基本逻辑联结词与量词

(2)因为“¬p 或¬q”是假命题，所以¬p 和¬q 都是假命题， 所以 p 和 q 都是真命题，由真值表可得“p 或 q”“p 且 q”“¬p 或 q”都是真命题，而“¬p 且 q”是假命题．故选 C.
[答案] (1)D (2)C
考点二 含有一个量词的命题的否定(基础型考点——自
主练透)
[方法链接]
[解析] x＝±1 时，p 成立，所以 p 真，q 假，p∨q 真，p ∧q 假．
[答案] p、p∨q
5．已知命题 p：∃a0∈R，曲线 x2＋ay20＝1 为双曲线：命题 q：x2－7x＋12＜0 的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：①命 题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p ∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题．其中正确的是 ________．
[解析] “∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的 命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0”故选 C.
[答案] C
2．有下列四个命题，其中真命题是( ) A．∀n∈R，n2≥n B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m C．∀n∈R，∃m∈R，m2＜n D．∀n∈R，n2＜n
[解析] p∧q 为假命题时，p，q 可能一个真命题一个假命 题，也可能两个都是假命题．故选 A，B，C 中的结论都不正确； 选项 D 中结论等价于 p，q 至少有一个假命题，故正确．
[答案] D
4．已知命题 p：∃x∈R，x2＋x12≤2，命题 q 是命题 p 的否 定，则命题 p、q、p∧q、p∨q 中是真命题的是________．
提醒：不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易 正面判断时，可先判断其否定的真假．
[题组集训] 1．(2016·郑州模拟)下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R,2x－1＞0 C．∃x0∈R，lgx0＜1 D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2
[解析] A 显然正确；由指数函数的性质知 2x－1＞0 恒成立， 所以 B 正确；当 0＜x＜10 时，lg x＜1，所以 C 正确；因为 sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4，所以－ 2≤sin x＋cos x≤ 2，所以 D 错误．
∈Z)时，函数 y＝ 2(sin 2x＋cos 2x)取得极小值．下列说法正确
的是( )
A．p∨q 是假命题
B．¬p∨q 是假命题
C．p∧q 是真命题
D．¬p∨q 是真命题
思路点拨 (1)先判定命题 p 与 q 的真假，再由含有逻辑联 结词命题的真值表进行判断．
(2)分别判定 p 与 q 的真假．再判定复合命题的真假．
1(a＞0 且 a≠1)恒过(1,2)点；命题 q：若函数 f(x－1)为偶函数，
则 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，则下列命题为真命题的是
() A．p∧q
B．¬p∧¬q
C．¬p∧q
D．p∧¬q
(2)(2016·长春市调研)给定命题 p：函数 y＝sin2x－34π和函
数 y＝cos2x－34π的图象关于原点对称；命题 q：当 x＝kπ－π2(k
[解析] ∀x 的否定为∃x0，＞的否定为≤，所以命题¬p 为 ∃x0∈－π2，π2，tan x0≤sin x0.
[答案] C
3．(2016·保定二模)已知命题 P 为：“∃x∈R，|x|≤0”， 则¬P 为：________.
[解析] 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 P“∃ x∈R，|x|≤0”的否定为¬P 为“∀x∈R，|x|＞0”．
[解析] 选对于选项 A，令 n＝12即可验证其不正确；对于 选项 C、选项 D，可令 n＝－1 加以验证，均不正确，故选 B.
[答案] B
3．已知命题 p∧q 为假命题，下列结论正确的是( ) A．p∨q 为真命题 B．(¬p)∧q 为真命题 C．p，q 有且只有一个假命题 D．¬p，¬q 至少有一个真命题
[答案] B
考点四 利用复合命题的真假求参数范围(深化型考点 ——引申发散)
【例 2】 已知命题 p：关于 x 的不等式 ax＞1(a＞0，a≠1) 的解集是{x|x＜0}，命题 q：函数 y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为 R， 如果 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则实数 a 的取值范围为 ________．
[答案] (1)B (2)B
【名师说法】
(1)“p∧q”“p∨q”“¬p”形式命题的真假判断步骤 ①准确判断简单命题p、q的真假； ②判断“p∧q”“p∨q”“¬p”命题的真假． (2)含有逻辑联结词的命题的真假判断规律 ①p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真； ②p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假； ③¬p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
(2) 命 题 p 中 y ＝ cos 2x－34π ＝ cos 2x－π4－π2 ＝ cosπ2－2x－π4＝sin2x－π4与 y＝sin2x＋π4关于原点对称，故 p 为真命题；命题 q 中 y＝ 2(sin 2x＋cos 2x)＝2sin2x＋π4取极小 值时，2x＋π4＝2kπ－π2，则 x＝kπ－38π，k∈Z，故 q 为假命题， 则¬p∧q 为假命题，故选 B.
[解析] 命题 p：所有指数函数都是单调函数，则¬p 为： 存在一个指数函数，它不是单调函数．选 C.
[答案] C
2．(2016·洛阳市统一考试)若命题 p：∀x∈－π2，π2，tan x ＞sin x，则命题¬p 为( )
A．∃x0∈－π2，π2，tan x0≥sin x0 B．∃x0∈－π2，π2，tan x0＞sin x0 C．∃x0∈－π2，π2，tan x0≤sin x0 D．∃x0∈－∞，－π2∪π2，＋∞，tan x0＞sin x0
3．下列命题中，真命题是( ) A．∃x0∈0，π2，sin x0＋cos x0≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1 C．∃x0∈R，x20＋x0＝－1 D．∀x∈π2，π，tan x＞sin x
[解析] 对于选项 A，sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4≤ 2，所 以此命题不成立；对于选项 B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当 x＞ 3 时，(x－1)2－2＞0，所以此命题成立；对于选项 C，x2＋x＋1 ＝x＋122＋34＞0，所以 x2＋x＝－1 对任意实数 x 都不成立，所 以此命题不成立；对于选项 D，当 x∈π2，π时，tan x＜0，sin x ＞0，命题显然不成立．
(4)全称命题与特称命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
∃x0∈M，¬p(x0) ∀x∈M，¬p(x)
[小题查验] 1．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的 否定是( ) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0＜0 D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0
[解析] 由关于 x 的不等式 ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x ＜0}，知 0＜a＜1；
[解析] (1)当 x＝1 时，y＝2－a2≠2，所以命题 p 为假，故 ¬p 为真；由函数 f(x－1)是偶函数知，函数 y＝f(x－1)的图象关 于 y 轴对称，由函数图象的平移法则知，y＝f(x)的图象关于直 线 x＝－1 对称，所以命题 q 为假，故¬q 为真．所以¬p∧¬q 为 真．故选 B.
跟踪训练
(1)(2016·商丘二模)已知命题 p：函数 y＝ax＋1＋1(a＞0 且
a≠1)的图象恒过(－1,2)点；命题 q：已知平面 α∥平面 β，则直
线 m∥α 是直线 m∥β 的充要条件；则下列命题为真命题的是
() A．p∧q
B2016·重庆模拟)已知命题“¬p 或¬q”是假命题，则下列
词．
(2)p命题真值表q
真
真
假
真
p∧q _真___ __假__
p∨q __真__ __真__
¬p _假___ __真__
真
假
__假__
__真__
__假__
假
假
__假__
__假__
__真__
2.全称量词与全称命题 (1)全称量词：短语“_____所__有______”在陈述中表示所述事 物的__全__体___，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“_∀____” 表示． (2)全称命题：含有__全__称__量__词____的命题． (3)全称命题的符号表示 形 如 “ 对 M 中 的 所 有 x ， p(x)” 的 命 题 ， 用 符 号 简 记 为 “__∀_x_∈__M__，__p_(_x)____”．
含有一个量词的命题的否定的重点题型及破解策略：
重点题型
破解策略
全称命题的否 把全称量词改为存在量词，把后面的结论
定
进行否定
特称命题的否 把存在量词改为全称量词，把后面的结论
定
进行否定
提醒：没有量词的要结合命题的含义加上量词．
[题组集训] 1．(2016·湖北省八校联考)已知命题 p：所有指数函数都是 单调函数，则¬p 为( ) A．所有的指数函数都不是单调函数 B．所有的单调函数都不是指数函数 C．存在一个指数函数，它不是单调函数 D．存在一个单调函数，它不是指数函数
[解析] 因为命题 p 和命题 q 都是真命题，所以命题“p∧ q”是真命题，命题“p∧¬q”是假命题，命题“¬p∨q”是真 命题，命题“¬p∨¬q”是假命题．
[答案] ①②③④
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假(重点型考点——
师生共研)
【例 1】 (1)(2016·吉林模拟)已知命题 p：函数 y＝2－ax＋
[答案] D
2．已知 a＞0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 m 满足关于 x 的 方程 2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )