Toeplitz系数矩阵方程组的迭代解法

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第三章迭代法s4 解线性方程组的迭代法

得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T

x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
( x1( k 1) (1 ) x1( k ) 1 x2k ) 2 ( k 1) (k ) ( k 1) (k ) x2 (1 ) x2 8 x1 x3 3 ( k 1) ( ( x3 (1 ) x3k ) 5 x2k 1) 2
( k ( k 在计算 xi( k 1) 时，如果用 x1 k1) ,, xi(11) 代替 x1 k ) ,, xi(1) ，则可能会得到更好的收敛效果。此时的迭代公式为
x1( k 1) ( x2k 1) ( k 1) xn
( ( ( b1 a12 x2k ) a13 x3k ) a1n xnk ) a11 ( ( b2 a21 x1( k 1) a23 x3k ) a2 n xnk ) a22
解得
x
x ( k 1) (1 ) x ( k ) D 1 b Lx ( k 1) Ux ( k )
( k 1)
D L
1
1
(1 ) D U x
(k )
D L b
1
GS D L
Jacobi 迭代 x( k 1) D1 ( L U ) x( k ) D1b
M = D, N = M – A = -(L + U)
GS 迭代
x
( k 1)
L D Ux
1
(k )

计算方法3_线性方程组迭代解法

计算方法3_线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法是解决线性方程组的一种常见方法，常用于大规模的线性方程组求解。

该方法通过不断迭代更新解的近似值，直到满足一定的收敛准则为止。

线性方程组的迭代解法有很多种，其中最经典的是雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法。

本文将分别介绍这三种迭代解法及其计算方法。

雅可比迭代法是一种比较简单的线性方程组迭代解法，它的基本思想是先将线性方程组转化为对角占优的形式，然后通过迭代求解逐渐接近精确解。

雅可比迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)是第k+1次迭代的近似解，n是未知数的个数，a_ij 是系数矩阵A的元素，f_i是方程组的右端向量的元素。

雅可比迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式，即保证矩阵A的对角元素绝对值大于其它元素的绝对值。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据雅可比迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法，它的基本思想是在每次迭代计算x^(k+1)时，利用已经计算出的近似解作为x的一部分。

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：其中，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

高斯-赛德尔迭代法的计算步骤如下：1.将线性方程组转化为对角占优的形式。

2.初始化向量x^(0)，设定迭代终止准则。

3.根据高斯-赛德尔迭代公式，计算x^(k+1)。

4.判断迭代终止准则是否满足，如果满足，则停止迭代，返回近似解x^(k+1)；否则，继续进行下一次迭代。

超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的一种改进方法，它引入了松弛因子ω，通过调整参数ω的值，可以加快迭代的收敛速度。

超松弛迭代法的迭代公式为：其中，0<ω<2，x^(k+1)_i是第k+1次迭代的近似解中第i个未知数的值，x^(k)_i是第k次迭代的近似解中第i个未知数的值。

第3章3-06迭代法和收敛性

解方程组化为等价的方程组 0.2 x2 + 0.1x3 + 0.3 x1 = + 0.1x3 + 1.5 x2 = 0.2 x1 x = 0.2 x + 0.4 x + 2 1 2 3 构造高斯赛德尔迭代公式高斯构造高斯-赛德尔迭代公式 ( ( x1( k +1) = 0.2 x2k ) + 0.1x3k ) + 0.3 ( k +1) ( x2 = 0.2 x1( k +1) + 0.1x3k ) + 1.5, k = 0,1, 2,L ( k +1) ( x3 = 0.2 x1( k +1) + 0.4 x2k +1) + 2
雅可比迭代公式
i −1 n 1 ( k +1) (k ) (k ) xi = (bi − ∑ aij x j − ∑ aij x j ) , (i = 1,2,L, n) aii j =1 j =i +1
分量形式
( k +1) 1 ( ( ( x1 = (b1 − a12 x2k ) − a13 x3k ) − L − a1n xnk ) ) a11 ( k +1) 1 ( ( x2 = (b2 − a21 x1( k ) − a23 x3k ) − L − a2 n xnk ) ) a22 LLLL ( k +1) 1 ( ( ) xn = (bn − an1 x1( k ) − an 2 x2k ) − L − ann −1 xnk 1 ) − ann
高斯-赛德尔高斯赛德尔(Seidel)迭代公式赛德尔迭代公式
i −1 n 1 ( k +1) ( k +1) (k ) xi = (bi − ∑aij x j − ∑aij x j ), aii j =1 j =i +1

方程组的迭代解法

x
k 1
Bx g
k
定理 1
对任何 A Rnn ，都有 A
A
，这里 A 是
矩阵 A 的任何算子范数。证明设 i 和 xi 是矩阵 A 的任一特征值和对应的特征向量，则有 Axi i xi ，两边取范数，有
i xi i xi Axi A xi
以 B 1 ，必要性得证。
反过来，假设 B 1 ，则矩阵 I B 是非奇异
I B x g 矩阵，于是可知方程组有唯一解 x ，从
x Bx g ，利用关系式（1）及（2）而得到关系式
x x ，充分性得证。可得 lim k
k 1
x
m1
1 x
m
x
m1
m k , k 1,
其中实参数称为松弛因子， x Seidel 迭代值，即 x 式x
m1
m1
是由 x 产生的
m
m1
BS x
m1
m
gS 。
1 x
赋范线性空间 R n 中的任何一组点列都有收敛与发散的问题。因此，由 Jacobi 迭代格式或 Seidel 迭代格式产生的点列也有这样的问题，当点列收敛时，可以成功地逼近所求解，若点列发散，将不能逼近解；此时应该及时终止迭代过程而转向用其它方法求解。讨论 Jacobi 迭代和 Seidel 迭代的收敛条件。为此，先把这两种迭代格式写成统一的形式
m
g
收敛最快。目前对少数特殊类型的矩阵，已找到最佳松弛因子的理论公式，但实际使用仍有一定的困难。因此，通常是采用试算的方法来寻求近似的最佳松弛因子。例如在区间 0, 2 中依次选择几个松弛因子，通过比较相应的收敛速度来确定其中最快的一个即可。

计算方法线性方程组的迭代解法基本的矩阵分裂迭代法ch06b r

13
对角占优矩阵
定义：设 ARnn，若 | aii |
j 1, j i

n
| aij |
( i = 1, 2, ... , n )
且至少有一个不等式严格成立，则称 A 为弱对角占优；若所有不等式都严格成立，则称 A 为严格对角占优。
14
可约与不可约
定义：设 ARnn，若存在排列矩阵 P 使得
j i 1
a
n
ij
x
(k ) j
aii
4
i = 1, 2, … , n， k = 0, 1, 2, …
Gauss-Seidel 迭代
( k 1) (k) (k) (k) x1 b1 a12 x2 a13 x3 a1 n xn a11 ( k 1) (k) (k) (k) x b a x a x a x 2 2 21 1 23 3 2 n n a22 ( k 1) (k) (k) (k) x b a x a x a x n n1 1 n2 2 n , n 1 n 1 ann n
x
(k) i
i 1 n ( k 1) (k) bi aij x j aij x j aii j 1 j i
为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个松弛因子
，于是可得迭代格式
xi( k 1)
i 1 n (k) ( k 1) (k) xi bi aij x j aij x j aii j 1 j i
18
举例
1 a a 解法二： Jacobi 的迭代矩阵为 J a 1 a a a 1

对称正定Toeplitz型方程组的混合预处理

称该矩阵为循环矩阵，记为Ｃ＝ｃｉｒｃ（ｔ。，ｔ一，ｔ一。））．形如（１．１）的方程组在数学和工程中有着重要的应用］．目前求解Ｔｏｅｐｌｉｔｚ型方程组的方法主要有直接法和迭代法Ｊ，直接法的计
算复杂度为Ｏ（ｒｔ），但存在算法不稳定因素，所以对于大型Ｔｏｅｐｌｉｔｚ方程组，通常用迭代法求
ｄｉｔｉｏｎｉｎｇｓｙｓｔｅｍｃａｌｌｂｅｓｏｌｖｅｄｂｙｕｓｉｎｇｆａｓｔＦｏｕｉｅｒｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．Ｂｏｔｈｔｈｅｏｒｙａｎｄｎｕｍｅｉｃｒａｌｅｘｐｅｉｍｅｒｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓ
ＧｕｏＧｕｏｃｈａｏＬｉｕＺｈｏｎｇｙｕｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅ，ＣｈａｎｇｓｈａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，
Ｔ．Ｃｈａｎ’ Ｓｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｒ
１引言
本文考虑用预处理迭代法求解如下的线性方程组
（＋Ｄ）＝ｂ，（１．１）
这里矩阵Ｄ ∈Ｒ为对角矩阵，记为Ｄ＝ｄｉａｇ（ｄ，ｄ。， …，ｄ），矩阵 ∈Ｒ为对称正定Ｔｏ — ｅｐｌｉｔｚ矩阵，其中的元素满足：ｔ＝ｔ，０≤ ｉ √ ≤ ｎ一１（注：若￡一＝ｔ，０≤ ｉ ≤ｒｔ一１，则

高斯塞德尔法迭代矩阵公式

高斯塞德尔法迭代矩阵公式
高斯-塞德尔迭代法是一种数值分析中的迭代法，用于求解线性方程组。

其基本思想是通过迭代逐步逼近方程的解。

下面是高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵公式：
假设线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为已知向量。

高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵公式为：
x(k+1)=D−1(L+U)x(k)+D−1b，其中D是A的对角线元素构成的矩阵，L和U分别是A的下三角矩阵和上三角矩阵。

这个公式中，D−1是D的逆矩阵，(L+U)x(k)表示将向量x(k)与矩阵L和U相乘，D−1b是将向量b与矩阵D的逆相乘。

每次迭代中，新的解向量x(k+1)可以通过将当前的解向量x(k)代入公式计算得出。

需要注意的是，高斯-塞德尔迭代法并不是一定能够收敛到方程的解，它取决于系数矩阵A的具体形式和初始向量的选取等因素。

在实际应用中，可能需要进行一些预处理操作，如消去或约简系数矩阵A，或者选取合适的初始向量等，以保证迭代能够收敛到正确的解。

此外，高斯-塞德尔迭代法也有一些改进和变种，如松弛法、超松弛法等，这些方法可以进一步优化迭代的效果和收敛速度。

总的来说，高斯-塞德尔迭代法是一种常用的数值分析方法，适用于求解线性方程组问题。

teoplitz定理

teoplitz定理Teoplitz定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于信号处理、线性代数、概率论等领域。

该定理是由德国数学家奥托·特普利茨（Otto Toeplitz）在20世纪初提出的。

它的主要内容是关于Toeplitz矩阵的特征值和特征向量的性质。

我们来了解一下Toeplitz矩阵。

Toeplitz矩阵是一种特殊的方阵，其元素满足每条对角线上的元素都相等。

具体地说，对于一个n阶Toeplitz矩阵，设其第一行为[a0, a1, a2, ..., an-1]，则它的第k条对角线上的元素都是ak。

Toeplitz矩阵在信号处理中有着广泛的应用，比如在图像处理中，Toeplitz矩阵可以用来表示图像的卷积操作。

接下来，我们来介绍一下Teoplitz定理的内容。

Teoplitz定理指出，对于任意一个Toeplitz矩阵，它的特征值和特征向量具有一定的规律。

具体地说，Toeplitz矩阵的特征值可以通过其第一列和最后一行的元素来确定。

设Toeplitz矩阵的第一列为[a0, a1, a2, ..., an-1]，最后一行为[a0, a-1, a-2, ..., a1-n]，则Toeplitz矩阵的特征值为[a0 + a-1λ, a1 + a-2λ, ..., an-1 + a1-nλ]，其中λ为任意常数。

Teoplitz定理还指出，Toeplitz矩阵的特征向量具有一定的结构性质。

具体地说，Toeplitz矩阵的特征向量可以通过其第一列的元素来表示。

设Toeplitz矩阵的第一列为[a0, a1, a2, ..., an-1]，则Toeplitz矩阵的特征向量为[v0, v1, v2, ..., vn-1]，其中vi 满足以下递推关系：vi = λvi-1 - ai，其中v0为任意非零常数。

Teoplitz定理的证明过程比较复杂，这里就不做详细展开了。

但是可以通过数值实验验证Teoplitz定理的正确性。

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Toeplitz系数矩阵方程组的迭代解法
方雅敏
【摘要】主要讨论系数矩阵为非对称正定的Toeplitz的迭代求解,运用以系数矩阵的一个对称、反对称分裂为基础的SSS迭代方法.特别地分裂是一个中心对称分裂,可以利用中心对称矩阵的可约性来减少计算量和存储量.再通过几个数值例子验证了此方法的有效性.
【期刊名称】《丽水学院学报》
【年(卷),期】2008(030)002
【总页数】4页(P25-28)
【关键词】Toeplitz矩阵;迭代方法;矩阵分裂;谱半径;中心对称矩阵
【作者】方雅敏
【作者单位】丽水学院,数理学院,浙江,丽水,323000
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
0 引言
考虑线性方程组
Ax=b
(1)
的迭代求解，其中A∈Rn×n是非对称正定的Toeplitz矩阵，b∈Rn已知。

构造
求解(1)的迭代方法需要系数矩阵A的有效的矩阵分袭。

例如Jacobi’s方法[1]和Gauss-seidel迭代方法[1]，在这几种方法中A=D-L-U，其中D为对角矩阵，-L 为A的严格下三角部分，-U为A的严格上三角部分。

在广义的CG方法[2]和广义的Lanczos方法[3]中矩阵A的分裂为A=H+S，其中是矩阵A的共轭转置,而SSS迭代方法用的矩阵分裂是
A=F-G，
(2)
这里表示矩阵A的转置。

定义1[1] (1)方阵A=M-N称为A的一个分裂，如果|M|≠0。

(2)如方阵的各对角线上的元素分别都相等，则称此矩阵为Toeplitz矩阵。

定义2[2] 方阵A如满足JAJ=A，称其为中心对称矩阵；若JAJ=-A，则称其为反中心对称矩阵。

这里J仅次对角线元为1的其余元为0的方阵。

在分裂(2)中，由Toeplitz矩阵、中心对称矩阵及反中心对称矩阵的定义可知：F 是一个对称的Toeplitz矩阵，即其为一个中心对称矩阵；G是一个反对称的Toeplitz矩阵，则其为一个反中心对称矩阵。

对中心对称矩阵和反中心对称矩阵的可约性质，为了简单起见只考虑n=2m的情况。

若A是中心对称的，则取
可得
(3)
若A是反中心对称的，则
取同样的P有
(4)
1 SSS迭代方法
此法的迭代格式如下：其中α>0给定，而SSSS迭代方法的收敛性需要给出2个引理，用于证明SSS迭代方法的收敛性。

引理1[3] 令A=Mi-Ni(i=1,2)为矩阵A的2个分裂，x0为初始向量，定义迭代序列则更进一步，如则对任意初始向量x0，迭代序列{xk}收敛到(1)的唯一解x*。

这里ρ(C)为矩阵C的谱半径。

引理2[2] (Pythagorean定理)对于Frobenius范数和由‖·‖2得到的算子范数，如果Q和Z是正交矩阵或酉矩阵，则有‖QAZ‖=‖A‖。

定理1 A是一个非对称正定的Toeplitz矩阵，和分别是矩阵A的对称和反对称部分，α是一个正数，则SSS迭代方法的迭代矩阵M(α)为
M(α)=(αI+G)-1(αI-F)(αI+F)-1(αI-G)，
且ρ(M(α))的上界为这里λ(F)为矩阵F的谱集，则我们有
ρ(M(α))≤σ(α)<1，∀α>0，
即SSS迭代序列收敛到(1)的唯一解x*。

证明令M1=(αI+F),N1=(αI-G),M2=(αI+G),N2=(αI-F),
其中M1和M2对正数α都是可逆的，则由引理2可得M(α)。

由相似矩阵的特征值相等和引理2知
ρ(M(α))=ρ((αI-F)(αI+F)-1(αI-G)(αI+G)-1)≤
‖(αI-F)(αI+F)-1(αI-G)(αI+G)-1‖2≤
‖(αI-F)(αI+F)-1‖2，
其中Q(α)-(αI-G)(αI+G)-1是正交矩阵，而GT=-G，则
Q(α)TQ(α)=(αI+G)(αI-G)-1(αI-G)(αI+G)-1=I,
故
由λi>0(i=1,2,…,n)和α>0，得(M(α))≤σ(α)<1。

推论1 A是非对称正定的Toeplitz矩阵，和分别是矩阵A的对称和反对称部分，α是一个正数，γmin和γmax分别是矩阵F的最小和最大特征值，则且其中k(F)是矩阵F的条件数。

证明我们知道如果α*是一个最小值点，则它一定满足
α*-γmin>0，α*-γmax<0和因此
在SSS迭代方法中F是一个中心对称矩阵，G是一个反中心对称矩阵，因此可以利用矩阵的可约性来减少此法计算量和存储量。

SSS迭代算法
step 1 计算矩阵A的分裂A=F-G，其中
step 2 给定一个初始向量x0:for i=1 to k
end
这里其中P由(3)和(4)给出。

step 3 对给定的ε>0，如则step 2停止，就是(1)的一个近似解：否则令k=k+1并返回到step2。

2 数值例子
在本节中将给出2个数值例子来说明SSS迭代方法的有效性，在例1中用SSS迭代方法跟Jacobi’s迭代方法作了比较，由数值结果可以看到SSS迭代的收敛速度比Jacobi’s迭代的收敛速度快得多，例2则显示了SSS迭代的收敛速度比Gauss-seidel迭代的收敛速度快。

例1 A是一个非对称正定的Toeplitz矩阵，ai,i=5,ai,i+1=1,ai+1,i=-1,ai,i+2=-2(i=1,2,…,n);bi=1(i=1,2,…,n)。

令ρ(GJ)和ρ(GSSS)分别表示Jacobi’s迭代方法和SSS迭代方法的谱半径，α*是由推论1得关于σ(α)的最优值，n表示矩阵A的
维数。

ρ(GJ)和ρ(GSSS)的数值比较见表1。

表1 ρ(GJ)和ρ(GSS S)的数值比较nα*ρ(GJ)ρ(GSSS)1004.584 20.551 70.194 92004.583 00.552 10.195 14004.582 70.552 10.195 26004.582 60.552
20.197 38004.582 60.552 20.198 81 0004.582 60.552 20.200 1
例2 A是一个非对称正定的Toeplitz矩阵，ai,i=10,ai,i+1=1,ai+1,i=-1,ai,i+2=-2，ai+2,i=-3(i=1,2,…,n)；bi=2(i=1,2,…,n)。

令ρ(GGS)和ρ(GSSS)分别表示Gauss-seidel迭代方法和SSS迭代方法的谱半径。

ρ(GGS)和ρ(GSSS)的数值比较见表2。

表2 ρ(GGS)和ρ(GSSS)的数值比较nα*ρ(GGS)ρ(GSSS)1008.665 70.311 50.267 42008.661 60.312 20.267 84008.660 60.312 40.267 96008.660 40.312
40.267 98008.660 30.312 40.267 91 0008.660 30.312 40.267 9
3 结束语
用本文讨论的SSS迭代方法来求解系数矩阵为非对称正定的Toeplitz矩阵的线性方程组，在很多工程计算问题中，问题最终会归结为线性方程组(1)的求解，故设计有效的迭代方法来求解(1)是数值代数的一个重要研究方向[4-6]。

参考文献
【相关文献】
[1]Demmel J W.Applied Nemerical Linear Algebra[M].SIAM,1997:17-99.
[2]Liu Z Y.Some properties of centrosymmetric matrices[J].Appl Math
Comput,2002,141(23):17-26.
[3]Bai Z Z,Golub G H,Ng M K.Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive definite linear systems[M].SIAM，2003:603-626.
[4]张马彪.一种求解广义sylvester方程的方法[J].丽水学院学报，2007，29(5)：31-34.
[5]李庆杨，易大义，王能超.现代数值分析[M].北京：高等教育出版社，1995：79-100.
[6]施妙根，顾丽珍.科学与工程计算基础[M].北京：清华大学出版社，2003：345-360.。