1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词精品试题

- 1 - 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (45分钟 100分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2014·云南师大附中模拟)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( ) A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方不是正数 D.至少有一个实数的平方是正数 【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”.

2.已知命题p:若x∈N*,则x∈Z.命题q:∃x0∈R,=0.则下列命题为真命题的是( ) A.p B.p∧q C.p∨q D.(p)∨(q)

【解析】选D.显然命题p为真;因为对∀x∈R,都有>0,所以命题q为假,所以q为真,由“或”“且”“非”命题的真值表知D正确. 3.(2014·温州模拟)“p∨q为真”是“p为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.由p∨q为真,得p,q至少有一个为真. 因此p不一定为假;但p为假, 则p为真,一定有“p∨q为真”. 4.(2014·北京模拟)下列命题的否定为假命题的是( )

A.∃x0∈R,+2x0+2≤0 B.任意一个四边形的四个顶点共圆 C.所有能被3整除的整数都是奇数 D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1 【思路点拨】只需判断原命题为真即可. - 2 -

【解析】选D.对于A,因为Δ=22-4×2=-4<0,所以x2+2x+2>0恒成立,故A假;对于B,一般平行四边形的四个顶点就不共圆,所以B假;对于C,6能被3整除但不是奇数;D显然正确.综上应选D. 5.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lgx0,命题q:∀x∈R,x2>0,则( ) A.命题p∨q是假命题 B.命题p∧q是真命题 C.命题p∧(q)是真命题 D.命题p∨(q)是假命题 【解析】选C.当x=12时,x-2>lgx显然成立,所以p真;当x=0时,x2=0,所以q假,q真.由此可知C正确.

6.已知命题p:“若直线ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直,则a=1”;命题q:“>”是“a>b”的充要条件,则( ) A.p真,q假 B.“p∧q”真 C.“p∨q”真 D.“p∨q”假

【解析】选D.对于p,若直线ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直,则a2-1=0,所以a=±1,对于q,由>,得a>b,反之不成立,故命题p为假命题,命题q为假命题,故p∨q为假,选D.

7.(2013·杭州模拟)已知命题:p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”命题q:“∃x0∈R,+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.a≤-1或a=1 B.a≤-1或1≤a≤2 C.a≥1 D.a>1 【解析】选D.因为命题“p且q”是真命题,所以p与q均为真命题,命题:p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,

为真命题,则a≤1,所以p为真命题时,a>1;命题q:“∃x0∈R,+2ax0+2-a=0”,为真命题,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,所以a≤-2或a≥1,所以a>1. 8.(能力挑战题)给出下列四个命题: ①若“p∧q”为假命题,则p,q均为假命题; ②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;

③命题“任意x∈R,x2+1≥0”的否定是“存在x0∈R,+1<0”; ④在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中不正确命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 - 3 -

【解析】选D.因为p与q中只要有一个为假,p∧q就为假,所以①错误;由否命题的定义知②正确;由全称命题否定的意义知③正确;根据正弦定理知,在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,所以④正确.综上应选D. 【加固训练】(2014·武汉模拟)下列四个命题中真命题的个数是( ) ①“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件;

②命题“∃x0∈R,-x0>0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”; ③“若am2④命题p:∀x∈[0,1],2x≥1,命题q:∃x0∈R,+x0+1<0,则p∨q为真. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选D.命题①中,{x|x<1}是不等式x2-3x+2>0的解集{x|x<1或x>2}的真子集,所以“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,所以①正确.命题②显然正确.命题③中,当m=0时,其逆命题不成立,故③错.命题④中,p为真,q为假,所以p∨q为真,故④正确.综上所述,真命题的个数为3.故选D. 二、填空题(每小题5分,共20分)

9.(2014·绍兴模拟)命题“存在实数x0,使+2x0-8=0”的否定是 . 【解析】特称命题的否定为全称命题.所以命题的否定是对任意实数x,都有x2+2x-8≠0. 答案:对任意实数x,都有x2+2x-8≠0

10.设p:∃x0∈使函数g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为 . 【解析】p为假命题,则p为真命题,不等式tx2+2x-2>0有属于的解,即t>-有属于的解.又1-. 答案: 11.(2014·西城模拟)已知命题p:函数y=(c-1)x+1在R上单调递增;命题q:不等式x2-x+c≤0的解集是∅.若p且q为真命题,则实数c的取值范围是 . 【思路点拨】p且q为真命题⇔p,q同真. 【解析】要使函数y=(c-1)x+1在R上单调递增,则c-1>0,解得c>1.所以p:c>1.因为不等式x2-x+c≤0的解集是∅,所以判别式Δ=1-4c<0,解得c>,即q:c>.因为p且q为真命题,所以p,q同为真,即c>且c>1,解得c>1.所以实数c的取值范围是c>1. 答案:(1,+∞) - 4 -

12.(能力挑战题)设命题p:若ax2-ax-1<0在R上恒成立,则0①p;②p∨q;③p∧q;④p∨(q). 其中是真命题的是 (只填序号).

【思路点拨】对于命题q真假的判断,关键是由条件锐角三角形,A=,及内角和定理限定B的取值范围. 【解析】先判断命题p,当a=0时,不等式为-1<0,显然恒成立;当a≠0时,由不等式恒成立,可得 即 解得-4综上,a的取值范围为(-4,0],所以命题p为假命题.

再判断命题q,因为A=,故C=π-A-B=-B. 又△ABC为锐角三角形,

所以解得

又y=sinx在上单调递增,所以sinB∈,故命题q为真命题. 综上,p假q真,故p为真命题,q为假命题,p∨q为真命题,p∧q为真命题,p或q为假命题. 答案:①②③

【加固训练】命题p:若函数f(x)=sin+1,则f=f;命题q:函数g(x)=sin2x+1可能是奇函数.则复合命题“p或q”“p且q”“非q”中真命题的个数为 . 【解析】代入易知命题p为真命题;g(0)=1≠0,故函数g(x)不是奇函数,命题q为假命题. 所以“p或q”“非q”为真命题. 答案:2 三、解答题(13题12分,14～15题各14分) 13.(2014·金华模拟)已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实

数m∈[-1,1]恒成立;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a≤0,若p∧q是真命题,求a的取 - 5 -

值范围. 【解析】由p:x1和x2是x2-mx-2=0的两根,所以所以|x1-x2|==,又m∈[-1,1],则有|x1-x2|∈[2,3].因为不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,所以a2-5a-3≥|x1-x2|max=3,所以a2-5a-3≥3,解得a∈(-∞,-1]∪[6,+∞),p就是集合(-1,6);对于q:由题意,知Δ=(2a)2-4×11a=0,所以a=0或a=. 若p∧q是真命题,即命题p,q都是真命题, 所以a∈. 14.(2014·天水模拟)已知函数f(x)=ax+b(x≥0),且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,又g(1)=0,f()=2-. (1)求f(x)的表达式及值域. (2)问是否存在实数m,使得命题p:f(m2-m)满足复合命题p且q为真命题?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由g(1)=0,f()=2-可得a=-1,b=1,故f(x)=-x(x≥0),由于f(x)=在[0,+∞)上递减,所以f(x)的值域为(0,1]. (2)因为f(x)在[0,+∞)上递减,故p真⇒m2-m>3m-4≥0⇒m≥且m≠2; 又f=,即g=, 故q真⇒0<<≤1⇒1故存在m∈∪(2,3)满足复合命题p且q为真命题. 15.(能力挑战题)设a为实数,给出命题p:关于x的不等式≥a的解集为∅,命题q:函数f(x)=lg的定义域为R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求a的取值范围. 【解析】若p正确,则由0<≤1,得a>1. 若q正确,则ax2+(a-2)x+>0解集为R. 当a=0时,-2x+>0不合题意,舍去;