九年级数学上册 旋转几何综合单元试卷(word版含答案)
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九年级数学上册 旋转几何综合单元试卷(word 版含答案)
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.如图1,在Rt ABC △中,90A ∠=︒,AB AC =,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD AE =,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是_________,位置关系是
_________;
(2)探究证明:把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断PMN 的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若4=AD ,10AB =,请直接写出PMN 面积的最大值.
【答案】(1)PM PN =,PM PN ⊥;(2)等腰直角三角形,见解析;(3)
492
【解析】
【分析】
(1)由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半,又△ABC 为等腰直角三角形,AD=AE ,所以得PN=PM ,且互相垂直; (2)由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌,再利用PM 与PN 皆为中位线,得到PM=PN ,再利用角度间关系推导出垂直即可;
(3)找到面积最大的位置作出图形,由(2)可知PM=PM ,且PM ⊥PN ,利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
(1)PM PN =,PM PN ⊥;
已知点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点,根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =,12
PN BD =,//PM EC ,//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠,NPD ADC ∠=∠
在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,AB AC =,AD AE =
可得BD EC =,90DCE ADC ∠+∠=︒
即得PM PN =,PM PN ⊥
故答案为:PM PN =;PM PN ⊥.
(2)等腰直角三角形,理由如下:
由旋转可得BAD CAE ∠=∠,
又AB AC =,AD AE =
∴BAD CAE ∆∆≌
∴BD CE =,ABD ACE ∠=∠, ∵点M ,P 分别为DE ,DC 的中点
∴PM 是DCE ∆的中位线
∴12
PM CE =,且//PM CE , 同理可证12PN BD =
,且//PN BD ∴PM PN =,MPD ECD ∠=∠,PNC DBC ∠=∠,
∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠,
DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠,
∴
90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒,
即PMN ∆为等腰直角三角形.
(3)把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置,
此时1()72PN AD AB =+=,1()72
PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长,由(2)可知PM PN =,PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为
1497722⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识,解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系.
2.在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC =6.
(1)如图1,若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,连接AD,则△ABD的面积为.
(2)如图2,点P为CA延长线上一个动点,连接BP,以P为直角顶点,BP为直角边作等腰直角△BPQ,连接AQ,求证:AB⊥AQ;
(3)如图3,点E,F为线段BC上两点,且∠CAF=∠EAF=∠BAE,点M是线段AF上一个动点,点N是线段AC上一个动点,是否存在点M,N,使CM+NM的值最小,若存在,求出最小值:若不存在,说明理由.
【答案】(1)36;(2)详见解析;(3)存在,最小值为3.
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形,求得AD=2BC=12,根据三角形的面积公式即可得到结论;
(2)如图2,过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H,根据等腰直角三角形的性质,得到PQ =PB,∠BPQ=90°,根据全等三角形的性质得到PH=BC,QH=CP,求得CP=AH,得到∠HAQ=45°,于是得到∠BAQ=180°﹣45°﹣45°=90°,即可得到结论;
(3)根据已知条件得到∠CAF=∠EAF=∠BAE=15°,求得∠EAC=30°,如图3,作点C关于AF的对称点D,过D作DN⊥AC于N交AF于M,则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN,求得AD=AC=6,根据直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解:(1)∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AD,
∴AD=2BC=12,
∴△ABD的面积=1
2
AD•BC=
1
2
12×6=36,
故答案为:36;
(2)如图,过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H,
∴∠H=∠C=90°,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴PQ=PB,∠BPQ=90°,
∴∠HPQ+∠BPC=∠QPH+∠PQH=90°,
∴∠PQH=∠BPC,
∴△PQH≌△BPC(AAS),
∴PH=BC,QH=CP,
∵AC=BC,
∴PH=AC,
∴CP=AH,
∴QH=AH,
∴∠HAQ=45°,
∵∠BAC=45°,
∴∠BAQ=180°﹣45°﹣45°=90°,
∴AB⊥AQ;
(3)如图,作点C关于AF的对称点D,过D作DN⊥AC于N交AF于M,
∵∠CAF=∠EAF=∠BAE,∠BAC=45°,
∴∠CAF=∠EAF=∠BAE=15°,
∴∠EAC=30°,
则此时,CM+NM的值最小,且最小值=DN,
∵点C和点D关于AF对称,
∴AD=AC=6,
∵∠AND=90°,
∴DN=1
2
AD=
1
2
6=3,
∴CM+NM最小值为3.【点睛】