专题1.3以多参数为背景的填空题-高考数学备考优生百日闯关系列Word版含解析

专题一 压轴填空题第三关 以多参数为背景的填空题【名师综述】基本不等式是C 级要求，是高中数学的重要知识，高考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查．等价代换或转换是解题方法,也是解题难点．类型一 代入转换已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 .【答案】[名师点睛] 1代换成2()2a b +,构造出应用基本不等式的条件 【举一反三】已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则12x ＋xy ＋1的最小值为____________．【答案】54【解析】将x ＋y ＝1代入12x ＋x y ＋1中，得x ＋y 2x ＋x x ＋2y ＝12＋y 2x ＋11＋2y x ，设yx＝t ＞0，则原式＝1＋t 2＋11＋2t ＝2t 2＋3t ＋32（1＋2t ）＝14·（1＋2t ）2＋2t ＋1＋41＋2t ＝14[(1＋2t)＋41＋2t ＋1]≥14×2（1＋2t ）·41＋2t ＋14＝54，当且仅当t ＝12时，即x ＝23，y ＝13时，取“＝”．类型二 放缩转换若不等式2sin sinsin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为________．【答案】100【解析】由正弦定理得22max1919bc ac kb ac bc k b -⎛⎫+>∴>⎪⎝⎭ ()()()22221919199100100b a c b a a b bc ac a b b b b --+-⎛⎫=<=--+≤ ⎪⎝⎭因此100k ≥ ，即k 的最小值为100[名师点睛]利用三角形中三边不等关系放缩消元是解题关键 【举一反三】已知1,2a b >>2a b+__________．【答案】6类型三 分离转换已知正数x ，y 满足2223x yxy x y-=+，那么y 的最大值为 .【答案】13【解析】221126440233x y xy y x y x y y x -=⇒-=+≥⇒<≤+[名师点睛]运用分离变量法，将目标转化为求函数值域及解对应不等式【举一反三】已知正实数a ，b ，c 满足1a +1b =1，1a b +1bc +1ca =1，则实数c 的取值范围是 .【答案】4(1,]3【解析】1111111111a bb c c aa bcc a b++=⇒+=⇒=-，因为111111104a ba b a b +=≥⋅⇒<≤ ，所以3141,1.43c c≤<<≤ 类型四 设参转换若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为__________．【答案】24[名师点睛]引进参数不是增加元，而是巧妙消元【举一反三】设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是__________．【答案】 42＋6【解析】由x 24－y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫x 2－y ⎝⎛⎭⎫x 2＋y ＝1，假设x 2－y ＝m ，x2＋y ＝n ，即mn ＝1，则x ＝m ＋n ，y ＝n －m 2.所以3x 2－2xy ＝4m 2＋2n 2＋6mn ≥28m 2n 2＋6mn ＝42＋6(当且仅当4m 2＝2n 2时取等号)．类型五 构造函数转换若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，xy 的值为________．【答案】 2【解析】 (解法1)因为实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，所以(x ＋2y)2＋4x 2y 2－8xy ＝4，即(x ＋2y)2＋4(xy －1)2＝8，所以(x ＋2y)2＝8－4(xy －1)2，所以当(xy －1)2＝0时，即xy ＝1时，x ＋2y 取得最大值，此时x ＝2，y ＝22，所以xy＝2.(解法2)因为实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，所以(x －2y)2＋4x 2y 2＝4，令x －2y ＝2cos θ，xy ＝sin θ，则(x ＋2y)2＝(x －2y)2＋8xy ＝4cos 2θ＋8sin θ，所以(x ＋2y)2＝－4sin 2θ＋8sin θ＋4，所以当sin θ＝1时，(x ＋2y)2取得最大值，此时xy ＝1，x －2y ＝0，所以xy＝2.[名师点睛]从式子结构出发寻找函数关系，关键熟练掌握代数关系.【举一反三】已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为____________．【答案】 4＋423【解析】将b ＝14a 代入y ＝11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1，其中14<a<1，求导得y′＝1（1－a ）2－8（4a －1）2＝0，则a ＝－12＋342，代入y ＝11－a ＋21－b，得y 的最小值为4＋423 类型六 利用判别式转换若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y 的最大值为__________．【答案】322－1[名师点睛] 本题是函数与方程思想的典型运用【举一反三】在平面直角坐标系xOy 中，设点A(1，0)，B(0，1)，C(a ，b)，D(c ，d)，若不等式CD → 2≥(m －2)OC →·OD →＋m(OC →·OB →)·(OD →·OA →)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m 的最大值是__________． 【答案】 5－1【解析】将点A(1，0)，B(0，1)，C(a ，b)，D(c ，d)的坐标代入不等式CD → 2≥(m －2)OC →·OD →＋m(OC →·OB →)·(OD →·OA →)，化简得a 2－mca ＋c 2＋b 2＋d 2－mbd －mbc ≥0，即Δ1＝m 2c 2－4c 2－4b 2－4d 2＋4mbd ＋4mbc ≤0恒成立，即4d 2－4mbd －m 2c 2＋4c 2＋4b 2－4mbc ≥0.则Δ2＝16m 2b 2－16(－m 2c 2＋4b 2＋4c 2－4mbc)≤0，即(m 2－4)b 2＋4mcb ＋(m 2－4)c 2≤0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4＜0，Δ＝16m 2c 2－4（m 2－4）2c 2≤0，有m 4－12m 2＋16≥0，又m 2<4，m 2≤6－25，则实数m 的最大值是5－1.类型七 利用线性规划转换已知x 、y ∈R ，满足2≤y ≤4－x ，x ≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1的最大值为____________．【答案】103【解析】由题易知x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1＝（x ＋1）2＋（y －1）2（x ＋1）（y －1）＝x ＋1y －1＋y －1x ＋1，令t ＝y －1x ＋1，则由线性规划知t ∈[13，1]，从而t ＋1t ∈[2，103]．[名师点睛]线性规划是解决有关最值问题的一个有效的方法【举一反三】已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则ba的取值范围是__________． 【答案】[e,7]．而00b y y a x x -==-表示可行域内的点P(x ，y)与原点连线l 的斜率．由534y x y x =-⎧⎨=-⎩得1272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故17(,)22A由图知当直线l 过点A 时取得最大值，最大值为72712=.设过原点与y ＝e x相切的直线为y ＝kx ，切点为(x0，y0)由y ′＝e x知k ＝ex0＝0000e x y x x =，∴x0＝1 ∴切点坐标为(1，e)，切线方程为y ＝ex.显然此时y x 取得最小值，所以yx 的取值范围为[e,7]．【精选名校模拟】1. 已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为____________．【答案】3＋222【解析】a 2＋2a ＋b 2b ＋1＝a ＋2a ＋b 2－1＋1b ＋1＝a ＋2a ＋b －1＋1b ＋1＝2a ＋1b ＋1＝12(2a ＋1b ＋1)(a ＋b ＋1)＝12[2＋1＋2（b ＋1）a ＋a b ＋1]≥32＋ 2. 2. 若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为__________．【答案】43. 已知正实数a ，b 满足9a 2＋b 2＝1，则ab3a ＋b 的最大值为____________．【答案】212【解析】设3a ＝cos θ，b ＝sin θ，其中θ为锐角，ab3a ＋b ＝sin θcos θ3（sin θ＋cos θ），设t ＝sin θ＋cos θ，θ为锐角，则1<t ≤2，sin θcos θ＝t 2－12，ab 3a ＋b ＝16⎝⎛⎭⎫t －1t ，而1<t ≤2，则ab3a ＋b 的最大值为212，此时t ＝ 2.4. 已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9y y －1的最小值为____________． 【答案】25【解析】由1x ＋1y ＝1，得x ＋y ＝xy, 4x x －1＋9y y －1＝4（x －1）＋4x －1＋9（y －1）＋9y －1＝13＋4x －1＋9y －1＝13＋9x ＋4y －13xy －x －y ＋1＝9x ＋4y ＝(9x ＋4y)⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝13＋4y x ＋9xy ≥13＋236＝25. 5. 已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，c ≠0，则ba －2c的取值范围为______________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－33，33 【解析】由a 2＋b 2＝c 2可设a ＝csinx ，b ＝ccosx ，b a －2c ＝ccosx csinx －2c ＝cosxsinx －2，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为±33，则b a －2c的取值范围为⎣⎡⎤－33，33.6. 设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________．【答案】5－12【解析】由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝1－x 22x .故x 2＋y 2＝x 2＋x 4－2x 2＋14x 2＝14(5x 2＋1x 2)－12≥5－12. 7. 已知实数x 、y 满足x>y>0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________． 【答案】3＋224【解析】因为x>y>0，且x ＋y ≤2，则2x ＋2y ≤4，2x ＋3y ＋1x －y＞0，所以4⎝⎛⎭⎫2x ＋3y ＋1x －y ≥⎝⎛⎭⎫2x ＋3y ＋1x －y (2x ＋2y)＝⎝⎛⎭⎫2x ＋3y ＋1x －y [(x ＋3y)＋(x －y)]＝2＋2（x －y ）x ＋3y ＋x ＋3y x －y＋1≥3＋2 2.8. 已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为________． 【答案】43【解析】设m ＝4x ＋y>0，n ＝x ＋y>0，则x ＝m －n 3，y ＝4n －m 3，4x 4x ＋y ＋y x ＋y ＝83－13⎝⎛⎭⎫4n m ＋m n ≤83－43＝43. 9. 已知正实数x ，y 满足x ＋2x ＋3y ＋4y ＝10，则xy 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎦⎤1，8310. 已知函数f(x)＝3x ＋a 与函数g(x)＝3x ＋2a 在区间(b ，c)上都有零点，则a 2＋2ab ＋2ac ＋4bcb 2－2bc ＋c 2的最小值为________． 【答案】－1【解析】由题知⎩⎪⎨⎪⎧f （b ）＝3b ＋a<0，g （b ）＝3b ＋2a<0，f （c ）＝3c ＋a>0，g （c ）＝3c ＋2a>0.又a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc （b －c ）2＝（a ＋2b ）（a ＋2c ）（b －c ）2＝4⎝⎛⎭⎫b ＋a 2⎝⎛⎭⎫c ＋a 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b ＋a 2－⎝⎛⎭⎫c ＋a 22，当a ＞0时，b ＜－2a 3，c ＞－a3，∴ b ＋a 2＜－a 2＜0，c ＋a 2＞a6＞0；当a ＜0时，b ＜－a 3，c ＞－2a3，∴ b ＋a 2＜a 6＜0，c ＋a 2＞－a6＞0；当a ＝0时，b ＋a 2＜0，c ＋a2＞0.综上知，b ＋a 2＜0，c ＋a2＞0.设b ＋a 2＝x ＜0，c ＋a 2＝y ＞0，原式＝4xy （x －y ）2，∵ (x －y)2＝(|x|＋|y|)2＝x 2＋y 2＋2|xy|≥4|xy|，∴ －1≤4xy（x －y ）2＜0，即原式最小值为－1.11. 设实数a 、b 、c 满足a 2＋b 2≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为____________．【答案】－1212. 设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数)的导函数为f′(x)．对任意x ∈R ，不等式f(x)≥f ′(x)恒成立，则b 2a 2＋c 2的最大值为____________．【答案】22－2【解析】 不等式f(x)≥f′(x)即ax 2＋bx ＋c ≥2ax ＋b ，所以对任意x ∈R ，不等式ax 2＋(b －2a)x＋(c －b)≥0(a ≠0)恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（b －2a ）2－4a （c －b ）≤0，⎩⎪⎨⎪⎧a>0，b 2≤4ac －4a 2， b 2a 2＋c 2≤4ac －4a 2a 2＋c2＝4c a －41＋（c a）2，令c a －1＝t ，则由4ac －4a 2≥b 2≥0以及a>0知ca ≥1，所以t ≥0等号仅当a ＝c 且b ＝0时成立．又4c a －41＋（c a）2＝4t 1＋（t ＋1）2＝4tt 2＋2t ＋2， 当t ＝0时4t t 2＋2t ＋2＝0，当t>0时4t t 2＋2t ＋2＝4t ＋2t ＋2≤42t·2t＋2＝22＋1＝22－2，所以当t ＝2时4t t 2＋2t ＋2取最大值22－2，因此当b 2＝4ac －4a 2且c a －1＝2时b 2a 2＋c2取最大值22－2.。