第六章解线性方程组的迭代法
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第六章 解线性方程组的迭代法 习题六 1 A 零矩阵 故 2 方 …
第六章解线性方程组的迭代法习题六
1.证明对于任意的矩阵A，序列
2. 方程组
J法与GS法均收敛。
具有严格对角占优，故
（2）J法得迭代公式是
取
证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散
解：Jacobi迭代为
，而Gauss-Seide 迭代法为
其迭代矩阵
解：Jacobi法的迭代矩阵是
即
5. 设
得GS法收敛得充要条件是
7当
若取
第
对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速，题第
度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使
，故
J法收敛速度
72`*+b数
各a K＝15
对于GS法
，取K＝5
8. 填空题
(1)
7则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.
(3) 设方程组Ax=b,其中
(4) 用GS法解方程组
,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.
答:
(1)
(3)J法迭代矩阵是
(4)
(5)。
第六章习题
,
BG
=
3 ab 100
故高斯—赛德尔迭代法收敛的充要条件是 ab < 100。 3
5、对线性方程组13
2 2
x1 x2
=
3 -1
若用迭代法x(k+1)
=x(k)
+
Ax(k) -b ,
k=0,1L 求解。问在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可
第6章 解线性方程组的迭代解法
5x1+2x2 +x3=-12 1、对方程组 -x1+4x2 +2x3=20，试判断雅克比迭代法，
2x1-3x2 +10x3=3
高斯 — 赛德尔迭代法解此方程组的敛散性。
5 2 1
解:因A=
-1
4
2 ，
2 -3 10
5>2+1=3 , 4>1+2=3,10>2+3=5,
使迭代收敛最快？
解：所给迭代公式的迭代矩阵为B=I+ A=
1+3
其特征方程为
I -B
=
-（1+3） -
-2 -（1+2）=0
2
1+2
即2 -（2+5）+4 2 +5 +1= 2 -（2+5）+ +14 +1 = - +1 -4 +1 =0
-a
0
0
-a 10
0
解：雅可比法的迭代矩阵BJ
=
第六章6.3迭代法的收敛性
一阶定常迭代法的收敛性
det 1 det( I B J) 2 2
2
2 3 1 0
所以
( B max(| |) 0 1 0 J)
即Jaobi迭代法收敛。
8
一阶定常迭代法的收敛性
(2) 求Gauss-Seidel法的迭代矩阵
j 1 j i 1 j i 1
14
i 1
n
n
如果 | | 1 ,则有
| | | a | | | | a | | a | ii ij ij
j 1 j i 1 i 1 n
则 [(DL )U] 为严格对角占优矩阵
从而 det[ ( D L ) U ] 0
16
补充例题
例：方程组
x1 x2 b1 x1 2x2 b2
(1)写出解该方程组的Jacobi迭代的迭代
阵，并讨论迭代收敛的条件；
(2)写出解该方程组的G-S迭代的迭代阵，
并讨论迭代收敛的条件。
17
补充例题
例：AX=b为二阶线性方程组， 证明：解该方程组的Jacobi迭代与G-S迭 代同时收敛或同时发散。
的充要条件为： (B ) 1
5
一阶定常迭代法的收敛性
例：判别下列方程组用Jacobi迭代法和G-S 法求解是否收敛。
1 2 2 x1 1 1 1 1 x2 1 2 2 1 x 1 3
6
一阶定常迭代法的收敛性
由于 B 的形式不易确定 , G
13
B 的特征值 满足 det( I B ) 0 G G
即
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
数值分析(李庆扬)第六章资料
（n1） B （n） g
若收敛
x x { （k）} * ，则
x* Bx* g
n 0，1，2，
即
(I B)x* g D1Ax* D1b
Ax* b
故如果序列收敛, 则收敛到解.B 称迭代矩阵.
例：用Jacobi迭代法求解 1x01x1 10xx2222xx337823 x1 x2 5x3 42
k
k
即x是方程组Ax b的解。
引入误差向量
(k 1) x(k 1) x
所以 lim x(k) x 等价于 lim (k) 0
k
k
由
x(k 1) Mx (k ) g
x Mx g
则可得
(k 1) M (k )
(k ) M (k 1) M k (0)
问题是在什么条件下
满足
x(k1) Bx(k) g (k 0,1, 2, )
此过程所给出的迭代法称为Jacobi迭代法，又称简单
迭代法。
Jacobid迭代的矩阵形式
0
B
b21
b12
0
b1n 1
b2n
0
0 1
0 1
0
b21
b 12 1
b1n b 2n
b b
n1
n2
0
0
0
1
, n).
0 b12 b13 若记 B b21 0 b23
bn1 bn2 bn3
b1n1 b1n
g1
b2n1
b2
n
g
g
2
bnn1 0
gn
则方程组可简记为 x Bx g
选初值向量x(0)代入 x(1) , x（1） Bx（0） g，代入x(1)
计算方法复习重点2
k k 2 n k v k Avk 1 1 a1x1 a2 x 2 an x n . 1 1
结论：
lim
k
vk
k 1
a1x1
(vk )i lim 1 k (v （第i个分量） k 1 ) i
1. 已知一个A矩阵，可以把它看成一下形式： a11 a A1 A 21 an1 c1 (a21 , a31 , , an1 )T . a12 a1n a22 a2 n a11 c1 an 2 ann
微分方程数值解关心的问题：
（1）局部的截断误差和阶数； （2）数值解Yn的误差估计和收敛性； （3）递推公式的稳定性；
内容主要为单步法 • 一：欧拉法
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
积分曲线上每一点( x, y ) 的切线的斜率 y ( x) 等
于函数 f ( x, y ) 在这点的值。因此
但必须满足一定过的条件 1 2 n 0
第9章 常微分方程初值问题数值解法
实际问题一般可以归结为一阶常微分方程的初值问题：
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
解存在条件：
在a ≤ x ≤ b,-∞ ＜ y ＜ ∞ 区域内连续； 满足李普希兹(Lipschitz)条件：
第六章 解线性方程组的迭代法
A R nn 非奇异， b R n 。线性方程组 Ax b 可
以转化为 x Gx d 。可以利用迭代法求 解线性方程组。 选定初始向量 x x , x , , x ( k 1) (k ) x Gx d (k 0,1,)
结论：
lim
k
vk
k 1
a1x1
(vk )i lim 1 k (v （第i个分量） k 1 ) i
1. 已知一个A矩阵，可以把它看成一下形式： a11 a A1 A 21 an1 c1 (a21 , a31 , , an1 )T . a12 a1n a22 a2 n a11 c1 an 2 ann
微分方程数值解关心的问题：
（1）局部的截断误差和阶数； （2）数值解Yn的误差估计和收敛性； （3）递推公式的稳定性；
内容主要为单步法 • 一：欧拉法
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
积分曲线上每一点( x, y ) 的切线的斜率 y ( x) 等
于函数 f ( x, y ) 在这点的值。因此
但必须满足一定过的条件 1 2 n 0
第9章 常微分方程初值问题数值解法
实际问题一般可以归结为一阶常微分方程的初值问题：
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
解存在条件：
在a ≤ x ≤ b,-∞ ＜ y ＜ ∞ 区域内连续； 满足李普希兹(Lipschitz)条件：
第六章 解线性方程组的迭代法
A R nn 非奇异， b R n 。线性方程组 Ax b 可
以转化为 x Gx d 。可以利用迭代法求 解线性方程组。 选定初始向量 x x , x , , x ( k 1) (k ) x Gx d (k 0,1,)
迭代解法全章
向量-矩阵范数旳相容性，得到
|λ| || x ||＝||λx|| =|| Ax|| ≤ || A || ||x||
从而，对A旳任何特征值λ均成立 |λ|≤|| A ||
（6.1）
设n阶矩阵A旳n个特征值为λ1,λ2，…λn。称
(
A)
max
1i n
i
为矩阵A旳谱半径，从（6.1）式得知，对矩阵A旳任何一
称(3)为求解(1)旳近似解旳迭代解法，称{x(k)}为(1)近
似解序列，称B为迭代矩阵。
假如 lim x (k ) x* 则有 k x*= Bx*+F
（4）
我们称迭代法(3)收敛，不然为发散。下面分析迭代格 式(3)收敛旳条件.
12/29/2023
19
x(k+1)= Bx(k)+F , k=0 ,1 , … , x*= Bx*+F
及向量
x*
( x1* ,
x2* ,,
x
* n
)T
假如
lim x(k) x* 0
k
则称向量序列 x(k) 收敛于向量 x* 。记作
lim x(k ) x* 或 x(k ) x*
k
向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x*，当且仅当它旳每一 种分量序列收敛于x*旳相应分量，即
x(k)
x*
x(k) i
1
求解线性方程组旳数值解除了使用直接解法，迭代解 法也是经常采用旳一种措施，这种措施更有利于编程计 算，本章将简介这种措施。
§1 向量和矩阵旳范数
为了对线性方程组数值解旳精确程度，以及方程组 本身旳性态进行分析，需要对向量和矩阵旳“大小”引 进某种度量，范数就是一种度量尺度，向量和矩阵旳范 数在线性方程组数值措施旳研究中起着主要旳作用。
_第六章_线性方程组的数值解法迭代法
b 1
a 11
b2
f
a 22 bn
a nn
x(k1) B0x(k)f
--------(5)
第四节 解线性方程组的迭代法
令：
0 0 0
L
a 21
0
0 A的下三角部分矩阵
a n1 a n 2 0
0
U
0
a12 0
a1n a2n
A的上三角部分矩阵
第三节 向量范数和矩阵范数
（2）范数的另一个简单例子是二维欧氏空间的长度
0M x2 y2
欧氏范数也满足三个条件：
（勾股定理）
设x = (x1, x2) ① x 0 x >0 ② ax = a x a为常数 ③ x+ y ≤ x + y 前两个条件显然，第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它 两边长度之和。因此，称之三角不等式。
满足：
① A0,且A0,当且A 仅 0当
，若 A
正定
② A A,为任意实数
奇次
③ ABAB,A和 B为任意 n阶两 方个 三阵 角不等
则称 A 为矩阵A的范数。
第三节 向量范数和矩阵范数
2、矩阵范数与向量范数的相容性 对于任意的n维向量x，都有：
Ax A x
这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。
n
A
max
1in
j1
aij
A的每行绝对值之和的最大值, 又称A的行范数
第三节 向量范数和矩阵范数
（3）矩阵的2范数
2范数 ||A|2 | ： (AT A )
(AAT) ?
矩阵的谱半径：
矩阵B的诸特征值为： i(i1,2, ,n)
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
第六章 解线性方程组的迭代法.ppt
称 J 为解 Ax b的雅可比迭代法的迭代阵.
（2.5）
15
研究雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式.
记 x(k ) ( x1(k ) ,, xi(k ) ,, xn(k ) )T ,
由雅可比迭代公式(2.5), 有
Dx(k1) (L U )x(k ) b,
或
i1
n
aii
9
定义1 (1) 对于给定的方程组 x Bx f，用公式(1.6) 逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代 法，这里 B与 k无关).
(2) 如果 lim x(k) 存在(记为 x * )，称此迭代法收敛， k
显然 x *就是方程组的解，否则称此迭代法发散. 研究 {x(k )}的收敛性. 引进误差向量
22
例2 用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组(1.2).
8x1 3x2 2x3 4x1 11x2 x3
20, 33,
6x1 3x2 12x3 36.
（1.2）
取 x(0) (0, 0, 0)T， 按高斯-塞德尔迭代公式
x ( k 1) 1
记为 Ax b , 其中
（1.2）
8 A4
6
3 2 11 1, 3 12
x1 x x2 ,
x3
20 b 33 .
36
方程组的精确解是 x* (3, 2, 1)T . 现将(1.2)改写为
4
12
于是，求解 Ax b转化为求解 Mx Nx b，即求解
Ax b 求解x M 1Nx M 1b.
可构造一阶定常迭代法
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形成迭代式
对于任意初值 ， （ ）
这就是雅可比迭代法。
注：
1形成雅可比迭代式的条件是A的主对角线元素均非零。
2雅可比迭代收敛的条件是 。
【例题2】对于线性方程组
利用雅可比迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
（二）高斯-塞德尔迭代法。
从雅可比迭代的分量形式可以发现，在进行第k次迭代时，利用 ， ，…， ，生成向量 ，其分量产生的次序是 ， ，…， 。我们对雅可比方法进行以下改变设计：
【例题3】对于线性方程组
1高斯－塞德尔迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
第五章解线性方程组的迭代法
本章主要内容：
迭代法收敛定义，矩阵序列收敛定义，迭代法基本定理，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，系数矩阵为严格对角占优阵的采用雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代的收敛性。
教学目的及要求：
使学生了解迭代法收敛定义，迭代法基本定理，掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法。
教学重点：
雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法。
步1应用信息 ， ，…， ，据雅可比迭代分量式，生成分量 ；
步2应用信息 ， ，…， ，据雅可比迭代分量式，生成分量 ；
步3应用信息 ， ，…， ，据雅可比迭代分量式，生成分量 ；
……
步n应用信息 ， ，…， ， ，据雅可比迭代分量式，生成分量 。
如此生成 的设计方案，是想更好地利用已有的最新有用信息。有理由相信，如此所获得的迭代式，其计算效果应该会更好一些。
教学时间：
本章的教学的讲授时间为6学时，实验学时4学时。
教学内容：
一迭代法定义
对于给定的线性方程组 ，设它有唯一解 ，则
(6.1)
又设 为任取的初始向量，按下述公式构造向量序列
(6.2)
这种逐步代入求近似解的方法称为迭代法（这里B与f与k无关）。如果 存在（记为 ），称此迭代法收敛，显然 就是方程组的解，否则称此迭代法发散。
教学难点：
迭代法基本定理的证明以及作用。
教学方法及手段：
应用严格的高等代数、数学分析知识，完整地证明迭代法基本定理，讲清雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的关系，介绍雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法在编程中的具体实现方法。
在实验教学中，通过一个具体实例，让学生掌握雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的具体实现，并能通过数值计算实验，揭示高斯-塞德尔迭代法是对雅可比迭代法的一种改进这一事实。
（1） 如 时， ；
（2）m=1时， 的第2条对角线元素为1，其余为零；m=2时， 的第3条对角线元素为1，其余为零；m=3时， 的第4条对角线元素为1，其余为零。
简言之， 的第m+1条对角线元素为1，其余为零（当没有第m+1条对角线时， 应理解为零矩阵）。
2 计算约当块的幂次。
当 时，
3 一个极限性质
下面，我们具体给出这种迭代法的表达形式。
……
即
……
左边可改写为
右边可改写为
亦即
注意到： ，于是有
迭代矩阵为
迭代向量为
故高斯-塞德尔迭代式为
（ ）
故高斯-塞德尔迭代式的分量计算公式为
，（ ）
实现高斯-塞德尔迭代法的分量计算公式的算法
步1 ，输入允许的最大迭代次数N，用户精度eps，k=0。
步2对于i=1,2,…,n，
故 的充要条件是 。
【定理4】（迭代法基本定理）设有方程组
以及迭代法
对任意选取初始向量 ，迭代法收敛的充要条件是矩阵 的谱半径 。
证明充分性设
则矩阵 的特征值均大于零，故 非奇异。
有唯一解 ，且 ，即 。
误差向量
由设 ，应用定理3，有 。
于是，对任意 ，有 ，即 。
必要性设对任意 有
其中 ，显然，极限 是方程组 的解，且对任意 有
证明 （1）由基本定理4，结论（1）是显然的。
（2）由关系式 ，有
（3）
即
显然 亦成立。
（4） 。
注：
该定理中的第3款可作为误差的事后估计式。
三几种常见的迭代法及收敛性
下面，我们讨论线性方程组
如何用迭代法求近似解的问题。
这里， 为非奇异矩阵， 。
（一）雅可比迭代法。
设 ，将A分解成以下三部分
记 ，
那么
设 ，对于 ，有
由 可知， 。
类似地，可证明 。
这里， 是 中的基本单位向量组。
，则
即 ，
亦即 。
充分性 据 ，有 ，
由 的任意性，如果取 ，则
，
亦即
类似地，可分别让 ，可得
故
从而 。
【定理3】设 ，则 的充要条件是 。
证明 由高等代数知识，存在非奇奇异矩阵P使
其中约当块
且 ，显然有
其中
于是
据例题1的结论， 的充要条件是
步3对于i=1,2,…,n
步4 k=k+1
步5若 ，输出近似解 ，停止计算。否则，执行步6。
步6若k=N，输出达到迭代次数信息，程序中止。否则，执行步7。
步7对于i=1,2,…,n， ，返回步2。
注：
1形成高斯-塞德尔迭代式的条件是 存在，而 ，故只要A的主对角线元素均非零，该逆阵存在。
2高斯-塞德尔迭代收敛的条件是 。
则称 收敛于 ，记为 。
注：
矩阵序列的收敛性是根据矩阵的每个分量序列的收敛性来定义的。
【例题1】讨论约当块矩阵的幂次所构成的矩阵序列的收敛性。
形如
的矩阵称之为n阶的约当块。它可以分解成为
下面，我们分几步来研究矩阵序列
的收敛性。
1 矩阵 的幂阵的性质
我们不妨以4阶阵来看看这种性质。
， ，
，
的性质可归纳为以下两点：
迭代法求方程近似解的关键是是讨论由(6.1)式所构造出来的向量序列 是否收敛。为此，我们引入误差向量，得
要考察 的收敛性，就要研究 在什么条件下有
也就是要研究 在什么条件下有
。
二迭代法收敛性定理
矩阵的收敛性定义
设有矩阵序列 及 ，如果 个数列极限均存在且有
因为 ，得到
这里，注意事实
4 约当块幂阵的收敛性结论
当 时， 收敛于零矩阵；当 ， 发散。
矩阵序列极限的概念可以用矩阵范数来描述。
【定理1】 ，其中 为矩阵的任意一种范数。
证明 显然有
再利用矩阵范数的等价性，可证明定理对其他矩阵范数也成立。
【定理2】 的充要条件是 ，有 。
证明 必要性 记 ，据 ，可知 。
由定理2知 。
再由定理3，即得 。
判断迭代收敛时，需要计算 ，一般情况下，这不太方便。由于 ，在实际应用中，常常利用矩阵B的范数来判别迭代法的收敛性。
【定理5】（迭代法收敛的充分条件）设有方程组
以及迭代法
（ ）
如果有B的某种范数 ，则
（1）迭代法收敛，即对任取 有
且 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。
对于任意初值 ， （ ）
这就是雅可比迭代法。
注：
1形成雅可比迭代式的条件是A的主对角线元素均非零。
2雅可比迭代收敛的条件是 。
【例题2】对于线性方程组
利用雅可比迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
（二）高斯-塞德尔迭代法。
从雅可比迭代的分量形式可以发现，在进行第k次迭代时，利用 ， ，…， ，生成向量 ，其分量产生的次序是 ， ，…， 。我们对雅可比方法进行以下改变设计：
【例题3】对于线性方程组
1高斯－塞德尔迭代法求其近似解（允许的最大迭代次数N，近似解的精度eps，由用户设定）。
第五章解线性方程组的迭代法
本章主要内容：
迭代法收敛定义，矩阵序列收敛定义，迭代法基本定理，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，系数矩阵为严格对角占优阵的采用雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代的收敛性。
教学目的及要求：
使学生了解迭代法收敛定义，迭代法基本定理，掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法。
教学重点：
雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法。
步1应用信息 ， ，…， ，据雅可比迭代分量式，生成分量 ；
步2应用信息 ， ，…， ，据雅可比迭代分量式，生成分量 ；
步3应用信息 ， ，…， ，据雅可比迭代分量式，生成分量 ；
……
步n应用信息 ， ，…， ， ，据雅可比迭代分量式，生成分量 。
如此生成 的设计方案，是想更好地利用已有的最新有用信息。有理由相信，如此所获得的迭代式，其计算效果应该会更好一些。
教学时间：
本章的教学的讲授时间为6学时，实验学时4学时。
教学内容：
一迭代法定义
对于给定的线性方程组 ，设它有唯一解 ，则
(6.1)
又设 为任取的初始向量，按下述公式构造向量序列
(6.2)
这种逐步代入求近似解的方法称为迭代法（这里B与f与k无关）。如果 存在（记为 ），称此迭代法收敛，显然 就是方程组的解，否则称此迭代法发散。
教学难点：
迭代法基本定理的证明以及作用。
教学方法及手段：
应用严格的高等代数、数学分析知识，完整地证明迭代法基本定理，讲清雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的关系，介绍雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法在编程中的具体实现方法。
在实验教学中，通过一个具体实例，让学生掌握雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的具体实现，并能通过数值计算实验，揭示高斯-塞德尔迭代法是对雅可比迭代法的一种改进这一事实。
（1） 如 时， ；
（2）m=1时， 的第2条对角线元素为1，其余为零；m=2时， 的第3条对角线元素为1，其余为零；m=3时， 的第4条对角线元素为1，其余为零。
简言之， 的第m+1条对角线元素为1，其余为零（当没有第m+1条对角线时， 应理解为零矩阵）。
2 计算约当块的幂次。
当 时，
3 一个极限性质
下面，我们具体给出这种迭代法的表达形式。
……
即
……
左边可改写为
右边可改写为
亦即
注意到： ，于是有
迭代矩阵为
迭代向量为
故高斯-塞德尔迭代式为
（ ）
故高斯-塞德尔迭代式的分量计算公式为
，（ ）
实现高斯-塞德尔迭代法的分量计算公式的算法
步1 ，输入允许的最大迭代次数N，用户精度eps，k=0。
步2对于i=1,2,…,n，
故 的充要条件是 。
【定理4】（迭代法基本定理）设有方程组
以及迭代法
对任意选取初始向量 ，迭代法收敛的充要条件是矩阵 的谱半径 。
证明充分性设
则矩阵 的特征值均大于零，故 非奇异。
有唯一解 ，且 ，即 。
误差向量
由设 ，应用定理3，有 。
于是，对任意 ，有 ，即 。
必要性设对任意 有
其中 ，显然，极限 是方程组 的解，且对任意 有
证明 （1）由基本定理4，结论（1）是显然的。
（2）由关系式 ，有
（3）
即
显然 亦成立。
（4） 。
注：
该定理中的第3款可作为误差的事后估计式。
三几种常见的迭代法及收敛性
下面，我们讨论线性方程组
如何用迭代法求近似解的问题。
这里， 为非奇异矩阵， 。
（一）雅可比迭代法。
设 ，将A分解成以下三部分
记 ，
那么
设 ，对于 ，有
由 可知， 。
类似地，可证明 。
这里， 是 中的基本单位向量组。
，则
即 ，
亦即 。
充分性 据 ，有 ，
由 的任意性，如果取 ，则
，
亦即
类似地，可分别让 ，可得
故
从而 。
【定理3】设 ，则 的充要条件是 。
证明 由高等代数知识，存在非奇奇异矩阵P使
其中约当块
且 ，显然有
其中
于是
据例题1的结论， 的充要条件是
步3对于i=1,2,…,n
步4 k=k+1
步5若 ，输出近似解 ，停止计算。否则，执行步6。
步6若k=N，输出达到迭代次数信息，程序中止。否则，执行步7。
步7对于i=1,2,…,n， ，返回步2。
注：
1形成高斯-塞德尔迭代式的条件是 存在，而 ，故只要A的主对角线元素均非零，该逆阵存在。
2高斯-塞德尔迭代收敛的条件是 。
则称 收敛于 ，记为 。
注：
矩阵序列的收敛性是根据矩阵的每个分量序列的收敛性来定义的。
【例题1】讨论约当块矩阵的幂次所构成的矩阵序列的收敛性。
形如
的矩阵称之为n阶的约当块。它可以分解成为
下面，我们分几步来研究矩阵序列
的收敛性。
1 矩阵 的幂阵的性质
我们不妨以4阶阵来看看这种性质。
， ，
，
的性质可归纳为以下两点：
迭代法求方程近似解的关键是是讨论由(6.1)式所构造出来的向量序列 是否收敛。为此，我们引入误差向量，得
要考察 的收敛性，就要研究 在什么条件下有
也就是要研究 在什么条件下有
。
二迭代法收敛性定理
矩阵的收敛性定义
设有矩阵序列 及 ，如果 个数列极限均存在且有
因为 ，得到
这里，注意事实
4 约当块幂阵的收敛性结论
当 时， 收敛于零矩阵；当 ， 发散。
矩阵序列极限的概念可以用矩阵范数来描述。
【定理1】 ，其中 为矩阵的任意一种范数。
证明 显然有
再利用矩阵范数的等价性，可证明定理对其他矩阵范数也成立。
【定理2】 的充要条件是 ，有 。
证明 必要性 记 ，据 ，可知 。
由定理2知 。
再由定理3，即得 。
判断迭代收敛时，需要计算 ，一般情况下，这不太方便。由于 ，在实际应用中，常常利用矩阵B的范数来判别迭代法的收敛性。
【定理5】（迭代法收敛的充分条件）设有方程组
以及迭代法
（ ）
如果有B的某种范数 ，则
（1）迭代法收敛，即对任取 有
且 。
（2） 。
（3） 。
（4） 。