第一章 晶体结构和倒格子
第一章 晶体结构和倒格子 1. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为 1a=jia3(2 jiaa3(22
求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。 3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl）垂直。
4. 若轴矢cba、、构成简单正交系，证明。晶面族（h、k、l）的面间距为
2222)()()(1clbkahhkld
5．用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54Å反射角为=19.20 求面间距d111。 6．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的； 2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程； 7．在图1－49（b）中，写出反射球面P、Q两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。 8．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 9．说明几何结构因子Sh和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。 10. 能量为150eV的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最小的布拉格衍射角。 附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J·s, c=2.9979×108m/s
第二章 晶体结合 1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 nmrbr
arU)(
(1) 求出晶体平衡时两原子间的距离； (2) 平衡时的二原子间的互作用能； (3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev，计算a及b的值； （4） 若把互作用势中排斥项b/rn改用玻恩－梅叶表达式exp(-r/p),并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n和p间的关系。
2. N对离子组成的Nacl晶体相互作用势能为 ReRBNRUn024)( (1) 证明平衡原子间距为 neBRn20104 (2) 证明平衡时的互作用势能为 )11(4)(0020nRNeRU (3) 若试验试验测得Nacl晶体的结合能为765kj/mol,晶格常数为5.6310-10m，计算Nacl晶体的排斥能的幂指数n，已知Nacl晶体的马德隆常数是＝1.75 3．如果把晶体的体积写成 V＝NR3式中N是晶体中的粒子数；R是最近邻粒子间距； 是结构因子，试求下列结构的值 (1) fcc (2) bcc (3) Nacl (4) 金刚石 4．证明：由两种离子组成的，间矩为R0的一维晶格的马德隆常数α＝ ln 2 .
第三章 晶格振动 1. 设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=a处的(q).并定性画出色散曲线。 m m 10 m m ____________________________________________________
2. 设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i(q)=0－Aq2（A0），求证光学波频率分布函数(格波密度函数)为：g()=)1(31si 24V 2321)(0Ai i0 g()=0 i>0
3．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。
4． 试用平均声子数n＝（1)1KTe证明：对单式格子，波长足够长的格波平均能量为KT；当TQD时，大约有多少模式被激发？并证明此时晶体比热正比于(3)DQT。 5．对于金刚石、Zns、单晶硅、金属Cu、一维三原子晶格，分别写出 (1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数 (3).格波支数; (4). 声学波支数 (5).光学波支数
6．证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T . 7．NaCl和KCl具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为320K和230K。KCl在5K时的 定容热容量为3.8×10-2J.mol-1.K-1，试计算NaCl在5K和KCl在2K时的定容热容量。 8. 在一维无限长的简单晶格中，设原子的质量均为M，若在简谐近似下考虑原子间的长程作用力，第n个原子与第n+m和第n－m个原子间的恢复力系数为m, 试求格波的色散关系。
9. 求半无限单原子链晶格振动的色散曲线。 提示：仍作近邻近似和简谐近似。 设原子编号为：0，1，2，3，4,······(表面原子为n=0)
第四章 晶体缺陷 1. 设Uf为费仑克尔缺陷形成能证明在温度T时，达到热平衡的晶体中费仑克尔缺陷的数目为：
nf＝NN1eufkbt2 式中N和N‘分别为晶体的原子格点总数和间隙位置数。 2. 已知某晶体肖特基缺陷的形成能是1ev，问温度从T＝290K到T＝1000K时，肖特基缺 陷 增大多少倍？ 3. 已知铜金属的密度为8.93g/cm3，原子量为63.54，它在1000K及700K时自扩散系数分 别为1.65×10-11及3.43×10－15 cm2/s，又知空位邻近的原子跳入空位必须克服的势垒高 度为0.8ev。 试求 (1) 1000K及700K的铜金属中的空位浓度，(设自扩散完全由空位机制所引起)。 (2) 已知形成一个填隙原子所需要的能量约为4ev，结算接近熔点1300K时填隙原子的浓度及空位的浓度。 4. 求体心立方、面心立方 六角密集三种晶体的伯格斯矢量的浓度和方向。 5. 已知余误差函数erf(Z)在Z很小时，（Z0.5）可以近似地写为erf(Z),现将一硅片置于1300 ℃的铝蒸汽中，使铝扩散进入硅片。如果要求硅片距表面的0.01cm深处的浓度是表面浓度的35%,问扩散需多长的时间？铝在硅中的扩散系数由题图4－1给出。
第五章 金属自由电子论 1．电子在每边长为L的方盒子中运动，试用索末菲量子自由电子模型和周期性边界条件求出它的最低的四个能级的所有波函数，绘出这四个能级的能量和简并度有的电子态总数称为这个能级的简并度。 2．限制在边长为二维正方行势阱中的N个自由电子，电子能量为（与第六章16题相同） 试求：（1）能量从E＋dE之间的状态数; （2）T＝0时费米能量的表示式. 3.试证元胞是正方形的二维晶格第一布里渊区顶角上的自由电子动能比区边中点处大一倍，对于简立方晶体，相应的倍数是多少？ 4.试估算在温度T时，金属中被热激发到达高能态的电子数目所占全部电子数的比例，
5．证明费米能级Ef 处的电子态密度可以写为 D（E）＝3N0/2Ef,其中N0为价电子数。 6．已知银是单价金属，费米面近似为球形，银的密度ρm＝10.5×103kg .m-3原子量A＝107.87,电阻率在295K时为1.61×10-8Ω·m，在20K时为0.0038×10-8Ω·m.,试计算 （1）费米能，费米温度和费米速度； （2）费米球的半径和费米球的最大截面积； （3）室温下和绝对零度附近电子平均自由时间和平均自由程. 7.已知锂的密度为0.534×103kg·m-3,德拜温度为344k，试求 （1）室温下电子比热 （2）在什么温度下电子比热和晶格比热有相同值？ 8.在低温下金属钾的摩尔比热的实验结果可写为 Cv＝2.08T＋2.57T3 mJ/mol·K 若有一个摩尔钾有Nv＝6×1023个电子，试求钾的费米温度和德拜温度θD
9．试用里查逊公式证明：两种金属的接触电势差V1-V2＝1/e（ΦⅠ－ΦⅡ）其中ΦⅠ、ΦⅡ分别为两种金属的功函数。
第六章 固体能带论 1． 在最近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体S能带 （1） . 计算Es ～k关系； （2） . 求能带宽度； （3） . 讨论在第一B·Z中心附近等能面的形状。 注：CosX=1－X2/(2！) + X4/(4！) －……
2． 在最近邻近似下，用紧束缚近似导出面心立方晶体S能带的Es(k)，并计算能带宽度。
3．利用一维Bloch电子模型证明：在布里渊区边界上，电子的能量取极值。
4．利用布洛赫定理，K(x+n)=K(x)eikna的形式，针对一维周期势场中的电子波函数。 (1) K(x)=sinax
(2) K(x)＝icos8ax
(3) K(x)=lf(x-la) (f为某一确定函数) 求电子在这些状态的波矢k(a为晶格常数)
5．已知一维晶体的电子能带可写成 E(k)=22ma(78－coska+18cos2ka) 其中a为晶格常数，求（1）能带宽度； （2）电子在波矢k状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。 6. 证明面心立方晶体S电子能带E（k）函数沿着布里渊区几个主要对称方向上可化为： (1) 沿ΓX（ky=kz=0, kx=2πδ／a，０≤δ≤1） E=Esa－A－4B（1＋2cosδπ） (2) 沿ΓL（kx=ky=kz= 2πδ／a，０≤δ≤1/2） E=Esa－A－12Bcos2δπ (2) 沿ΓK（kz=0, kx= ky=2πδ／a，０≤δ≤3/4） E=Esa－A－4B（cos2δπ＋2cosδπ） (4) 沿ΓW（kz=0, kx=2πδ／a，ky=πδ／a，０≤δ≤1） E=Esa－A－4B（cosδπ× cosδπ/2－cosδπ－cosδπ/2）
7． 一维晶格中波矢取值为n·2 /L，证明单位长度的晶体中电子态密度为
D(E)=2 dkdE 8． 由索未菲自由电子模型，证明在k空间费米球半径为：kf=(32n)1/3，其中n为电子浓度。 9． 据上题，当电子浓度n增大时，费米球膨胀。证明当电子浓度n与原子浓度na之比 nna
=1.36时，费米球与fcc第一布里渊区的边界接触。
10． 绝对温度T0时，求含N个电子的自由电子费米气系统的动能。 11．一个晶格常数为a的二维正方晶格，求： （1）用紧束缚近似求S能带表示式，能带顶及能带底的位置及能带宽度； （2）带底电子和带顶空穴的有效质量； （3）S带电子的速度表示式。 12．Cu的费米能级Ef=7.0eV，试求电子的费米速度Vf。在273K时，Cu的电阻率为ρ＝1.56×10-8Ω·m,试求电子的平均自由时间τ和平均自由程λ。 13．说明外电场对费米分布函数f0(E)的影响；证明
EfTETEdtdTTff00)(＋＝
(略去E 与T的关系)
14．属中传导电子的碰撞阻力可写成－pp其中,是电子的动量，试从运动方程出发
第一章晶体的结构
求晶面指数的方法
OA1 ra1, OA2 sa2 , OA3 ta3
h1 : h2 : h3 1 1 1 : : r s t
n
N
a3
O
d
a2
A2 A1
a1
设 a 1 , a 2 , a 3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。 基矢
格点只在顶角上，内部和面上都不包含其他格点，整个原胞 只包含一个格点。
3、晶胞
原胞往往不能反映晶体的对称性
晶胞：能反映晶体对称性的最小结构重复单元
是原胞的数倍。晶胞的基矢用 a b c
原胞:
表示
a1 a2 a3
*几种典型晶体结构的原胞和晶胞
每种原子都各自构成一种相同的Bravais格子，这些Bravais 格子相互错开一段距离，相互套构而形成的格子。即复式 格子是由若干相同的Bravais格子相互位移套构而成的。
*几种典型的复式晶格
NaCl结构（Sodium Chloride structure ） 复式面心立方
例：MgO、KCl、AgBr 等
用来描述晶体中原子排列的紧密程度，原子排 列越紧密，配位数越大
简单立方（简立方）(simple cubic, sc)
配位数
6
晶胞内有 1 个原子
体心立方( body-centered cubic, bcc )
排列：ABABAB……
配位数
8
晶胞内有 2 个原子 具有体心立方结构的金属晶体：LI、Na、K、Fe等
重复周期为二层。形成AB AB AB· · · · · · 方式排列。
具有六角结构的金属： Mg，Co，Zn等
§1.5 倒易点阵
′ ′ ′ ′ ′ ′ = 2 π( l1h1 + l 2 h2 + l 3 h3 )
= 2 πµ
3.
(2π)3 Ω* =
Ω* = b 1 ⋅ b 2 × b 3
3
(
Ω
分别为正、倒格原胞体积) (其中Ω和Ω*分别为正、倒格原胞体积 其中
)
) [( ) ( )]
2π = a2 × a3 ⋅ a3 × a1 × a1 × a2 Ω
′ ′ ′ Rl′ = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3
′ ′ ′ K h′ = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
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第一章 晶体结构
′ ′ ′ ′ ′ ′ Rl′ ⋅ K h′ = (l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) ⋅(h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 )
2π a
2π a
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第一章 晶体结构 例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 证明体心立方的倒格是面心立方。 体心立方的原胞基矢： 解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a a
2
3
a = − i + j + k 2 a i − j + k = 2 a i + j − k = 2
( ( (
a a 2 +k 2 a a 2 2
−
a 2 a 2
a2 a2 j+ k = 2 2
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第一章 晶体结构
a2 a2 a2 × a3 = j + k 2 2
2π b1 = a2 × a3 = Ω
广东海洋大学_半导体物理与器件1.1
晶面：点阵中所有的点全部位于一系列相互平行等距的平面 上，这些平面称为晶面。
晶面指数(h,k,l)：也称为密勒指数，取晶面与三个晶轴截 距（r,s,t）பைடு நூலகம்倒数的互质指数。
晶面与三个晶轴相交的截距为（1,3,2），则密勒指数（h, k, l） 为 1 1 1 : : 6:2:3 1 3 2
截距无限大，则倒数取零； 如果截距为负数，相应的指数取负值，在其数值的上 方应横线标识出来，如 (h, k , l ) 。
晶胞中含有四个原子， 原胞中含有一个原子。
几种常见晶体结构范例
面心立方结构：NaCl 简单立方结构：CsCl
半导体材料Si，Ge具有金刚石 结构（两套面心立方结构沿对 角线平移1/4套构而成）。
闪锌矿结构
（ZnS，GaAs，...）
面心立方结构
六角密堆结构
二 晶列、晶向和晶面
晶列：点阵中所有的阵点都在一簇簇彼此平行的直线上→ 晶列 →晶列的方向(晶向) 一簇簇意即可以有无限多簇，每一簇都包含所有阵点 没有遗漏——所有格点都在某一簇晶列上。 晶体外观上的晶棱就是某一晶列
初基平移矢量
r2 r1 a b c
对于点阵里面任何两个点r2和r1，通过选择整数u, v, w，它 们都满足上述方程，那么a, b, c就称为初基平移矢量。 初基平移矢量的选择并不是唯一的
由初基平移矢量构成的晶胞是最小的（原胞）
练习：初基平移矢量的选择
初基晶胞中的原子数目（密度）都是一样的
初基晶胞中只含有一个阵点
原胞往往不能反映晶倍体的对称性，晶胞一般不是最小的
重复单元。其体积（面积）可以是原胞的倍数。
Graphene
基矢量
固体物理_第一至第七章总复习详解
总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
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格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
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3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
固体物理考题第一章晶体的结构
第一章晶体的结构简单回答下面的问题：1 a原胞与单胞有什么不同？何谓布拉菲格子？何谓倒格子？以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可作为晶格的一个重复单元．体积最小的重复单元，称为原胞或固体物理学原胞.它能反映晶格的周期性．原胞的选取不是惟一的，但它们的体积都相等．为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以是体心或面心．这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞．晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间作规则的周期性无限分布，这些点子的总体称为布喇菲点阵。
布拉菲格子：由基元代表点（格点）在空间中的周期性排列所形成的晶格。
倒格子*（Reciprocal Lattice，Reciprocal有相互转换的含意）已知有正格子基矢，定义倒格矢基矢为:；； .其中为正格子原胞体积。
由平移操作所产生的格点叫倒格点：为倒格矢;倒格点的总体叫倒格子，叫一组倒格基矢。
由与所决定的点阵为互为倒格子b晶体的宏观对称性可以概括为多少点群？晶体中有几种基本对称素？多少个晶系？这些晶系分别包括哪些布拉菲格子？晶体学中共有32种点群八种基本对称素C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、CS (m)和 S4七大晶系十四种布拉菲格子c什么是晶体、准晶体和非晶体？晶体:组成固体的原子（或离子）在微观上的排列具有长程周期性非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或次近邻原子间的键合：如配位数、键长和键角等具有一定的规律性），无长程周期性准晶:有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周期性2试推导面心和体心立方点阵的x射线衍射的系统消光规律3多晶体与单晶体的x射线衍射图有什么区别？多晶（衍射环对应一个晶面）；单晶（衍射点对应一个晶面）4a）何谓晶体、准晶体及非晶体？它们的x光或电子衍射有何区别？黄昆第45页晶体：衍射图样是一组组清晰的斑点非晶体：由于原子排列是长程无序的，衍射图样呈现为弥散的环，没有表征晶态的斑点准晶体：衍射图样具有五重对称的斑点分布，斑点的明锐程度不亚于晶体的情况(b)何谓布拉菲格子、晶体学点群、晶系和晶体学空间群？C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)及S1，S2，S3，S4，S5这十种对称素组成32个不同的点群结晶学中把a, b, c满足同一类要求的一种或数种布喇菲格子称为一个晶系。
晶体结构
晶体结构和布拉菲格子的区别
晶体结构和布拉菲格子的区别
基矢 原胞 晶胞（单胞）
初基元胞 点阵的基本 平移矢量。
有多种取法。
12面体
14面体
布拉伐格子 晶向 晶面
标志？
互质的整数（h1h2h3）-----晶面指数
若以单胞的棱a，b，c为坐标系对应的指数（h1h2h3）----miller index
33 23
13
32 22 12
31
33 11
21 31 13;32 12 32 0
11
23 21 21 0
同样若沿Z轴作对称操作-转动900
0 1 0 A 1 0 0
0 0 1
A1A
22
0
0
11
0
13
11
0
0
22
13
0
0 31 33
31 0 33
7晶系14种Bravais Lattice介绍
可以证明，由于对称性的要求，共有14种Bravais Lattice， 分为7个晶系（点阵只有7种点群）。 对称操作群{D/t} D--点（宏观）对称操作; t--平移对称操作. 点阵点群-------{D/t=0}7个7个晶系 点阵空间群-------{D/t}14个14 lattices
绪论
������ 固体物理是研究固体的结构和其组成粒子之间的相互作用 及运动规律，以阐明其性能和用途的学科。
固体的分类 晶体（晶态）：原子按一定的周期规则排列的固体（长程有序)。 非晶体（非晶态）：原子排列没有明确的周期性（短程有序)。
固体物理(2011) - 第1章 晶体结构 6 准晶
除了晶体，还能研究些什么？
单晶与多晶，一个晶粒就是单晶，多个晶粒就是多晶，没有晶粒 就是非晶。单晶只有一套衍射斑点；多晶的话，取向不同会表现 几套斑点，标定的时候，一套一套来。 与晶体对应的，原子或分子无规则排列，无周期性无对称性的固 体叫非晶，无晶粒，如玻璃，非晶碳。一般无定型就是非晶，英 语叫amorphous态，也有人叫glass(玻璃态）。描叙结构特点的 只有径向分布函数，这是个统计的量。非晶有很多诱人的特性， 所以也有一帮子人在成天做非晶，尤其是作大块的金属非晶。因 为它的应力应变曲线很特别。衍射图样弥散的环，而不是斑点。
径向分布函数r (r) 与 LRO
solid: LRO —— Long-Range Order, 长程序 liquid and gas ? disorder
6 准晶
不满足平移周期（对称）性，不能用基元填满整 个空间
有一定的结构序（LRO, long-range order），是 一种准周期性晶体 准晶体的发现并没有推翻晶体的转动轴限制，但 却拓宽了人类对固体结构的认识 可看作是高维周期格子在低维的投影，一个实例
还能研究些什么？
孪晶，英文叫twinning，孪晶其实是金属塑性变形里的一个重要 概念。孪生与滑移是两种基本的形变机制。从微观上看，晶体原 子排列沿某一特定面镜像对称。那个面叫栾晶面。很多教科书有 介绍。一般面心立方结构的金属材料，滑移系多，已发生滑移， 但是特定条件下也有孪生。加上面心立方结构层错能高，不容易 出现孪晶，曾经一段能够在面心立方里发现孪晶也可以发很好的 文章。前两年，马恩就因为在铝里面发现了孪晶，发了篇 Science。卢柯也因为在纳米铜里做出了很多孪晶，既提高了铜 的强度，又保持了铜良好导电性（通常这是一对矛盾），也发了 个Science。 现在不得不说准晶。准晶体的发现，是20世纪80年代晶体学研究 中的一次突破。这是我们做电镜的人的功劳。1984年底， D.Shechtman等人（PRL53, 金中发现了具有五重旋转对称但并无无平移周期性 的合金相，在晶体学及相关的学术界引起了很大的震动。
第一章 晶体结构(Crystal Structure)
§1.3 晶格的周期性
一、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。 定义: 各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重 复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式 R n a n a n a n 1 n 2 n 3 、 、 a1 a2 。其中， 、 、 取整数， n 1 1 2 2 3 3 a Rn 为基矢， 为布拉菲格子的格矢，或称 正格矢。 3 能用上式表示的空间点阵称为布拉菲点阵，相应的 空间格子称为布拉菲格子．
§1.2 空间点阵
空间点阵定义： 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地作周期性的无限分布，这 些点子的总体称为点阵。 X射线衍射技术从实验上证明。
1、格点与基元 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成 的，则格点代表原子或原子周围相应点的位置, 如铜的晶体结构。 点阵（lattice） 在空间任何方向 上均为周期排列的无 限个全同点的集合。
基元（ basis）
构成晶体的基本结构单元。 基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。 可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
复式晶格：
如果晶体的基元中包含两种或两种以上的原 子。显然,每一种等价原子各构成与晶体基元代表 点的空间格子相同的网格 , 称为晶体的 子晶格 . 每 一种等价原子的子晶格具有相同的几何结构，整 个晶格可视为，子晶格相互位移套构而成。该晶 体晶格称为复式晶格． 例如：氯化钠晶体
01_04_倒格子
01_04_倒格子 —— 晶体结构
正格子与倒格子的关系
① 互为倒易 I. 量纲互为倒数
II. ai·bj=2π
② 体积
正格子原胞体积 =a1 (a2 a3) 倒格子原胞体积 *=b1 (b2 b3)
b1 =2 (a2源自 a3) b2 =
2
(a3
a1)
b3 =
G
G
G
G R=2 l
eiG R 1
l= 1, 2,
01_04_倒格子 —— 晶体结构
xaut 令
) by 可得：ai
bj
2ij
2 0
由 G R 2 l
R l1a1 l2a2 l3a3 (i j)
(i j)
5 G R 2 (m1l1 m2l2 m3l3) 2l 1 l m1l1 m2l2 m3l3
01_04_倒格子 —— 晶体结构
xaut 3.第二布里渊区 y 由4个倒格点 ) b (b1 b2) 5 (b1 b2) 1 (b1 b2) 0 (b1 b2)
t (2 垂直平分线和第一布里渊区边界所 igh 围成第二布里渊区大小 Copyr 01_04_倒格子 —— 晶体结构
V (r )=V r +R
其中 R=l1a1 l2a2 l3a3
01_04_倒格子 —— 晶体结构
V (r ) V r R V (G)eiG r
G
问题：G 是否任意？
解答：
由于势能函数要满足周期性条件，即V (r ) V r R
也就是说要满足
V (G)eiG r V (G)eiG (rR) V (G)eiG reiG R
《固体物理基础教程》课件第1章
之间的距离虽然相同，但方向却正好相反，因此应被视为两 种原子，即金刚石晶体的一个基元中应该同时包含两个C原 子。再比如，由Zn组成的六方密堆积结构中，六方棱柱顶 角和表面的原子应归为一类，而体内的原子则应归为另一类， 于是Zn晶体的一个基元中也应同时包含两个Zn原子。再来 看看钙钛矿结构，BaTiO3晶体的一个基元中同时应该包含 Ba、Ti和O原子是比较容易理解的，但为什么会是3个O原子？ 显然，对于6个面心上的O原子，尽管Ba原子和Ti原子在其 周围分布的距离都是确定相同的，但方向却是不同的，因此 必然被分为3类，于是BaTiO3晶体的一个基元中就同时包含 了1个Ba、1个Ti和3个O原子总共5
在1.1节所讨论的几种晶体结构中，SC、BCC和FCC结 构的晶体的基元中只有一个原子，因此它们对应的B格子分 别就是SC、BCC和FCC。金刚石结构、闪锌矿结构和NaCl 结构的基元中均包含两个原子，抽象得到的B格子都是FCC， 即它们都是由FCC格子套构而成的：金刚石结构和闪锌矿结 构都是由两个FCC格子沿体对角线方向1/4套构而成，而 NaCl结构则是由两个FCC沿棱边1/2套构而成。类似地， CsCl结构是由两个SC格子体心套构而成，而钙钛矿结构则 是由5个SC格子套构而成，其套构的方式不太好用语言描述， 不妨通过图示的方法给出它的套构规则(如图1.12所示)。
图1.11 闪锌矿结构的重复单元
1.1.8 钙钛矿结构 自然界中很多ABO3型化合物材料，如钛酸钡(BaTiO3)、