求解非对称线性方程组的积多项式预处理GMRES算法
《2024年E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》范文
《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，大规模线性方程组的求解问题在众多领域中显得尤为重要。
GMRES（Generalized Minimum Residual）算法作为一种高效的迭代求解方法，在解决这类问题时具有广泛的应用。
而E-变换GMRES(m)算法则是在传统GMRES 算法的基础上进行优化与改进的一种算法。
本文将对E-变换GMRES(m)算法的研究及其在各领域的应用进行深入探讨。
二、E-变换GMRES(m)算法的原理与特点1. 算法原理E-变换GMRES(m)算法是一种基于Krylov子空间的迭代算法，它通过构建一系列与原系数矩阵相关的Krylov子空间，并在这些子空间中寻找最小残量的解。
与传统GMRES算法相比，E-变换GMRES(m)算法在迭代过程中引入了E-变换，从而提高了算法的收敛速度和求解精度。
2. 算法特点（1）高效性：E-变换GMRES(m)算法在迭代过程中能够快速收敛，大大减少了求解大规模线性方程组所需的时间。
（2）稳定性：该算法在求解过程中具有较好的稳定性，能够有效地处理病态矩阵问题。
（3）灵活性：E-变换GMRES(m)算法可以灵活地应用于各种不同的问题，如线性系统求解、偏微分方程的数值求解等。
三、E-变换GMRES(m)算法的数学基础与实现1. 数学基础E-变换GMRES(m)算法的数学基础包括线性代数、数值分析、矩阵理论等。
这些基础知识为算法的推导和实现提供了坚实的理论支撑。
2. 实现步骤（1）构建Krylov子空间：根据原系数矩阵和初始向量，构建一系列与原系数矩阵相关的Krylov子空间。
（2）E-变换：在每个Krylov子空间中引入E-变换，以提高算法的收敛速度和求解精度。
（3）求解最小残量：在经过E-变换的Krylov子空间中寻找最小残量的解。
（4）迭代更新：根据求解结果更新迭代过程，直至满足收敛条件或达到最大迭代次数。
《2024年度预处理Householder-GMRES(m)算法研究》范文
《预处理Householder-GMRES(m)算法研究》篇一一、引言在科学计算和工程领域，求解大型稀疏线性系统的问题日益突出。
GMRES（广义最小残差）算法作为一种高效的迭代方法，被广泛应用于解决这类问题。
然而，对于某些特定的问题，如预处理问题，普通的GMRES算法可能不够高效。
因此，预处理的Householder-GMRES(m)算法成为了研究的重要方向。
本文旨在深入研究和探讨这种算法的原理、性能及优势。
二、预处理Householder-GMRES(m)算法的原理预处理Householder-GMRES(m)算法是一种改进的GMRES算法，通过引入预处理技术来提高算法的求解效率和稳定性。
该算法的基本思想是利用预处理矩阵对原始问题进行变换，使得变换后的系统更易于求解。
在每一步迭代中，通过Householder变换来减小残差，从而加速收敛。
三、算法的详细步骤1. 初始化：给定初始向量x0和预处理矩阵M，计算初始残差r0=b-Ax0和初始矩阵H0=M(b-Ax0)。
2. 正交化过程：通过Householder变换对Hk进行正交化处理，得到正交基Qk和上三角矩阵Rk。
3. 最小二乘问题求解：利用QR分解求解最小二乘问题，得到搜索方向Pk+1。
4. 更新解和残差：根据搜索方向Pk+1更新解x和残差r，计算新的Hk+1=M(b-Ax)。
5. 判断收敛性：如果满足收敛条件，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。
四、算法的性能及优势预处理Householder-GMRES(m)算法相比普通的GMRES算法具有以下优势：1. 加速收敛：通过引入预处理技术，可以有效地改善系统的条件数，从而加速算法的收敛速度。
2. 提高稳定性：Householder变换具有很好的数值稳定性，可以有效避免数值计算中的误差累积。
3. 适用范围广：该算法适用于各种类型的线性系统，尤其是预处理问题，可以有效地提高求解精度和效率。
五、实验结果与分析为了验证预处理Householder-GMRES(m)算法的性能和优势，我们进行了多组实验。
《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》范文
《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，大规模线性方程组的求解问题日益凸显其重要性。
GMRES（Generalized Minimum Residual）算法作为一种高效求解方法，已经在众多领域得到广泛应用。
然而，对于某些特定问题，传统的GMRES算法可能存在收敛速度慢、计算效率低等问题。
为此，本文提出了一种E-变换GMRES(m)算法，旨在提高算法的收敛速度和计算效率。
本文首先介绍E-变换GMRES(m)算法的基本原理，然后探讨其在实际问题中的应用，最后对算法的优劣进行总结与展望。
二、E-变换GMRES(m)算法的基本原理1. GMRES算法简介GMRES算法是一种基于最小残差范数的迭代算法，用于求解线性方程组Ax=b。
该算法通过构造一系列Krylov子空间，逐步逼近问题的解。
GMRES算法具有较好的稳定性和收敛性，但在某些情况下，其收敛速度可能不够理想。
2. E-变换GMRES(m)算法的提出为了解决GMRES算法在特定问题上的收敛速度问题，本文引入E-变换。
E-变换是一种矩阵变换技术，可以有效地改善矩阵的性质，从而提高算法的收敛速度。
在GMRES算法中引入E-变换，形成E-变换GMRES(m)算法。
该算法在每一步迭代中，对矩阵A进行E-变换，以改善矩阵的条件数，加速收敛。
三、E-变换GMRES(m)算法的应用1. 图像处理图像处理中常常需要求解大规模线性方程组，如图像恢复、超分辨率重建等。
E-变换GMRES(m)算法可以有效地解决这些问题，提高图像处理的效率和效果。
2. 计算流体动力学计算流体动力学是研究流体运动规律的重要手段，需要求解大量的线性方程组。
E-变换GMRES(m)算法可以加速流体运动的模拟过程，提高计算精度和效率。
3. 金融工程金融工程中涉及大量的线性方程组求解问题，如期权定价、风险评估等。
E-变换GMRES(m)算法可以有效地解决这些问题，提高金融工程的计算效率和准确性。
《预处理加权GMRES(m)算法研究》
《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言在科学与工程计算领域，迭代方法如GMRES（广义最小残差法）算法是解决线性方程组的重要工具。
然而，随着问题规模的增大和复杂性的提高，传统的GMRES算法可能会遇到收敛速度慢、计算资源消耗大等问题。
为了克服这些问题，研究人员在GMRES算法的基础上进行了许多改进，其中预处理加权GMRES(m)算法（简称PWGMRES(m)）表现尤为突出。
本文将对预处理加权GMRES(m)算法进行研究，分析其原理、性质和优点，为相关领域的研究和应用提供参考。
二、预处理加权GMRES(m)算法原理预处理加权GMRES(m)算法是在GMRES算法的基础上，通过引入预处理和加权技术来提高算法的收敛速度和计算效率。
具体来说，该算法在每次迭代过程中，利用预处理技术对系数矩阵进行变换，同时引入加权技术来调整残差向量的加权系数，从而提高算法的收敛速度。
三、算法性质与优点1. 收敛性：预处理加权GMRES(m)算法具有较好的收敛性。
通过引入预处理技术，算法能够更好地适应不同的问题类型和规模，从而加快收敛速度。
此外，加权技术的引入进一步提高了算法的收敛性能。
2. 计算效率：与传统的GMRES算法相比，预处理加权GMRES(m)算法在计算过程中需要进行的迭代次数更少，从而节省了大量的计算资源。
此外，该算法还能有效降低内存消耗，提高计算效率。
3. 稳定性：预处理加权GMRES(m)算法具有良好的稳定性。
在处理病态或奇异线性方程组时，该算法能够保持较好的数值稳定性和计算精度。
4. 适用性：预处理加权GMRES(m)算法适用于各种类型的线性方程组，包括稀疏矩阵方程组、大型对称正定方程组等。
同时，该算法还可以与其他优化技术相结合，进一步提高求解效率。
四、算法实现与应用在实际应用中，预处理加权GMRES(m)算法的实现需要考虑到具体的问题类型和规模。
首先，需要根据问题的特点选择合适的预处理方法对系数矩阵进行变换。
《预处理加权GMRES(m)算法研究》
《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言随着计算机技术的迅猛发展，线性方程组的求解在许多科学与工程领域变得尤为重要。
GMRES(m)算法作为一种有效的迭代求解方法，已经在许多实际问题中得到了广泛的应用。
然而，对于某些特殊的问题，如大规模稀疏线性系统或具有特定结构特性的问题，传统的GMRES(m)算法可能存在收敛速度慢或数值稳定性差等问题。
为了解决这些问题，研究者们提出了预处理和加权GMRES(m)算法。
本文将重点研究预处理加权GMRES(m)算法，探讨其原理、应用及优势。
二、GMRES(m)算法概述GMRES(m)算法是一种基于Krylov子空间的迭代算法，用于求解线性方程组Ax=b。
该算法利用正交化过程，生成一组在Krylov子空间中关于矩阵A的向量，然后通过最小二乘法求解。
GMRES(m)算法具有较好的数值稳定性和求解效率，尤其适用于大型稀疏线性系统的求解。
三、预处理技术预处理技术是提高迭代法求解线性方程组性能的重要手段。
预处理的目的是通过将原始系统进行等价变换，改善系统的性质，从而加速算法的收敛速度。
常见的预处理方法包括Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。
这些方法通过对方程进行预处理，使得新生成的矩阵具有更好的条件数，从而提高算法的收敛速度。
四、加权GMRES(m)算法加权GMRES(m)算法是在GMRES(m)算法的基础上引入了权重因子。
这种算法在迭代过程中，对残差向量进行加权处理，从而使得算法对不同方向上的搜索具有不同的重视程度。
加权GMRES(m)算法可以提高算法的收敛速度和求解精度，特别适用于某些具有特殊结构或性质的线性系统。
五、预处理加权GMRES(m)算法预处理加权GMRES(m)算法是将预处理技术和加权GMRES(m)算法相结合的一种算法。
该算法首先利用预处理方法对原始系统进行等价变换，然后对变换后的系统应用加权GMRES(m)算法进行求解。
这种算法可以充分利用预处理和加权技术的优势，进一步提高算法的收敛速度和求解精度。
《预处理加权GMRES(m)算法研究》范文
《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言随着计算机科学技术的发展，数值线性代数问题中的求解技术变得愈发重要。
在解决大规模、复杂的线性方程组时，预处理加权GMRES(m)算法是一种常用的迭代法。
本文将针对预处理加权GMRES(m)算法进行深入研究，分析其原理、特性以及应用场景，旨在为相关研究与应用提供参考。
二、GMRES算法概述GMRES（Generalized Minimum Residual）算法是一种基于最小二乘法的迭代法，用于求解线性方程组。
该算法通过构建Krylov子空间，逐步逼近方程组的解。
GMRES算法具有较好的数值稳定性和求解精度，广泛应用于各种工程领域。
三、预处理技术预处理技术是提高迭代法求解效率的重要手段。
通过对系数矩阵进行预处理，可以改善矩阵的性质，加速算法的收敛速度。
常见的预处理方法包括雅可比预处理、不完全LU分解预处理等。
预处理加权GMRES(m)算法结合了预处理技术和GMRES算法的优点，能够更有效地求解大规模、复杂的线性方程组。
四、预处理加权GMRES(m)算法原理预处理加权GMRES(m)算法在GMRES算法的基础上，引入了预处理技术和加权技术。
在算法迭代过程中，通过预处理技术改善系数矩阵的性质，利用加权技术调整残差向量的权重。
该算法能够在保证求解精度的同时，提高算法的收敛速度和求解效率。
五、算法特性分析预处理加权GMRES(m)算法具有以下特性：1. 数值稳定性：该算法基于最小二乘法，具有较好的数值稳定性。
2. 求解精度高：通过Krylov子空间的构建和加权技术的引入，该算法能够获得较高的求解精度。
3. 收敛速度快：预处理技术的运用可以改善系数矩阵的性质，加速算法的收敛速度。
4. 适用范围广：该算法可应用于各种大规模、复杂的线性方程组求解问题。
六、应用场景预处理加权GMRES(m)算法在许多领域都有广泛的应用，如计算物理、计算力学、计算流体力学、信号处理等。
《预处理加权GMRES(m)算法研究》
《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言在科学与工程计算领域，GMRES(m)算法以其优秀的迭代性能和良好的收敛特性而广受关注。
GMRES算法作为一种有效的线性方程组求解方法，广泛应用于大规模的稀疏矩阵问题。
然而，随着问题规模的增大，传统GMRES算法的计算复杂度逐渐显现出来，因此，对于其改进与优化成为了研究的热点。
本文将着重探讨预处理加权GMRES(m)算法（以下简称预处理加权GMRES 算法）的原理、实施及其实验分析。
二、预处理加权GMRES算法概述预处理加权GMRES算法是在GMRES算法的基础上，通过引入预处理和加权技术来提高算法的求解效率和稳定性。
预处理技术主要用于改善原始矩阵的条件数，从而加速算法的收敛速度；而加权技术则用于在迭代过程中对残差进行加权处理，进一步提高算法的求解精度。
三、预处理加权GMRES算法原理1. 预处理技术：预处理技术是通过引入一个预处理矩阵来改善原始矩阵的条件数。
预处理矩阵的选择对算法的求解效率和稳定性有着重要影响。
常用的预处理方法包括Jacobi预处理、SSOR 预处理等。
2. 加权技术：在GMRES算法的迭代过程中，加权技术用于对残差进行加权处理。
通过引入一个加权因子，可以调整迭代过程中残差的权重，从而提高算法的求解精度。
3. 算法流程：预处理加权GMRES算法的流程主要包括初始化、正交化过程、最小二乘求解和迭代终止条件等步骤。
在每一步迭代中，都需要根据加权因子对残差进行加权处理，并利用预处理矩阵对矩阵进行预处理。
四、预处理加权GMRES算法实施1. 参数选择：在实施预处理加权GMRES算法时，需要选择合适的预处理矩阵和加权因子。
这些参数的选择将直接影响算法的求解效率和稳定性。
2. 代码实现：根据算法流程，编写相应的代码实现预处理加权GMRES算法。
在代码实现过程中，需要注意保持数值计算的稳定性和精度。
3. 实验分析：通过实验分析，评估预处理加权GMRES算法在不同问题规模和不同条件数下的求解性能。
《2024年E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》范文
《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》篇一一、引言在现代科学计算和数据处理中，线性方程组的求解是一个重要的研究领域。
GMRES（Generalized Minimum Residual）算法作为一种高效的迭代法，被广泛应用于解决大型稀疏线性方程组。
然而，传统的GMRES算法在处理某些问题时仍存在收敛速度慢、计算效率低等问题。
为了解决这些问题，本文提出了一种E-变换GMRES(m)算法，通过引入E-变换技术，提高了算法的收敛速度和计算效率。
本文将首先介绍E-变换GMRES(m)算法的基本原理，然后探讨其在实际应用中的研究现状与价值。
二、E-变换GMRES(m)算法的基本原理GMRES算法是一种基于最小二乘法的迭代法，通过构建一个Krylov子空间来逼近原问题的解。
然而，传统的GMRES算法在处理某些问题时，可能存在收敛速度慢、计算量大等问题。
为了解决这些问题，本文引入了E-变换技术，提出了E-变换GMRES(m)算法。
E-变换GMRES(m)算法的基本思想是在每次迭代过程中，对当前残差向量进行E-变换，以增强算法的收敛性。
具体而言，该算法在每次迭代时，首先计算当前残差向量的E-变换结果，然后利用该结果更新Krylov子空间中的向量。
通过这种方式，E-变换GMRES(m)算法能够在迭代过程中逐渐逼近原问题的解，并且具有更快的收敛速度和更高的计算效率。
三、E-变换GMRES(m)算法的研究现状目前，E-变换GMRES(m)算法已经成为了国内外学者研究的热点。
在理论方面，学者们对该算法的收敛性、稳定性等性质进行了深入研究。
在应用方面，E-变换GMRES(m)算法已经被广泛应用于各种科学计算和数据处理领域，如计算流体动力学、电磁场仿真、图像处理等。
实践证明，该算法在这些领域中具有很好的应用效果和广泛的应用前景。
四、E-变换GMRES(m)算法的应用实例以计算流体动力学为例，我们将介绍E-变换GMRES(m)算法在解决Navier-Stokes方程中的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１ ５＋ ．
２０ ． ２０ ．
取 一０ ０ ， 始迭代 向量 Ｘ 一［ ，， ，］ ． ．５初 ｏ ０Ｏ ０Ｏ
记 Ａ 的 谱 口 （ ） 一 （１ ２ ３ ４ Ａ ， ， ， ）一
Ｇ Ｅ （ ）ｅ ｅｖｌ ｓ ・ ＭＲ Ｓ３ ；ｉ ｎ ａｕ ： ｇ ｅ
（． ，． ，． ，． ）ＧＭＲ Ｓ（ ） 法 前 两 次 循 环 ０ ５ １０ １５２０ ． Ｅ ３算
所对 应 的双纽线 如 图 １所示．
１ ２ 理论 基础 ．
引理 １。 设方 程组 Ａ Ｅ ］ ｘ＝６的系数 矩阵 Ａ 是 可 对 角化 的且其谱 分解 为
条件数 ， 从而加 快残量 的收敛速度． 数值试验表明， 新算 法在残量 收敛方面具有 明显 的优势． 关键词 ：多项 式预处理 ； ｙ ｖ子空间；迭代法 ； Ｋｒｌ ｏ ＧＭＲ Ｓ Ｅ
中 图分 类 号 ： ４ ． ０２ １ ６ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｐｒ ｄｕ ｔｐ ｌ ｎ ｍ ｉ ｌｐｒ ｔ ｅ ｔ ｅ ｏ ｃ ｏ ｙ ｏ ａ ｅ ｒ ａ ｍ ｎｔＧＭ ＲＥＳ ａ ｇ ｒ ｔ ｌ ｏ ｉｈｍ ｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｆ ｆ ｒ ｓ ｌ ｔｏ ｏ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｗ ｈ ｎ ｔ ｅ ｎ ｍ ｂ ｒｏ ｏ ｄｔｏ ｆｃ ｅｆ ｉｎ ａｒｘ ｗａ ｏ ａ ｇ ， ｔ ｅ ｐ ｅ ｒ ａｍ ｅ ｔｍ ｅｈ ｄ ｅ ｈ ｕ ｅ ｆｃ ｎ ｉ ｎ ｏ ｏ ｆｉ ｅ ｔｍ ｔｉ ｓｔ ｏ ｌｒ ｅ ｈ ｒ ｔｅ ｔ ｎ ｔ ｏ ｉ ｃ
第３ ８卷 第 ５期
２１ 年 １ ０２ Ｏ月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖ０． ８ １３ Ｎｏ ５ ． Ｏｃ ０ ２ ｔ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬ ｎ ｈ ｕＵｎｖ ｒ ｉ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ａ ｚ ｏ ｉｅｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｙ
文章编 号 ： ６ ３５９ （０ ２ ０ －１ ５０ １ ７— １６ ２ １ ） ５０ ４－４
失 去超 线性 收敛 性 ， 生停 滞［． ． Ｎａｈｉａ等 产 ２ Ｎ Ｍ． ｃｔ ｌ ］ ｇ
作者简介：孙春晓（ ９ １）女 ， １ ８－ ， 河南南阳人 ， 师 讲
兰
州
理 工
大 学
学 报
第 ３ ８卷
提出混合 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算法 ， 但此算法的收敛性从理论 上得不到保 证 ， 而且在实 际应 用中， Ｒｃａｄｏ 其 ｉ ｒｓｎ ｈ 迭代可能收敛得很慢甚至发散［． ３ 为了提高 Ｋ ｙ ｖ ］ ｒｌ ｏ 子空间的稳 定性 ， 实际求解 时通 常采用 预处理方
ｋ ｙｏ ｒｌｖ子 空 间．
式 中： ＡＥＲ Ｎ 是非 奇异 的．
容易 证 明 ， 时残量 满 足 ： 此
求解 线性 方程 组 （ ） １ 的很 多 迭 代法 可 归 结 于 多
项 式法 ， 即满 足 ：
： ｚ ＋ ｑ－（ ｒ ： ０ ＝ ， Ａ）ｏ ￣ Ｉ ｄ ｇｑ ≤ 一 １ ｅ １
Ｏ
—
特征 向量方 向有 明显下 降． 下 面用数 值实验 来 说 明 ＧＭＲＥ （ 算 法 的补 Ｓ ｍ）
足收敛 性质 ． 例 １ 考虑 线性方 程组 Ａ 一６ ｚ ． 其 中
０． ５
—
Ｏ２ ．
０４
一
Ｏ６ ．
０ ５＋ ．
１０ ．
１ ０＋ ．
ｂ＝ ＝ １５ ．
Ｆｉ．１ Ｌｅ ｎｉｃ ｔｓ ｏ ｈ ｒｔｔ ｙ ｌｓａ ｈｅｒ ｅｇ ｎ－ ｇ ｍ ｓ ａ ｅ ｆｔ ｅ ｆ ｓ ｗｏ ｃ ｃｅ ｎｄ ｔ ｉ ｉｅ ｉ
ｖｌ ｓ ｆ ＭＲ Ｓ３ｐｅ ；ｉ ｎａ ｕ ｅ ｇ ｍｓ ・
求 解 非对 称 线 性 方程 组 的积 多项 式 预处理 Ｇ ＭＲ Ｓ算法 Ｅ
孙春晓 ， 徐乐顺
（ 西北农林科技大学 理学 院，陕西 杨凌 ７ ２０ ） １ １０
摘要 ：当系数矩 阵的条件 数过 大时， 求解非对称线性方程组通常采用预处理方法． 根据 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算法的补足 收敛特
性， 构造 一种有 效的积 多项 式预处理 因子． 一定条件下 ， 在 应用 积多项 式对 系数 矩阵进行预 处理， 以显著 降低谱 可
其 中， （—ｌ ２ …， 都是正实 数． ， ， Ｎ） 不妨 设 ≤ ≤ … ≤ ， 给 定 初 始 估 计 ｚ ， 行 ｍ 步 Ｎ则 。执
ＧＭＲ Ｓ算 法 ， Ｅ 有
以相继迭代循环的残量多项式作乘积 ， 形成积
多项 式 ， 这样 能够保 证 残 量 在所 有 特 征 向量 方 向 上 都有 均匀 、 明显 的下 降． 取前 两次 循 环 的残 量 多 项 式 作乘 积 丌＇ ） ２ （ 一 ｓ
１ 预处理多项式的构造
１１ Ｇ Ｅ （ 算法 的补足 收敛性 质 ． ＭＲ Ｓｍ） 定 义 Ｇ Ｅ （ 算法 第 次 循 环对 应 的双 纽 ＭＲ Ｓ ）
线 为
＾
Ｌ 一｛ ｚ∈ Ｃ： Ｐ ， ｚ ｌ ｌ ） 一 ） （
其 中
一 ＜
（） ２ ｂ
图 １ 例 ｌＧ Ｅ （ ） ＭＲ Ｓ ３ 前两次循环的双纽线 ； 特征值 ：・
的迭 代方 法称 为最小 残量 法 ， ＧＭＲＥ 如 Ｓ算法 ．
， 。
（ ｒ Ａ）０
ｄ ｇＰ ｅ ≤
Ｐ （） １ Ｏ 一
（） ２
由最小残量所产生的残量按范数 ｌ ｌ ｌ・ｌ 是非增 的 ， 当 一 Ｎ 时 得 到方 程 组 （ ） 且 １ 的精 确 解 ， 因此 此
类方 法 总是收敛 的． 在 实际应 用 中 ， 但 由于 矩阵 的阶
设 是 Ａ 的任 一 特 征 值 ， 若 包 含 在 Ｌ 中， 则
Ｉ… （）＜ ． Ｐ （） 取值越小 ， ｝ Ｉ… Ｉ 迭代 残量在这
一
图２ 中所有特征值包含在双纽线 Ｌ中，ｚ （） ７， ｔ。 ＂ 在矩阵Ａ的谱上得到了整体 的下降．
０６ ． ０４ ． Ｏ２
ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｉ ｏ ｎ ｃｉｎ ｗｉｈ ｒ ｓｄ ａ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ． ｄ ａ ｔ ｇ ｎ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｔ ｅ ｉｕ ｌ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｃ
Ｋｅ ｒ ｓ ｐ ｌ ｎ ｍｉｌ ｒ ｔｅ ｔ ｅ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｙ ｏ ａ ｅ ｒａ ｍ ｎ ；Ｋｒ ｌｖ ｓ ｂ ｐ ｃ ；ｉ ｒ ｔｖ ｅｈ ｄ ｐ ｙ ｏ ｕ ｓ ａ ｅ ｔ ａ ｉｅｍ ｔ ｏ ；ＧＭ ＲＥＳ ｅ
ｌ— ｌ ｎ ）ｏＩ Ｉ （ ｒ ｌ— Ｐ Ａ
ｄｇ ｅ
） ＝ｌ
ｌ （ ）ｏＩ Ｉ Ａ ｒＩ ｐ
（） ３
这 里 ｚ （≥０ 为第 步迭 代 解 ， 一６一Ａｚ ） 为其 对应 的迭 代残 量． 等价地
一
式中：Ｉ・ｌ Ｒ ｌ ｌ 为 Ｎ上的 Ｅ ｃｄａ 范数． ｕｌ ｅｎ ｉ 由此定义
法 ［５ 本 文采用 多项式 预处理 ＧＭＲＥ （ 方法 ， ４］ ．． Ｓ ｍ） 找
到有效 的 低 阶多 项 式 Ｓ ）这 样 迭 代 解 被 应 用 到 （ ， ｓＡ）ｘ— （ ） 中． 种 预 处 理 方 法 在 解 决 某 些 大 （ Ａ Ａ ６ 这 型稀 疏线性 方 程 组 的 系数 矩 阵 Ａ 的条 件 数 过 大 时 是很 有效 的． 文利 用 ＧＭＲ Ｓ ） 法 的补 足 收 本 Ｅ （ 算 敛性 质构 造预处 理多项 式． 由此给 出一种 新 的算 法 ， 称 为积多 项式预 处理 Ｇ Ｅ ＭＲ Ｓ算 法 （ ＰＧＭＲ Ｓ ． Ｐ－ Ｅ）
ｗａ ｓ ａｌ ｏ ｂ ｓｄ ｔ ｏ ｖ ｈ ｏ ｓ ｍ ｍｅ ｒ ａ ｉ ｅ ｒｅ ｕ ｔｏ ｅ．Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅｃ ｍ ｐｅ ｅ ｔｒ ｏ — ｓｕ ｕ ｌ ｔ ｅｕ ｅ ｏ ｓ ｌｅｔ ｅｎ ｎ ｙ ｙ ｔｉ ｌ ｎ ａ ｑ ａ ｉｎ ｓ ｔ ｃ ｌ ｓ ｄｏ ｈ ｏ ｌｍ ｎ ａ ｙ ｃ ｎ ｖ ｒ ｅ ｃ ｅ ａ ｉｒ ｏ ｅ ｇ ｎ ｅｂ ｈ ｖｏ ｆ ＧＭ ＲＥ ｌｏ ｉ ｍ ，ａ ｆｅｔｖ ｒ ｄ ｃ ｏ ｙ ｏ ｉ１ｐ ｅ ｒ ａｍ ｅ ｔ ｆｃｏ ｓ ｃ ｎ Ｓ ａｇ ｒ ｈ ｔ ｎ ｅｆｃｉｅ ｐ ｏ ｕ ｔ ｐ ｌｎ ｍ ａ ｒ ｔｅ ｔ ｎ ａ ｔ ｒ ｗａ ｏ — ｓｒ ｃｅ ． Ｕ ｎ ｅ ｅ ｔｉ ｏ ｄｔ ｎ ｈ ｏ ｆｉｉｎ ａｒｘ ｗａ ｒｔｅ ｔ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅｐ ｏ ｕ ｔｐ ｌｎ ｍ ｉｌａ ｄ ｔｕ ｔｄ ｄ ｒｃ ｒａｎ ｃ ｎ ｉｉ ，ｔ ｅｃ ｅｆ ｅ ｔｍ ｔｉ ｓｐ ｅｒ ａ ｅ ｔ ｈ ｒ ｄ ｃ ｏ ｙ ｏ ａ ｎ ｏ ｃ ｔ ｅ ｎ ｍ ｂ ｒｏ ｐ ｃｒ ｌ ｏ ｄｔ ｎｃ ｕｄ ｂ ｅ ｕ ｅ ｅ ｒ ａ ｌ Ｏｔ ａ ｈ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆｔ ｅｒ ｓｄ ａ ｕ ｄ ｈ ｕ ｅ ｆｓ ｅ ｔａ ｎ ｉｉ ｏ ｌ ｅｒ ｄ ｃｄ ｒ ｍａ ｋ ｂｙ Ｓ ｈ ｔ ｅｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅｏ ｈ ｅ ｉｕ ｌ ｃ ｏ ｔ ｗｏ ｌ
ｎ ｎｓ ｍ ｍ ｅ ｒｃ ｌｌｎｅ ｒ ｅ ａ ｉ ｎ ｓ ｔ ｏ ｙ ｔ ｉａ ｉ ａ ｑｕ ｔｏ ｅ
Ｓ Ｎ ｕ － ｉｏ Ｕ Ｃｈ ｎ ｘａ ，ＸＵ － ｈ ｎ Ｌｅｓ ｕ
（ ｌｅ ｅｏ ｃｅ ｃ ，Ｎｏ ｗｅｔＵｎｖ ｒ ｉｙｏ ｒｃ ｌｕ ｅａ ｄ Ｆ ｒ ｓｒ Ｃｏ ｌｇ ｆＳ ｉｎ ｅ ￣ｈ ｓ ｉｅ ｓｔ ｆＡｇ ｉｕｔ ｒ ｎ ｏ ｅｔｙ，Ｙａ ｇｉｇ ７１ １ ０，Ｃｈｎ ） ｎｌ ｎ ２０ ｉａ
Ｚ ｚ＝ ｄａ １ ， ， ， －Ａ ： ｉｇ（ ｌ ＝ ２ … Ｎ）
重新开始 Ｇ Ｅ （ 算法的不 同迭代循环所 ＭＲ ｓ 仇）
产生 的迭代 残量偏 向于 不 同的特 征 向 量 ， 使其 所 形 成 的残量 多项式 在 收敛 方 向上相 互 补 足 ， 而残 量 从