长沙市一中高三年级下学期第一周测试
2025届湖南长沙一中高三第一次联考物理试题+答案
长沙市一中2025届高三月考试卷（一）物理本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页。
时量75分钟，满分100分。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共计24分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是（ ）A.由牛顿第二定律，可以得到加速度的定义式为F a m=B.伽利略最先建立描述运动的物理量，如平均速度、瞬时速度和加速度C.千克、米和牛顿都是国际单位制中的基本单位D.根据开普勒第二定律，不同行星与太阳的连线在相同的时间扫过相同的面积2.北京时间8月10日凌晨，2024年巴黎奥运会田径赛事在法兰西体育场的赛场火热进行中。
中国选手巩立姣和宋佳媛进入女子铅球的决赛，其中巩立姣已经是奥运会的“五朝元老”。
如图所示，运动员斜向上推出铅球，铅球飞行一段时间后落地，若不计空气阻力，则（ ）A.铅球飞到最高点时速度为零B.运动员斜向上推出铅球过程，运动员做的功全部转化为铅球的动能C.铅球在空中飞行过程中，铅球的动量变化率恒定D.只要铅球离手时初速度更大，在空中飞行的时间一定更长3.一根粗细不均匀的绳子摆放在地面上，已知绳子的质量为5kg ，绳长为1m ，抓住绳子一端缓慢往上提起，直到另一端恰好离开地面，此过程需做功30J 。
若抓住绳子的另一端把绳子缓慢提起来，拉力做功为（g 取210m/s ）（ ） A.10JB.20JC.30JD.50J4.质量为m 的均匀木块静止在光滑水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同步枪和子弹的射击手。
首先左侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为1d ，然后右侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为2d ，设子弹均未射穿木块，且两颗子弹与木块之间的作用力大小相同。
当两颗子弹均相对于木块静止时，下列判断正确的是（ ）A.木块静止，12d d < B.木块向右运动，12d d <C.木块静止，12d d =D.木块向左运动，12d d =5.如图所示，金属环M 、N 用不可伸长的细线连接，分别套在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，当整个装置以竖直杆为轴以不同大小的角速度匀速转动时，两金属环始终相对杆不动，下列判断正确的是（ ）A.转动的角速度越大，细线的拉力越大B.转动的角速度越大，环N 与竖直杆之间的弹力越大C.转动的角速度不同，环M 与水平杆之间的弹力大小可能不相等D.转动的角速度不同，环M 与水平杆之间的摩擦力大小可能相等6.如图所示，静止于水平地面的箱子内有一粗糙斜面，将物体无初速度放在斜面上，物体将沿斜面下滑。
2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ） A ．3,1x y ==- B ．()3,1-C ．{}31，-D ．(){}3,1-【答案】D【解析】解对应方程组，即得结果 【详解】 由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D.【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，复数()21i ω=+，则ω=（ ）A ．B ．2C ．D ．4【答案】B【解析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到本题答案. 【详解】因为22(1)122i i i i ω=+=++=，所以||2ω==.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的计算，属基础题.3．已知命题2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>，则命题p 的否定为（ ） A ．2 : (1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+≤B ．2:(1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+<C ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+≤D ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+<【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题“2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>”的否定是“2000 (1,),168∃∈+∞+≤x x x ”.故选C 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型.4．设平面向量,,a b c r r r均为非零向量，则“()0a b c ⋅-=r r r ”是“b c =r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】由b c =r r 得，0b c -=r r r ，可得()0a b c ⋅-=r r r，由()0a b c ⋅-=r r r 可得()a b c ⊥-r rr ，故()0a b c ⋅-=r r r是b c =r r 的必要而不充分条件，故选B ．【考点】充分条件与必要条件的判定．5．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D ．关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 【答案】A【解析】由()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期，可以求出ω，从而可以简单的判断出其相关性质 【详解】2(0)T ππωω==>，所以2ω=，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,()32x k f x πππ+=+⇒关于()122k x k Z ππ=+∈对称，可判断A 正确，B 错误；2,()3x k f x ππ+=⇒关于(,0)()62k k Z ππ-+∈对称，可判断C 、D 错误. 【点睛】根据三角函数的性质求参数，确定表达式后，再次研究其相关性质（对称性、奇偶性、单调性、周期性等），属于中档题. 6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.【考点】程序框图.7．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()()()sin sin sin a c A C a b B +-=-，则角C =（ ）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】先利用正弦定理对已知等式化简，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为()()()sin sin sin a c A C a b B +-=-， 所以由正弦定理知，()()()a c a c a b b +-=-， 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得，222cos 122a b c C ab +-==，又(0,180)C ∈︒︒，所以60C =︒. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求角的问题.8．已知函数,(=ln ,x e x ef x x x e⎧≤⎨>⎩），则函数()y f e x =-的大致图象是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】令()()g x f e x =-，则(),ln(),,e x e e x eg x e x e x e -⎧-≤=⎨-->⎩，化简得(),0ln(),0,e x e x g x e x x -⎧≥=⎨-<⎩，因此()g x 在()()0,,,0+∞-∞上都是增函数.又()0ln 0e e e ->-，故选B.9．设曲线()ln 1axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=，则a =（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】利用函数()ln 1axy e x =-+求导后，代入0x =，由结果等于切线的斜率，即可得到本题答案. 【详解】因为()ln 1axy e x =-+，所以11axy ae x '=-+， 令0x =时，得切线的斜率为1a -，又因为曲线()ln 1axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=,所以12a -=，得3a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用曲线在某点的切线方程求参数的问题. 10．长度都为2的向量OA u u u v ，OB uuu v的夹角为3π，点C 在以O 为圆心的圆弧AB （劣弧）上，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v=+，则m n +的最大值是（ ） A．B．3CD．【答案】B【解析】∵OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r ，∴OC u u u r 2=（m OA u u u r +n OB uuu r）2，∴224442m n mn OA OB =++⋅⋅u u u v u u u v ，即224442223m n mn cos π=++⨯⨯⨯，即m 2+n 2+mn=1，故22()()14m n m n mn ++-=≤，（当且仅当m=n 时，等号成立）；故243m n +≤（），故m n +3=，故答案为3． 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x 、2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()0.20.24.14.1f a =，()2.12.10.40.4f b =，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题，可得()()f x g x x=是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】 设120x x <<，由题，得()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >，所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递减， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因此()()0.20.20.24.1 4.1(1)4.1f a gg ==<，()()()2.1 2.122.10.40.40.4(0.5)0.4f b gg g ==>>，()()()0.20.250.2log 4.1log 4.1log 4.1((1),(0.5))log 4.1f cg g g g ===∈，即a c b <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.12．已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为（ ）A．eBC ．221e e+D ．221e e + 【答案】D【解析】设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点，()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，通过求函数ln y x =到直线1:1l y x e=⋅+的最小距离，即可得到本题答案.【详解】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+， 设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点， ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对ln y x =求导得1y x '=，令1y e'=，得x e =， 所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小，该点到直线l==， 因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.二、填空题13．已知()212'3f x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则1'3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】23【解析】对函数()2123f x x f x ⎛⎫=+'- ⎪⎝⎭求导，然后代入13x =-，即可得到本题答案. 【详解】由()2123f x x f x ⎛⎫=+'- ⎪⎝⎭，得1()223f x x f ⎛⎫'=+'- ⎪⎝⎭，令13x =-，得11122333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=⨯-+'- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得，1233f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭. 故答案为：23【点睛】本题主要考查抽象函数的求导问题.14．已知()24,21,3,1,x x f x x e x⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩则()2e f x dx -=⎰__________．【答案】43332π+ 【解析】由题，得122213()4ef x dx x dx dx x--=-+⎰⎰⎰ò，1224x dx --⎰由定积分的几何意义可得，13edx x⎰由微积分基本定理可得. 【详解】 因为122()4f x x dx -=-⎰表示的是，如下图阴影部分的面积S ，且21143213323S ππ=⨯+⨯⨯=+， 所以121221343433()43ln 33eee f x dx x dx dx x ππ--=-+=++=+⎰⎰⎰.故答案为：43332π+ 【点睛】本题主要考查利用定积分的几何意义和微积分基本定理求定积分. 15．已知函数()f x 的导数为()'f x ，()11f =，若对任意的实数x 都有()()'0f x f x ->，则()1x f x e e<的解集为__________． 【答案】()1,+∞【解析】设()()f x g x x =，由2()()()()()0x x x xf x e f x e f x f xg x e e'-'-'==<，得()g x在R 上单调递减，并且不等式()1xf x e e<等价于()(1)g x g <，根据函数的单调性，即可得到本题答案. 【详解】 设()()xg x f x e =，则2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '-'-'==， 因为对任意的实数x 都有()()0f x f x -'>， 所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又因为(1)1f =，所以1(1)g e=， 所以不等式()1xf x e e<等价于()(1)g x g <， 由()g x 在R 上单调递减，得1x >，所以()1xf x e e<的解集为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数的运用.16．化简000001cos201sin10tan52sin20tan5+⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值为__________．【解析】原式22cos 10cos5sin5cos102cos10sin10sin104sin10cos10sin5cos52sin10sin10⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭o o o o oo o o o o o o o ()1cos102cos10cos102sin 301022sin102sin102sin102⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====oo oo o oo oo o ，三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin a b A =. （1）求角B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.【答案】（1）6B π=（2）322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用正弦定理边转角，即可得到本题答案；（2）角C 用角A 表示，由和差公式及辅助角公式，得cos sin 3A C A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，又由ABC ∆为锐角三角形，可确定角A 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得，sin 2sin sin A B A =， 所以1sin 2B =， 由ABC ∆为锐角三角形得，6B π=；（2）cos sin cos sin()6A C A A ππ+=+--1cos sin()cos cos )6223A A A A A A ππ=++=++=+.由ABC ∆为锐角三角形知，22B A ππ-<<，2263B ππππ-=-=，25336A πππ<+<，所以1sin()23A π<+<3)32A π<+<=，所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理边角转化的应用以及三角函数的图象与性质，其中涉及三角函数的值域问题，主要考查了转化和化归的数学思想.18．如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，2AB AC AE === ，12ED AB =，P 是BC 的中点.（1）求证：//DP 平面EAB ；（2）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】（1）由四边形EFPD 是平行四边形，得//DP EF ，从而//DP 平面EAB ； （2）通过建立空间直角坐标系，套用求二面角的公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）证明：取AB 的中点F ，连结,PF EF ， 因为P 是BC 的中点，所以//FP AC ，12FP AC =， 因为//ED AC ，且1122ED AB AC ==， 所以//ED FP ，且ED FP =，所以四边形EFPD 是平行四边形， 所以//DP EF ，因为EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，所以//DP 平面EAB ； （2）因为90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，所以以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则z 轴在平面EACD 内.由已知可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,1,3E ，()0,2,3D .所以()2,1,3EB =--u u u r ，()0,1,0ED =u u u r，设平面EBD 的法向量为(),,n x y z =r， 由0,0.n EB n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 所以2300x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，取2z =，所以()3,0,2n =r ，又因为平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =u r，所以27cos ||||n m n m n m ⋅<⋅>==r u rr u r r u r ，即平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为27. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及用向量法求二面角的余弦值.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过右焦点()2,0F c 的直线l ：x my c =+与椭圆C 交于M ，N 两点.当33m =时，M 是椭圆C 的下顶点，且12F NF ∆的周长为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点为A ，直线AM 、AN 分别与直线4x =交于P 、Q 点，证明：当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆与直线l 相切.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由x my c =+与椭圆C 交于,M N 两点.当3m =时，M 是椭圆C 的下顶点，且12F NF ∆的周长为6，得226a c +=，b =，解得,,a b c ，即可得到本题答案;（2）联立直线方程1x my =+与椭圆方程22143x y +=，得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，先求得,P Q 两点的坐标，然后可以表示出以线段PQ 为直径的圆的标准方程，最后由圆心到直线的距离等于半径，即可得到本题答案. 【详解】（1）由题意知，226a c +=，∴3a c +=①又当3m =时，直线l的方程为3x y c =+，∴()0,M ，∴b =② 联立①、②有2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l ：1x my =+代入22143x y +=中有()2234690m y my ++-=，∴122634my y m -+=+，122934y y m -=+， 此时AM l ：1122x x y y -=+，AN l ：2222x x y y -=+， ∴112(4,)2y P x -、222(4,)2y Q x -， ∴以线段PQ 为直径的圆的方程为()21212224022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.化简得：()()()2224391x y m m -++=+，又圆心()4,3m -到直线l ：1x my =+的距离为222311d m m ==++.∴以线段PQ 为直径的圆与直线l 相切. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及到转化和化归思想的运用，主要考查学生的分析能力与运算能力.20．BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重；当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻；身高大于或等于170cm 的我们说身高较高；身高小于170cm 的我们说身高较矮.（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图所示，请根据所得信息，完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为男体育特长生的身高对BMI 指数有影响；身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如下表所示： 编号1 2 3 4 5 6 7 8 身高x （cm ）166167160173178169158173根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为$0.875.9y x =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率2R （保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差（绝对值）最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. （参考公式）µ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x xy y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$a y bx =-$，$i ie y bx a =--$$， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.（参考数据）8178880i ii x y==∑，821226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，()821320i i i x y =-=∑，()()81256i i i x x y y =--=∑，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）见解析，没有（2）①见解析，2R 约为0.91②$0. 67555. 9y x =-【解析】（1）根据散点图即可完成列联表；套用公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++），算出观测值，与3.841作比较，即可得到本题答案；（2）①把169,158,173x =分别代入$0.875.9y x =-，即可完善下列残差表；然后套用公式µ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑，即可得到本题答案；②由①可知，第八组数据的体重应为58，套用1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，即可得到本题答案. 【详解】 （1）由于()2232656151602.0783.8411220211177K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯因此没有95%的把握认为男体育特长生的身高对BMI 指数有影响. （2）①$()()()()()()()()()22222222210.10.30.9 1.50.5 2.30.5 3.521.2ni i i y y =-=+++-+-+-+-+=∑$()()2212121.2204.8110.91226226ni ii n i i y y R y y ==-=-=-=≈-∑∑， 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率2R 约为0.91. ②由①可知，第八组数据的体重应为58. 此时8178880817377496i ii x y==-⨯=∑，又821226112ii x==∑，168x =，57.5y =，8182221877496816857.5ˆ0.67522611281688i ii i i x y x ybx x ==-⋅⋅-⨯⨯===-⨯-⋅∑∑，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为$0. 67555. 9y x =-.【点睛】本题主要考查独立性检验以及线性回归方程的应用. 21．已知函数()ln x af x x-=，其中a 为实数. （1）当1a =时，判断函数()f x 在其定义域上的单调性；（2）是否存在实数a ，使得对任意的()(0,11),x ∈+∞U ，()f x >存在，请说明理由；若存在，求出a 的值并加以证明.【答案】（1）()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增（2）存在，1a =，证明见解析 【解析】（1）求导得，()2ln 1(ln )x x x f x x x -+'=，设()ln 1g x x x x =-+，由()0g x ≥恒成立，即可得到本题答案；（2）当01x <<时，ln 0x <，则ln x aa x x x->⇔>，求()p x x x =的最大值，可确定a 的取值范围；当1x >时，ln 0x >，则ln x aa x x x->⇔<，求()p x x x =的最小值，可确定a 的取值范围，综上，即可得到本题答案. 【详解】（1）当1a =时，()1ln x f x x-=，()2ln 1(ln )x x x f x x x -+'=，令()ln 1g x x x x =-+，()ln g x x '=.当()0,1x ∈时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >. ∴()()min 10g x g ==， ∴()0g x ≥恒成立，∴()()0,11,x ∈+∞U 时，()'0f x >恒成立. ∵()'0f x >恒成立，∴()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增.（2）①当01x <<时，ln 0x <，则ln x aa x x x->⇔>-，令()p x x x =，则()'p x =，再令()2ln h x x =-，则()11'0h xxx=-=<， 故当01x <<时，()'0h x <，所以()h x 在()0,1上单调递减， 所以当01x <<时，()()10h x h >=，所以()'0h x p x =>，所以()p x 在()0,1上单调递增，()()11p x p <=，所以1a ≥.②当1x >时，ln 0x >，则ln x aa x x x->⇔<. 由①知当1x >时，()'0h x >，()h x 在()1,+∞上单调递增，当1x >时，()()10h x h >=， 所以()'0h x p x =>，所以()p x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11p x p >=，所以1a ≤. 综合①②得：1a =. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及导数与不等式的综合应用问题，涉及到分类讨论思想以及转化和化归思想的运用，主要考查学生的推理分析能力和计算能力. 22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，求点P 到直线l 的距离的最值.【答案】（1）60x y -+=（22. 【解析】（1）根据和差公式展开，由sin ,cos y x ρθρθ==，即可得到本题答案；（2）由点P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，设()4cos ,3sin P αα，再利用点到直线公式及辅助角公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）直线l 的极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 22ρθρθ-= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=.（2）点P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，设()4cos ,3sin P αα，其中[0,2)απ∈，则P 到直线l 的距离5cos 6d αϕ++==，其中4cos 5ϕ=，∴当()cos 1αϕ+=时，d； 当()cos 1αϕ+=-时，d的最小值为2. 【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值问题.23．已知函数()2|1|||f x x x a =++-，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若函数()f x 的最小值为3 ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4(,2][,)3-∞-+∞U （2）2a =或4a =-【解析】（1）分1x ≥，11x -<<和1x ≤-三种情况，解不等式即可得到本题答案； （2）分1a =-，1a >-和1a <-三种情况，考虑()f x 的最小值，即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）若1a =，则()31,1,2113,11,31, 1.x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩当1x ≥时，315x +≥，解之得43x ≥； 当11x -<<时，35x +≥，无解； 当1x ≤-时，315x --≥，解之得2x -≤.综上，不等式()5f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞U .（2）当1a =-时，()3|1|f x x =+的最小值为0，不满足题意；当1a >-时，()32,,2,1,32,1,x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩所以()()min 113f x f a =-=+=，此时2a =；当1a <-时，()32,1,2,1,32,,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩所以()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-.第 21 页 共 21 页 综上所述，2a =或4a =-.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，涉及到分类讨论思想的运用.。
2024长沙市一中高三自主检测试卷
1、在复平面内，复数z=a+bi（a,b∈R）对应的点位于第二象限，则下列说法正确的是？A、a>0，b>0B、a<0，b>0C、a>0，b<0D、a<0，b<0解析：在复平面内，第二象限对应的点是实部小于0，虚部大于0的点。
因此，a<0，b>0。
（答案）B2、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S3=6，则a3等于？A、1B、2C、3D、4解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2*(a1+an)，其中an为第n项。
由题意知S3=3/2*(a1+a3)=6，且a1=1，代入公式解得a3=3。
（答案）C3、下列哪个选项是函数y=x2与y=√x的交点？A、(0,0)B、(1,1)C、(2,4)D、(3,9)解析：函数y=x2与y=√x的交点满足x2=√x。
将选项代入验证，只有(1,1)满足12=√1。
（答案）B4、若直线l与平面α平行，直线m在平面α内，则直线l与直线m的位置关系是？A、相交B、平行C、异面D、相交或平行解析：直线l与平面α平行，说明直线l与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
直线m 在平面α内，因此直线l与直线m要么平行（即不相交也不在同一平面内），要么异面（即不在同一平面内且不相交）。
由于直线l与平面α平行，所以它们不可能相交，只能是平行或异面。
（答案）C5、下列哪个选项是向量a=(1,2)与向量b=(3,4)的点积？A、3B、7C、11解析：向量的点积公式为a·b=a1b1+a2b2。
代入向量a=(1,2)和向量b=(3,4)，计算得a·b=13+24=11。
（答案）C6、若数列{an}是等比数列，且a1=2，a4=16，则公比q等于？A、2B、3C、4D、5解析：等比数列的通项公式为an=a1q(n-1)。
由题意知a1=2，a4=16，代入公式得16=2q(4-1)，解得q=2。
（答案）A7、下列哪个选项描述的是抛物线y=x2的对称轴？A、x=0B、y=0C、x=yD、y=-x解析：抛物线y=x2的对称轴是y轴，即x=0。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考(七)数学试题试卷(七)
长沙市一中2024 届高三月考试卷(七)数学试卷一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 样本数据15 、13 、12 、31 、29 、23 、43 、19 、17 、38 的中位数为( )(A) 19 (B) 23 (C) 21 (D) 182. 已知集合A = {x''' e x2 −2x ≤ 1}, B = {−1, 0, 1}, 则集合A ∩ B 的非空子集个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 73. 已知实部为3 的复数z 满足z · (1 −2i) 为纯虚数, 则|z| = ( )(D) √54. 已知数列{a n } 满足a n = 3n −b (n ∈ N* , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|a n |} 是递增数列”的( )(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5. 已知tan θ= 2, 则 sin 2θ= ( )(A) (B) 2 (C) 1 (D)6. 过抛物线E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 的直线交E 于点A, B , 交E 的准线l 于点C , AD ⊥ l , 点D 为垂足.若F 是AC 的中点, 且|AF | = 3, 则|AB| = ( )(A) 4 (B) 2√3 (C) 3√2 (D) 37. 已知双曲线C: kx2 −y2 = 1 的左焦点为F , P (3m, −4m) (m > 0) 为C 上一点, 且P 与F 关于C 的一条渐近线对称, 则C 的离心率为( )(A) (B) √3 (C) 2 (D)√58. 已知函数f(x) 的定义域为R, 且满足f(x) + f(3 −x) = 4, f(x) 的导函数为g(x), 函数y = g(x −1) 的图象关于点(2, 1) 中心对称, 则f + g(2024) = ( )(A) 3 (B) −3 (C) 1 (D) −1二、多项选择题: 本题共3 小题, 每小题6 分, 共18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分.9. 已知函数cos 2x + sin 2x, 则( )(A) 函数f (x −关于原点对称(B) 曲线y = f(x) 的对称轴为x = + , k ∈ Z2 cos2 θ + 4 sin2 θ(C) f (x) 在区间单调递减(D) 曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为2x −2y + 1 = 010. 已知二面角A −CD −B 的大小为, AC ⊥ CD , BD ⊥ CD , 且CD = 1, AC + BD = 2, 则( )(A) △ABD 是钝角三角形(B) 异面直线AD 与BC 可能垂直(C) 线段AB 长度的取值范围是[2, √5) (D) 四面体A −BCD 体积的最大值为11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继续; 若回答错误, 得0 分, 同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是和 , 且第1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第i 次答题者是甲的概率为P i , 第i 次回答问题结束后中甲的得分是K i , 则( )(A) P2 =(C) P i+1= P i+ P i+ K i−1三、填空题: 本题共3 小题, 每小题5 分, 共15 分.12. (x + 3y)(x −y)8 的展开式中x3 y6 的系数为.13. 已知动点P 在圆M : (x −m + 1)2 + (y −m)2 = 1 上, 动点Q 在曲线y = ln x 上. 若对任意的m ∈ R, |PQ| ≥ n恒成立, 则n 的最大值是.14. 已知正六棱锥的高是底面边长的2√3 倍, 侧棱长为√13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为.四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 盒中有形状、大小均相同的卡片6 张, 卡片依次标记数字1, 2, 2, 3, 3, 3.(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为1 的概率;(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量X , 求X 的分布列和E(X).16. 如图三棱锥P −ABC 中, PA = BC , AB = PC , AC ⊥ PB.(1) 证明: AB = BC;(2) 若平面PAC ⊥ 平面ABC , AC = √2AB , 求二面角A −PB −C 的余弦值.PA CB17. 已知定义在 (0, π) 上的函数 f (x) = cos 2 x + sin x.(1) 求 f (x) 的极大值点;(2) 证明: 对任意x 4 − x 2 + 1. 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为 A(0, 1), B(0, −1), 其右焦点为 F , 且 F #---A -→ · B #---A -→ = F #---A -→ · F #---B -→ .(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若点 P (2, −1), 在直线 BP 上存在两个不同的点 P 1 , P 2 满足 P #---P ---1→ · P #---P ---2→ = P #---B -→2 . 若直线 AP 1 与直线 AP 2 分别交 C 于点 M , N (异于点 A), 证明: P , M , N 三点共线.19. 定义 △ABC 三边长分别为 a, b, c, 则称三元无序数组 (a,b, c) 为三角形数. 记 D 为三角形数的全集, 即 (a,b, c) ∈D.(1) 证明:“ (a,b, c) ∈ D ”是“(√a, √b, √c) ∈ D ”的充分不必要条件;(2) 若锐角 △ABC 内接于圆 O , 且 x O #---A -→ + y O #---B -→ + z O #---C -→ = 0, 设 I = (x,y, z) (x, y, z > 0).① 若 I = (3, 4, 5), 求 S △AOB : S △AOC ;② 证明: I ∈ D.。
湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期月考(七) 数学试题
长沙市一中2024届高三月考试卷（七）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（）A ．19B ．23C ．21D ．182．已知集合{}22e 1x xA x -=≤，{}1,0,1B =-，则集合A B 的非空子集个数为（）A ．4B ．3C ．8D ．73．已知实部为3的复数z 满足()12i z ⋅-为纯虚数，则z =（）A ．2B ．32C ．352D 4．已知数列{}n a 满足()*3,n a n b n b =-∈∈N R ，则“3b <”是“{}n a 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知tan 2θ=，则22sin 22cos 4sin θθθ=+（）A ．13B ．2C ．1D ．296．过抛物线()2:20E y px p =>的焦点F 的直线交E 于点A ，B ，交E 的准线l 于点C ，AD l ⊥，点D 为垂足．若F 是AC 的中点，且3AF =，则AB =（）A ．4B ．C ．D ．37．已知双曲线22:1C kx y -=的左焦点为F ，()()3,40P m m m ->为C 上一点，且P 与F 关于C 的一条渐近线对称，则C 的离心率为（）A ．2B ．C ．2D 8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()34f x f x +-=，()f x 的导函数为()g x ，函数()1y g x =-的图象关于点()2,1中心对称，则()320242f g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()11cos 2sin 222f x x x =+，则（）A ．函数8f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭关于原点对称B ．曲线()y f x =的对称轴为122k x ππ=+，k ∈Z C ．()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2210x y -+=10．已知二面角A —CD —B 的大小为23π，AC CD ⊥，BD CD ⊥，且1CD =，2AC BD +=，则（）A ．ABC △是钝角三角形B ．异面直线AD 与BC 可能垂直C ．线段AB 长度的取值范围是⎡⎣D ．四面体A —BCD 体积的最大值为411．甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是12和23，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i 次答题者是甲的概率为i P ，第i 次回答问题结束后中甲的得分是i K ，则（）A ．214P =B ．()25124PK ==C ．11163i i P P +=+D ．()()1122i i i EK P K i -=+≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．()()83x y x y +-的展开式中36x y 的系数为______．13．已知动点P 在圆()()22:11M x m y m -++-=上，动点Q 在曲线ln y x =上．若对任意的m ∈R ，PQ n ≥恒成立，则n 的最大值是______．14．已知正六棱锥的高是底面边长的倍，侧棱长为，正六棱柱内接于正六棱锥，即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上，则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．盒中有形状、大小均相同的卡片6张，卡片依次标记数字1，2，2，3，3，3．（1）若随机一次取出两张卡片，求这两张卡片标记数字之差为1的概率；（2）若每次随机取出两张卡片后不放回，直到将所有标记数字为2的卡片全部取出，记此时盒中剩余的卡片数量X ，求X 的分布列和()E X ．16．如图三棱锥P —ABC 中，PA BC =，AB PC =，AC PB ⊥．（1）证明：AB BC =；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，AC =，求二面角A —PB —C 的余弦值．17．已知定义在()0,π上的函数()2cos sin f x x x =+．（1）求()f x 的极大值点；（2）证明：对任意()0,1x ∈，()42114f x x x >-+．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为()0,1A ，()0,1B -，其右焦点为F ，且FA BA FA FB ⋅=⋅．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点()2,1P -，在直线BP 上存在两个不同的点1P ，2P 满足212PP PP PB ⋅= ．若直线1AP 与直线2AP 分别交C 于点M ，N （异于点A ），证明：P ，M ，N 三点共线．19．定义ABC △三边长分别为a ，b ，c ，则称三元无序数组(),,a b c 为三角形数．记D 为三角形数的全集，即(),,a b c D ∈．（1）证明：“(),,a b c D ∈”是“D ∈”的充分不必要条件；（2）若锐角ABC △内接于圆O ，且0xOA yOB zOC ++=，设()(),,,,0I x y z x y z =>．①若()3,4,5I =，求:AOB AOC S S △△；②证明：I D ∈．长沙市一中2024届高三月考试卷（七）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案CBCADADA1．C 【解析】将这10个数据从小到大排列为12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，所以这组数据的中位数是1923212+=．故选：C ．2．B 【解析】因为{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，{}1,0,1B =-，因此{}0,1A B = ．故该集合的非空子集个数为2213-=个，故选：B ．3．C 【解析】由题意可设3i z b =+，则()()()()12i 3i 12i 326i z b b b ⋅-=+⋅-=++-，所以320,60,b b +=⎧⎨-≠⎩解得32b =-，故2z ==，故选：C ．4．A 【解析】当3b <时，30n a n b =->，则330n a n b n b =-=->，所以{}n a 是递增的等差数列；反之，数列{}n a 递增，则20a >，且12a a <，解得92b <．所以“3b <”是“{}n a 是递增数列”的充分不必要条件．故选A ．5．D 【解析】由题意可得tan 2θ=，所以22222sin 22sin cos 2tan 422cos 4sin 2cos 4sin 24tan 2449θθθθθθθθθ====++++⨯，故选D ．6．A 【解析】如图，设准线l 与x 轴交于点M ．由抛物线的定义知3AD AF ==．因为F 是线段AC 的中点，所以22AD MF p ==，所以23p =，解得32p =，所以抛物线E 的方程为23y x =．由112cos 2AD AFx AF ∠==，得60AFx ∠=︒．直线AF的方程为34y x ⎫=-⎪⎭，将此方程与23y x =联立后消去y 并整理，得2164090xx -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1252x x +=，所以1253422AB x x p =++=+=．故选A．7．D 【解析】双曲线C 的方程可设为22221x y a b-=，222a b c +=，0a >，0b >，0c >，左焦点为F ，O 为坐标原点，连接OP ．因为双曲线221kx y -=上的一点()()3,40P m m m ->与C 的左焦点F 关于C的一条渐近线对称，所以5OP OF c m ===，则()5,0F m -．又直线PF 的斜率为()41352m m m -=---，直线PF 与渐近线垂直，所以该条渐近线的斜率为2b a =，所以2224c a a -=，则225c a=，所以C的离心率c e a ==．故选D ．8．A 【解析】因为()()34f x f x +-=，则函数()f x 的图象关于点3,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由()()30f x f x ''--=，()()f x g x '=，得()()3g x g x =-，所以函数()g x 的图象关于32x =对称，()()12g g =．根据图象变换的规律，由()1y g x =-的图象关于点()2,1中心对称，得()g x 的图象关于点()1,1中心对称，()11g =，则()g x 的周期为34122T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()()()2024211g g g ===，故()320242132f g ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．故选A ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDACBCD9．ACD 【解析】由题意可得()11cos 2sin 2sin 22224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．对于选项A ：sin 2sin 282442f x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，关于原点对称，故A 正确；对于选项B ：令242x k πππ+=+，k ∈Z ，得82k x ππ=+，k ∈Z ，故B 错误；对于选项C ：对于()sin 224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令24t x π=+，则sin 2y t =，因为5,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以32,422t x πππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，而sin 2y t =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；对于选项D ：易得()102f =，()24f x x π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，()01f '=，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2210x y -+=，故D 正确，故选：ACD ．10．AC 【解析】因为()2cos 03DA DB DC CA DB CA DB CA DB π⋅=+⋅=⋅=< ，所以ADB ∠是钝角，则ABD △是钝角三角形，故A 正确；因为()()22cos 103AD BC AC CD BD CD AC BD CD AC BD π⋅=+⋅-=⋅-=-< ，所以异面直线AD 与BC 不可能垂直，故B 错误；()222222221AB AC CD DBAC CD DB AC DB AC DB AC DB =++=+++⋅=+++ ()21AC DBAC DB =+-+．设AC x =，由2AC BD +=，得2BD x =-，其中02x <<，所以()2222514AB x x x =-+=-+，则线段AB 长度的取值范围是⎡⎣，故C 正确；四面体A －BCD 的体积为211sin 3231212212AC BD CD BD AC AC BD π+⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1AC BD ==时，等号成立，故D 错误．故选AC ．11．BCD 【解析】设“第i 次答题者是甲，且甲答对”为事件i A ，“第i 次答题者是乙，且乙答对”为事件i B ，第2次答题是甲分两类：①第一次是甲，且甲回答正确；②第一次是乙，且乙回答错误，所以()()21111115222312P A P A B =+=⨯+⨯=，故A 错误；()()212121111115122223224P K P A A B A =+=⨯⨯+⨯⨯=，故B 正确；第1i +次答题者是甲包含两种情况：①甲第i 次回答，且回答正确；②乙第i 次回答，且回答错误，所以()1111112363i i i i P P P P +=⋅+-⋅=+，故C 正确；第i 次答题结束后，甲得分可分为两种情况：①第i 次答题后甲的得分加上1分，则第i 次必由甲答题且得1分；②第i 次答题后甲的得分加上0分，则第i 次由甲答题且不得分或第i 次由乙答题，所以()()11111111222i i i i i i i i E K P K P P K P K ---⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，其中2i ≥，故D 正确．故选BCD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．140-【解析】()8x y -的展开式的通项为()88C rrrxy --，所以原式的展开式中含36x y 的项为()()65625388C 3C x x y y x y ⋅-+⋅-，所以36x y 的系数为()56588C 3C 1140+-=-．131-【解析】由题意可知M 的圆心()1,M m m -在直线1y x =+上，曲线ln y x =在1x =处的切线与之平行，故曲线ln y x =上的动点Q 到直线1y x =+，因此min 1PQ =，故n 1-．14．3π【解析】设正六棱锥为P —ABCDEF ，底面中心为2O ，正六棱柱为111111222222A B C D E F A B C D E F -，其中与底面重合的面为222222A B C D E F ，面111111A B C D E F 的中心为1O ，外接球球心为O ，由题意得，面222222A B C D E F 的中心为2O ，面111111A B C D E F 的边均在正六棱锥的侧棱上．作截面PAD 的平面图，由题意得，2AP ===，所以21AO =，2PO =．设22A O x =，21AA x =-，由题意得tan A =，故)1221A A x ==-，)212112OO A A x ==-，外接球半径的平方222222222233463444R A O A O OO x x x ⎛⎫==+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当34x =时取得最小值34，此时外接球表面积243SR ππ==，故正六棱柱的外接球表面积的最小值为3π．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）若取出的两张卡片标记数字分别为1和2，此时126122C 15P ⨯==，若取出的两张卡片标记数字分别为2和3，此时226232C 5P ⨯==，故这两张卡片标记数字之差为1的概率12815P P P =+=；（2）由题意可得X 所有可能取值为0，2，4，其中()26114C 15PX ===，()2422226464C 1241312C C C C 3P X ⨯⨯==⨯+⨯=，()()()301425P X P X P X ==-=-==，故X 的分布列为X 024P3513115()31114024531515E X =⨯+⨯+⨯=．16．【解析】（1）作PO AC ⊥，O 为垂足，由AC PB ⊥，AC PO ⊥，PB PO P = ，PB PBO ⊂平面，PO PBO ⊂平面得，AC PBO ⊥平面，∴AC BO ⊥，又PA BC =，PC BA =，AC AC =，∴PAC BCA ≌△△，∴PO BO =，AO CO ===，∴O 为AC 中点，∴PA PC =，BA BC =；（2）由（1）BO AC ⊥，又平面PAC ABC AC = 平面，BO ABC ⊂平面，∴BO APC ⊥平面，∴BO PO ⊥，∴PO ，BO ，AC 两两垂直．由AC =，AB BC =，得222cos 02AB BC AC ABC AB BC+-∠==⋅，∴2ABCπ∠=，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AC =，则()0,1,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，()1,0,1PB =- ，()0,1,1PA =-- ，()0,1,1PC =-，令(),,m x y z = ，(),,n d l s =分别为平面APB ，平面PBC 的法向量，则0,0,m PB m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z y z -=⎧⎨+=⎩令1x =得()1,1,1m =-为平面PAB 的一个法向量．0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,d s l s -=⎧⎨-=⎩令1d =得()1,1,1n =为平面PBC 的一个法向量．设θ为二面角A —PB —C 的平面角，则111cos cos ,3m n m n m n θ⋅===⋅，由图观察可得二面角所成角为钝角，故二面角A —PB —C 的余弦值为13-．17．【解析】（1）()()2sin cos cos cos 12sin f x x x x x x '=-+=-，x0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭6π,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2π5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭56π5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '＋0－0＋0－单调性↗极大值↘极小值↗极大值↘故()f x 有两个极值点，为6x π=和56x π=；（2）令()()42114h x f x x x =-+-，()()()22cos 12sin h x x x x x '=-+-，①当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，因为1026x π<≤<，所以1sin 2x <，()0h x '>成立，令()32r x x x =-+，则()232r x x '=-+，令()0r x '=，解得63x =（负值舍去），故()r x 在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；②当1,23x ⎛∈ ⎝⎦时，()()7cos 12sin 8h x x x '>+-，令()sin F x x x =-，则()1cos 0F x x '=-≥恒成立，故()()00F x F >=，进一步()()715cos 122088h x x x x '>+->->；③当,13x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()1cos 12sin 220h x x x x '>+->->，综上所述，()0h x '>在()0,1x ∈上恒成立，则()()00h x h >=，也即()42114f x x x >-+成立．【评分细则】1．第一问不用列出表格，只要求导后单调性和最终极值点分析正确即可满分2．第二问用其他方法证明出来也可以，根据具体方法酌情给分18．【解析】（1）由题意知1b =，由FA BA FA FB ⋅=⋅ ，得()0FA BA FB ⋅-=，即()()220BA FB BA FB BA FB +⋅-=-= ，所以AB BF =．又BF a =，所以22a b ==，故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）证明：因为点()2,1P -，所以2124PP PP PB ⋅== ．设()11,1P x -，()22,1P x -，则()()12224x x --=，即()()12122*x x x x =+．显然，直线MN 的斜率一定存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=．则()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，且342814km x x k +=-+，23424414m x x k-=+．因为直线AM 过点()11,1P x -，所以31312y x x -=--，解得331332211x x x y kx m ==---+，同理可得42421x x kx m =--+．代入（*）式，得()()()3434121k x x m x x +=-+，所以()()()2124481k m km m +-=--．因为M ，N 异于点A ，所以1m ≠，从而()()1212k m km ++=，所以210k m ++=，则直线MN 的方程为21y kx k =--，恒过点()2,1P -，因此，P ，M ，N 三点共线．19．【解析】（1）(),,a b c D ∈，则a b c +>，即22+->，∴22+>+>D ∈成立，若D ∈+>a b c ++>，又因为a b +≥，则()2c a b <+，不能证明a b c +>．∴“(),,a b c D ∈”是“D ∈”的充分不必要条件．（2）①()3,4,5I =，则3450OA OB OC ++= ，∴2222222591624cos ,1692530cos ,OC OA OB OA OB AOB OB OA OC OA OC AOC ⎧=++⋅⋅∠⎪⎨⎪=++⋅⋅∠⎩又因为OA OB OC ==，∴cos 0,3cos 5AOB AOC ∠=⎧⎪⎨∠=-⎪⎩∴sin 1,4sin 5AOB AOC ∠=⎧⎪⎨∠=⎪⎩记R OA =，∴2211:sin :sin 5:422AOB AOC S S R AOB R AOC ⎛⎫⎛⎫=⋅∠⋅∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△；②由zOC xOA yOB -=+ ，∴()222222cos z R x y xy AOB R ⋅=++∠⋅，∴222cos 2z x y AOB xy --∠=，∵()0,AOB π∠∈，即222112z x y xy---<<，∴()()222x y z x y -<<+，在∴x y z x y -<<+，同理得y z x y z -<<+，x z y x z -<<+，∴x ，y ，z 可组成三角形，∴I D ∈．。
长沙市一中2024届高三自主检测卷数学
长沙市一中2024届高三自主检测卷数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {x x² - 3x + 2 = 0}，则A∩B =（）A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. {1, 2, 3}答案：C。
解析：先求解集合B中的方程x² - 3x+2 = 0，即(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以B={1, 2}，A∩B就是两个集合中相同的元素，即{1, 2}。
2. 若复数z=(1 + i)²，则z的模为（）A. 2B. 2√2C. √2D. 1答案：A。
解析：先计算z=(1 + i)² = 1 + 2i+i²=2i，复数z = a+bi的模z =√(a² + b²)，这里a = 0，b = 2，所以 z = 2。
3. 函数y = sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：A。
解析：对于函数y = Asin(ωx+φ)，其最小正周期T = 2π/ω，这里ω = 2，所以T = π。
4. 等比数列{an}中，a1 = 1，公比q = 2，则a4 =（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B。
解析：等比数列的通项公式an=a1q^(n - 1)，这里a1 = 1，q = 2，n = 4，所以a4=1×2^(4 - 1)=8。
5. 已知向量a=(1, 2)，b=(2, - 1)，则a·b =（）A. 0B. 3C. 4D. - 3答案：A。
解析：向量的点积公式a·b = a1b1+a2b2，这里a1 = 1，a2 = 2，b1 = 2，b2=-1，所以a·b = 1×2+2×(-1)=0。
6. 双曲线x²/4 - y²/9 = 1的渐近线方程是（）A. y =±3/2xB. y =±2/3xC. y =±9/4xD. y =±4/9x答案：A。
湖南省长沙市第一中学2020届高三数学下学期模拟卷(一)文(含解析)
长沙市一中2020届高考模拟卷（一）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}(4)0,3,0,1,3A x x x B =-<=-，则A I B=（ ） A. {}3,1-- B. {}1,3 C. {}3,1,0-- D. {}0,1,3【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式的解法求出集合A ，然后求解交集即可． 【详解】由已知得{|(4)0}{|04}A x x x x x =-<=<<， 所以{1,3}A B =I ， 故选B.【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．2.已知函数1()()xxf x e e=-，则下列判断正确的是（ ） A. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是增函数 C. 函数()f x 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 函数()f x 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x 的定义域，判断()f x 的奇偶性和单调性，进而可得解. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()xx 1f x e f x e-=-=-；∴()f x 是奇函数；又xy e =和x1y ()e=-都是R 上的增函数；()x x 1f x e ()e∴=-是R 上的增函数．故选：A ．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．3.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则m ＝2n 的概率为（ ） A.118B.112C.19D.16【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法求出m ＝2n （k ∈N *）包含的基本事件有3个，由古典概型概率公式计算即可．【详解】由题意得，基本事件总数有：6636⨯=种，事件“2m n =”包含的基本事件有：(2,1)，(4,2)，(6,3)共3个，所以事件“2m n =”的概率为313612P ==.故选B. 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．4.已知复数1z ，2z 在复平而上对应的点分别为A （1，2），B （－1，3），则12z z 的虚部为（ ） A. 1 B. 12i -C. iD. 12-【答案】D 【解析】 分析】点的坐标得到复数z 1，z 2，代入12z z 后由复数代数形式的除法运算化简求值即可得到12z z 的虚部．【详解】解：由复数12z z ，在复平面上对应的点分别是A （1，2），B （﹣1，3）， 得：1z ＝1+2i ，2z ＝﹣1+3i则()()()()12121312551131313102i i z ii i z i i i +--+--====-+-+--． 12z z 的虚部为12- 故选：D ．【点睛】本题考查了复数代数形式的表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．5.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A. y x =±B. 2y x =±C. 12y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的实轴长求出a ，然后求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长为2，得1a =，又1b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A. 242+B. 442+C. 2D. 22【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的几何特点，利用三视图的数据，求出侧视图的面积即可．【详解】由三视图的数据，结合“长对正，宽相等”可得俯视图斜边上的高2即为侧视图的底边长，正视图的高即为侧视图的高， 所以侧视图的面积为：12222⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查三视图在形状、大小方面的关系，考查空间想象能力，属于基础题．7.等比数列{}n a 各项为正，354,,a a a -成等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则42S S =（ ） A. 2 B.78C.98 D.54【答案】D 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为q （q ≠0，q ≠1），利用a 3，a 5，﹣a 4成等差数列结合通项公式，可得2a 1q 4＝a 1q 2﹣a 1q 3，由此即可求得数列{}n a 的公比，进而求出数列的前n 项和公式，可得答案．【详解】设{}n a 的公比为(0,1)q q q >≠， ∵3a ，5a ，成等差数列，∴4231112a q a q a q =-，10a ≠，0q ≠，∴2210q q +-=，得12q =或1q =-（舍去），∴4242211()1521()1241()2SS-==+=-.故选D.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A. A1O∥DCB. A1O⊥BCC. A1O∥平面BCDD. A1O⊥平面ABD【答案】C【解析】【分析】推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.【详解】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.已知函数()sin()(0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，若将函数()f x 的图象向左平移6π后得到偶函数()g x 的图象，则函数()f x 的一个单调递减区间为（ ） A. [,]36ππ-B. 7[,]412ππC. [0,]3πD. 5[,]26ππ【答案】B 【解析】 【分析】由对称中心之间的距离为2π可得三角函数的周期，从而可求得ω的值，利用经过平移变换后得到的函数()g x 是偶函数求得θ的值，从而根据正弦函数的单调性可得结果． 【详解】因为函数()()sin (0,)22f x x ππωθωθ=+>-≤≤的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2π，所以T π=，可得2ω=， 将函数()f x 的图象向左平移6π后，得到()sin 23g x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数， 所以()32k k Z ππθπ+=+∈，解得()6k k Z πθπ=+∈，由于22ππθ-≤≤，所以当0k =时6πθ=．则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，单调递减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 由于][72,,41263n ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递减区间，故选B ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性和单调性的应，以及三角函数图象的平移变换规律，属于中档题．函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M 在第一象限的抛物线C 上，直线MF 点M 在直线l 上的射影为A ，且△MAF 的面积为，则p 的值为（ ）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，由直线MF ，可得∠AMF ＝60°．再利用抛物线的定义得出面积的表达式，解出p 即可． 【详解】如图所示，∵直线MF 的斜率为3，∴∠MFx ＝60°． ∴∠AMF ＝60°，由抛物线的定义可得：|MA |＝|MF |， ∴1sin 6043,2MAF S MF MA ∆=⋅︒=得4MA MF ==，所以MAF ∆为等边三角形，∴24MA p ==，2p =， 故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A. 1044B. 1024C. 1045D. 1025【答案】A 【解析】 【分析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：02，第二组：02，12，第三组：02，12，22，…第k 组：02，12，22，…，12k -，根据等比数列前n 项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：第一组：02， 第二组：02，12，第三组：02，12，22， …第k 组：02，12，22，…，12k -， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：121-，221-，321-，…，21k -， 每项含有的项数为：1，2，3，…，k ， 总共的项数为()11232k k N k +=+++⋯+=，当9k =时，()1452k k+=，故该数列的前50项和为()912395021221212121124816931104412S -=-+-+-+⋯+-+++++=-+=-．故选：A ．【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．12.若不等式1ln x m m e x +-≤+对1[,1]x e∈成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1[,)2-+∞B. 1(,]2-∞-C. 1[,1]2-D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】 设1ln t x x =+，由题意将原问题转化为求max ||t m -，利用导数分析1ln t x x=+的单调性求得最大值，代入解不等式即可. 【详解】设1ln t x x =+，由1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22111t x x x x ='-=-在1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上t 0'≤恒成立，∴1ln t x x=+单调递减，则[1,1]t e ∈-； 当2em ≤时，max ||1t m e m m e -=--≤+， 解得：12m ≥-；当2em >时，max ||1t m m m e -=-≤+，恒成立； 综上知：当m R ∆1[,)2-+∞时，不等式1ln x m m e x +-≤+对1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立. 故选A.【点睛】本题考查了利用导数求解函数最值的问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了恒成立问题的转化，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC 于点H ，若AH AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=_________.【答案】43. 【解析】 【分析】由题意可得13BH BC =u u u r u u u r ，从而由13AH AB BH AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，解得λ+μ．【详解】∵AB ＝2，∠ABC ＝60°， ∴BH ＝1，∴13 BH BC=u u u r u u u r，∴13AH AB BH AB BC=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rλAB+u u u rμBCuuu r，，故λ1=，μ13=，故λ+μ43=；故答案为：43．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．14.已知x，y满足约束条件202010x yx yy++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y=-的最大值为__________________。
湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷(一)数学(文)试题-b5d853658e5c4262a806ae1e4252bdf2
第二组： ， ，
第三组： ， ， ，
第k组： ， ， ， ， ，
根据等比数列前n项和公式，
求得每项和分别为： ， ， ， ， ，
每项含有的项数为：1，2，3， ，k，
总共的项数为 ，
当 时， ，
故该数列的前50项和为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．
【详解】
由已知得 ，
所以 ，
故选B.
【点睛】
本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
求出 的定义域，判断 的奇偶性和单调性，进而可得解.
【详解】
的定义域为R，且 ；
∴ 是奇函数；
又 和 都是R上的增函数；
是R上的增函数．
故选：A．
【点睛】
本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．
∴平面A1DO∥平面B1CD1，
∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；
又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
5．A
【解析】
【分析】
利用双曲线的实轴长求出a，然后求解渐近线方程即可．
【详解】
双曲线的实轴长为2，得 ，又 ，所以双曲线的渐近线方程为 .
故选A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．
2024届湖南省长沙市第一中学高三下学期统练(七)英语试题含解析
2024届湖南省长沙市第一中学高三下学期统练（七）英语试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．第一部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1．-- Can you spare me a few minutes now?-- ______, but I’ll be free this afternoon.A．I’m afraid not B．I’m not sureC．Y es, with pleasure D．No, I won’t2．To fetch water before breakfast seemed to me a rule ______.A．to never break B．never to have brokenC．never to be broken D．never to be breaking3．---_____ should we look down upon the poor.---I’m with you on that.A．By all means B．By any means C．By means of D．By no means4．Many questions have been answered by John. He must have previewed the lessons last night, ____ he? A．needn’t B．hasn’t C．didn’t D．mustn’t5．—What about going to see the latest Chinese sci-fi blockbuster The Wandering Earth?—________. If time permits, I may go to see my grandma with my mother.A．Don’t mention it B．It doesn’t matterC．Forget it D．It depends6．—Linda hasn’t shown up yet.—It’s strange. She ____.A．could B．might C．must have D．should have7．This is the first time that your parents have been abroad, ______?A．haven’t th ey B．hasn’t it C．aren’t they D．isn’t it8．Looking people in the eye ______ sometimes make them nervous and embarrassed.A．must B．canC．should D．might9．---He was satisfied with the result, wasn't he?---No. It was so difficult that he __________have passed it.A．shouldn't B．mustn'tC．couldn' t D．wouldn't10．— What happened to the young trees we planted last week?—The trees __________ well, but I didn’t water them.A．might grow B．would have grownC．needn’t have grown D．would grow11．––Are the repairs finished yet?––Yes, they ______ when I came back home.A．would be completed B．would completeC．had completed D．had been completed12．She then took the little key, and opened it, trembling, but could not at first see anything ________, because the windows were shut.A．plainly B．closely C．firmly D．frequently13．Tom looked at Jenny, with tears _______ his eyes, and shouted out the words _______ in his heart for years. A．filling; having been hidden B．filled; hiddenC．filling; hidden D．filled; hiding14．—The T--shirt I received is not the same as is shown online.—________But I promise you we’ll look into it right away.A．Who says B．How comeC．What for D．Why worry15．There is no doubt that climate all over the world ______ greatly in recent years.A．had changed B．is changingC．changed D．has been changing16．For the Chinese dream ______ at an earlier date, we must accelerate the pace of reform and opening up. A．being realized B．to realizeC．realizing D．to be realized17．If you think that the illness might be serious, you should not _________ going to the doctor.A．put off B．set aboutC．hold back D．give away18．________ the program, they have to stay there for another two weeks.A．Not completing B．Not completedC．Not having completed D．Having not completed19．People tend to love agricultural products ________ without the use of fertilizers, pesticides or chemical additives. A．growing B．grownC．being grown D．having been grown20．A teacher’s job is not to tell the students what to believe or value, but to ________ them to develop a worldview for themselves.A．urge B．equipC．persuade D．rank第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。
【新结构】2024湖南省长沙市第一中学高三年级2月份月考数学试卷(含答案)
绝密★启用前【新结构】2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高三年级第二学期2月份月考数学试卷❖注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量(2,1)a =，b (1,)m =，若a ⊥ b ，则m =()A.12-B.12C.2- D.22.函数3sin()2y x π=-的图象()A.关于y 轴对称 B.关于原点对称C.关于直线y x =对称D.关于直线y x =-对称3.若集合M 满足：,M ≠∅若,a M ∈则a M -∈，则称集合M 是一个“偶集合”.已知全集{|1},{|1}A x x B x x =<-= ，那么下列集合中为“偶集合”的是()A.A B ⋂B.A B⋃ C.()R A B ⋂ð D.()R A B⋂ð4.已知数列{}n a 的前5项分别为1，3，3，5，5，该数列从第5项起成等差数列，且12108S =，则该等差数列的公差为()A.1B.2C.3D.45.现有10份不同的食品，其中有2份不合格．每次取出1份进行检测，直到2份不合格的食品全部辨别出为止．若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为()A.16B.20C.28D.326.如图所示．已知圆O 的半径为2，过C 作圆O 的两条切线，切点分别为M ，N ，若MN =，则对角线AC 长度为()A.2+B.2+C.10-D.4+7.已知3sin 25θ=，则sin cos 1212ππθθ⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()A.3120B.23120- C.1120D.13208.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥， 2.AB BC PA ===，点D 是面PAB 内的动点(不含边界)，AD CD ⊥，则异面直线CD 与AB 所成角的余弦值的取值范围为()A.52()102B.102(,)102C.53()102D.103(,)102二、多选题：本题共3小题，共18分。
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1 长沙市一中高三年级下学期第一周测试 文科综合试卷 2006.2.23 本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(综合题)两部分。共300分。考试时间150分钟。
第1卷(选择题，共140分)
注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填在试卷的答题纸上。 一、本卷共35小题，每小题4分，共计140分。在每小题列出的四个选项中。只有一项是最符合题目要求的。 读我国东北地区某一时刻的天气系统图，判断1－2题。 1．下列气压场中，与右图所示天气系统相应的是
读下面针阔叶混交林在3个不同地点的山地上海拔高度分布表。据此回答3－4小题。 2
5．甲组人口死亡率是 A．0．775％ B．3．7％ C．0．885％ D．0．95％ 6．下列说法与表格内容相符的是 A．甲组人口表示发展中国家，乙组人口表示发达国家 B．各年龄段死亡率甲小于乙，因此死亡总人口数也是甲小于乙 C．所有发展中国家人口死亡率都高于发达国家 D．甲组人口死亡率偏高一些，主要原因是甲组老年人口比例高 7．近年来，中国人口老龄化的进程明显加快，其主要原因是 A．经济迅速发展和城市化水平提高 B．人口自然增长率下降和生活水平提高 C．平均寿命延长和人口自然增长率上升 D．环境质量改善和人口素质提高 右图为河口位于回归线附近的两条河流的位臵示意图，读图回答8-9题。 8．下列城市中，位于乙河口三角洲附近的是 A．开罗 B．孟买 c．圣保罗 D．加尔各答 9．甲河中、上游地区小麦单产量较高的原因主要有 ①降水十分丰富②土壤肥沃③光照资源丰富④水源丰富⑤高产良种的推广 A．①②③ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①③⑤ 右图中，实线是地形等高线，虚线是潜水面等高线，等高距皆为5(单位：米)，甲处为一口水井。读图回答10～ll题。 ． 10．甲处水井的水面离地面的距离可能为 A．1米 B．4米 C．8米 D．10米 11．从图中内容可知，甲地出现的主要环境问 题是 A．地下水开采过度 B．地下水污染严重 C．有盐碱化趋势 D．有荒漠化趋势 齐鲁大地，曾孕育古老的中华文明，在饱受灾难的中华民族走向复兴的征程中占有重 要地位。回答12一14题。 12．右图是哪一历史事件的遗迹 A．葵丘会盟 B．城濮之战 C．齐魏争霸 D．田氏代齐 13．下列历史现象，不是发生在齐鲁大地的 A．手工业工艺专著《考工记》出现 B．出现了世界上最早的天文学著作《甘石星经》 C． 唐朝时从登州出发走海路可达韩国、日本 D．元代山东由中书省直接管辖 14．山东在解放战争中占有重要的地位。下列说法正确的是 A．国民党军队向中原、华东等解放区大举进攻，全面内战爆发 3
B．华东野战军取得青化砭等战役的胜利，粉碎了国民党的重点进攻 C．陈赓、谢富治率华东解放军主力进攻豫皖苏地区，展开战略反攻 D．华北解放军同华东解放军一起取得平津战役胜利，战略决战结束
15．1937年4月，国共两党都派代表恭祭黄帝陵。毛泽东亲自撰写了祭文，写道：“各党各界，团结坚固，不论军民，不分贫富。民族阵线，救国良方，四万万众，坚决抵抗。 „„”文中倡导的“民族阵线”建立的标志是 A．西安事变和平解决 B．中共发表抗日通电 C．国民政府发表自卫声明 D．国共合作宣言发表 16．使日本法西斯军队遭受失败的战役有 ①枣宜会战②平型关战役 ③中途岛战役 ④豫湘桂战役 A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 17．罗家伦在《凯歌》中写道：“祝捷的炮像雷声响，满街的爆竹，烟火飞扬。漫山遍野是人浪!笑口高张，热泪如狂。“诗人描绘的狂喜情形之所以出现是因为抗日战争 ①使中国走上了独立、民主、统一的道路 ②增强了全国人民的民族自信心 ③是中国人民第一次取得的反帝斗争的完全胜利 ④提高了中国的国际地位 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 18．历史上明确规定台湾必须从日本殖民统治下回归中国的法律文件是 A．凡尔赛条约》 B．《九国公约》 C．开罗宣言》 D．《四国条约》 技术创新是促进经济发展的动力。回答19—23题。 19．至迟从唐代起，陶瓷开始大量出口，瓷器取代丝绸成为中华文明新的象征。标志着我国制瓷技术日臻成熟并为制瓷业开辟了广阔前景的历史现象是 A．金银错技术的发明 B．白瓷的产生 C．唐三彩的出现 D．双色套印技术的传播 20．右图中的生产工具最早在中国使用始于 A．汉朝 B．曹魏时期 C．唐朝 D．明朝 、 21．(美)查尔斯·P金德尔伯格在《世界经济霸权1500一1990》一书中记录的英国每年申请专利变化如下图。下列现象与图中反映的历史事实 4
有因果关系的是 A．标准化生产方法出现 B．工业革命发展 C．推行大陆均势政策 D．三国协约建立 22．读右图：19世纪末宣传农业机械的广告画。下列说法正确的是 A．英国在圈地运动中广泛使用农业机械 B．第二次工业革命推动了农业生产机械化 C．美国种植园主使用机器生产导致奴隶制的崩溃 D．法国农民使用机器生产的条件优越 23．20世纪80年代，美国政府进行改革，扭转了经济颓势；90年代中期以来，知识经济在美国首先出现。这一时期美国经济的主导产业是 A．信息产业 B．汽车工业 C．环保产业 D．电力工业 落实科学发展观，建设节约型社会已成为社会的共识。回答24—26题。 24.面对能源短缺，国家加大了能源利用方面的立法，如颁布《可再生能源法》，起草循环经济法等。建立节约型社会，不仅成为社会发展的目标，而且已经落实到具体的法律规范中。这表明 A．国家机关坚持对人民负责的原则 B．依法治国是我国治理国家的基本方略 C．加强市场监管是国家的重要职能 D．立法机关加强立法是建设节约型社会的根本途径 25．某地区在建设“村村通”(电话、有线电视、互联网)工程时，电信、电视、网络等部门各管一摊，缺乏协调，结果原本2000根电线杆就能解决的事，竞栽下6000根杆子。这表明 A．市场调节具有滞后性 B．国家宏观调控是实现资源优化配置的基础 C．建设节约型社会必须深化体制改革 D．消除体制性障碍是实现经济发展的根本动力 26．在市场经济条件下，个体节约在有些情况下可能导致社会公共资源的浪费，如一些企业为了追求自身利润最大化而减少排污治理方面的投入，造成严重污染环境、破坏资源。因此建设节约型社会必须 A．牺牲个体利益，保全整体利益 B．发挥市场配置资源的基础性作用 C．反对对个体利润最大化的追求 D．坚持个体利益与社会公共利益的统一 构建社会主义和谐社会，必须解决好民生问题。回答27——30题。 27．买房贵、上学贵、看病贵成为新的民生三大问题，高房价、高学费和高医药费完全打乱了正常的家庭消费结构。由于远期支出的不确定性，人们只好在近期扩大储蓄以规避可能的社会风险。在当前经济形势下，这一状况 A．将拉大贫富差距，不利于构建和谐社会 B．是居民消费心理日趋成熟的表现 C．会抑制消费需求，不利于生产发展 5
D．将增加银行储蓄，促进现代化建设 28．2006年，民生问题被置于经济社会发展的突出位置，人民最关心、最直接、最现实的就业、教育、卫生、房地产价格等重大问题都得到高度关注。从经济学上看，这是因为 A. 保障群众的基本生活是社会保障制度的基本原则 B．社会主义生产目的是满足人民日益增长的物质文化需求 C．市场调节的弱点和缺陷需要加强国家的宏观调控 D．实现充分就业有利于保障社会的稳定 29．以投资为目的的短线炒房行为是造成房价大幅上涨的一个重要原因。为此，自2005年6月1日起，国家调整了住房转让营业税计征办法，个人购买住宅不足两年转手的，按售房收入全额征收营业税。这一调整大大增加了二手房售房成本，减少短线炒房收益，抑制了短线炒房行为。这表明 A．税收是组织财政收入的基本形式 B．税收是调节经济的重要杠杆 C．税收是国家实现经济监督的重要手段 D．国家宏观调控可以消除市场调节的自发性 30．为解决三大民生问题，政府将采取一系列措施实施“穷人致富”工程，让广大群众读得起书、看得起病、住得上房，共享改革发展的成果。这说明 A．政府是最重要的市场主体 B．加强市场监管是政府的重要职能 C．我国的国家机构是人民利益的捍卫者 D．政府具有社会管理和公共服务职能 2005年10月19日，中国国务院新闻办公室发表了《中国的民主政治建设》白皮书。回答3l——32题。 31．白皮书指出：到2004年底，全国城镇参加基本养老、失业、医疗和工伤保险的参保人数分别达到1．64亿人、1．06亿人、1．24亿人和6845万人；农村社会养老保险参保人数达到5378万人，并呈较快发展态势；全国共有2205万城镇居民得到政府提供的最低生活保障。这表明 A．我国公民享有充分的政治经济权利 B．人权在我国受国家的尊重和保障 C．国家依法保护公民的民主权利 D．公民应依法履行对国家的义务 32·村民自治是广大农民直接行使民主权利，依法办理自己的事情，实行自我管理、自我教育、自我服务的一项基本制度。民主选举、民主决策、民主管理和民主监督是自治的主要内容。下面关于村民自治的说法正确的是 ①村民自治有利于推动社会主义新农村建设 ②村民自治是我国民主政治建设的重要组成部分 ③村民自治保障了广大农民当家作主权力的实现 ④村民自治是基层国家机关政治民主化的体现 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 辛弃疾《木兰花漫》是一首“送月”的词，对西落之月展开了一连串探索性的追问。答33－35题。 33.“是别有人间，那边才见，光景东头?”大意是当这边月儿西落时，那边的人们是不正好看见明月东升?对此王国维评论说：“词人想象，直悟月轮绕地之理，与科学募合，可谓神悟。”这里的“神悟” A．表明诗词是人头脑主观自生的 B．是诗人对自然现象基于长期观察的合理想象