圆锥曲线题型归纳(经典含答案)

1

椭圆题型总结 (简单)

一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:

1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的

椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）

A.椭圆

B.圆

C.直线

D.线段

3. 已知1F 、2F

是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点

Q 的轨迹是( B )

A.椭圆

B.圆

C.直线

D.点

4. 椭圆

19

252

2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。

5. 选做：F 1是椭圆15

92

2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA

7. (1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 最小。

解：（1）（2，2）

连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(

2,2

1

-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去） （2）（

1,4

1

） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=

41，∴Q(1,4

1)

2

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

8、F 是椭圆13

42

2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 点。

（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为

分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：（1）4-5

设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '

当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 （2）作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2

1， ∴PH PF PH PF ==

2,2

1

即 ∴PH PA PF PA +=+2

当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142

=-=-A x c

a (二) 标准方程求参数范围

1. 试讨论k 的取值范围，使方程1352

2=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。

（略） 2.

轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102

2=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2

2

=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 方程2

31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22

2

=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1

(三) 待定系数法求椭圆的标准方程

1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质

3

1． 求下列椭圆的标准方程（1）

32

,8=

=e c ； （2）过（3，0）点，离心率为

36=

e 。 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。

（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为 （5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

3．过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若︒=∠6021PF F ，则

椭圆的离心率为_____3

3

________________ （四）椭圆系————共焦点，相同离心率

1．

椭圆

19

252

2=+y x 与

)90(19252

2<<=-+-k k

y k x 的关系为（ A ）

A ．相同的焦点

B 。有相同的准线

C 。有相等的长、短轴

D 。有相等的焦距

2、求与椭圆14

92

2=+y x 有相同焦点，且经过点()23-，的椭圆标准方程。 （五）焦点三角形4a

1. 已知1F 、2F 为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。若1222=+B F A F ，则

=AB 8 。 2. 已知1F 、2F 为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的

周长是 20 。

3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆13

22

=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC

边上，则C AB ∆

（六）焦点三角形的面积：

1. 已知点P 是椭圆14

22

=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=∙PF ，求点P 到x 轴的距离。 解：设),(y x P 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1

4

32

222y x y x 解得33||=y ，所以求点P 到x 轴的距离为33||=y 2. 设M 是椭圆116

252

2=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积。