江苏省扬中高级中学2020-2021学年第一学期高一八校联考12月份数学试卷

6
f (2x ) = (2x )2 + 2 2x −15 = (2x )2 + 2 2x −15 = 0 ,解得
2x = 3(−5舍）， x = log2 3 ； （2）因为函数 f (x) 在区间[0, 2] 上存在零点， 即方程 x x − 4m = −n 在[0, 2] 上有解，
设 h(x)
0 x 4 ，存在三个互不相等的正实数 a,b, c且a b c 有 f (a) = f (b) = f (c) ， x4
则 a b c f (a) 的取值范围是
.
三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
（1）计算： (
8
−2
)3
27
− 2e0
4
4
（2） A = 6, B = log3(9B − 6),3B = (3B )2 − 6 ；
(3B )2 − 3B − 6 = 0,3B = 3(−2舍）B = 1.
18．解：（1） A = (1, 2], B = [ 2, +) ，
A B = [ 2, 2], A B = (1, +) ；
10x2 +100x + 2600, 0 x 50
备，需另投入生产成本 R(x) 万元，且 R(x) =
701x +
4900 x +10
− 6500,
根据市场调研知，每套设备 x 50
售价 7 万元，且生产的设备供不应求.（1）求出 2020 年的利润 L(x) （万元）关于年产量 x （百套）的函 数关系式（利润 = 销售额 − 成本）；（2）2020 年产量为多少百套时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
x0
2
二、填空题．请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
13．已知角 的终边过点 P(−4,3) ，则 sin − cos =
.
14．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学家的
算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形菜田，下周长（弧长）为16 米，径长（两端半径的和）
当 x 50 时，
L(x) = −x − 4900 + 2500 = −[(x +10) + 4900 ] + 2510 2370 ，
x +10
x +10
当
x
+ 10
=
4900 ,即(x +10)2 x +10
=
4900, x
+10
=
70， x
=
60 时， L(x)max
=
2370 ，
综上所述，当 x = 30 时， L(x)max = 2400 ，
=
x
x − 4m
=
x2 − 4mx , −x2 + 4mx ,
x 4m ， x 4m
当 m 0 时， h(x) = x2 − 4mx ，在 x [0, 2] 上单调递增，
c
=
log2021
2020
，则
a, b,
c
的大小关系正确的是
（）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． c b a
7．某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 x （单位：0 C ）满足函数关系 y = ekx+b (e = 2.718 为
自然对数的底数， k, b 为常数），若该食品在 00C 的保鲜时间是192h ，在 220 C 的保鲜时间是 48h ，则该
g( x)
=
loga (x
+1)
+
log 1 (5 −
a
x)
=
loga
x +1 5− x
0
=
loga 1，
当
0
a
1时，
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x +1 5− x x +1 5− x
0 1
−1 x 5 x 2或x 5
−1
x
2
,
当 a 1时， x +1 1 2 x 5. 5− x
22．解：（1）当 m = − 1 , n = −15 时， f (x) = −2x − x2 −15 = x2 + 2x −15 ， 2
=
−7 5
− 12
=
35 . 12
25
20．解：（1）当 0 x 50 时，
L(x) = 700x − 4000 −10x2 −100x − 2600 = −10x2 + 600x − 6600 ，
当 x 50 时，
L(x) = 700x − 4000 − 701x − 4900 + 6500 = −x − 4900 + 2500 ；
C．若实数 a,b满足a 0,b 0, 2a + b = ab − 2,则a + b 的最小值是 7
D．若函数 f (x) = x + 4 (x 1) 有最小值 4 x −1
12．给出以下四个结论，其中所有正确结论的题号是 A．若函数 y = f (x) 是奇函数，则必有 f (0) = 0
（）
为 20 米，则该扇形菜田的面积为
平方米
10．函数 f (x) = log2 (−x2 + 2x + 8) 的递减区间是 是单调减函数，则实数 a 的取值范围是
；函数 f (x) = log2 (−x2 + ax + 8)在(2, 4) 上 .
10．已知函数
f
(x)
=
log2 x , 6− x,
D．0
2．已知角 = 20200 ，则角 是
A．第一象限角
B．第二象限角
3．下列选项中符合为负的是
C．第三象限角
A． sin1100
B． cos(−600 )
C． tan 4
4．设 x R ，则 “ x = + 2k , k Z ”是“ sin x = 1 ”的
6
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充要条件
若选②
A
B
=
[1 2
,
+), t
=
log2
x
[−1,
+)
，
f (x) = y = −t2 + 3t − 2 = −(t − 3)2 + 1 ， 24
所以当 t = 3 ,即x = 2 2
2时 ，
ymax
=
1 4
；
19．解：（1） (sin + cos )2 = sin2 + cos2 + 2sin cos = 1 . 25
（）
A． (ln 2, +)
B． (−, ln 2)
C． (ln 2,1)
D． (0, ln 2)
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项
填涂在答题卡相应的位置上）
9．下列给出的各角中，与 − 5 终边相同的角有 3
（）
A． 3
B． 13 3
C． − 2 3
食品在 330 C 的保鲜时间是
A．16h
B． 20h
C． 24h
D． 26h
（）
8．已知函数
f
(x) 的定义域为 R，图象过的 (0,1) ，对任意 x1, x2 R(x1
x2 ) ，都有
f (x1) − f (x2 ) x1 − x2
1，
则不等式 f [ln(ex −1)] 1+ ln(ex −1) 的解集为
6
7
8
9
10 11
12
答案 D
C
D
A
B
B
C D ABD BCD AC BCD
二、填空题．
13． 7 ； 5
15． (0, 4),[2, 4] ；
三、解答题
14． 80 ； 16． (0,8) ；
17．解：（1）原式
=
9 4
−
2
+
0
−
2(lg
2
+
lg
5)
+
2
log3
2
log3 32 2 log3 2
= 9−2+0−2+2= 1 ；
x +10
x +10
−10x2 + 600x − 6600, 0 x 50
L(
x)
=
−x − 4900 − 2500, x 50 x +10
；
（2）当 0 x 50 时，
L(x) = −10x2 + 600x − 6600 = −10(x − 30)2 + 2400 ，
当 x = 30 时， L(x)max = 2400 ；
答： 2020 年产量为 30 百套时，企业所获利润最大. 21．解：（1） f (1) = g(1) = 1 f (1) = loga (1+1) = 1, g(1) = log 1 (m −1) = 1.
a
a = 2, m −1 = 1 , m = 3 ； 22
（2）当 m
= 1时，
f
(x) +
sin cos = − 12 ； 25
（2） (sin − cos )2 = sin2 + cos2 − 2sin cos = 1+ 24 = 49 ， 25 25
5
,sin 0, cos 0,cos − sin = − 7 ，
2
5
1 sin
−
1 cos
=
cos − sin sin cos
B．函数 f (x) = loga (2x −1) +1(a 0, a 1) 的图象过定点 (1,1) C．定义在 R 上的奇函数在 (0, +) 上是单调递增函数，则在区间 (−, 0) 也是单调递增函数
D．函数
f
(x)
=
ln x ,
x
+
1,
x 0 ，则方程 f ( f (x)) − 1 = 0 有 6 个不等实根
+ lg1− lg 4 + lg 5−2
+ log3 4 log4 9.
（2）已知 A = log 2 8, B = log3(9B − A) ，求实数 B 的值.
2
18．已知 A =
x y = ln(x −1) +
4 − x2
,
B
=
x
log2
x
1 2
.
（1）求
A
B,
A
B
；（2）已知函数
f
(x)
=
log
2
(
x 2
)
log
2
(
4 x
),
x
补充横线条件后，求函数 f (x) 的最大值并求函数最大值时 x 的值.
.请从① A B ,② A B 选一个
19．已知 sin + cos = − 1 . 5
（1）求 sin cos 的值；（2）若 ，求 1 − 1 的值.
2
sin cos
22．设函数 f (x) = 4mx − x2 + n(m, n R). （1）当 m = − 1 , n = −15 时，解方程 f (2x ) = 0 ；（2）若 m 为常数，且函数 f (x) 在区间[0, 2] 上存在零点，
2 求实数 n 的取值范围.
4
一、选择题
参考答案
题号 1
2
3
4
5
（） D．第四象限角
（）
D． cos 2 3
（）
D．既不充分也不必要条件
5．已知幂函数 f (x) = (m2 − 3m − 3)xm 在区间 (0, +) 上是单调在递增函数，则实数 m 的值是 （ ）
A． −1或4
B． 4
C． −1
D．1或4
6．已知
a
=
1
20202021 ,
b
=
log2020
1, 2021
20． 2020 年上半年，新冠肺炎疫情全球蔓延，超过 60 个国家或地区宣布进入紧急状态，部分国家或地区
直接宣布“封国”或“封城”疫情爆发后，造成全球医用病毒监测设备短缺，江苏某企业计划引进医用病
毒监测设备的生产线，通过市场调研分析，全年需投入固定成本 4000 万元，每生产 x “百套”该监测设
（2） f (x) = (log2 x −1)(2 − log2 x) = −(log2 x)2 + 3log2 x − 2
若选① A B = [
2,
2], t
=
log2
x
[1 2
,1]
，
f (x) = y = −t2 + 3t − 2 = −(t − 3)2 + 1 ， 24
所以当 t = 1,即x = 2时 ， ymax = 0 ；
3
21．已知实数 a 0且a 1，函数 f (x) = loga (x +1), g(x) = log 1 (m − x).
a
（1）已知 f (1) = g(1) = 1，求实数 a, m 的值；（2）当 m = 1时，用定义法判定函数 h(x) = f (x) + g(x) 的 奇偶性；（3）当 m = 5 时利用对数函数单调性讨论不等式 f (x) + g(x) 0 的解集.
1
A． f (x) = 2x + x 11．下列命题正确的是
B． g(x) = x2 − x − 3
A． x R都有2x + 2−x 2
1
C． f (x) = x 2 +1
D． f (x) = log2 x −1 （）
B． a, b (0,1) (1, +)都有logab+ logb a 2
D． − 17 3
10．在数学中，布劳威尔不动点定理用到有限维空间，并是构成一般不动点的基石，它得名与荷兰教学家
鲁伊兹 布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 f (x) ，存在一个点 x0 ，使得 f (x0 ) = x0 ，
那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是
（）
江苏省扬中高级中学 2020-2021 第一学期高一八校联考 12 月份 数学试卷
一、选择题．请把答案直接填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
1．若集合 A = x x2 − x − 2 0, x Z , B = −1, 0 ，则 A B =
（）
A． (−1, 2)
B．−1, 0,1
C．−1, 0,1, 2