阶段滚动检测(五)

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阶段滚动检测（五）（第一～八章） （120分钟 160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上) 1.若双曲线2222x y ab-=1的渐近线与圆(x-2)2+y 2=3相切，则此双曲线的离心率为_________.2.(2012·宿迁模拟)抛物线y 2=8x 的焦点到准线的距离是_________.3.(滚动单独考查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=6，a 2+a 4=0，则公差d 为_________.4.已知双曲线16y 2-m 2x 2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则 m＝_________.5.已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切,则圆C 的方程为_________.6.(滚动单独考查)设a 1=2,a n+1=n 2a 1+,b n =|n n a 2a 1+-|,n ∈N *,则数列{b n }的通项公式b n =_________.7.(滚动交汇考查)若点F 1、F 2分别为椭圆22xy4+=1的左、右焦点，P 为椭圆上的点，若△PF 1F 2的面积为32，则1P F·2P F =_________.8.(滚动交汇考查)若直线ax-by+2=0(a>0，b>0)被圆x 2+y 2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则11ab+的最小值是_________.9.(2012·淮安模拟)过双曲线2222x y ab-=1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为_________. 10.(滚动单独考查)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若6936S S 3S S =，则=_________.11.已知点P 是埋刮板输送机抛物线y 2=2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A(72，4)，则|PA|+d 的最小值是_________.12.(滚动单独考查) 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5-5S 3=5，则a 4=_________. 13. 若椭圆22xyk 89++=1的离心率e=12，则k 的值为_________．14.已知双曲线2222x y ab-=1(a>0，b>0)≤a，若离心率为e ，则e+1e的最大值为_________．二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为45，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，电热管椭圆上有一点P ，∠F 1PF 2=3π，且△PF 1F 2的面积为16.(14分)如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=CD=1，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD.(1)求证：BD ⊥AA 1;(2)若E 为线段BC 的中点，求证：A 1E ∥平面DCC 1D 1.17.(14分)(滚动单独考查)数列{a n }的各项均为正数，S n 是其前n 项的和，对任意的n ∈N *，总有a n ,S n ,2na 成等差数列，又记b n =2n 12n 31a a ++ ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n ，并求使T n >m 150对n ∈N *恒成立时最大的正整数m的值．18.(16分)(2012·泰州模拟)已知椭圆C ：2222x y ab+=1(a ＞b ＞0)的离心率为12,F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，MF 1为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△MF 1F 2面积的最大值. 19.(16分)已知向量O A =(2，0)，OC =AB=(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d ，并且满足2O M AM k (C M BM d )=-，其中O 是坐标原点，k 是参数.(1)求动点M 的轨迹方程，并判断轨迹类型； (2)当k=12时，求|OM 2AM+|的最大值和最小值；(3)如果动点M 的轨迹是圆锥曲线，其离心率ee 32≤≤,求实数k 的取值范围.20.(16分)(2011· 浙江高考)如图，设P 是抛物线C 1:x 2=y 上的动点，过点P 作圆C 2:x 2+(y+3)2=1的两条切线，交直线l :y=-3于A,B 两点.(1)求C2的圆心M到抛物线C1准线的距离；(2)是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】双曲线的渐近线方程为bx 〒ay=0.由题意得，圆心到渐近线的距离等于圆的半径，=a ，故==2a.故离心率e=ca =2.答案：22.【解析】由y 2=2px=8x 知p=4,又焦点到准线的距离就是p ，所以距离是4. 答案：43.【解析】因为a 2+a 4=0，所以2a 3=0，即a 3=0，又因为S 3=()13a a 32+⨯=6，所以a 1=4，所以公差d=31a a 043131--=-- =-2.答案：-24.【解析】双曲线的方程可化为222yx 1116m-=1，≨a=14，b=1m，取顶点(0，14)，一条渐近线为mx-4y=0.≨15=1|4|-⨯，即m 2+16=25，≨m=3.答案：35.【解析】令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0与x 轴的交点为(-1，0). 因为直线x+y+3=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即=，所以圆C 的方程为(x+1)2+y 2=2.答案：(x+1)2+y 2=26.【解题指南】由条件可找出b n+1与b n 的关系，进而再求通项公式.【解析】由条件得b n+1=n 1n n n 1n n 22a 2a 1a 2||||2||2a 1a 11a 1++++++==---+=2b n 且b 1=4,所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n =4·2n-1=2n+1. 答案：2n+17.【解析】不妨设点P(x ，y)在第一象限，由题意，得F 1，0)，F 2，0)，12PF F S =12|F 1F 2|·32，解得2.代入椭圆方程，得x=1，即点P 的坐标为(12)．故1P F，-2)，2P F，-2).则1P F·2P F ＝，-2)·，-2)=(-1)22+(-2)2=-2+34=54-.答案：54-8.【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4，其圆心C(-1，2)，半径r=2， 由弦长为4可知圆心在直线上，即-a-2b+2=0，即a+2b=2，而1111112b a 13a 2b 33a b 2a b 2a b 22+=++=++≥+=（)(）（）（，当且仅当2b a ab=时取等号，即，329.【解析】设过焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，由已知可得|MO|=|MF|，又因为MF ⊥OM ，故∠OFM=45°,故渐近线y=ba x 的斜率为1，即a=b,≨c 2=a 2+b 2,即c 2=2a 2,≨e=c a==10.【解题指南】求解本题时不必求解q 的值，可仔细观察S 3与S 6、S 6与S 9的关系，通过求得q 3，可简化求解过程. 【解析】设公比为q ,则36333S 1q S S S +=（）=1＋q 3＝3⇒ q 3＝2,于是36936S 1q q 1247S 1q 123++++===++.答案：7311.【解析】设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，则F(12，0)．又点A(72，4) 在抛物线的外侧，且点P 到准线的距离为d ，所以d=|PF|，则|PA|+d≥|AF|=5. 答案：5【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法：一般不能用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解. 12.【解析】设公差为d,≧S n ＝na 1＋12n(n －1)d,≨S 5＝5a 1＋10d,S 3＝3a 1＋3d,≨6S 5－5S 3＝30a 1＋60d －(15a 1＋15d)＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d)＝15a 4=5, ≨a 4=13.答案：1313.【解析】①若焦点在x 轴上，即k+8>9时，a 2=k+8，b 2=9，222222c a b k 11e aak 84--====+，解得k=4.②若焦点在y 轴上，即0<k+8<9时，a 2=9，b 2=k+8，e 2=22222c a b 1k 1aa94--===，解得k=54-.综上，k=4或k ＝54-.答案：4或54-【误区警示】因题目中并没有限定焦点到底在哪个坐标轴上，故一定要分情况讨论.14.【解析】a ≤≤，所以c 2=(a 2+b 2)∈［2222aaaa 32++，］，即c 2∈［224a 3a ,32］，故e 2=22c a∈［4332，］，故e32］，令t=e+1e,因为t=e+1e在(1，＋≦)上为增函数，故e+1e2215.【解析】设椭圆的方程为2222x y ab+=1(a>b>0)，F 1(-c ，0)、F 2(c ，0).因为点P 在椭圆上，所以|PF 1|+|PF 2|=2a. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos 3π=(|PF 1|+|PF 2|)2-3|PF 1||PF 2|，即4c 2=4a 2-3|PF 1|·|PF 2|. 又因12PF F S12|PF 1|·|PF 2|sin 3π|PF 1|·|PF 2|=12.所以4c 2=4a 2-36，得b 2=9，即b=3. 又e=c 4a 5=，故a 2=259b 2=25.所以所求椭圆的方程为22xy259+=1.16.【证明】(1)因为BA=BC，DA=DC，所以，BD是线段AC的垂直平分线，≨BD⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD,≨BD⊥平面AA1C1C.≧AA1⊂平面AA1C1C,≨BD⊥AA1.(2)≧,DA=DC=1,≨∠BAC=∠BCA=60°,∠DCA=30°.连结AE..≧E为BC的中点，≨CE=2在△AEC中，知∠EAC=30°.≨∠EAC=∠DCA.≨AE∥DC.≧DC⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,≨AE∥平面DCC1D1.在棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1,≧DD1⊂平面DCC1D1,AA1⊄平面DCC1D1,≨AA1∥平面DCC1D1.≧AA1⊂平面AA1E,AE⊂平面AA1E,AA1∩AE=A, ≨平面AA1E∥平面DCC1D1.≧A1E⊂平面AA1E,≨A1E∥平面DCC1D1.17.【解析】(1)≧a n，S n，2a成等差数列，n≨2S n =a n +2na ① 当n ≥2时，2S n-1=a n-1+2n 1a- ②由①-②得：2(S n -S n-1)=a n +2na -(a n-1+2n 1a -)，即2a n =a n +2na -a n-1-2n 1a-，≨(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0.又数列{a n }的各项均为正数，≨a n -a n-1=1. 当n=1时，由①得2a 1=a 1+21a ，即a 1(a 1-1)=0，≧a n >0，≨a 1=1.于是，数列{a n }是首项a 1=1，公差d=1的等差数列， ≨a n =1+(n-1)〓1=n ，即数列{a n }的通项公式为a n =n(n ∈N *). (2)由(1)知，a n =n(n ∈N *). ≨b n =()()2n 12n 311111a a 2n 12n 322n 12n 3++==-++++ （）(n ∈N *).T n =b 1+b 2+…+b n =12［11111135572n 12n 3-+-+⋯+-++（）（）（）］=111n 232n 36n 9-=++（）>0.≧2n 12nT n 16n 96n 15n 9T 6n 15n 6n 15n+++++==++ >1.又T n >0，≨T n <T n+1(n ∈N *)，即T n 单调递增, 于是，当n=1时，T n 取得最小值115，由题意得：115>m 150.≨m<10.由m 是正整数知，最大的正整数m=9.【变式备选】在等比数列{a n }中,a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1),且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25,又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ； (3)在(2)的条件下，是否存在k ∈N *，使得12n S S S 12n++⋯+<k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值;若不存在，请说明理由. 【解析】(1)≧a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25, ≨322355a 2aa a ++=25,≨(a 3+a 5)2=25, 又a n >0,≨a 3+a 5=5, 又a 3与a 5的等比中项为2， ≨a 3a 5=4,而q ∈(0,1), ≨a 3>a 5,≨a 3=4,a 5=1,≨q=12,a 1=16,≨a n =16〓(12)n-1=25-n .(2)≧b n =log 2a n =5-n,≨b n+1-b n =-1,b 1=log 2a 1=log 216=log 224=4,≨{b n }是以b 1=4为首项，d=-1为公差的等差数列， ≨S n =()n 9n 2-.(3)由(2)知S n =()n 9n 2-,≨n S 9n n2-=.当n ≤8时,n S n >0;当n=9时, n S n=0;当n>9时,n S n<0.≨当n=8或9时，312n S S S S 123n+++⋯+有最大值，且最大值为18.故存在k ∈N *，使得12n S S S 12n ++⋯+<k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.18.【解析】(1)因为2c=2,且c 1a2=,所以c=1,a=2.所以b 2=3. 所以椭圆C 的方程为22xy43+=1.(2)设点M 的坐标为(x 0,y 0)(-2≤x 0≤2),则2200x y 43+=1.因为F 1(-1,0),2ac=4,所以直线l 的方程为x=4.由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离4-x 0小于或等于圆的半径R. 因为R 2=21M F =(x 0+1)2+20y ，所以(4-x 0)2≤(x 0+1)2+20y ,即20y +10x 0-15≥0.又因为20y =3(1-20x 4),所以3-203x 4+10x 0-15≥0.解得43≤x 0≤12.又≧-2≤x 0≤2,≨43≤x 0≤2,当x 0=43时，|y 03所以(12M F FS)max =12233⨯⨯=19.【解题指南】(1)设点,通过向量关系，列出方程即可，注意分类讨论k 的取值.(2)将向量模最值转化为二次函数求最值，利用二次函数性质求解.(3)利用e=ca及e 的范围，列不等关系求解.【解析】(1)设M(x,y),由题设可得 A(2,0),B(2,1),C(0,1)，≨OM =(x,y),AM=(x-2,y),CM=(x,y-1)，BM=(x-2,y-1),d=|y-1|,≧OM ·AM=k(CM·BM-d 2)≨(x,y)·(x-2,y)=k ［(x,y-1)·(x-2,y-1)-|y-1|2］ 即(1-k)(x 2-2x)+y 2=0为所求轨迹方程. 当k=1时，y=0，动点M 的轨迹是一条直线； 当k=0时，x 2-2x+y 2=0，动点M 的轨迹是圆； 当k ≠1时，方程可化为(x-1)2+2y1k-=1,当k>1时，动点M 的轨迹是双曲线； 当0<k<1或k<0时，动点M 的轨迹是椭圆. (2)当k=12时，M 的轨迹方程为(x-1)2+2y12=1,得0≤x ≤2,y 2=12-12(x-1)2，≧OM 2AM +=(x,y)+2(x-2,y)=(3x-4,3y)， ≨|OM 2AM + |2=(3x-4)2+9y 2=(3x-4)2+9［12-12(x-1)2］=2957x 232-+（），≨当x=53时，|OM 2AM+|2取最小值72，当x=0时，|OM 2AM+|2取最大值16.因此，|OM 2AM+|2，最大值是4.(3)由于e 32≤≤,即e<1，此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为(x-1)2+2y1k-=1,①当0<k<1时，a 2=1,b 2=1-k, c 2=1-(1-k)=k,e 2=22c a=k,≧e 32≤≤,≨11k 32≤≤;②当k<0时，a 2=1-k,b 2=1,c 2=(1-k)-1=-k,e 2=22c a=k k 1kk 1-=--,≧e 32≤≤,≨1k 13k 12≤≤-,又k<0，得-1≤k ≤12-.综上，k 的取值范围是［-1，12-］∪［11,32］.20.【解题指南】(1)利用抛物线的几何性质可直接求解；(2)写出切线方程，求出A,B,及抛物线C 1在点P 处的切线与y=-3交点的坐标即可找出关于点P 坐标的关系.【解析】(1)由题意可知，抛物线C 1的准线方程为:y=14-,所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：()111|3|44---=.(2)设点P 的坐标为(x 0,20x )，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D. 再设A,B,D 的横坐标分别为x A ,x B ,x D ,在点P(x 0,20x )的抛物线C 1的切线方程为：y-20x =2x 0(x-x 0) ①当x 0=1时，过点P(1,1)与圆C 2相切的直线PA 为： y-1=158(x-1).可得x A =1715-,x B =1,x D =-1,x A +x B ≠2x D .当x 0=-1时，过点P(-1,1)与圆C 2相切的直线PB 为：y-1=158-(x+1),可得x A =-1,x B =1715,x D =1,x A +x B ≠2x D .所以20x -1≠0.设切线PA ，PB 的斜率为k 1,k 2,则PA:y-20x =k 1(x-x 0), ②PB:y-20x =k 2(x-x 0), ③将y=-3分别代入①,②,③得 x D =200x 32x -(x 0≠0);x A =x 0-201x 3k +;x B =x 0-202x 3k +(k 1,k 2≠0),从而x A +x B =2x 0-(20x +3)(1211k k +).即(20x -1)()()222210010k 2x 3x k x 3-+++-1=0.同理，()()()22222020020x 1k 2x 3x k x 3--+++-1=0, 所以k 1,k 2是方程(2x -1)k 2-2(20x +3)x 0k+(20x +3)2-1=0的两个不相等的根，从而k 1+k 2=()200202x x 3x 1+-,k 1·k 2=()22020x31x 1+--.因为x A +x B =2x D , 所以2x 0-(3+20x )(1211k k +)=200x 3x -,即1211k k +=1x .从而()()20022023x x 1x 3x 1+=+-,进而得40x =8,x 0=〒综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为(〒。