（6，0）. ∴223213AB =+=.设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ， 则90BEC AOB ∠=︒=∠.∵90ABD ∠=︒，∴∠ABO ＋∠CBE =90°. 又∵∠ABO ＋∠BAO =90°，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆.∴CE BCOB AB =.∴62213CE -=.∴8213CE =>.…………4分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2. ∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. …………………5分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .由点A （0,3）点C （6,0）可求出直线AC 的解析式为132y x =-+.………………6分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132m -+）.∴2211133(23)2442PQ m m m m m =-+--+=-+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………8分解答(3)的关键是作PQ ∥y 轴交AC 于Q ，以PQ 为公共底，OC 就是高，用抛物线、直线解析式表示P 、Q 两点的纵坐标，利用三角形的面积推导出面积与P 点横坐标m 的函数关系式， 即：2327(3)44PAC S m ∆=--+.评分说明：部分解答题有多种解法，以上各题只给出了部分解法，学生的其他解法可参照评分标准给分.。
精选题库北京市东城区九年级上学期数学期末试卷【答案版】
4．（2 分）点 A（x1， y1）， B（ x2，y2）都在反比例函数
的图象上，若 x1＜ x2
＜ 0，则（ ） A．y2＞ y1＞0 B．y1＞y2＞0 C． y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜ 0 【解答】 解：∵ k=2＞ 0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、 三象限， 且在每一象限内 y 随 x 的增大而 减小， ∵ x1＜x2＜0， ∴点 A（x1， y1）， B（ x2，y2）位于第三象限， ∴ y2＜y1＜0， 故选： C．
则点 B 的坐标为
．
12．（ 2 分）如图， AB 是⊙ O 的弦， C 是 AB 的中点，连接 OC并延长交⊙ O 于点
D．若 CD=1，AB=4，则⊙ O 的半径是
．
13．（2 分）某校九年级的 4 位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度． 为
了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高 1m 的桌子上，且
（m/n ）
（n）
（ m/n ）
50
47
0.940
1500
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1335
0.890
270
235
0.870
3500
3203
0.915
400
369
0.923
7000
6335
0.905
750
662
0.883
14000
12628
0.902
下面有四个推断：
①当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，所以这种树苗成活的概
27．（ 7 分）如图 1，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=2，BC=2 ，以点 B 为圆心， 为半径作圆．点 P 为⊙ B 上的动点，连接 PC，作 P'C⊥ PC，使点 P'落在直线
2022年北京市东城初三(上)期末数学试卷及答案
2022北京东城初三（上）期末数 学一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）一元二次方程2250x x +−=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A ．2，1，5B ．2，1，5−C ．2，0，5−D ．2，0，52．（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）将抛物线2y x =向上平移3个单位后所得的解析式为( )A ．23y x =+B ．23y x =−C ．2(3)y x =+D ．2(3)y x =−4．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)A 关于原点对称的点的坐标是( )A ．(2,3)−B ．(2,3)−C ．(3,2)D ．(2,3)−−5．（2分）用配方法解方程241x x +=，变形后结果正确的是( )A ．2(2)5x +=B ．2(2)2x +=C ．2(2)5x −=D ．2(2)2x −=6．（2分）中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“⋯””（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“⋅”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“⋯”上方的概率是( )A ．18B ．16C ．14D ．127．（2分）如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，点C 为O 上一点，若70ACB ∠=︒，则P ∠的度数为( )A ．70︒B ．50︒C ．20︒D ．40︒8．（2分）如图，线段5AB =，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ．以点A 为圆心，线段AP 的长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，A 的面积为S ．则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是( )A ．正比例函数关系、一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．一次函数关系，二次函数关系D ．正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）抛物线23(1)2y x =−−+的顶点坐标是 ．10．（2分）若关于x 的一元二次方程220x x m ++=的一根为1−，则m 的值是 ” ．11．（2分）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式： ” ．12．（2分）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为” ．13．（2分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为” ．14．（2分）如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆，若110DAE ∠=︒，40B ∠=︒，则C ∠的度数为” ．15．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(”u án )其外，旁有庣(”i āo )焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为”尺．16．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE CF=，AE，DF交于点P，则APD∠的度数为”；连接CP，线段CP的最小值为”．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：2280x x−−=．18．（5分）如图，AB为O的弦，OC AB⊥于点M，交O于点C．若O的半径为10，:3:2OM MC=，求AB的长．19．（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：O（如图1)．求作：O的内接等腰直角三角形ABC．作法：如图2．①作直径AB；②分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M；③作直线MO交O于C，D两点；④连接AC，BC．所以ABC∆就是所求作的等腰直角三角形．根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线． 又直线MO 交O 于点C ，AC ∴= ． AB 是直径，ACB ∴∠= ( )（填写推理依据）．ABC ∴∆是等腰直角三角形．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++的部分图象经过点(0,3)A −，(1,0)B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出0y <时，x 的取值范围．21．（5分）如图．在平面直角坐标系xOy 中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(5,0)A ，(4,3)B −．将OAB ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到△OA B ''，点A 旋转后的对应点为A '．（1）画出旋转后的图形△OA B ''，并写出点A '的坐标；（2）求点B 经过的路径BB '的长（结果保留)π．22．（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“A 志愿者被选中”是” 事件（填“随机”、“不可能”或“必然””)；（2）用画树状图或列表的方法求出A ，B 两名志愿者同时被选中的概率．23．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k −++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．24．（6分）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25)m 的空地上修建一个矩形小花园ABCD ．小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为y 2m ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？25．（6分）如图，AC 是O 的弦，过点O 作OP OC ⊥交AC 于点P ，在OP 的延长线上取点B ，使得BA BP =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若O 的半径为4，PC =AB 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)m 和(2,)n 在抛物线2y x bx =−+上．（1）若0m =，求该抛物线的对称轴；（2）若0mn <，设抛物线的对称轴为直线x t =．①直接写出t 的取值范围；②已知点1(1,)y −，3(2，2)y ，3(3,)y 在该抛物线上，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由． 27．（7分）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC ∆内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接PP '，BP '．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为” ；②若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是” ；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =−+对称的“关联线段”，则m = ；（2）已知直线(0)y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．【分析】根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可．【解答】解：一元二次方程2250x x +−=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，5−， 故选：B ．【点评】本题考查了单项式的系数定义，多项式的项的定义和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．是中心对称图形，故本选项符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C ．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式． 【解答】解：抛物线2y x =向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：23y x =+．故选：A ．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．4．【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A 关于原点对称的点的坐标． 【解答】解：点(2,3)A ，A ∴点关于原点对称的点为(2,3)−−，故选：D ．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．5．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：241x x +=，则24414x x ++=+，即2(2)5x +=，故选：A ．【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法−−配方法，掌握配方法是解本题的关键．6．【分析】用“−−−”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．【解答】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，位于“−−−”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“−−−”上方的概率是2184=，故选：C ．【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=，难度适中． 7．【分析】连接OA 、OB ，根据圆周角定理求出AOB ∠，根据切线的性质得到OA PA ⊥，OB PB ⊥，根据四边形内角和等于360︒计算，得到答案．【解答】解：连接OA 、OB ，70ACB ∠=︒，2140AOB ACB ∴∠=∠=︒， PA ，PB 是O 的切线，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909014040P ∴∠=︒−︒−︒−︒=︒，故选：D ．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．【解答】解：5y t =−，属于一次函数关系，2S t π=，属于二次函数关系，故选：C ．【点评】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9．【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【解答】解：23(1)2y x =−−+是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,2)．故答案为(1,2)．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =−+中，对称轴为x h =，顶点坐标为(,)h k ．10．【分析】先把1x =−代入方程，可得关于m 的一元一次方程，解即可．【解答】解：把1x =−代入方程，得2(1)2(1)0m −+⨯−+=，解得1m =．故答案是：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入后正确的计算，难度不大．11．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a 是正数，2c =即可．【解答】解：开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式为22y x =+，故答案为：22y x =+（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．12．【分析】根据频率估计概率即可得出“摸出黑球”的概率．【解答】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在0.2左右，所以，“摸出黑球”的概率为0.2，故答案为：0.2．【点评】本题主要考查用频率估计概率，需要注意的是试验次数要足够大，次数太少时不能估计概率．13．【分析】利用5月份的参观人数3=月份的参观人数(1⨯+月平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：210(1)12.1x +=．故答案为：210(1)12.1x +=．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．【分析】由旋转的性质可得DAE BAC ∠=∠，由三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆，110DAE BAC ∴∠=∠=︒，40B ∠=︒，1801804011030C B BAC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故答案为：30︒．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．15．【分析】根据正方形性质确定CDE ∆为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解．【解答】解：如图，四边形CDEF 为正方形，90D ∴∠=︒，CD DE =，CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =，2.50.2522CE ∴=−⨯=，CD ∴==．【点评】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．16．【分析】根据“边角边”证明ADE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得DAE CDF ∠=∠，然后求出90APD ∠=︒，取AD 的中点O ，连接OP ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P 到AD 的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C 、P 、O 三点共线时线段CP 的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO ，再求解即可． 【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADE DCF ∠=∠=︒，在ADE ∆和DCF ∆中，AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE DCF SAS ∴∆≅∆，DAE CDF ∴∠=∠，90CDF ADF ADC ∠+∠=∠=︒，90ADF DAE ∴∠+∠=︒，90APD ∴∠=︒，取AD 的中点O ，连接OP ，则112122OP AD ==⨯=（不变）， 根据两点之间线段最短得C 、P 、O 三点共线时线段CP 的值最小，在Rt COD ∆中，根据勾股定理得，CO ==，所以，1CP CO OP =−=−．故答案为：90︒1−．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P 到AD 的中点的距离是定值是解题的关键．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：(4)(2)0x x −+=，40x −=或20x +=，所以14x =，22x =−．【点评】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18．【分析】先求出OM 的值，再根据垂径定理求出AM BM =，再根据勾股定理求出AM 即可． 【解答】解：设3OM x =，2MC x =，O 的半径为10， 3210x x ∴+=，解得：2x =， 即6OM =， 连接OA ，OC AB ⊥，OC 过圆心O ，AM BM ∴=，90AMO ∠=︒，由勾股定理得：8BM AM ====， 8816AB ∴=+=．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 19．【分析】（1）根据题干要求的步骤依次求解即可； （2）根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线．又直线MO 交O 于点C ， AC BC ∴=．AB 是直径，90ACB ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ABC ∴∆是等腰直角三角形．故答案为：BC 、90︒，直径所对的圆周角是直角．【点评】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和圆周角定理． 20．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）求出抛物线与x 轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解．【解答】解：（1）将(0,3)A −，(1,0)B 代入22y ax x c =++得302c a c −=⎧⎨=++⎩，解得13a c =⎧⎨=−⎩，223y x x ∴=+−．（2）令2230x x +−=， 解得3x =−或1x =， ∴抛物线经过(3,0)−，(1,0)，抛物线开口向上， 0y ∴<时，31x −<<．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．21．【分析】（1）将点A 、B 分别绕点O 顺时针旋转90︒得到其对应点，再与点O 首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可．【解答】解：（1）如图所示，△OA B ''即为所求．点A '的坐标为(0,4)−；（2）由图知，90AOA ∠'=︒，5OB ==， ∴点B 在旋转过程中所走过的路径长90551802BB ππ⨯'==． 【点评】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． 22．【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机； （2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，A ∴，B 两名志愿者同时被选中的概率为21126=． 【点评】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）根据根的判别式：△222[(4)]16816(4)0k k k k k =−+−=−+=−，即可得到结论；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出14x =、2x k =，根据方程有一根小于2，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【解答】（1）证明：△222[(4)]16816(4)0k k k k k =−+−=−+=−， ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：2(4)40x k x k −++=，(4)()0x x k ∴−−=， 14x ∴=，2x k =．方程有一根小于2， 2k ∴<，k ∴的取值范围为2k <．【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于2，找出关于k 的一元一次不等式．24．【分析】（1）根据矩形的面积公式写出函数解析即可； （2）根据函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：2(402)240y x x x x =−=−+， 040225x <−， ∴15202x <， y ∴与x 之间的函数关系式为215240(20)2y x x x =−+<；（2）由（1）知，222402(10)200y x x x =−+=−−+， 20−<，15202x <，∴当10x =时，y 有最大值，最大值为200，答：当10x =时，小花园的面积最大，最大面积是2200m ．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据函数的性质求最值．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到C OAC ∠=∠，BPA BAP ∠=∠，求得CPO BAP ∠=∠，推出90BAO ∠=︒，根据切线判定定理得到AB 是O 的切线；（2）根据勾股定理得到2OP ==，设BA BP x ==，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：OA OC =， C OAC ∴∠=∠，PB BA =， BPA BAP ∴∠=∠，CPO BPA ∠=∠， CPO BAP ∴∠=∠， OP OC ⊥，90COP ∴∠=︒， 90C CPO ∴∠+∠=︒，90CAO BAP ∴∠+∠=︒，即90BAO ∠=︒， OA 是O 的半径，AB ∴是O 的切线；（2）解：90COP ∠=︒，4OC =，PC =，2OP ∴===，设BA BP x ==， 90BAO ∠=︒，222AB AO OB ∴+=，2224(2)x x ∴+=+， 3x ∴=，∴线段AB 的长为3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 26．【分析】（1）把点(1,0)代入2y x bx =−+求得b 的值，即可根据对称轴公式求得答案； （2）①分类讨论b 的正负情况，根据0mn <可得对称轴在12x =与直线1x =之间；②根据各点到对称轴的距离判断【解答】解：（1）若0m =，则点(1,0)在抛物线2y x bx =−+上， 01b ∴=−+，解得1b =，∴抛物线的对称轴为直线112(1)22b x =−=−=⨯−−；（2）①2y x bx =−+，∴抛物线开口向下且经过原点，当0b =时，抛物线顶点为原点，0x >时y 随x 增大而减小，0m n >>不满足题意， 当0b <时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，0n m >>不满足题意， 当0b >时，抛物线对称轴在y 轴右侧，1x =时0m >，2x =时0n <， 即抛物线和x 轴的2个交点，一个为(0,0)，另外一个在1和2之间， ∴抛物线对称轴在直线12x =与直线1x =之间， 即112t <<； ②点1(1,)y −与对称轴距离3(1)22t <−−<， 点3(2，2)y 与对称轴距离13122t <−<，点3(3,)y 与对称轴距离5232t <−< 312y y y ∴<<．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．27．【分析】（1）利用SAS 证明ABP ACP '∆≅∆，即可得出答案；（2）①由三角形内角和定理知8618060BPC ∠+∠=︒−∠=︒，再利用角度之间的转化对P BP '∠进行转化，475608606608P BP '∠=∠+∠=∠+︒−∠=︒−∠+︒−∠，从而解决问题；②延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，得出四边形PBNC 为平行四边形，则//BN CP 且BN CP =，再利用SAS 证明△P BP NBP '≅∆，得2PP PN PM '==． 【解答】解：（1）BP CP '=， 证明：ABC ∆是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒， 2360∴∠+∠=︒将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，AP AP '∴=，60PAP '∠=︒，1260∴∠+∠=︒， 13∴∠=∠，()ABP ACP SAS '∴∆≅∆，（2）①当120BPC ∠=︒时， 则8618060BPC ∠+∠=︒−∠=︒， ABP ACP '∆≅∆， 45∴∠=∠， 47P BP '∴∠=∠+∠5608=∠+︒−∠ 606608=︒−∠+︒−∠120(68)=︒−∠+∠ 12060=︒−︒ 60=︒，故答案为：60︒；②2AP PM =，理由如下：延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，M 为BC 的中点，BM CM ∴=，∴四边形PBNC 为平行四边形， //BN CP ∴且BN CP =， BN BP '∴=，96∠=∠，又8660∠+∠=︒， 8960∴∠+∠=︒， 60PBN P BP '∴∠=︒=∠，又BP BP =，P B BN '=，∴△()P BP NBP SAS '≅∆， 2PP PN PM '∴==，又APP '∆为正三角形，PP AP '∴=， 2AP PM ∴=．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．28．【分析】（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图，即可求解；②从图象性质可知，直线y x m =−+与x 轴的夹角为45︒，而线段11A B ⊥直线y x m =−+，线段11A B 关于直线y x m =−+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；线段33A B =O 的最长的弦为2，得线段33A B的对称线段不可能是O 的弦，而线段22//A B 直线y x m =−+，线段22A B =，∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=O 上，有两种可能，画出对应图形即可求解；（2）先表示出OC =，b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是CO 长最小，根据线段AB 关于直线3y x b =−+对称线段A B ''在O 上，得3A C AC ''==，再由三角形三边关系得A C OA OC A C OA '−''+'，得当A '为(1,0)−时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)；当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，分两种情形分别求解．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图， 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =−+与x 轴的夹角为45︒， ∴线段11A B ⊥直线y x m =−+，∴线段11A B 关于直线y x m =−+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段33A B =O 的最长的弦为2， ∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =−+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =−+，线段22A B =∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能， 第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)， 此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)−、(0,1)−， 此时2m =， 故答案为：3或2；（2）直线(0)y b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x =，OC ∴=，b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y x b =+对称线段A B ''在O 上， 3A C AC ∴''==，在△A CO '中，A C OA OC A C OA '−''+'，∴当A '为(1,0)−时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线3y x b =−+中，20b +=，解得：b过点B '作B D A C '⊥'于点D ， 1A B A O B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=15322CD ∴=−=，在Rt △B DC '中，B C '==∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线y b =+中，403b ⨯+=，解得：b过点B '作B D A C '⊥'于点D ， 1A B A O B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，2B D '=，17322CD ∴=+=，在Rt △B DC '中，B C '==b ∴BC =BC =【点评】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．。
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E DCBA东城区2011—2012学年第一学期期末统一检测初三数学试题 2012.1学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线221y x =-+（）的顶点坐标是A ．（2，1）B ．（-2，-1）C ．（-2，1）D ．（2，-1）2．下列图形中，是中心对称图形的是A B C D 3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD =5，BD =10，DE =4， 则BC 的值为A.8B.9C.10D.12 4.下列事件中，属于必然事件的是A. 随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝上B. 打开电视任选一频道，正在播放北京新闻Q PNMOCBAA OCABC. 一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球D. 某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖 5. 如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°， 则∠C 的度数为A ．116°B ．58°C ．42°D ．32°6．已知x =1是方程x 2+bx +b -3=0的一个根，那么此方程的另一个根为A. -2B. -1C. 1D. 2 7. 如图，直径AB 为6的半圆O ，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B到了点B '，则图中阴影部分的面积为A .6πB .5πC .4πD .3π8. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数2c by x-=在同一坐标系内的图象大致为二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知关于x 的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是 ． 10. 将抛物线2y x =-向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为 ．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，直角∠MON 的顶点O 在AB 上， OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，∠MON 绕点O任意旋转．当12OA OB =DCBA 时,OPOQ的值为；当1OAOB n=时，OPOQ的值为 .(用含n的式子表示)三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解方程：.14．已知排水管的截面为如图所示的圆O,半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB.15D在边AB上，满足且∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，求DB16．在平面直角坐标系xoy中，已知ABC△三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C---⑴画出ABC△；⑵画出ABC△绕点A顺时针旋转90后得到的11AB C△，并求出1CC的长..22410x x--=17. 2(1) 求该二次函数的解析式；(2) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3) 若A（m,y1）,B(m+2, y2)两点都在该函数的图象上，计算当m取何值时，12?y y18．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆为3.1米，且BC=1米，CD=5米，请你根据所给出的数据求树高ED.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，请你计算AB的长度（可利用的围墙长度超过6m）．20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC平分∠PAE ，过C 作CD PA ⊥，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若CD =2AD ，⊙O 的直径为10，求线段AC 的长.21. 在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5 . （1）求口袋中红球的个数；（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出一个.请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得2分的概率.22．李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2 000千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
（1）存放x 天后，将这批核桃一次性出售，如果这批核桃的销售总金额为y 元，试求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计340元，李经理要想获得利润22 500元，需将这批核桃存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：关于x 的方程2(1)(1)20a x a x --++=.（1） 当a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根； （2） 当整数a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=的根都是正整数. 24．已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE =90°，点F 为BE 中点，连结DF 、CF .图1FE DCBA图2ABCDE F图3ABCDEF（1）如图1, 当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段DF 、CF 的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断； （3）如图3，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°时，若AD =1，AC=求此时线段CF 的长(直接写出结果).25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点. （1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与ADE ∆ 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使△GBC 中BC 求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．6.东城区2011-2012学年度第一学期期末统一测试参考答案初三数学一、 选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.2,4,1,a b c ==-=-解：224(4)42(1)24.2b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=分3x =则分=. 1222522x x ==分14. 解：过O 点作OC ⊥AB ，连结OB .………1分∴ 2AB BC =.…………2分在Rt △OBC 中，222BC OC OB +=. ∵ 10OB =,6OC =,∴ 可求出8BC =.………4分 ∴ 16AB =.DCBA 答：水面宽AB 为16.…………5分 15．解：在△ACD 和△ABC 中，∵ ∠ACD =∠ABC ，∠A 是公共角，∴ △ACD ∽△ABC . ………2分∴ AD ACAC AB=.……3分 ∵ AC = 2，AD = 1， ∴ 4AB =.………4分∴ DB = AB - AD = 3.………5分16．解：⑴如图所示，ABC △即为所求.…1分⑵如图所示，11AB C △即为所求. …3分分5101 =CC17．解：（1）由表格可知，二次函数图像y =x 2+bx +c 图象经过点（0，3）和点（1 , 0），可求出，b =-4, c =3 .∴ 243y x x =-+. ………2分 （2）当x =2时，y 有最小值，最小值为-1 . ………4分 （3）将A （m ,y 1）,B (m +2, y 2)两点分别代入243y x x =-+，则有 ,3421+-=m m y 3)2(4)2(22++-+=m m y ，1,21<>m y y 可得由. ……5分18．解：过点A 作AG ⊥DE 于点G ，交CF 于点H .由题意可得 四边形ABCH 、ABDG 、CDGH 都是矩形，AB ∥CF ∥DE .∴ △AHF ∽△AGE . ………2分∴AH HFAG GE=. 由题意可得16AH BC AG BD ====， , 3.1 1.6 1.5FH FC HC FC AB =-=-=-=. ∴1 1.56GE=. ∴ GE = 9 . …………4分∴ 9 1.610.6ED GE DG GE AB =+=+=+=. 答：树高ED 为10.6米. …………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.解：设x AB =m ，则(62)BC x =- m . ………1分 根据题意可得，4)26(=-x x . ………2分 解得 舍）(2,121==x x ………4分答：AB 的长为1 m . …………5分 20．（1）证明：连接OC . ……………………………………1分∵ 点C 在⊙O 上，OA =OC ，∴ .OCA OAC ∠=∠ ∵ CD PA ⊥，∴ 90CDA ∠=，有90CAD DCA ∠+∠=.∵ AC 平分∠PAE ，∴ .DAC CAO ∠=∠∴ .DAC OCA ∠=∠ ……………………………………1分 ∴ 90.DCO DCA ACO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∵ 点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，∴ CD 为⊙O 的切线. ……………………………………2分 （2）解:连结CE .∵ AE 是⊙O 的直径，∴ 90ACE ∠=.∴ ADC ACE ∠=∠. 又∵DAC CAE ∠=∠ ,∴ ADC △∽ACE △. ………………3分 ∴AD CDAC CE=.又∵ CD =2AD ,∴ CE =2AC . ……………………………………4分 设AC =x .在Rt ACE △中，由勾股定理知222.AC CE AE += ∵ AE =10,∴ ()222100.x x +=解得x =∴AC = . ……………………………………5分 21．解：（1）设袋中有红球x 个，则有20.52+1+x= .解得 x =1.所以，袋中的红球有1个． ………1分 （2）画树状图如下：…………3分由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种．其中摸出两个得2分的有4种. ∴ P （从中摸出两个得2分）=41123=． …………5分 22.解：（1）由题意得y 与x 之间的函数关系式为y ＝()()x x 620005.010-+=2000094032++-x x （1≤x ≤60，且x 为整数）． ………2分（2）由题意得：2000094032++-x x -10×2000-340x =22500 ． ………4分2 13 2 1 3 1 1 2 3 3 2 开始白 白 红 黄白 红 黄 第二次 第一次 得分白 白 黄白 红 黄白 白 红解方程 得：1x =50 ，2x =150（不合题意，舍去）．答：李经理想获得利润22500元需将这批核桃存放50天后出售. ………5分 23．解：（1）∵ 方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根， ∴ ⎩⎨⎧>∆≠-.0,01a即 []221,(1)4(1)2(3)0.a a a a ≠⎧⎪⎨∆=----⋅=->⎪⎩ ∴ 1≠a 且3≠a . ………2分（2）① 当10a -=时，即1a =时，原方程变为220x -+=.方程的解为 1x =； …………3分② 当10a -≠时，原方程为一元二次方程2(1)(1)20a x a x --++= .[]2224(1)4(1)2(3)0b ac a a a ∆=-=-+--=-≥.(1)(3)2(1)a a x a -±-=-1221,.1x x a ==- ………4分 ∵ 方程2(1)(1)20a x a x --++=都是正整数根. ∴ 只需21a -为正整数. ∴ 当11a -=时，即2a =时，22x =；当12a -=时，即3a =时，21x =； ………6分 ∴ a 取1，2，3时，方程2(1)(1)20a x a x --++=的根都是正整数.………7分24． 解：（1）线段DF 、CF 之间的数量和位置关系分别是相等和垂直.…………1分（2）（1）中的结论仍然成立.证明： 如图，此时点D 落在AC 上，延长DF 交BC 于点G . (2)BFG分………2分∵ 90ADE ACB ∠=∠=︒， ∴ DE ∥BC .∴ ,DEF GBF EDF BGF ∠=∠∠=∠.又∵ F 为BE 中点， ∴ EF=BF .∴ △DEF ≌△GBF . ………3分 ∴ DE =GB ,DF =GF . 又∵ AD =DE ,AC =BC , ∴ DC =GC .∵ 90ACB ∠=︒,∴ DF = CF , DF ⊥CF . …………5分（3） 线段C F …………7分 25．解：（1）抛物线m m mx y +++=532与y 轴交于点C （0 , 4），∴ 5 4.m +=∴ 1.m =- ………1分 （2）抛物线的解析式为 234y x x =-++.可求抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0）. 可求点E 的坐标3(,0)2.由图知，点F 在x 轴下方的直线AD 上时，ABF ∆是钝角三角形，不可能与ADE ∆相似，所以点F 一定在x 轴上方.此时ABF ∆与ADE ∆有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： ① 当AB AEAF AD=时，由于E 为AB 的中点，此时D 为AF 的中点， 可求 F 点坐标为（1，4）. ………3分② 当AB AD AF AE =时，5,52AF AF =解得过F 点作FH ⊥x 轴，垂足为H .可求 F 的坐标为352（，）. ……………4分(3) 在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G .由题意，可知△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 为 4.y x =-+ 可求与直线BC y =-x +9或y =-x -1. …………………6分∴ 点G 在直线y =-x +9或y =-x -1上. ∵ 抛物线的对称轴是直线23=x , ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+-==.9,23x y x 解得..215,23⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 或⎪⎩⎪⎨⎧--==.1,23x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,23y x ∴ 点G 的坐标为31535(,)-2222或（，）. ………8分。