高考一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分答案 D解析因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一含有逻辑联结词命题真假的判断例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题；对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题；对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真．答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破考向二全称命题、特称命题角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是．答案 [－3，3]解析命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0，解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题．当x >1时，g (x )＝2x－2>0，又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。

XASX-高三第一轮复习讲义简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词

精锐教育学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：3 学生姓名：教师姓名：上课时间：课题简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词教学目的 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义及真值表；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确对含有一个量词的命题的否定.教学内容一、上节课作业检查及纠错二、上节课内容再现1. 被称为命题.2.已知命题p 是条件，命题q 是结论，若p q ⇒，则 . 若q p ⇒，则 .若p q ⇒，且q p ⇒，则 . 三、巩固练习1.已知b a ,为实数，则ba22>是b a 22log log > 的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b y a x 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.在下列四个结论中，正确的有 .(填序号)①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件 ②“⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ”是“一元二次不等式02≥++c bx ax 的解集为R ”的充要条件③“1≠x ”是“12≠x ”的充分不必要条件 ④“0≠x ”是“0>+x x ”的必要不充分条件 4.已知221:{||1|2},:210(0)3x p x q x x m m --≤-+-≤>，若p ⌝是q ⌝成立的必要非充分条件，求实数m 的取值范围.参考答案二、上节课内容再现 1.可以判断真假的语句.2.p 是q 充分条件；p 是q 必要条件；p 是q 充要条件. 三、巩固练习1.B 【解析】:p p ：b a ba>⇔>22；:q 0log log 22>>⇔>b a b a ，故q p ⇒不成立，p q ⇒， ∴p 是q 的必要不充分条件.所以选B. 2.A 【解析】b a =时，圆心到直线距离222=+-=b a d ，所以相切，若直线与圆相切时，有222=+-=b a d ，所以b a =或b a +-=4.所以选A3.【解析】∵原命题与其逆否命题等价，∴若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件.1≠x ⇒12≠x 不成立，反例：112=⇒-=x x ，∴“1≠x ”是“12≠x ”的不充分条件. 0≠x ⇒0>+x x 不成立，反例02=+⇒-=x x x .但000≠⇒>⇒>+x x x x ， ∴“0≠x ”是“0>+x x ”的必要不充分条件. 答案：①②④4.解：由题意得：102:≤≤-x p ，m x m q +≤≤-11: p ⌝是q ⌝的必要非充分条件， ∴p 是q 的充分非必要条件，∴⎩⎨⎧≥+-≤-10121m m ，∴9≥m四、知识点梳理（一）逻辑联结词：1.定义：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题 2.逻辑符号：“或”的符号是“∨”，例如“P 或q”可以记作“P ∨q”； “且”的符号是“∧”，例如，“P 且q”可以记作“P ∧q”； “非”的符号是“┑”，例如，“非P”可以记作“┑P”． 3.复合命题的构成形式的表示：如果用 p ， q ， r ， s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：q p 或：记作 p ∨q q p 且：记作 p ∧q p 非：记作 ⌝p如：或：不等式 2x -x -6>0的解集 { x | x<-2或x>3 }且：不等式2x -x -6<0的解集 { x | -2< x<3 } 即 { x | x>-2且x<3 }注：（1）“p 或q”是指p ，q 中的任何一个或两者.例如，“x ∈A 或x ∈B”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但” 等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即x ∈A ⋃B ）；又如在“p 或q 真” 中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能p ，q 都为真.（2）“p 且q”是指p ，q 中的两者.例如，“x ∈A 且x ∈B”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即x ∈A B ）. （3）“非p”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“x ∈A”，则“非p”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈A C U ）. 4.真值表（1）“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p 非p 真假假真（2）“p 且q”、“q p 或”形式复合命题的真假可以用下表表示：P q p 且q P 或q 真真真真真假假真假真假真假假假假（二）全称量词及存在量词1. 表示全体的量词称为全称量词.表示行式为“任意x……”，“每一个x……”，“所有x……”等.通常用符号“∀x”表示，读作“对任意x ”.2. 表示部分的量称为存在量词.表示形式为“有x……”，“存在x……”等.通常用符号“∃x”表示，读作“存在x”.3. 全称命题、存在性命题及表示形式含有全称量词的命题称为全称命题，表示为：∀x ∈M ，P （x ）含有存在量词的命题称为存在性命题，表示为：∃x ∈M ，P （x ）其中，M 为给定的集合，P （x ）是一个关于x 的命题. 五、例题讲解例1.写出由下列各组命题构成的“p 或q”，“p 且q”，“非p”形式的新命题并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；例2.试判断下列命题的真假（1）01,2>+∈∀x R x ；（2）1,2≥∈∀x N x ；（3）3,3=∈∃x Z x ；（4）023,2=+-∈∀x x R x ；（5）01,2=+∈∃x R x ；例3.命题“存在R x ∈，使得0522=++x x ”的否定是．例4.写出下表中各给定语的否定语．若给定语为等于大于是都是至多有一个至少有一个其否定语分别为例5.写出下列命题的否定及否命题，并判断有何区别？（1）两组对边平行的四边形是平行四边形；（2）正整数1既不是质数也不是合数.例6.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．（1）若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥；（2）对顶角相等；（3）矩形的对角线互相平分且相等．例7.已知m n ，为实数，命题“若0mn =，则0m =或0n =”的否命题、逆否命题各是什么？命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题、逆否命题各是什么？并判断以上各命题的真假．例8.已知：p 方程012=++mx x 有两个不等的负实根，：q 方程()012442=+-+x m x 无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．例9.已知命题p ：当),1[+∞∈x 时，函数)10()(<<-=a ta a x f x 有意义；命题q ：数列}{n a 的前n 项的和2n S n =，且对于任意的正整数n 均有t ta a a a a a n n +-<+++-11log 1114113221 . 如果p 和q 中有且仅有一个正确，求t 的取值范围.例10.已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：012>++mx x .如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围六、课堂练习（一）选择题1．下列说法错误．．的是（）A ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件 B ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠” C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥； D ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题． 2．下列命题错误的是（）A ．命题“若0,02=-+>m x x m 则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实数根，则0≤m ”B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题01,:,01,:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x x p x x x p 均有则使得R R 若 3．已知：命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则（）A ．1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC ．1sin ,:>∈∃⌝x R x pD ．1sin ,:>∈∀⌝x R x p4．设命题p ：矩形的对角线相等；命题q ：()x x x f ln =的单调减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1,．则（）A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 假q 真D ．p ，q 均为假命题 5. 命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是则、的充分不必要条件；命题q ：函数2|1|--=x y 的定义域是(][)+∞-∞-,31, ，则下面说法正确的是（）A ．“p 或q”为假B ．“p 且q”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真（二）填空题6.（1）如果命题“p 或q”和“非p ”都是真命题，则命题q 的真假是_________．（2）如果命题“p 且q ”和“非p ”都是假命题，则命题q 的真假是_________．7. 命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．8. 命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R )，q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R )．下列结论正确的是________．①“p 或q ”为真 ②“p 且q ”为真 ③“p ⌝”为假 ④“q ⌝为真”9.下列4个命题中的真命题是________．p 1：∃x ∈(0，＋∞)，xx ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3121； p 2：∃x ∈(0，1)，x x 3121log log >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，x x 21log 21<⎪⎭⎫⎝⎛； p 4：∀x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0，x 312log 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛.10.命题p ：存在实数m ，使方程012=++mx x 有实数根，则“非p ”是________． 11.下列命题中的假命题是________．①∃x ∈R ，0lg =x ②∃x ∈R ，tan x ＝1 ③∀x ∈R ，x 3>0 ④∀x ∈R ，2x >0 12. 将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称命题是________．①∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 ②∃a <0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 ③∀a >0，b >0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2 ④∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )213. 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1x2≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p 、q 、p ∧q 、p ∨q 中是真命题的是________．14.若命题“∃x ∈R ，x 2＋ax ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．（三）解答题15．你能写出下列命题p 的非（否定）吗? （1）p ：100既能被4整除又能被5整除；（2）p ：三条直线两两相交；（3）p ：一元二次方程至多有两个解；（4）p ：23x <≤．16. 分别指出下列各题中构成的“p 或q ”，“p 且q ”， “非p ”形式的复合命题，并指出真假．（1）:3p 是13的约数，:3q 是方程2430x x -+=的解；（2）:P 相似三角形的对应边相等，:q 相似三角形对应角相等；（3）Z N p ⊂：，：q {0}∈N ；（4）{}{}正方形矩形：⊃p ，{}{}矩形圆内接四边形：⊃q ．17. 写出由下列各组命题构成的“p 或q”，“p 且q”，“非p”形式的新命题并判断真假.（1）p ：方程012=-+x x 的两实根的符号相同，q ：方程012=-+x x 的两实根的绝对值相等；（2）p ：方程022=-+x x 的解是2-=x ，q ：方程022=-+x x 的解是1=x18. 命题：“已知a bc d ，，，是实数，若a b =，c d =，则a c b d +=+．”写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．19. 已知命题：p []0212≥-∈∀a x x ，，，命题0220200=-++∈∃a ax x R x q ，：，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．七、课堂小结八、家庭作业（一）选择题1.命题p ：x=π是y=|sinx|的一条对称轴，q ：2π是y=|sinx|的最小正周期，下列命题中真命题的个数为( ) ①p 或q ， ②p 且q ， ③非p ， ④非q ，A.0B.1C.2D.3 2.下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( )①所有的素数都是奇数； ②∀x∈R，(x-1)2+1≥1； ③有的无理数的平方还是无理数.A.0B.1C.2D.33.已知命题p 1：函数y=2x-2-x在R 上为增函数，p 2：函数y=2x+2-x在R 上为减函数. 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( )A.q 1，q 3B.q 2，q 3C.q 1，q 4D.q 2，q 4 4.已知0>a ，则0x 满足关于x 的方程b ax =的充要条件是( )A.02022121,bx ax bx ax R x -≥-∈∃ B.02022121,bx ax bx ax R x -≤-∈∃ C.02022121,bx ax bx ax R x -≥-∈∀ D.02022121,bx ax bx ax R x -≤-∈∀5.已知p ：21xx - <1，q ：()()03>--x a x ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，1)B.[1，3]C.[1，+∞)D.[3，+∞) （二）填空题6.命题“052,2=++∈∃x x R x 使得”的否定是 .7.若命题p ：关于x 的不等式0>+b ax 的解集是|b x x a ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，命题q ：关于x 的不等式()()0<--b x a x 的解集是{}b x a x <<，则在命题“p 且q ”、“p 或q ”､“非p ”、“非q ”中，是真命题的有 .8.已知命题p ：032,2>++∈∀x ax R x ，如果命题¬p 是真命题，那么实数a 的取值范围是 .9.设有2012个命题p 1，p 2，…，p 2012满足：若命题p i 是真命题，则命题p i+4是真命题.已知p 1∧p 2是真题，(p 1∨p 2)∧(p 3∨¬p 4)是假命题，则p 2012是_______ _(填真或假)命题. （三）解答题10.已知命题p ：[]2,1∈∀x ，02≥-a x ，命题q ：“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围.11.已知命题p ：对[]1,1-∈m ，不等式≥--352a a 28m +恒成立；命题q ：不等式022<++ax a 有解.若p 是真命题q 是假命题，求a 的取值范围.12.设命题p ：函数()x x f a log =在(0，+∞)上单调递增；q ：关于x 的方程023log 22=++ax x 的解集只有一个子集.若q p ∨为真，q p ⌝∨⌝也为真，求实数a 的取值范围. 参考答案五、例题讲解例1.解：（1）p 或q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p 且q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；非p ：2不是4的约数，假命题.（2）p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题； p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p ：矩形的对角线不相等，假命题. 例2.解：真命题；假命题；假命题；假命题；假命题.评注：（1）如何判断一个命题的全称命题还是存在命题，主要依据是看是否有全称量词，存在量词（显性的）. （2）如果命题是隐性的全称命题，存在性命题，应该先进行转化再判断.（3）判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x ，使命题P （x ）为真，否则命题为假. （4）要判断一个全称命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素X ，P （x ）都为真.但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找到一个x 0，使P （x 0）为假. 例3.R x ∈∀，有0522≠++x x 例4.解：“等于”的否定语是“不等于”； “大于”的否定语是“小于或者等于”；“是”的否定语是“不是”；“都是”的否定语是“不都是”； “至多有一个”的否定语是“至少有两个”；“至少有一个”的否定语是“一个都没有”．例5.解：（1）命题的否定：两组对边平行的四边形不是平行四边形.否命题：两组对边不全平行的四边形不是平行四边形. （2）命题的否定：正整数1是质数或是合数.否命题：不是1的正整数是质数或是合数. 评注：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. （2）要正确的理解命题的含义.正确使用否定词. （3）常用否定词的否定.正面词等于大于小于是都是至少一个至多一个.否定不等于不大于不小于不是不都是一个也没有至少两个小于等于大于等于例6.解：（1）原命题：若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥，是真命题；逆命题：若5x y +≥，则2x ≥且3y ≥，是假命题；否命题：若2x <或3y <，则5x y +<，是假命题；逆否命题：若5x y +<，则2x <或3y <，为真命题．（2）原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，为真命题；逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，为假命题；否命题：如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等，为假命题；逆否命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角，为真命题．（3）原命题：如果一个四边形是矩形，那么它的对角线互相平分且相等，为真命题；否命题：如果四边形不是矩形，则对角线不互相平分或不相等，为真命题；逆命题：如果四边形的对角线平分且相等，则它是矩形，为真命题；逆否命题：如果四边形的对角线不互相平分或不相等，则它不是矩形，为真命题．例7.解：“若0mn =，则0m =或0n =”的否命题是“若0mn ≠，则0m ≠且0n ≠”．逆否命题是“若0m ≠且0n ≠，则0mn ≠”．命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠，则0m ≠或0n ≠”．逆否命题是“若0m ≠或0n ≠，则220m n +≠”．以上各命题都是真命题．例8.解：由p 命题可解得2>m ，由q 命题可解得31<<m ；由命题p 或q 为真，p 且q 为假，所以命题p 或q 中有一个是真，另一个是假．（1）若命题p 真而q 为假则有21,3m m m >≤≥⎧⎨⎩或3m ⇒≥；（2）若命题p 真而q 为假，则有213m m ≤<<⎧⎨⎩12m ⇒<≤．所以m≥3或1＜m≤2．例9.解：要使命题p 成立，只要a －ta x ≥0，x ∈),1[+∞恒成立即,)1(x aa t ⋅≤ x ∈),1[+∞恒成立∵y=,)1(x aa ⋅在),1[+∞单调增，∵当x=1时，y min =1；∴t≤1即p 真1≤⇔t 当命题q 成立时，∵a n =s n －s n －1=2n －1(n≥2)且a 1=s 1=1=2×1－1 ∴a n =2n －1(n ∈N *)又∵a n －a n －1=2；∴{a m }为A·P ∴n n a a a a a a 132211...11-+++=)12)(32(1...531311--++⨯+⨯n n=)121321...5131311(21---++-+-n n =21)1211(21<--n∴2111log 41≥+-t t ；∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+-2111011t t tt ；∴131<≤t ∴q 成立131<≤⇔t∵p 、q 有且只有一个正确；∴p 真q 假或p 假q 真∴⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤1311t t t 或或⎪⎩⎪⎨⎧<≤>1311t t ； ∴31<t例10.解：由已知先求出对∀x ∈R 时，r (x )，s (x )都是真命题时m 的范围，再由要求分情况讨论出所求m 的范围．∵sin x ＋cos x ＝24sin 2-≥⎪⎭⎫⎝⎛+πx ， ∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1>0恒成立，有042<-=∆m ，∴－2<m <2.∴当r (x )为真， s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2，当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2<m <2，即－2≤m <2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2<m <2. 六、课堂练习（一）选择题1．A 2．C 3．C 4．A 4．D （二）填空题 6.（1）真（2）假7. 解析：全称命题的否定为存在性命题．答案：存在x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3 8. 答案：① 9.答案：p 2，p 410.答案：对于任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0都没有实根 11.答案：③12.解析：全称命题含有量词“∀”，故排除①、②，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立，填④. 13.解析：x ＝±1时，p 成立，所以p 真，q 假，p ∨q 真，p ∧q 假．答案：p 、p ∨q 14.解析：由Δ＝a 2－4>0.得a <－2或a >2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) （三）解答题15．解：（1）⌝p ：100不能被4整除，或不能被5整除．（2）⌝p ：三条直线不都两两相交．（3）⌝p ：一元二次方程至少有三个解．（4）⌝p ：2x ≤或3x >．16. 解：（1）p 或q ：3是13的约数或是方程2430x x -+=的解；p 且:3q 是13的约数且是方程2430x x -+=的解；非:3p 不是13的约数；p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真．（2）p 或q ：相似三角形的对应边相等或对应角相等； p 且q ：相似三角形的对边相等且对应角相等；非p ：相似三角形的对应边不一定等．因为p 假q 真，所以，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， “非p ”为真．（3）p 或Z N q ⊂：或{0}∈N ；p 且U N q ：且{0}∈N ；非Z N p ⊃：或=N Z ；因为p 真q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为真， “非p ”为假．（4）“p 或q ”：{}{}正方形矩形⊃或{}{}矩形圆内接四边形⊃； “p 且q ”：{}{}正方形矩形⊃且{}{}正方形矩形⊃； “非p ”：{}{}正方形矩形=或{}{}正方形矩形⊂．因为p 真q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为真， “非p ”为假． 17.解：（1）p 或q ：方程012=-+x x 的两实根符号相同或绝对值相等，假命题. p 且q ：方程012=-+x x 的两实根符号相同且绝对值相等，假命题.非p ：方程012=-+x x 的两实根符号不相同，真命题.（2）“q p 或” 方程022=-+x x 的解是2-=x 或方程022=-+x x 的解是1=x “q p 且”、方程022=-+x x 的解是2-=x 且方程022=-+x x 的解是1=x “非p” 方程022=-+x x 的解不是2-=x ，因为p 假，q 假，所以“q p 或”为假，“q p 且”为假，“非p”为真.18.解：逆命题：“已知a b c d ，，，是实数，若a c b d +=+，则a b c d ==，（即a 与b c ，与d 都相等）．” 否命题：“已知a bc d ，，，是实数，若a 与b c ，与d 不都相等，则a c b d +≠+．”逆否命题：“已知a b c d ，，，是实数，若a c b d +≠+，则a 与b c ，与d 不都相等．” 逆命题为假命题，逆否命题为真命题，否命题为假命题． 19.解：由“p 且q”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，a≤x 2恒成立，∵x∈[1，2]，∴a≤1．若q 为真命题，即x 2+2ax+2-a=0有实根，Δ=4a 2-4(2-a)≥0，即a≥1或a≤-2，综上所求实数a 的取值范围为a ≤-2或a=1．八、家庭作业（一）选择题1.解析：依题意知p 真q 假，所以①､④为真命题，有2个.故选C.2.解析：命题②是全称命题又是真命题；命题③是特称命题又是真命题；命题①是假命题.故选B.3.解析：p 1是真命题，则¬p 1为假命题；p 2是假命题，则¬p 2为真命题；∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， ∴q 3：(¬p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(¬p 2)为真命题. ∴真命题是q 1，q 4，故选C.4.解析：设函数f(x)= ax 2-bx ，∴f′(x)=ax -b ，由已知可得f′(x 0)=ax 0-b=0，又因为a>0，所以可知x 0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.由最小值定义可知选项C 正确. 5.解析：21x x - -1<0⇒11x x +-<0⇒(x-1)(x+1)<0⇒p ：-1<x<1；当a≥3时，q ：x<3或x>a ，当a<3时，q ：x<a 或x>3.¬p 是¬q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒p ，可推出a 的取值范围是a≥1. （二）填空题6.答案：对任何x∈R，都有x 2+2x+5≠07.解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p 且q”为假､“p 或q”为假､“非p”为真､“非q”为真. 8.解析：因为命题¬p 是真命题，所以命题p 是假命题，而当命题p 是真命题时，就是不等式ax 2+2x+3>0对一切x∈R 恒成立，这时应有0,4120a a >⎧⎨=-<⎩∆解得a> ，因此当命题p 是假命题，即命题¬p 是真命题时实数a 的取值范围是a≤ .9.解析：“若命题p i是真命题，则命题p i+4是真命题”实质是告诉我们一个命题真假的周期性，即在p1，p2，…，p2012中命题的真假每4个命题一循环，p2012的真假性应与p4的相同，所以我们只需判定p4的真假性即可.因为p1∧p2是真命题，所以p1，p2，都是真命题，所以p1∨p2是真命题.又因为(p1∨p2)∧(p3∨¬p4)是假命题，所以p3∨¬p4是假命题，所以p3和¬p4都是假命题，所以p4是真命题.所以p2012是真命题.（三）解答题10.解：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题.若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴a≤1.若q为真命题，即x2+2ax+2-a=0有实根，Δ=4a2-4(2-a)≥0，即a≥1或a≤-2，综上所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1.11.解：∵m∈[-1，1]，m+∈[22，3].∴28m+恒成立，可得a2-5a-3≥3，∵对m∈[-1，1]，不等式a2-5a-3≥28∴a≥6或a≤-1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤-1.又命题q：不等式x2+ax+2<0有解，∴Δ=a2-8>0，∴a>22或a<-22.从而命题q为假命题时，-22≤a≤22，∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为-22≤a≤-1.12.解：当命题p是真命题时，应有a>1；当命题q是真命题时，关于x的方程x2+2x+log a =0无解，所以Δ=4-4log a <0，解得1<a< .由于p∨q为真，所以p和q中至少有一个为真，又¬p∨¬q也为真，所以¬p和¬q中至少有一个为真，即p和q中至少有一个为假，故p和q中一真一假.p假q真时，a无解；p真q假时，a≥ .综上所述，实数a的取值范围是a≥ .中国领先的个性化教育品牌精锐教育网站：- 21 - 精锐教育·学习力研究院。

高考第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习

高考第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习一、选择题1．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列选项正确的是( )．A ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为真B ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为真C ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为假D ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为假2．下列命题中，正确的是( )．A ．命题“任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ≥0”B ．命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的必要不充分条件C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真D ．若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π43．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，设h (x )＝f (x )g (x )，则下列说法不正确的是( )．A ．存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x ) B ．任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎫x －π2＝g (x ) C ．任意的x ∈R ，h (－x )＝h (x )D ．任意的x ∈R ，h (x ＋π)＝h (x )4．(2011广东深圳调研)若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则( )．A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假5．若命题p ：任意的x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤－3或a ≥2B ．a ≥2C ．a ＞－2D ．－2＜a ＜26．下列命题：①任意的x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b”的逆否命题是真命题； ④若命题p ：任意的x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：存在x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p 且(q )是真命题．其中真命题为( )．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题7．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：任意的x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0.若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是__________．8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，且p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为__________．9．(2012江西赣州联考)设有两个命题：p ：不等式21+4>>23xm x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立；q ：f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数，如果“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)存在x 0∈R ，2040x －＝；(2)任意的T ＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，存在A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .11．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．12．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式200220x ax a ＋＋，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1．D 解析：因为p 真，q 假，由含有逻辑联结词的命题的真值表可以判断，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，p 为假．2．C 解析：A 中否定不能有等号，B 中命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的充分不必要条件，D 中概率计算错误，故选C.3．C 解析：对于A ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x ，g (x )＝sin x ，若f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，只需sin x ＝0，即x ＝k π，k ∈Z ，故存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )；对于B ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ＝g (x )，即任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝g (x )，故B 正确；对于C ，由于h (x )＝f (x )g (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 为奇函数，即h (－x )＝－h (x )，故C 不正确；对于D ，由h (x )＝12sin 2x 知，其最小正周期为π，故D 正确．综上，A ，B ，D 正确，C 不正确，故选C.4．B 解析：命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则p 为假命题，q 为真命题．5．B 解析：依题意，a ＋2＞0且Δ＝16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2.6．A 解析：由x 2＋2x ＞4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知，要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立，需要x ＞1，故②正确；由a ＞b ＞0得0＜1a ＜1b ，又c ＜0，可得c a ＞c b，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 为真命题，所以p 且(q )为假命题，所以选A.二、填空题7．⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1 解析：p ：由c 2＜c 得0＜c ＜1； q ：由Δ＝16c 2－4＜0，得－12＜c ＜12. 要使p 和q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 8．[3,8) 解析：p (1)：3－m ＞0，即m ＜3.p (2)：8－m ＞0，即m ＜8.∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴3≤m ＜8.9．1＜m ＜3 解析：p 为真命题，则有1＜m ≤4；q 为真命题，则有7－2m ＞1，即m ＜3，∴1＜m ＜3.三、解答题10．解：它们的否定及其真假分别为：(1)任意的x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)存在T 0＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，任意的A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．11．解：由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0 得m ＜－1，∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p 或q 为真，p 且q 为假可知，命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m ＜3. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．12．解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 02＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a ＞2或a ＜－2，即a 的取值范围为{a |a ＞2或a ＜－2}．。

一轮复习-简单的逻辑联结词及全称量词与存在量词

x M , p( x)
读作：“对任意x属于M,有p(x)成
引入2：
（1）有些三角形是直角三角形；（2）如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个是正数；（3）在素数中，有一个是偶数； 2 （4）存在实数x，使得x +x-1=0。
在以上命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，并用符号
p 真假
¬ p 假真
总结
“且、或、非”真值表 p 真真假假 q 真假真假 p∧q 真假假假 p∨q 真真真假
概括为：
p
﹁
假假真真
真“非”假，假“非” 真
有真“或”为真
两真“且”为真
变式2
如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真命题吗?反之,如果p∨q为真命题,那么 p∧q一定是真命题吗? p∧q为真命题 p∨q是真命题
真
真真假假
真假真假
假假
假
有些命题如含有“……和……”、
“……与……”、“既……，又…..”等词的命题能用“且”改写成“p∧q”的形式，例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假. （1）1既是奇数，又是素数；（2）2和3都是素数.
解：（1） 1是奇数且1是素数，假命题（2） 2是素数且3是素数，真命题
p : x0∈M, ﹁p(x0)
关键量词的否定
词语词语的否定
词语
是不是
一定是
都是不都是
大于
小于
且或
一定不是
小于或大于或等于等于
至多所有x成所有x 必有至少有一一个有n个立不成立个

1.3简单的逻辑连接词,全称量词与存在量词

解:(1)p 或 q:1 是素数或是方程 x +2x-3=0 的根.真命题. 2 p 且 q:1 既是素数又是方程 x +2x-3=0 的根.假命题. �� 不是素数.真命题. p:1 (2)p 或 q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p 且 q:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题. �� p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. (3)p 或 q:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同或绝对值相等.假命题. p 且 q:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同且绝对值相等.假命题. �� p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号不相同.真命题.
解析:命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题,∴ ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且(�� q)”是假命题;③命题“(�� p)或 q”是真命题;④命题“(�� p)或(�� q)”是假命题,故应选 D.
1 2 2
5 2
2
解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1= �� +
2
5
2
+ ≥ ,可得
4 4
3
3
命题 q 为真,则命题“p 且 q”是假命题;命题“p 且(�� q)”是假命题;命题“(�� p)且 q”是真命题;命题“(�� p)或(�� q)”是真命题.
1.命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( B ). A.p 或 q C.q B.p 且 q D.�� p

一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)

一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x)x0∈M，p(x0)x0∈M，p(x0)x∈M，p(x)1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)(2)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)(3)已知命题p：n0∈N,2n0＞1 000，则p：n0∈N，2n0≤1 000.(×)(4)命题“x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2＜0”．(×)2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0； q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧q C ．p ∧qD ．p ∧q 解析由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故q 为真命题，所以p ∧q 为真命题．答案 A3．(2014·湖南卷)设命题p ：x ∈R ，x 2＋1＞0，则p 为( ) A ．x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．x 0∈R ，x 20＋1＜0D ．x ∈R ，x 2＋1≤0解析 “x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B4．若命题“x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0. 答案 [－8,0]5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案 ①②③考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(p)∧(q) D．p∨(q)(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q) B．p∨(q)C．(p)∧(q) D．p∨q解析(1)由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(p)∧(q)，p∨(q)都是假命题．(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选 A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.答案(1)A(2)A规律方法若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．【训练1】 (1)若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条件．解析(1)因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－1x的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为假命题，q为真命题，故选D.(2)若命题“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题．若命题“p∧q”为真命题，则p，q都为真命题，因此“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件．答案(1)D(2)必要不充分考点二全(特)称命题的否定及其真假判定【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．x∈R，|x|＋x2＜0 B．x∈R，|x|＋x2≤0C．x0∈R，|x0|＋x20＜0 D．x0∈R，|x0|＋x20≥0(2)(2014·沈阳质量监测)下列命题中，真命题的是()A．x∈R，x2＞0 B．x∈R，－1＜sin x＜1C．x0∈R,2x0＜0 D．x0∈R，tan x0＝2解析 (1)全称命题的否定是特称命题，即命题“x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定为“x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”．故选C.(2)x ∈R ，x 2≥0，故A 错；x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；x ∈R,2x ＞0，故C 错，故选D.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)对全(特)称命题进行否定的方法有：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．【训练2】命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1 D ．存在实数x ，使x ≤1解析 “存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案 C考点三与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题【例3】已知p ：x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.答案 A规律方法以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．【训练3】已知命题p：“x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“x∈R，使得x2＋4x＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由x∈[0,1]，a≥e x，得a≥e；由x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.答案[e,4]微型专题利用逻辑关系判断命题真假2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑推理题，这也是今后高考命题的新趋向，大家应加以重视，解决问题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑关系进行转化．【例4 (1)(2014·新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．(2)对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．点拨找出符合命题的形式，根据逻辑分析去判断真假．解析(1)由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.(2)由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．答案(1)A(2)一点评在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题.[思想方法]1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”、“非”字眼，要结合语句的含义理解．2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与?p→真假相反．3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．[易错防范]1．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p 的结论．2．命题的否定包括：(1)对“若p，则q”形式命题的否定；(2)对含有逻辑联结词命题的否定；(3)对全称命题和特称命题的否定，要特别注意下表中常见词语的否定.词语词语的否定等于不等于大于不大于(或小于等于)小于不小于(或大于等于)是不是一定是不一定是都是不都是(至少有一个不是)必有一个一个也没有任意的某一个且或或且至多有一个至少有两个基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2014·湖北卷)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是()A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x C．?x?R，x2≠x D．?x∈R，x2＝x 解析原命题的否定为“?x∈R，x2＝x”．答案D2．(2014·天津卷)已知命题p：?x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则?p为()A．?x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1C．?x＞0，总有(x＋1)e x≤1D．?x≤0，总有(x＋1)e x≤1解析命题p为全称命题，所以?p：?x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案B3．(2015·海淀区模拟)已知命题p：?x∈R，x2＋x－1＜0，则?p为()A．?x∈R，x2＋x－1＞0 B．?x∈R，x2＋x －1≥0C．?x?R，x2＋x－1≥0D．?x?R，x2＋x －1＞0解析含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即?p：?x∈R，x2＋x－1≥0.答案B4．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．?p∨q B．p∧qC．?p∧?q D．?p∨?q解析不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有?p∨?q为真命题．答案D5．(2014·湖北七市(州)联考)已知命题p：?x∈R，cos x＝54；命题q：?x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(?p)∧(?q)是真命题D．命题(?p)∨(?q)是真命题解析易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．答案D6．下列命题中的假命题是()A．?x0∈R，lg x0＝0 B．?x0∈R，tan x0＝3C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0解析当x＝1时，lg x＝0，故命题“?x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝π3时，tan x＝3，故命题“?x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“?x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对?x∈R,2x＞0，故命题“?x∈R,2x＞0”是真命题．答案C7．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．?q为假C．p∧q为假D．p∨q为真解析p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．答案C8．(2015·武汉调研测试)已知命题p ：?φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：?x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(?p )∨qC ．p ∨(?q )D ．(?p )∧(?q )解析利用排除法求解．?φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，所以p 是真命题，?p 是假命题；?x ＝π2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，?q 是真命题．所以p ∧q ，(?p )∨q ，(?p )∧(?q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(?q )是真命题，故选C.答案 C二、填空题9．(2014·合肥质量检测)命题p ：?x ≥0，都有x 3－1≥0，则?p 是________．答案 ?x 0≥0，有x 30－1＜0.10．命题“?x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________．答案 ?x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是{x |x ＞－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集是{x |a ＜x ＜b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“?p ”、“?q ”中，是真命题的有________．解析依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“?p ”为真、“?q ”为真．答案 ?p 、?q12．下列结论：①若命题p ：?x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧?q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：若“x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧?q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.答案 ①③能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2014·衡水中学调研)给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1e x ＋1为偶函数．下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题B ．(?p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(?p )∨q 是真命题解析对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋e x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题，∴(?p )∧q 是假命题，故选B. 答案 B14．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )A ．?α ，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．?φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．?m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．?a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点解析对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3＝x －1＝1x ，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，?a ＞0，对于方程t 2＋t －a＝0，Δ＝1－4(－a )＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.答案 B15．(2014·北京海淀区测试)若命题“?x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析由已知得“?x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ＝m 2－4×1×(2m －3)＝m 2－8m ＋12≤0，解得2≤m ≤6，即实数m 的取值范围是2≤m ≤6.答案 [2,6]16．已知命题p ：“?x ∈R ，?m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题?p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．解析若?p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.答案 (－∞，1]17．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c的取值范围是________．解析由命题p 为真知，0＜c ＜1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义一、知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．()(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．()题组二：教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．43．命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞06．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．三、典型例题题型一：含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)2．已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号)思维升华：“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．题型二：含有一个量词的命题命题点1：全称命题、特称命题的真假典例下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <； p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，x )21(＞12log x ； p 4：∀x ∈)310(，，x)21(＜13log x .其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，x)31(＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，x)31(≤0 C ．∀x ∈R ，x)31(＜0D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0．(2)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2思维升华：(1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点(2)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 题型三含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝x)21(－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________．思维升华：(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈]2141[，，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．.四、高频考点一、命题的真假判断典例1(1)(已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )二、充要条件的判断典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件三、求参数的取值范围典例3(1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈]3,21[，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．五、反馈练习1．命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈)2,0(，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R ，3x ＞0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝04．若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x ) C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)5．设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧qD ．(綈p )∨q6．已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(綈q )是真命题C ．命题(綈p )∧q 是真命题D ．命题(綈p )∨(綈q )是假命题 7．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1 D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________．10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．12．已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是___．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．。

【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件001003-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.逻辑联结词的理解与应用
(1)命题 p∧q 为假命题的充要条件是命题 p， q 至少有一个假命题． ( ) (2)命题 p∨q 为假命题的充要条件是命题 p， q 至少有一个假命题． ( )
2．对命题的否定形式的理解
(3)(2013·山西四校联考改编 )“ 有些偶数能被 3 整除” 的否定是“ 所有的偶数都不能被 3 整除” ．( ) (4)(2013·东北联考改编)命题 p：∃n 0∈N,2n 0＞1 000，则乛 p：∃n ∈ N,2n ≤1 000.( ) (5)(2013·四川卷改编)设 x ∈Z ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集，若命题 p：∀x ∈A ,2x ∈B ，则乛 p：∃x ∉ A ,2x ∉ B .( ) (6)已知命题 p：若 x ＋y＞0，则 x ，y 中至少有一个大于 0，则乛 p：若 x ＋y≤0，则 x ，y 中至多有一个大于 0.( )
知识与方法回顾
知识梳理
辨析感悟
例1
探究一含有逻辑联结词命题的真假判断
训练1
例2 训练2 例3 训练3
技能与规律探究
探究二含有一个量词的命题否定探究三含有量词的命题的真假判断
经典题目再现
1.简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词 p 或 ”、真且 ”、命题中的“____ “____ 非 ”叫做逻辑联结词．真 “_____ (2)命题 p∧q，p∨q，假乛 p 的真假判断假 q 真假真假 p∧q 真 __ 假 __ 假 __ __ 假 p∨q 真 __ 真 __ 真 __ __ 假
1 2 p：∃x0∈R，x0－x0＋＜0，假命题．
含有一个量词的命题否定
考点
【训练 2 】 (1)(2013·江门、佛山模拟)已知命题 p：∃x 0＞1，x 2 ．∀x ＞1，x 2－1≤0 C．∃ x 0＞1，x 2 D．∃x 0≤ 1，x 2 0－1≤0 0－1≤0 (2)命题： “对任意 k ＞0，方程 x 2＋x －k ＝ 0 有实根”的否定是________．

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第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【2015年高考会这样考】1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．2．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【复习指导】复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度中档偏下．基础梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：p q p∧q p∨q ¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否定1．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．2．复合命题的否定(1)綈(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；(2)綈(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q)．三条规律(1)对于“p∧q”命题：一假则假；(2)对“p∨q”命题：一真则真；(3)对“¬p”命题：与“p”命题真假相反．双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案 C2．(2011·北京)若p是真命题，q是假命题，则()．A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有¬q是真命题．答案 D3．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y＝|x－1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)则()．A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真答案 D4．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是()．A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真D．p为真、q为假答案 C5．(2010·安徽)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3考向一含有逻辑联结词命题真假的判断【例1】►(2010·新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是()．A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4[审题视点] 根据复合函数的单调性判断p1，p2的真假．解析可判断p1为真，p2为假；则q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案 C“p∨q”、“p∧q”、“¬q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“¬q”形式命题的真假．【训练1】已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“¬p∨¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“p∨¬q”是假命题．其中正确的是()．A．②③B．②④C．③④D．①②③解析命题p是假命题，命题q是真命题，故③④正确．答案 C考向二全称命题与特称命题【例2】►写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.[审题视点] 改变量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．解(1)¬p：∃x0∈R，x20－x0＋14＜0，假命题．(2)¬q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．【训练2】写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 不是3x －5＝0的根； (2)q ：有些合数是偶数； (3)r ：∃x 0∈R ，|x 0－1|＞0.解 (1)¬p ：∃x 0∈R ，x 0是3x －5＝0的根，真命题． (2)¬q ：每一个合数都不是偶数，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，|x －1|≤0，假命题．考向三根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】►(2012·浙大附中月考)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．[审题视点] 先解不等式将命题p 与命题q 具体化，然后根据“p 或q ”与“p 且q ”的条件可以知道命题p 与命题q 一真一假，从而求出m 的取值范围．解由p 得：⎩⎨⎧Δ1＝m 2－4＞0，－m ＜0，则m ＞2.由q 得：Δ2＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，则1＜m ＜3.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎨⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3；②当p 假q 真时，⎩⎨⎧m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2.∴m 的取值范围为m ≥3或1＜m ≤2.含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．【训练3】已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1. 不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴a ＞0且a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4. ∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真， ∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真q 假时，⎩⎨⎧a ＞1，a ≥4，得a ≥4.②当p 假q 真时，⎩⎨⎧0＜a ≤1，0＜a ＜4，得0＜a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．规范解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题【问题研究】利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题：一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围.求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的现象.,【解决方案】解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式求得所求问题.【示例】► (本题满分12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p∨q ”为真，求实数c 的取值范围．(1)p ，q 真时，分别求出相应的c 的范围；(2)用补集的思想求出¬p ，¬q分别对应的c 的范围；(3)根据“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为真，确定p ，q 的真假． [解答示范] ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0＜c ＜1.(2分)即p ：0＜c ＜1.∵c ＞0且c ≠1，∴¬p ：c ＞1.(3分) 又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0＜c ≤12.∵c ＞0且c ≠1，∴¬q ：c ＞12且c ≠1.(6分)又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．(7分) ①当p 真，q假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1；(9分)②当p 假，q真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅.(11分)综上所述，实数c的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1.(12分)解决此类问题的关键是首先准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．【试一试】设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围． [尝试解答] 由⎩⎨⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1.∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3.∴m 的取值范围是{m |m ≤－2，或－1≤m ＜3}．。