阶段滚动检测(四)

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阶段滚动检测(四)第一至第七章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇考查)“0<a<1”是“ax2+2ax+1>0的解集是实数集R”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设a是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,则下列说法正确的是( )A.过a一定存在平面β,使得β∥αB.过a一定存在平面β,使得β⊥αC.在平面α内一定不存在直线b,使得a⊥bD.在平面α内一定不存在直线b,使得a∥b3.(2015·南昌模拟)已知一个三棱锥的主视图和左视图如图所示,则该三棱锥的俯视图可能为( )A.①②B.②③C.①④D.②④4.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的x的值是( )A.2B.C. D.35.(滚动单独考查)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为( )A. B. C.+ D.+26.某几何体的直观图如图所示,该几何体的主视图和左视图可能正确的是( )7.(滚动单独考查)在△ABC中,D是BC边上的点,AB=2,AD=,AC=4,∠C=30°,∠BAC>∠B,则BD= ( )A.2或4B.1或3C.3或2D.4或18.如图,在正三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD的体积是( )A. B. C. D.9.(滚动单独考查)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则S200等于( )A.100B.101C.200D.20110.已知正四棱锥S-ABCD中,SA=2,那么当棱锥的体积最大时,点S到平面ABCD 的距离为( )A.1B.C.2D.311.(2015·济南模拟)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A.πa2B.πa2C.πa2D.5πa212.(滚动交汇考查)(2015·天津模拟)设f(x)=|lnx|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,3]上有三个零点,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(滚动单独考查)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=lnx,则f= .14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN.以下结论:①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面A1B1C1D1;④MN与A1C1异面,其中有可能成立的命题是.15.(2015·西安模拟)某几何体的三视图如图,则该几何体体积的最大值为.16.(滚动单独考查)(2015·杭州模拟)设0<m<,若+≥k恒成立,则k的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(滚动单独考查)已知向量a=,b=cos-sin,1,函数f(x)=a·b,△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若f(B+C)=1,a=,b=1,求△ABC的面积S.18.(12分)(2015·北京模拟)如图,已知四边形ABCD和四边形BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.(1)求证:EC⊥CD.(2)求证:AG∥平面BDE.(3)求几何体EG-ABCD的体积.19.(12分)如图,五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,且DA=1,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P,Q,M分别为AE,BD,EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE.(2)求证:AM⊥平面ADF.20.(12分)(滚动单独考查)数列{a n}中,已知a1=2,当n≥2时,a n=a n-1+.数列{b n}满足b n=3n-1a n(n∈N*).(1)证明:数列{b n}为等差数列,并求{b n}的通项公式.(2)求数列{a n}的前n项和S n.21.(12分)四棱锥P-ABCD中,AB=2DC=4,AC=2AD=4,BC=8,平面PAD⊥底面ABCD,M为棱PB上任一点.(1)证明:平面AMC⊥平面PAD.(2)若△PAD为等边三角形,平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体,当这两个几何体的体积之比V PM-ACD∶V M-ABC=11∶4时,求的值.22.(12分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=lnx.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图象相切,求实数m的值.(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x-有唯一的公共点.(3)设0<a<b,比较与的大小,并说明理由.答案解析1.A 当a=0时,1>0,显然成立,当a≠0时,得0<a<1.故ax2+2ax+1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1,因此,“0<a<1”是“ax2+2ax+1>0的解集是实数集R”的充分不必要条件.2.B 当a与α相交时,不存在过a的平面β,使得β∥α,故A错误;当a与α平行时,在平面α内存在直线b,使得a∥b,故D错误;平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影,则就必然垂直于直线a,故C错误.直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α.【加固训练】设a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题:①若a⊥b,a∥α,α⊥β,则b∥β;②若a∥α,α⊥β,则a⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3B ①b与β可能相交,所以①错误.②中a⊥β不一定成立.③中a⊂α或a∥α,所以错误.④正确,所以正确的有1个,所以选B.3.B 由三视图可知,此三棱锥为如图所示的长方体内的P-ABD或P-BCD,当三棱锥为P-ABD时,俯视图为③,当三棱锥为P-BCD时,俯视图为②,选择B.4.【解题提示】先由三视图还原出几何体,再计算求解.C 由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,其高为x,底面是上底为1,下底为2,高为2的梯形,所以几何体的体积V=×(1+2)×2×x=,解得x=.5.C 圆的直径是4,说明直线过圆心(-1,2),故a+b=1,+==++≥+(当且仅当a=2-2,b=2-时等号成立),故选C.【加固训练】已知直线(m+2)x+(m+1)y+1=0上存在点(x,y)满足则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示,又直线l:(m+2)x+(m+1)y+1=0过定点(-1,1),结合图形可知,点(1,2),(1,-1)在直线l的两侧或其中一点在l上,即[(m+2)×1+(m+1)×2+1]·[(m+2)×1+(m+1)×(-1)+1]≤0,解得m≤-.6.A 由几何体的直观图,可知该几何体可以看作由正方体ABCD-A1B1C1D1割掉四个角后所得的几何体ABCD-MNPQ,如图所示,该几何体的主视图就是其在正方体的面CDD1C1上的投影,显然为正方形CDD1C1与△CDQ的组合;该几何体的左视图就是其在面BCC1B1上的投影,显然为正方形BCC1B1和△BCP的组合.综上,只有A选项正确,故选A.【加固训练】将一个底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-DEF截去一个三棱锥C-ABD,得到几何体BC-DEF(如图),则该几何体的主视图是( )C 从正前方观察截去三棱锥后的几何体,可知正确选项为C.7.【解题提示】先由正弦定理求∠B,再由余弦定理构建关于BD的方程求解.B 在△ABC中,由正弦定理,得sinB==,所以∠B=45°或∠B=135°.又∠BAC>∠B,所以∠B=45°.因为AD=,则在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos45°,即5=8+BD2-2×2BD×cos45°,解得BD=1或BD=3.8.【解题提示】根据EF与DE的垂直关系,证明AC⊥DE,再证AC⊥AB,再求得侧棱长,根据体积公式计算即可.B 因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC,又EF⊥DE,所以AC⊥DE.取BD的中点O,连接AO,CO,所以在正三棱锥A-BCD中,AO⊥BD,CO⊥BD,所以BD⊥平面AOC,又AC⊂平面AOC,所以AC⊥BD.又DE∩BD=D,所以AC⊥平面ABD,所以AC⊥AB.设AC=AB=AD=x,则x2+x2=1 x=,所以V C-ABD=S△ABD·AC=AB·AD·AC=.9.A 因为=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),所以a1+a200=1,因为{a n}是等差数列,所以S200==100,故选A.10.【解题提示】以点S到平面ABCD距离h为变量,构建以V为因变量的函数,然后用导数求最值.C 设点S到平面ABCD的距离为h,底面对角线长为l,l=(2)2,则h2+2()2得l=2(0<h<2).所以底面边长a=l=,故体积V=a2h=(24-2h2)h=-h3+8h.令V′=0,得-2h2+8=0,解得h=2或h=-2(舍去),经检验,当h=2时,棱锥体积最大.11.B 如图,过三棱柱的侧棱AD及球心O作一平面,设点G为正△ABC的重心,连接AO,OG,则OG⊥AG,在直角三角形AGO中,设OA=R,OG==,AG=a,故R2=+,解得R2=a2,故球的表面积S=4πR2=4π×a2=πa2,故选B.12.B 函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,3]上有三个零点,即y=f(x)与y=ax有3个交点.当x>1时,f(x)=lnx,f′(x)=.令y=ax与f(x)=lnx(x>1)相切,设切点为(x0,y0),则f′(x0)=,所以切线方程为y=x,即当y=f(x)与y=ax相切时,a=,当x=3时,直线y=ax过(3,ln3),代入得a=,所以函数g(x)在区间(0,3]上有3个交点时a的取值范围为.【加固训练】已知f(x)=且函数y=f(x)+x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(0,1]C.(-∞,0]D.(-∞,2]A 当x<0时,f(x)=(x+1)2+a-1,把函数f(x)在[-1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数f(x)在[0,+≦)上的图象. 由于函数y=f(x)+x恰有3个不同的零点,即函数y=f(x),y=-x的图象有3个不同的交点,则实数a应满足a-1≤0,即a≤1.13.【解析】由题意可知函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f=ln=-2,所以f=f(-2)=-f(2)=-ln2.答案:-ln214.【解析】取特殊值,使M,N分别为线段AB1,BC1上的中点,取B1B的中点为E,连接NE,EM,则NE∥B1C1,ME∥A1B1,又NE∩ME=E,B1C1∩A1B1=B1,故平面MNE∥平面A1B1C1D1,MN∥平面A1B1C1D,③对;又A1A⊥平面A1B1C1D1,故A1A⊥平面MNE,所以A1A ⊥MN,①对;连接A1B,则M是A1B的中点,所以MN是△A1C1B的中位线,MN∥A1C1,②对;当N与B重合,M与A重合,此时MN与A1C1异面,④对.答案:①②③④15.【解析】由三视图知该几何体为三棱锥,记为S-ABC,其中SA⊥平面ABC,底面ABC为直角三角形,且∠BAC=90°.则AB=1,设SA=x,AC=y,则x2+y2=6.利用不等式得x2+y2=6≥2xy,所以xy≤3.又体积V=××AB×AC×SA=xy≤×3=.答案:16.【解析】令t=+,因为+≥k恒成立,所以t min≥k恒成立,t=+=+=(2m+1-2m)=2,因为0<m<,所以2m>0,1-2m>0,所以+≥2(当且仅当=,即m=时取等号),所以t≥8,所以k≤8,所以k的最大值为8.答案:817.【解析】(1)由题意得,f(x)=a·b=sin+=sin cos-sin2+=sinx-+=sinx+cosx=sin.令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为f(B+C)=1,所以sin=1,又B+C∈(0,π),B+C+∈,所以B+C+=,B+C=,所以A=,由正弦定理得=,把a=,b=1代入上式,得sinB=,故B=或B=,因为A=为钝角,所以B=舍去,所以B=,得C=.所以,△ABC的面积S=absinC=××1×=.【一题多解】本题还可采用如下方法求解.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,得3=1+c2+c,c=1或-2(舍去),所以△ABC的面积S=bcsinA=×1×1×=.18.【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面BCEG,又平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,CE⊂平面BCEG,所以EC⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,故EC⊥CD.(2)如图,在平面BCEG中,过G作GN⊥CE交BE于M,连接DM,则由已知可得:MG=MN,MN∥BC∥DA,且MN=AD=BC,所以MG∥AD,MG=AD,故四边形ADMG为平行四边形,所以AG∥DM,因为DM⊂平面BDE,AG⊄平面BDE,所以AG∥平面BDE.(3)V EG-ABCD=V D-BCEG+V G-ABD=S四边形BCEG·DC+S△ABD·BG=××2×2+××1×2×1=.【加固训练】在如图所示的几何体中,四边形BB1C1C是矩形,BB1⊥平面ABC,CA=CB;A1B1∥AB,AB=2A1B1,E,F分别是AB,AC1的中点.(1)求证:EF∥平面BB1C1C.(2)求证:C1A1⊥平面ABB1A1.【证明】(1)连接BC1,因为E,F分别是AB,AC1的中点,所以EF∥BC1.又EF⊄平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,所以EF∥平面BB1C1C.(2)连接A1E,CE.因为BB1⊥平面ABC,BB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面ABC,因为CA=CB,E是AB的中点,所以CE⊥AB,所以CE⊥平面ABB1A1.因为B1A1∥BA,B1A1=BA=BE,所以四边形A1EBB1为平行四边形,所以BB1A1E.又BB1CC1,所以A1E CC1,所以四边形A1ECC1为平行四边形,则C1A1∥CE,所以C1A1⊥平面ABB1A1.19.【证明】(1)连接AC,因为四边形ABCD是矩形,Q为BD的中点,所以Q为AC的中点,又在△AEC中,P为AE的中点,所以PQ∥EC.因为EC⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE,所以PQ∥平面BCE.(2)因为M为EF的中点,所以EM=AB=2,又EF∥AB,所以四边形ABEM是平行四边形,所以AM∥BE,AM=BE=2.又AF=2,MF=2,所以△MAF是直角三角形且∠MAF=90°,所以MA⊥AF.又DA⊥平面ABEF,MA⊂平面ABEF,所以MA⊥DA,又DA∩AF=A,所以AM⊥平面ADF.20.【解析】(1)当n=1时,b1=30×a1=2.当n≥2时,a n=a n-1+,两边同乘以3n-1得,3n-1a n=3n-2a n-1+2,即b n-b n-1=2(n≥2).所以数列{b n}是以2为首项,以2为公差的等差数列, 其通项公式为b n=2+(n-1)×2=2n.(2)由(1)得b n=3n-1a n=2n,所以a n=.S n=2×+4×+…+2(n-1)×+2n×,①S n=2×+4×+…+2(n-1)×+2n×,②①-②,得S n=2×+2×+…+2×-2n×=2×-2n×=3-.所以S n=-.21.【解析】(1)在△ACD中,因为AC2+AD2=16+4=20=CD2,所以AC⊥AD.因为平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AC⊥平面PAD. 又AC⊂平面AMC,所以平面AMC⊥平面PAD.(2)如图,取AD中点E,连接PE,则PE⊥AD,PE⊥平面ABCD,且PE=.连接BE,则平面PBE⊥平面ABCD,过M作MN⊥BE于N,则MN⊥平面ABCD. 在△ABC中,AC2+BC2=16+64=80=AB2,所以AC⊥BC,V P-ABCD=·S梯形ABCD·PE=··=.V M-ABC=·S△ABC·MN=××4×8·MN=MN. 由V PM-ACD∶V M-ABC=11∶4得,V P-ABCD∶V M-ABC=15∶4,即∶MN=15∶4,解得,MN=.在△PEB中,因为==,所以=.22.【解析】(1)f′(x)=,设切点为(x0,y0),则k==1,所以x0=1,y0=lnx0=ln1=0,代入y=x+m,得m=-1.(2)令h(x)=f(x)-=lnx-x+,则h′(x)=-1-==<0, 所以h(x)在(0,+≦)内单调递减.又h(1)=ln1-1+1=0,所以x=1是函数h(x)唯一的零点.故点(1,0)是两曲线唯一的公共点.即y=f(x)与y=x-有唯一的公共点.(3)-=-=ln-,因为0<a<b,所以>1,构造函数φ(x)=lnx-(x>1),则φ′(x)=-=-=>0,所以φ(x)在(1,+≦)上单调递增,又当x=1时,φ(1)=0,所以x>1时,φ(x)>0,即lnx>,则有ln>成立,即>,即>.关闭Word文档返回原板块。