小波与小波变换
一看就懂的小波变换ppt
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
小波包变换和小波变换
小波包变换和小波变换小波包变换和小波变换是一种信号分析和处理的方法，它们可以将信号分解成不同尺度和频率的成分，并可以分析和处理这些成分。
下面将对小波包变换和小波变换进行解释。
1. 小波包变换：小波包变换是在小波变换的基础上发展而来的一种方法。
小波包变换将信号分解成多个子带，并对每个子带进行进一步的分解。
相比于小波变换，小波包变换提供了更高的频率分辨率和更细的频率划分。
小波包变换的核心思想是使用不同的小波基函数对信号进行分解。
通过选择不同的小波基函数，可以获得不同尺度和频率的信号成分。
小波包变换可以通过反复迭代的方式，不断将信号分解成更细的频率带，进一步提高频率分辨率。
在每一级分解中，信号被分解成低频和高频两部分，低频部分可以继续进行进一步的分解。
小波包变换的优势在于能够提供更详细的频域信息，可以更好地分析信号的特征和结构。
它在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用，例如信号去噪、特征提取等。
2. 小波变换：小波变换是一种将信号分解成不同频率成分的方法。
通过小波变换，我们可以将信号从时域转换到频域，同时可以分析信号的时间和频率特性。
小波变换的基本思想是使用小波基函数对信号进行分解。
小波基函数是一种具有局部性质的函数，它能够在时域和频域中同时提供较好的分辨率。
通过选择不同的小波基函数，可以获得不同频率范围内的信号成分。
小波变换通过对信号进行连续的分解和重构，可以分析信号的频域特性。
小波变换有多种变体，其中最常用的是离散小波变换（DWT）。
离散小波变换将信号分解成多个尺度和频率的子带，通过这些子带可以分析信号的不同频率成分。
离散小波变换具有高效性和局部性，可以在信号处理中广泛应用，例如信号去噪、压缩等。
总结：小波包变换是在小波变换的基础上发展的一种方法，它能够提供更高的频率分辨率和更细的频率划分。
小波包变换通过选择不同的小波基函数，将信号分解成多个子带，并对每个子带进行进一步的分解。
相比之下，小波变换是将信号分解成不同频率成分的方法，通过选择不同的小波基函数，可以获得不同频率范围内的信号成分。
小波分解和小波变换
小波分解和小波变换
小波分解和小波变换是一种信号处理技术，它们可以将信号分解成不同频率的小波，从而更好地理解和处理信号。
小波分解和小波变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域都有广泛的应用。
小波分解是将信号分解成不同频率的小波，这些小波具有不同的频率和振幅，可以更好地描述信号的特征。
小波分解可以通过小波变换来实现，小波变换是一种将信号转换成小波系数的方法。
小波变换可以将信号分解成不同频率的小波，从而更好地理解和处理信号。
小波分解和小波变换的优点在于它们可以将信号分解成不同频率的小波，从而更好地描述信号的特征。
小波分解和小波变换可以用于信号去噪、信号压缩、图像处理、音频处理等领域。
在信号去噪方面，小波分解和小波变换可以将信号分解成不同频率的小波，从而更好地去除噪声。
在信号压缩方面，小波分解和小波变换可以将信号分解成不同频率的小波，从而更好地压缩信号。
在图像处理方面，小波分解和小波变换可以将图像分解成不同频率的小波，从而更好地处理图像。
在音频处理方面，小波分解和小波变换可以将音频分解成不同频率的小波，从而更好地处理音频。
小波分解和小波变换是一种非常有用的信号处理技术，它们可以将信号分解成不同频率的小波，从而更好地理解和处理信号。
小波分解和小波变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域都有广泛的
应用，是一种非常重要的信号处理技术。
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换ppt课件
自适应压缩
在此添加您的文本16字
小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整，进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点，从而在去噪过程 中保留这些重要特征，同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性，实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法，如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法，以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用，如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法， 它通过将信号分解成小波函数的 叠加，实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用，如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战，并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点，能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息，广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
小波变换的基本概念和原理
小波变换的基本概念和原理小波变换是一种数学工具，用于分析信号的频谱特性和时域特征。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将介绍小波变换的基本概念和原理。
一、什么是小波变换？小波变换是一种将信号分解为不同频率的成分的数学工具。
它类似于傅里叶变换，但不同之处在于小波变换不仅能提供频域信息，还能提供时域信息。
小波变换使用一组称为小波基函数的函数族，通过对信号进行连续或离散的变换，将信号分解为不同尺度和频率的成分。
二、小波基函数小波基函数是小波变换的基础。
它是一个用于描述信号特征的函数，具有局部性和可调节的频率特性。
常用的小波基函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies 小波等。
这些小波基函数具有不同的性质和应用场景，选择适当的小波基函数可以更好地适应信号的特征。
三、小波分解小波分解是将信号分解为不同尺度和频率的过程。
通过对信号进行连续或离散的小波变换，可以得到小波系数和小波尺度。
小波系数表示信号在不同尺度和频率下的能量分布，而小波尺度表示不同尺度下的信号特征。
小波分解可以将信号的局部特征和全局特征分离开来，为信号分析提供更多的信息。
四、小波重构小波重构是将信号从小波域恢复到时域的过程。
通过对小波系数进行逆变换，可以得到原始信号的近似重构。
小波重构可以根据需要选择保留部分小波系数，从而实现信号的压缩和去噪。
五、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、特征提取、模式识别等任务。
在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测、纹理分析等任务。
在数据压缩中，小波变换可以将信号的冗余信息去除，实现高效的数据压缩和存储。
六、小波变换的优势和局限性小波变换相比于傅里叶变换具有一些优势。
首先，小波变换可以提供更多的时域信息，对于非平稳信号和瞬态信号具有更好的分析能力。
其次，小波变换可以实现信号的局部分析，对于局部特征的提取和分析更为有效。
《小波分析》PPT课件
3.1. 多分辨分析
(Multiresolution Analysis)
➢ 在(a,b)-W(a,b)给出的二维小波谱空间 ，二进离散小波谱点的分布规律可以用 Appendix C Fig.3. 加以说明。
Appendix C Fig.3.
正交小波的点谱吸收特性
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
01234567
0
1
2
3
0
1
0
§3. 正交小波和多分辨分析
级数的系数k, j 正好是信号f(x)的
小波变W f换a, b
在二进离散点：
2k , 2k j
(37)
上的取值。这说明：对于正交小波来说，任 何信号在二进离散点上的小波变换包含了它 的小波变换的全部信息，所以
正交小波具有优美的谱吸收特点。
小波变换与Fourier变换
Fourier变换：
➢ 对于任何信号f(x)，只有当它是时间有 限时，它的谱F()(Fourier变换)才是频 率吸收的；
信号f(x)的另一种等价描述(因为Fourier变
换是信号的等价描述)
局限
遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：
Gabor变换没有“好”的（即可以
构成标架或者正交基）离散形式；
Gabor变换没有快速算法：比如没 有 类 似 于 离 散 Fourier 变 换 之 FFT
的快速数值算法；
Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时-频窗口
注释
注释：如果小波母函数 x
的
小波分析知识点总结
小波分析知识点总结小波分析的基本思想是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，然后对这些成分进行分析。
小波函数通常具有局部化特性，能够反映信号的局部特征，在时域和频域上都具有一定的分辨率，因此可以更准确地描述信号的时频特性。
小波分析主要包括小波变换、小波系数的选择、小波包分析、小波域滤波等内容。
下面将从这些方面对小波分析进行介绍。
1. 小波变换小波变换是小波分析的核心内容，它将信号分解成不同尺度和频率的成分。
小波变换包括连续小波变换和离散小波变换两种形式。
连续小波变换将信号分解成不同尺度和频率的成分，并且可以实现任意精细程度的分解。
但是由于小波函数是连续的，计算复杂度较高，因此应用较为有限。
离散小波变换是将连续小波变换进行离散化处理，从而降低计算复杂度。
离散小波变换可以通过小波分解和小波重构过程来实现信号的分解和重构，具有较好的实用性和计算效率。
小波变换具有多重分辨率分析的特点，可以在不同尺度和频率上对信号进行分析，具有较好的时频局部化特性。
2. 小波系数的选择小波系数对信号的分解和重构效果具有重要影响。
通常情况下，小波系数是由小波函数的形状和尺度决定的，不同的小波函数对信号的分解和重构效果有一定的影响。
常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Meyer小波、Gabor小波等。
这些小波函数具有不同的形状和尺度特性，可以适用于不同类型的信号。
在选择小波系数时，需要考虑信号的特点和分析的目的，选择合适的小波函数和尺度参数，以实现更好的分解效果。
3. 小波包分析小波包分析是小波变换的一种扩展形式，它能够对信号进行更为细致的分解。
小波包分析将信号进行逐层分解，得到更为丰富的频率成分，能够更准确地描述信号的时频特性。
小波包分析通常采用二叉树结构进行信号分解，在每层分解中都能够获得更为细致的频率分量。
小波包分析可以实现任意精细程度的频率分解，能够更充分地利用小波函数的局部化特性，对信号进行更为全面的时频分析。
小波分解和小波变换
小波分解和小波变换小波分解和小波变换是一种信号解析的数学方法，可以将信号分解成多个不同的频率和幅度的成分，从而更好地了解信号的特性。
小波分解和小波变换的应用广泛，在信号处理、图像处理、数据分析和物理学等领域中都有重要的应用。
一、小波分解小波分解是指将信号分解成一组不同频率和幅度的分量，其中小波函数被用来作为分解的基函数。
这些小波函数可以有不同的特性，例如有限长度和平滑度等。
通常情况下，小波函数是由一个母小波函数递归生成得到的。
小波分解的基本步骤如下：1.选择一个小波基函数，并确定其尺度和位移参数。
2.将这个小波函数与信号进行卷积。
3.将卷积结果分为两部分，一部分是高频成分，另一部分是低频成分。
4.重复以上步骤，递归地对低频成分进行分解，直到无法再进行分解。
小波分解的结果是一个小波系数数组，其中每个小波系数表示了对应频率和振幅的成分的大小。
二、小波变换小波变换是指将信号在小波基函数下的分解。
它将信号分解成不同的频率和振幅成分的过程，可以用于信号去噪、数据压缩和特征提取等应用。
4.对低频成分进行下采样，得到一个新的序列。
三、小波分析的优点相对于傅里叶变换和小波变换，小波分析有一些明显的优点：1.小波分析可以适应各种信号类型，包括非平稳信号和非线性信号。
2.小波分析可以分析信号中的时空分布，而傅里叶变换只能分析信号中的频率分布。
3.小波分析可以将信号分解成有限的、宽带的频率组件，而傅里叶变换需要使用无限多的单色波组成信号。
4.小波分析可以快速地处理并行信号，因为它可以进行高效的多尺度分解。
小波分析在许多领域中都有广泛的应用，例如信号处理、图像处理、音频处理、数据压缩和特征提取等。
以下是一些常见的应用：1.信号去噪：小波分析可以有效地去除信号中的噪声和干扰。
2.数据压缩：小波分析可以将信号分解成有限的频率组件，从而能够进行高效的数据压缩。
3.图像处理：小波分析可以使用不同的小波基函数对图像进行分解，从而能够进行图像去噪、特征提取和边缘检测等处理。
小波变换课件 第6章 连续小波变换
第6章 连续小波变换6.1 小波及连续小波变换● 定义6.1 设函数12()()()t L R L R ψ∈ ，并且ˆ(0)0ψ=，既()0t dtψ+∞-∞=⎰，则称为一个基本小波或母小波。
对母小波()t ψ做伸缩平移得,()a b t b t a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭（6-1） 称为,()a b t ψ小波函数，简称小波。
其中0a ≠,b 、t 均为连续变量：1） a 为尺度因子，b 为平移因子。
变量a 反映了函数的宽度，b 反映了小波在t 轴上的平移位置，小波函数,()a b t ψ是基本小波函数()t ψ先b 做移位再由a 做伸缩，,a b 不断变化产生的一组函数，又称作小波基函数，或小波基。
2） 母小波的能量集中在原点，小波函数,()a b t ψ的能量集中在b 点。
3）一般，尺度因子0a >，作用是使小波()t ψ做伸缩，a 越大，()t aψ越宽，既小波的持续时间随aa 变化时保持小波,()ab t ψ的能量相等，既2,()a b t ψ2()t ψ=（保范性质）。
● 定义 6.2 设12()()()t L R L R ψ∈ ，且满足条件2ˆ()c d ψψωωω+∞-∞=<∞⎰（6-2） 则称()t ψ为允许小波，上式为允许条件。
由c ψ<+∞知，ˆ(0)0ψ=，既()0t dt ψ+∞-∞=⎰，因此允许小波一定是基本小波；反之，若()t ψ满足1()(1)(0)t c t εψε--≤+>，且ˆ(0)0ψ=，其中c 是一个常数，则式（6-2）成立。
这表明允许条件与()0t dt ψ+∞-∞=⎰几乎是等价的。
从小波的定义知，小波要求由振荡性，既包含着某些频率特征，还要求具有一定的局部性，既它在一定的区间上恒等于零或很快收敛到零。
● 设()t ψ是一个基本小波，,()b a t ψ是连续小波函数，对于()f t 2()L R ∈，其连续小波变换定义为(,)f WT ab ()*t b f t dt a ψ+∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭,,a b f ψ= （6-3）其中，0a ≠,b 、t 均为连续变量，*()t ψ表示()t ψ的共轭。
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f (t )e − jωt dt
+∞ −∞
1 f (t ) = 2π
∫
F (ω ) e jωt
where e − jωt = cos ωt − j sin ωt
只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
1986：Y.Meyer
法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0的 整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使 小波分析得到发展
2011年2月17日 第7章 小波与小波变换 9/46
7.3 哈尔小波变换 7.4 规范化算法 7.5 二维哈尔小波变换
7.5.1 二维小波变换举例 7.5.2 二维小波变换方法
7.2 哈尔函数
7.2.1 哈尔基函数 7.2.2 哈尔小波函数 7.2.3 函数的规范化 7.2.4 哈尔基的结构
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
2/46
7.1 小波介绍
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
20/46
7.1 小波介绍 小波介绍——小波分析 续9) 小波分析(续 小波分析
注意：在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时， 得到的数据将是原始数据的两倍
例如，如果原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每 一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。于是,根据尼奎 斯特(Nyquist)采样定理就提出了采用降采样(downsampling)的 方法，即在每个通道中每两个样本数据中取一个，得到的离 散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示，见图7-9
图7-5 离散小波变换分析图
2011年2月17日 第7章 小波与小波变换 16/46
7.1 小波介绍 小波介绍——小波分析 续5) 小波分析(续 小波分析
执行DWT的有效方法
用Mallat在1988年开发的滤波器，称为Mallat算法[1] DWT的概念见图7-6。S表示原始的输入信号；通过 两个互补的滤波器产生A和D两个信号
老课题：函数的表示方法 新方法：Fourier－Haar－wavelet transform
1807: Joseph Fourier
傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
5/46
7.1 小波介绍 续3) 小波介绍(续
F (ω ) = ∫
图7-9 降采样过程
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
21/46
7.1 小波介绍 小波介绍——小波分析 续10) 小波分析(续 小波分析
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫 做逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
图7-3 连续小波变换的过程
2011年24/46
7.1 小波介绍 小波介绍——小波分析 续3) 小波分析(续 小波分析
连续小波变换用下式表示
C ( scale, position) = ∫
+∞
−∞
f (t )ψ ( scale, position, t )dt
该式含义：小波变换是信号f(t)与被缩放和平移的小波函数Ψ之 积在信号存在的整个期间里求和 CWT变换的结果是许多小波系数C ，这些系数是缩放因子(scale) 和位置(position)的函数
小波分解树与小波包分解树
由低通滤波器和高通滤波器组成的树
原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号 的分解过程可以迭代，即可进行多级分解。
小波分解树(wavelet decomposition tree)
用下述方法分解形成的树：对信号的高频分量不再继续分 解，而对低频分量连续进行分解，得到许多分辨率较低的 低频分量，见图7-7
STFT的时间-频率关系图
2011年2月17日 第7章 小波与小波变换 8/46
7.1 小波介绍 续6) 小波介绍(续
1980：Morlet
20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)
A表示信号的近似值 (approximations) (approximations)，大的缩放 因子产生的系数，表示信 号的低频分量 D表示信号的细节值(detail)， 小的缩放因子产生的系数， 表示信号的高频分量
图7-6 双通道滤波过程
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
17/46
7.1 小波介绍 小波介绍——小波分析 续6) 小波分析(续 小波分析
7.1 小波介绍 续7) 小波介绍(续
1988：Mallat算法
法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空 间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交 小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1] 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法， 其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的 地位
离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT) 离散小波变换 ，
用小波的基函数(basis functions)表示一个函数的方法
小波的基函数序列或称子小波(baby wavelets)函数是由单个小波 或称为母小波函数通过缩放和平移得到的 缩放因子和平移参数都选择2j (j >0的整数)的倍数，这种变换称 为双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)
7.1 小波介绍 小波介绍——小波分析 续11) 小波分析(续 小波分析
Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的
图7-1 正弦波与小波——部分小波
2011年2月17日 第7章 小波与小波变换 4/46
7.1 小波介绍 续2) 小波介绍(续
小波简史
小波变换 (wavelet transform)是什么
傅立叶分析
用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数
小波分析
用母小波通过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号 一系列小波可用作表示一些函数的基函数
凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析
小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶 变换用的正弦波
用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波 更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程，见图7-10 升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信 号的分量加长，其过程见图7-11
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
22/46
小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)
用下述方法分解形成的树：不仅对信号的低频分量连续进 行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得 到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率 较低的高频分量，见图7-8
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
11/46
7.1 小波介绍 小波介绍——小波分析 小波分析
小波分析/小波变换 小波分析 小波变换
变换目的是获得时间和频率域之间的相互关系 小波变换
对一个函数在空间和时间上进行局部化的一种数学变换
通过平移母小波(mother wavelet)获得信号的时间信息 通过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性 对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表 局部信号和小波之间的相互关系
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
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7.1 小波介绍 小波介绍——小波分析 续4) 小波分析(续 小波分析
DWT得到的小波系数、缩放因子和时间关系，见图7-5
图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换(short time Fourier transform，STFT)得到的 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的
小波(wavelet)是什么 是什么 小波
在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内，它的平均值等于零
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
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7.1 小波介绍 续1) 小波介绍(续
部分小波
许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，
2011年2月17日
第7章 小波与小波变换
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7.1 小波介绍 续8) 小波介绍(续
小波理论与工程应用
Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波 器组(filter banks)之间的内在关系[2]，使离散小波分 析变成为现实 Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献 在信号处理中，自从Stephane Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之 后，小波分析在信号(如声音和图像)处理中得到极其 广泛的应用