初中数学教程三角形的外角
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？一、关键信息1、三角形外角定理的定义及表述定义：＿___________________________表述：＿___________________________2、学习三角形外角定理的目标知识层面：＿___________________________应用层面：＿___________________________3、适用的初中数学教材版本版本名称：＿___________________________对应章节：＿___________________________4、学习方法与技巧理论学习：＿___________________________实践练习：＿___________________________5、考核与评估方式日常作业：＿___________________________阶段测试：＿___________________________二、协议内容11 三角形外角定理的详细阐述三角形外角定理是初中数学中的重要知识点，它对于解决与三角形相关的角度计算和证明问题具有关键作用。
其定义为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在表述上，可以用数学语言表示为：若∠ACD 是△ABC 的外角，则∠ACD ＝∠A ＋∠B。
111 理解定理的内涵为了更好地掌握这一定理，学生需要深入理解其内涵。
外角是三角形一边的延长线与另一边所形成的角，而不相邻的两个内角是指除了与外角相邻的内角之外的另外两个内角。
通过图形的直观展示和实例分析，能够帮助学生清晰地理解外角与内角之间的关系。
112 定理的推导过程了解定理的推导过程有助于学生从本质上把握其原理。
可以通过平行线的性质、内角和定理等已有知识来推导三角形外角定理，让学生体会数学知识之间的内在联系和逻辑推理的严谨性。
12 学习三角形外角定理的目标121 知识层面的目标学生应能够准确记忆和表述三角形外角定理的定义和表述，理解其推导过程和原理。
初中数学 什么是三角形的内角和外角
初中数学什么是三角形的内角和外角初中数学中，三角形的内角和外角是几何学中重要的概念。
它们描述了三角形内部和外部角度的关系。
本文将详细介绍三角形的内角和外角的定义、性质和计算方法。
一、三角形的内角三角形的内角是指三角形内部的角度。
对于任意一个三角形ABC，它有三个内角，分别为∠A、∠B和∠C。
三角形的内角性质：1. 内角和等于180度：三角形的三个内角的和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 锐角三角形：如果三角形的三个内角都小于90度，则称该三角形为锐角三角形。
3. 直角三角形：如果三角形的一个内角等于90度，则称该三角形为直角三角形。
4. 钝角三角形：如果三角形的一个内角大于90度，则称该三角形为钝角三角形。
二、三角形的外角三角形的外角是指一个三角形的某一个内角的补角。
对于三角形ABC，可以通过延长一条边来形成一个外角。
三角形的外角性质：1. 外角等于两个不相邻内角之和：对于三角形ABC，外角∠D等于不相邻的两个内角之和，即∠D = ∠B + ∠C。
2. 三角形的三个外角的和等于360度：三角形的三个外角的和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
三、三角形内角和外角的计算方法1. 已知两个内角求第三个内角：如果已知三角形的两个内角，可以通过内角和等于180度的性质求得第三个内角。
2. 已知一个内角和一个外角求第三个内角：如果已知三角形的一个内角和一个外角，可以通过外角等于两个不相邻内角之和的性质求得第三个内角。
3. 已知一个内角和一个外角求其他两个外角：如果已知三角形的一个内角和一个外角，可以通过外角等于两个不相邻内角之和的性质求得其他两个外角。
总结：本文详细介绍了初中数学中三角形的内角和外角的定义、性质和计算方法。
三角形的内角和为180度，可以用于判断三角形的性质和分类。
三角形的外角是某一个内角的补角，可以用于计算三角形其他角度的信息。
初中数学《三角形的外角》知识全解
《三角形的外角》知识全解
课标要求
（1）进一步了解三角形的内角及外角的概念．（2）通过基本事实说明三角形外角的特性（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，三角形的外角和等于360°）．（3）使学生体验说理的重要性与必要性，进一步培养学生的说理能力．
知识结构
（1）三角形的外角的定义：
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（2）三角形的外角的两条性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
内容解析
本节课在学生认识三角形的有关概念、三角形的内角和的基础上展开，主要进行三角形的外角性质的教学，采用拼图和说理的方法，让学生通过自己的探索以及简单的数学说理发现三角形的外角性质，既使所得结论得到论证，又帮助学生学着从不同角度考虑问题，可以采用观察实验的方法，还可以采用数学推导说理的方法．为下一节《多边形的内角和与外角和》的学习探究作了有益的铺垫，具有承上启下的作用．
重点难点
本节课的重点是三角形的外角及其性质，难点是运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法．
教法导引
结合学生年龄特征，本着从“感性认识到理性分析”的思想以动手实践和讨论法为主，课堂教学中“学会初步说理”对学生有一定难度，展开小组讨论力求突破教学难点．学法建议
学生水平有限，归纳总结能力、说理能力尚欠缺，让学生主动探究、合作，从而使学生充满自信与创造性，能个性化地表达自己的思想，让思想互相碰撞、相互补充、拓展思维、达成共识，在互动中理解个人与集体智慧的价值．。
《三角形的外角》教学课件
定理应用举例
角B的外角 = 角A + 角C = 120°
解这个方程组，我们 可以得到三角形ABC 各内角的度数。
角C的外角 = 角A + 角B = 150°
定理应用举例
例2
在三角形ABC中，已知D是BC边上一 点，且BD = AB，CD = AC，求角 BAC的度数。
分析
根据题目条件，我们可以得到以下信 息
多边形外角和公式推导
01
多边形的外角和指的是多边形所有外角之和。
02
对于任意多边形，其外角和等于360°。
03
推导过程：由于多边形的每个内角与其相邻的外角互补，即内角+外角=180°， 因此多边形的内角和与外角和互补。已知多边形的内角和为（n-2）×180°，则 多边形的外角和等于360°。
实例计算多边形外角和
通过构造辅助线，将问题转化为与三角形外角相关的问题，从而证明线段或角度的相等关系。
05 拓展：多边形外角和计算方法
多边形内角和回顾
01
多边形的内角和公式为（n-2）×180°，其中n为多边形 的边数。
02
对于三角形，内角和为180°；对于四边形，内角和为 360°，以此类推。
03
多边形的内角和可以通过划分成多个三角形来计算，每 个三角形的内角和为180°。
最后，我们可以得到： 角BAC = 180° - (角B + 角C) = 90°。
03 特殊三角形中外角特点分析
等腰三角形外角特点
等腰三角形两个底角的外角相等 。
等腰三角形顶角的外角等于底角 的两倍。
等腰三角形任意一边上的外角等 于不相邻的两个内角之和。
等边三角形外角特点
等边三角形的三个外角都相等。 每个外角都等于120°，是内角（60°）的两倍。
三角形外角公式
三角形外角公式三角形外角定义在一个三角形中，与某个内角相对的角被称为该三角形的外角。
三角形的外角分为三个，每个外角都与三角形的某个内角相对应。
相关公式1.外角和定理：一个三角形的三个外角的和等于360度。
外角1 + 外角2 + 外角3 = 360°2.外角与内角关系：一个三角形的内角与其对应的外角之和等于180度。
内角1 + 外角1 = 180°内角2 + 外角2 = 180°内角3 + 外角3 = 180°举例说明假设有一个三角形ABC，边长分别为AB = 5cm，BC = 4cm，AC =6cm。
现在我们需要计算该三角形的外角。
根据三角形的边长，可以使用余弦定理计算角A、角B和角C的大小。
假设角A对应的外角为外角1，角B对应的外角为外角2，角C对应的外角为外角3。
根据外角和定理，我们知道外角1 + 外角2 + 外角3 = 360°。
所以，我们只需要求得其中两个外角的值，即可确定第三个外角的大小。
假设我们已经计算得到角A为30°，角B为40°。
那么根据外角与内角关系，外角1 = 180° - 角A，外角2 = 180° - 角B。
将已知的角度代入公式，我们可以计算出外角1 = 150°，外角2 = 140°。
由于三角形的三个外角的和等于360°，我们可以求得外角3 = 360° - 外角1 - 外角2 = 70°。
所以，对于三角形ABC，外角1的大小为150°，外角2的大小为140°，外角3的大小为70°。
总结三角形的外角是与某个内角相对的角。
根据外角和定理，三角形的三个外角的和等于360度。
根据外角与内角关系，一个三角形的内角与其对应的外角之和等于180度。
通过应用这些公式，我们可以在已知三角形边长或角度的情况下计算三角形的外角。
湘教版初中八年级数学上册2-1三角形第2课时三角形的外角及其性质课件
解析 (1)∵∠B=35°,∠E=25°, ∴∠ECD=∠B+∠E=60°, ∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=60°, ∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°. (2)证明:∵CE平分∠ACD,∴∠ECD=∠ACE, ∵∠BAC=∠E+∠ACE,∴∠BAC=∠E+∠ECD, ∵∠ECD=∠B+∠E,∴∠BAC=∠E+∠B+∠E, ∴∠BAC=∠B+2∠E.
2
∠A1=
1 2
∠A,同理∠A2=
1 2
∠A1,∴∠A2=
12∠A1=
1×
2
1∠A=
2
1 22
∠A,同理∠A3=
1 23
∠A,∠A4=
1 24
∠A,
∠A5=
1 25
∠A=
1 32
×96°=3°.故选D.
9.(教材变式·P49习题2.1 T8)(2024湖南岳阳汨罗期中,14,★ ★☆)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 180° .
解析 如图,由三角形的外角性质得∠EOF=∠B+∠F, ∠GOF=∠C+∠G,∠DPE=∠A+∠D,∴∠GOE=∠B+∠F+∠C +∠G,由三角形的内角和定理得∠GOE+∠DPE+∠E=180°, 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°.
10.(2024湖南永州宁远期中,23,★★☆)如图,CE是△ABC的 外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=35°,∠E=25°,求∠BAC的度数. (2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.
初中数学教材解读人教八年级上册(2023年修订)第十一章三角形三角形的外角
三角形的外角学习目标：1、理解三角形外角概念。
2、掌握三角形外角性质。
3、会用三角形的外角性质解决问题。
重点：三角形外角性质难点：用三角形的外角性质解决问题学习过程：一、板书课题今天我们学习三角形的外角。
二、复习引入1、三角形的顶点、边、内角。
2、在ABC 中，∠B=50°，∠A=60 ° ，则∠C=3、把三角形ABC 的一边BC 延长,得到______。
4、三角形的外角定义: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三、探究新知1、如图，（1）∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACB= _____ , ∠ACD=_____ 。
(2) ∠A=80°, ∠B=65°,则∠ACB= _____ , ∠ACD= _____ 。
猜想：∠ACD 与∠A ，∠B 有什么关系？2、如图，求证：∠ACD ＝∠A+∠B性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3、用 “<” ， “>”填空 ∠ACD____∠A ， ∠ACD____∠B 。
性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
4、三角形的外角和为360°四：练习1、求下列各图中∠1的度数。
2、把图中∠1，∠2，∠3由小到大排列。
3、若∠3、∠B 、∠C 分别为80°，20°，30°，求∠1、∠2的度数。
35120150° 60° 1307012E 1 3DC BA4、如图，计算∠BOC的度数．O B CA五、课堂小结六、当堂训练课本第16页必做题：第5题，第6题。
选做题：第11题。
《三角形的外角》PPT课件
利用外角证明线段相等或平行
通过三角形外角性质，证明两线段相等
若两线段分别与三角形的两边平行，且它们所截得的线段相等，则这两线段相等。
利用外角证明两直线平行
若一直线与三角形的一边平行，且它们所截得的线段相等，则这直线与三角形的另 一边也平行。
利用外角解决角度问题
通过三角形外角性质计算角度
一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，利用这一性质可以计算三 角形中的角度。
THANKS
感谢观看
REPORTING
题目一
题目三
已知三角形ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的外角大小。
已知等边三角形ABC中，D、E分别是 AB、AC上的点，且BD = CE，BE与 CD相交于点F，求∠BFC的度数。
题目二
在三角形ABC中，D是BC边上一点， ∠ADB = 120°，∠BAD = 30°，求∠C 的大小。
案例分析：典型计算题目解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
案例一
已知三角形ABC中，∠A 的外角为120°，求∠B 和∠C的度数。
解析
根据三角形外角定理， ∠A的外角等于∠B+∠C， 即∠B+∠C=120°。再结 合三角形内角和为180°， 可求得∠B和∠C的度数。
案例二
已知四边形ABCD中， ∠A的外角为60°，求四 边形ABCD的内角和。
建筑设计中角度调整与优化
01
02
03
角度调整
在建筑设计中，利用三角 形的外角性质可以灵活调 整建筑物的角度，使其更 加符合审美和实用要求。
结构优化
通过合理设置三角形的外 角，可以优化建筑结构的 稳定性和承重能力。
第4套人教初中数学八上 第5课时 三角形的外角课件 【通用,最新经典教案】
三角形外角的性质 容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
1.认识三角形的三条重要线段
一二
【例 1】 如图所示,AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,则下列说法中错误的是
( ). A.在△ABC 中,AC 是边 BC 上的高 B.在△BCD 中,DE 是边 BC 上的高 C.在△ABE 中,DE 是边 BE 上的高 D.在△ACD 中,AD 是边 CD 上的高
S△DEC=12S△ADC.
由
D,E
分别是
BC,AC
的中点,可知△ADC
的面积等于△ABC
关闭
面积的一半,△DEC
的面积等于△ADC 面积的一半,所以△DEC 的面积等于△ABC 面积的1,即
4
S△DEC=14S△ABC=14×24=6(cm2).
答案 答案
1
2
3
4
5
1.在三角形的角平分线、中线、高线中,( ). A.每一条线都是线段 B.角平分线是射线,其余是线段 C.高线是直线,其余是线段 D.高线是直线,角平分线是射线,中线是线段
解析
答案
一二
2.等腰三角形的性质及其应用
一二
【例 2】如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.求证:DE=DF.
连利接用A等D.腰三角形三线合一的性质及角平分线性质容易证明.
∵D 为 BC 的中点,AB=AC, ∴AD 平分∠BAC. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF.
三角形的外角PPT教学课件
综合法
01
结合直接法和间接法
根据题目条件，灵活选择直接法或间接法进行计算，或者将两种方法结
合起来使用。
02
引入辅助线
在解题过程中，根据需要引入辅助线，构造新的三角形或者利用相似三
角形的性质来求解外角。
03
多种方法综合运用
在实际解题中，可以综合运用多种方法，如定义法、量角器法、三角形
内角和定理、平行线性质等，以便更快速、准确地求解三角形外角。
结合多种不同类型的三角形，深入剖析三角形外 02 角定理的适用条件和范围。
通过实例分析，引导学生理解和掌握三角形外角 03 定理的证明方法和应用技巧。
03
三角形外角性质应用
在几何问题中应用
01 证明线段相等
通过三角形外角性质，可以证明两条线段相等， 进而解决一些复杂的几何问题。
02 求角度大小
利用三角形外角等于相邻两内角之和的性质，可 以求出一些难以直接测量的角度大小。
答案解析
题一解析
根据三角形外角性质，三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个 内角之和。因此，角A的外角为 120°时，角B和角C的度数之和为 60°。可能的组合有（30°， 30°）、（20°，40°）、（10°， 50°）等。
题二解析
设角P的外角为x°，则根据题意有 x = 2(180° - x - 150°)，解得x = 100°。因此，角P = 80°，角Q = 50°，角R = 180° - 80° - 50° = 50°。
三角形的外角PPT教 学课件
目录
• 三角形外角基本概念 • 三角形外角定理及其证明 • 三角形外角性质应用 • 三角形外角与其他知识点联系 • 求解三角形外角方法总结 • 练习题与答案解析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
且∠A+∠B+∠ACB=1_8_0_°_(三角形内角和定理)
∴∠ACD__=__∠A+∠B（等量代换）
由此得出，三角形内角和定理的推论1 三
角形的外角等于与__它__不__相__邻__的__两__个__外__角__的__和_.
A
B
D C
2、∵∠ACD_=___∠A+∠B
∴∠ACD__>__∠A，∠ACD_>___∠B（填上
这些外角的和叫做三角形的外角和，三角形
的外角和等于__3_6_0_°___.
1、三角形的三个外角之比为2：5：5， 则此三角形是（ B ） (A)锐角三角形 （B）钝角三角 (C)直角三角形 （D）无法确定
2、如图所示，
则α=_1_1_4__°
58°
24°
32°
3、如图,△ABC中,点D在BC的延长线
2、 三角形的三个外角中最多有_一__个锐角，
最多有_三___个钝角，最多有__一__个直角.
3、若一个三角形的一个外角小于与它相邻
的内角,则这个三角形是( C )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定
知识点二 三角形内角和定理的推论
如图，
A
B
D C
1、∵∠ACD+∠ACB=_1_8_0_°_（平角的定义 ）
上,点F是AB边上一点,延长CA到E,连
EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是 _∠_1_>_∠__2_>_∠__3___．
E
A
F3
2
1
B
D C
4、如图，直线AB∥CD，∠A=70°，
∠C=40°，则∠E的度数
E
解:如图所思，标出∠1和∠2
∵AB∥CD
D
∴∠1=∠A=70° 根据三角形外角和定理的推B论
三、研学教材
认真阅读课本第14至15页的内容，完成 下面练习并体验知识点的形成过程. 知识点一 三角形的外角
如图,把△ABC的一边BC延长到D,得∠ACD， 像这样,三角形的一边与另一边的_延__长__线_ 组成的角,叫做三角形的外角.
A
B
D C
1、三角形的外角共有_六____个,每个顶点处
有_两___个外角,它们的大小_相__等___.
∠E=∠1-∠C
=70°-40°=30°
12 C
AHale Waihona Puke 四、归纳小结1、三角形的一边与另一边的 __延__长__线____组成的角，叫做三角形的 外角. 2、三角形的外角等于与它不相邻的 _两__个__内__角__的__和_______. 3、三角形的一个外角_大__于___与它不相 邻的任何一个内角. 4、三角形的外角和是__3_6_0_°__.
“＜”、“＝”或“＞”）.
由此得出，三角形内角和定理的推论2：三 角形的一个外角___大__于___与它不相邻的任
何一个内角.
3、推论是_由__定__理__直__接__推__出____的结论,和定
理一样,推论可以作为进一步推理的依据.
说出下列图中∠1和∠2的度数．
80° 60°
(1)
12
2 1 40°
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
知识点三 三角形的外角和
例4 如图，∠1、∠2、∠3是
1A
△ABC的不同三个外角，则它
们的和是多少？
3
B
C
2
解：∵∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2=__∠__B_A_C_+_∠__A_C_B______
∠3=__∠__A_B_C_+_∠__B_A_C______ （三角形的外角等于_与__它__不__相__邻__的__两__个__内）
角的和
1A
3
B
C
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3
2
= 2（__∠_A_B_C___+__∠__A_C_B__+ __∠_B_A_C___）
又∵__∠_A_B_C__ +__∠__A_C_B__+ __∠_B_A_C__ = 180º
∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2×180°=360°
结论 在三角形的每个顶点处各取一个外角，
30°
(2)
1 2 40°
(3)
解：图(1)中∠1=40°，∠2=140°； 图(2)中∠1=110°，∠2=70°； 图(3)中∠1=50°，∠2=140°；
A
E
70°
B
40°
21 (4) C
D
60° 1
60° 20° 2
(5)
2 1
30°
(6)
解：图(4)中∠1=55°，∠2=70°； 图(5)中∠1=80°，∠2=40°； 图(6)中∠1=60°，∠2=30°.
一、学习目标
1、探索并了解三角形的外角的性质；
2、能利用学过的定理证明 这些性质；
3、能利用三角形的外角性质 解决实际问题.
二、新课引入
1、三角形内角和定理： _三__角__形__三__个__内__角__的__和__等__于__1_8_0_°_. 2、填空: (1) △ABC中,∠A=300,∠B=500,则∠C=1_0_0_°__. (2)在Rt△ABC中，其中一个锐角是500， 则另 一个锐角等于 40° .