全国高2020届高2017级高三2019年12月高三数学二轮复习资料第39课 双曲线
全国高2020届高2017级高三2019年12月高三数学二轮复习资料第7课指数与指数函数
1
2
3
4
三组题讲透
a
a
1 2
第7课 第(1)题
P27
三组题讲透
a
第7课 第(1)题
P27
第7课 小积累
P27
三组题讲透
1 3
第7课 第(2)题
P27
第7课 方法便笺
P27
第7课 方法便笺
P27
第7课 方法便笺
P27
三组题讲透
4
第7课 第(3)题
P27
三组题讲透
4
第1题 第6题
第2题 第7题
第3题 第8题
第4题 第9题
第5题 第10题
课后提分练 7 A组 第1题 第6题 B组 第10题
第2题 第7题 第11题
第3题 第8题 第12题
第4题 第9题
第5题
目录
一张图学透
n次方根
相反数
a 0
a
aa 0 | a | aa 0
a n m 1
a n m
a mn
a mn
a mn
a bn
n
an
1
bn
an
第7课 一张图学透
指数与指 数运算
一张图学透
a 0,a 1
R (0, )
第7课 一张图学透
指数函数
一张图学透
a 0,a 1
0
0
增
0,1
0
y轴
0 减
第7课 一张图学透
指数函数
a a 1 a a 0
第7课 方法便笺
P29
三组题讲透
第7课 第(15)题
P29
高考数学一轮复习 考点39 数学归纳法必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点39 数学归纳法1．（某某省某某县第一中学2019届高三上学期第三次模拟考试数学理）用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：C．2．（某某省豫南九校2017-2018学年下学期高二第二次联考理）用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，不等式为；当时，不等式为，即，比较可得增加的项为．故选C．3．（某某省马某某市2019届高三高考一模理）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项积为nT ，若21n n S T +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最接近2019的是第______项.【答案】45【解析】21n n S T +=，可得1121S T +=，且1113S T ==； 则12321n n S S S S S +⋯=，即12321n n S S S S S ⋯=-，1123121n n S S S S S +++⋯=，即1231121n n S S S S S ++⋯=-，两式相除得：11111n n n S S S ++-=-，则112n nS S +=-， 由113S =，解得235S =； 由235S =，解得357S =；⋯猜想2121n n S n -=+， 用数学归纳法证明， 当1n =时，113S =，满足2121n n S n -=+， 假设当()*n k k =∈N时，猜想成立，即2121k k S k -=+， 则当1n k =+时，1112121223221k k k S k S k k ++===--+-+，满足2121nn S n -=+， 故猜想成立，即2121n n S n -=+.1113a S ==，2n ≥时，()()12123421212121n n n n n a S S n n n n ---=-=-=+--+， 当1n =，113a =不满足()()42121na n n =-+， 故()()3,112121,24n n n n a n =⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，由()()22121144n n n -+=-，当44n =时，21441935.754-=， 当45n =时，21452024.754-=，当46n =时，21462115.754-=．综上可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最接近2019的是第45项．故答案为：45．4．（某某省某某市2019届高中毕业生二月调研测试理）已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足214(3)(2,)n n S a n n N *-=+∈≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =______________．【答案】21n - 【解析】当1n =时，11a =；当2n =时，221224(3)16,4,3S a S a =+=∴==； 当3n =时，232334(3)36,9,5S a S a =+===；当4n =时，243444(3)64,16,7S a S a =+===，猜想得21n a n =-，故21n a n =-，下面用数学归纳法证明： ①11a =，满足21n a n =-，②假设n k =时，结论成立，即21k a k =-，可得2k S k =， 则22214(3)(22)4(1)k k S a k k +=+=+=+，222111(1),(1)21k k k k S k a S S k k k +++∴=+=-=+-=+2(1)1k =+-，也满足21n a n =-，结合①②可知，21n a n =-，故答案为21n a n =-．5．（某某省某某市2019届高三质量监测（四)数学理）已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（Ⅰ）2343,7,15a a a ===;21nn a =-.（Ⅱ）见解析.【解析】解：（Ⅰ）因为点()()*1,n n a a n N +∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（Ⅱ）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21nn a =-.6．（某某省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）①当1n =时，2221112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立.②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立下证：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立。
2020高考数学理科二轮复习导学案+圆锥曲线综合问题+Word版含解析
圆锥曲线综合问题题型一：圆锥曲线中的定点问题1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12- 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . 证明：直线AB 过定点：【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.2、［2017•全国Ⅰ，20］已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3（-1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程．(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．解 (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2， 可得A ，B 的坐标分别为（t ，4－t 22），（t ，－4－t 22），则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设。
从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．题型二：圆锥曲线中的定值问题1、［2015•全国Ⅱ，20］已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不 过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；解 证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．2、［2016•北京卷，19］已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2，0)，B (0，1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1. 所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值． 题型三：圆锥曲线的证明问题1、［2016•全国Ⅲ，20］已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ解：由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .2、［2017•全国Ⅱ，20］设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP→＝ 2 NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1，0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF→＝3＋3m －tn ，OP→＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF→＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .题型四：圆锥曲线中的最值与范围问题1、(2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值．解 (1)由题意得2c ＝22，所以c ＝2，又e ＝c a ＝63，所以a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆M 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x23＋y 2＝1消去y ，可得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，则Δ＝36m 2－4×4(3m 2－3)＝48－12m 2>0，即m 2<4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6×4－m 22，易得当m 2＝0时，|AB |max ＝6， 故|AB |的最大值为 6.2、［2019•全国Ⅱ］已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．设 ，,,.,①设(,)G GG x y，则和G x是方程①的解，,,所以，即PQG△是直角三角形．因为,所以令(k>0),则可得在单调递减当时，面积最大值为16 9.题型五：圆锥曲线中的探索性问题1、［2015•全国Ⅰ，20］在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝x2 4与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x2＝k (a ＋b )a . 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．。
高考数学总复习课时作业(三十九)第39讲数学归纳法理(2021年整理)
2019年高考数学总复习课时作业（三十九）第39讲数学归纳法理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学总复习课时作业（三十九）第39讲数学归纳法理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学总复习课时作业（三十九）第39讲数学归纳法理的全部内容。
课时作业（三十九)第39讲数学归纳法基础热身1。
用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N*）”,在验证n=1时,左端所得的项为（）A。
1 B。
1+aC。
1+a+a2D。
1+a+a2+a32.用数学归纳法证明“凸n边形对角线的条数f=”时，第一步应验证(）A.n=1成立B.n=2成立C。
n=3成立D。
n=4成立3。
用数学归纳法证明“1+++…+=”时,由n=k 到n=k+1，等式左边需要添加的项是(）A.B。
C。
D.4.在数列｛a n｝中,a1=2,a n+1=(n∈N*)，可以猜想数列的通项公式为.5.用数学归纳法证明“1+++…+〈2—(n≥2，n∈N＊)"时第一步需要验证的不等式为.能力提升6。
已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1-+—+…+=2++…+"时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立（)A.k+1B.k+2C.2k+2D.2(k+2）7.用数学归纳法证明“1+++…+<F"时，假设n=k时不等式成立,则n=k+1时,不等式左边应增加的项数是()A.2k-1B。
2k—1C.2k D。
2k+18.设f（x）是定义在正整数集上的函数,且f（x)满足：当f（k）≥k+1成立时，总可推出f（k+1)≥k+2成立。
2019高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第39讲 数学归纳法
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
解：(1)f(6)＝13.
n n n＋2＋2＋3，n＝6t， n－1 n－1 n ＋ 2 ＋ ，n＝6t＋1， ＋ 2 3 n n－2 n＋2＋ 2＋ 3 ，n＝6t＋2， * (2)当 n≥6 时，f(n)＝ ( t ∈ N )． n－1 n n＋2＋ ＋ ，n＝6t＋3， 2 3 n n－1 n＋2＋ ＋ 2 ，n＝6t＋4， 3 n－1 n－2 n＋2＋ ，n＝6t＋5. ＋ 2 3
考试说明
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
教学参考
考情分析
考点
考查方向 证明等式
考例
考查热度 ★☆☆
数学归纳 法
证明不等式
★☆☆
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
■ [2016－2011]课标全国卷真 题再现 1n 1．[2015· 湖北卷] 已知数列{an}的各项均为正数，bn＝n1＋n an(n∈N＋)，
1 k＋1a ，由归纳假设可得 bk＋1＝(k＋1)1＋k＋1 k＋1 1 b1b2…bkbk＋1 b1b2…bk bk＋1 k＋1 k k＋1 1 ＋ ＝ · ＝(k＋1) (k＋1)· ＝ ( k ＋ 2) . k＋1 a1a2…akak＋1 a1a2…ak ak＋1
1 1 1 1 ＝b11×2＋2×3＋…＋n（n＋1）＋b2 2×3＋ 1 1 ＋…＋ ＋…＋ 3×4 n（n＋1）
人教A版2020届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳(拔高)：概率与统计
概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。
二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。
（2）若()=P B A P B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。
A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。
即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++=L .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++L ，反映随机变量ξ取值的波动性。
2019-2020年高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料
方法 ,包含“以形助数”和“以数解形”两个方面 . 一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形
作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密
性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的
2019-2020 年高三数学第二轮专题复习数形结合思想课堂资料
一、基础知识整合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）
、不等式（组） 、函
数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解
析几何 .
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想
则不等式 x 2 x的解，就是使 y1 x 2的图象
在y2 x的上方的那段对应的横坐标， 如下图，不等式的解集为 { x | x A ≤ x xB } 而 xB 可由 x 2 x，解得， x B 2， x A 2， 故不等式的解集为 { x | 2≤ x 2}。
[例 3] 已知 0 a 1，则方程 a|x| | log a x |的实根个数为 ( )
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中， 在求三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大 大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图， 见数想图，以开拓自己的思维视野。
曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如三角函数
2025届高三下学期高考二轮复习课件专题——Ksp的计算
倒计时 180 秒
活动元二 重温经典
判断沉淀的 生成或溶解
Q>Ksp：溶液过饱和，有沉淀析出 Q=Ksp：溶液饱和，处于平衡状态 Q<Ksp：溶液未饱和，无沉淀析出
溶积常数 的应用
沉淀先后顺序 沉淀的转化
pH的调控、 沉淀剂选择 离子浓度计算
活动元二 重温经典
根据Ksp进行沉淀转化的有关浓度计算
金属离子
Fe3＋ Al3＋ Mg2＋ Ca2＋
根据数据判断
开始沉淀的pH
2.2 3.5 9.5 12.4
沉淀完全 （c＝1.0×10－5mol·L－1)的pH
3.2
4.7
11.1
13.8
(2)“水浸”后“滤液”的pH约为2.0，在“分步沉淀”时用氨水 逐步调解pH至11.6，依次析出的金属离子是_F_e_3＋__、__A_l_3＋。、Mg2＋ (3)“母液①”中Mg2＋浓度为________________mol·L－1。
判断沉淀的 生成或溶解
Q>Ksp：溶液过饱和，有沉淀析出 Q=Ksp：溶液饱和，处于平衡状态 Q<Ksp：溶液未饱和，无沉淀析出
溶度积常数 的应用
沉淀先后顺序
沉淀的转化
pH的调控、 沉淀剂选择 离子浓度计算
Ksp相差不大时，Ksp小的物质可以转化为Ksp大的物质 增大CO32－浓度，BaSO4(s)→BaCO3(s)
简单计算
理解应用
倒计时 120 秒
5．(2022全国乙卷26题节选)
难溶电解质 PbSO4 PbCO3 BaSO4 BaCO3
Ksp
2.5×10-8 7.4×10-14 1.1×10-10 2.6×10-9
(1)在“脱硫”中PbSO4转化反应的离子方程式为 ________，用沉淀溶解平衡原理解释选择Na2CO3的原 因________。 (2)在“脱硫”中，加入Na2CO3不能使铅 膏中BaSO4完全转化，原因是________。
高考数学(全国理科)一轮复习课件第39讲 数学归纳法ppt版本
课堂考点探究
[总结反思] “归纳—猜想—证明”属于探索性问题的一种，一般要经过计算、观察、 归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．在用这种方法解决问题时，应保证猜想 的正确性和数学归纳法步骤的完整性．
课堂考ห้องสมุดไป่ตู้探究
变式 已知数列{an}，{bn}满足 a1＝2，an－1＝an(an＋1－1)，bn＝an－1，数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (1)求证：数列b1n为等差数列； (2)设 Tn＝S2n－Sn，求证：Tn＋1>Tn； (3)求证：对任意的 n∈N*都有 1＋n2≤S2n≤12＋n 成立．
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 （2k－1）（2k＋1）
＋
1 （2k＋1）（2k＋3）
＝
k 2k＋1
＋
1 （2k＋1）（2k＋3）
＝
k（2k＋3）＋1 （2k＋1）（2k＋3）
＝
（2k＋2k12＋）3（k＋2k1＋3）＝2kk＋＋13＝2（k＋k＋11）＋1＝右边，
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
[答案] 2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1
课堂考点探究
考点一 用数学归纳法证明等式
例 1 用数学归纳法证明：任意 n∈N*，1×1 3＋3×1 5＋… ＋（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1. 形．
[思路点拨] 先验证 n＝1 时等式 成立，然后假设 n＝k 时等式成立， 最后验证 n＝k＋1 时等式也成立， 注意由 n＝k 到 n＝k＋1 时等式左 边添加的项为
课堂考点探究
[总结反思] 用数学归纳法证明等式问题的关键点为：(1)弄清等式两边的构成规律；(2) 在第二步证明时要充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案39 数学归纳法(含答案)
学案39 数学归纳法导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学自主梳理 1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法．2．数学归纳法设{P n }是一个与正整数相关的 3．数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值__________时 (2)(归纳递推)假设______________________________时 自我检测1．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．如果A ．P(n)对所有正整数n 成立B ．P(n)对所有正偶数n 成立C ．P(n)对所有正奇数n 成立D ．P(n)对所有大于1的正整数n 成立3．(2018·台州月考)证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n>1)，当n ＝2时，中间式子等于( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋144．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n>n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．65．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3 (n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3探究点一 用数学归纳法证明等式例1 对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n －1)·2＋n·1＝16n(n ＋1)(n ＋2)．变式迁移1 (2018·金华月考)用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *,1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12).探究点二 用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立．变式迁移2 已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当x>－1时，(1＋x)m≥1＋mx.探究点三 用数学归纳法证明整除问题例3 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．变式迁移3 用数学归纳法证明：当n 为正整数时，f(n)＝32n ＋2－8n －9能被64整除．从特殊到一般的思想例 (14分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．【答题模板】解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12a 2a 5＝27，又∵{a n }的公差大于0，∴a 5>a 2，∴a 2＝3，a 5＝9.∴d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.[2分]∵T n ＝1－12b n ，∴b 1＝23，当n≥2时，T n －1＝1－12b n －1，∴b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －1， 化简，得b n ＝13b n －1，[4分]∴{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n ，∴a n ＝2n －1，b n ＝23n .[6分](2)∵S n ＝1＋ 2n－1 2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，∴1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，∴1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，∴1b 4>S 5.猜想：n≥4时，1b n>S n ＋1.[9分]下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2.[10分]那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．[12分]由①②可知n ∈N *，n≥4时，1b n >S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n <S n ＋1，当n≥4时，1b n>S n ＋1.[14分]【突破思维障碍】1．归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．2．数列是定义在N *上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．【易错点剖析】1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．2．在进行n ＝k ＋11．数学归纳法：先证明当n 取第一个值n 0时 2．(1)第①步验证n ＝n 0使 (2)第②步证明n ＝k ＋1时(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．用数学归纳法证明A ．假设n ＝k(k ∈N *)时B ．假设n ＝k(k 是正奇数)时C ．假设n ＝2k ＋1 (k ∈N *)时 D ．假设n ＝k(k 是正奇数)时2．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋143．如果A ．P(n)对n ∈N *成立B ．P(n)对n>4且n ∈N *成立C ．P(n)对n<4且n ∈N *成立D ．P(n)对n≤4且n ∈N *不成立4．(2018·日照模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C. k＋1 4＋ k＋1 22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)25．(2018·湛江月考)已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若f(k)≥k 2成立，则f(k ＋1)≥(k＋1)2成立，下列A ．若f(3)≥9成立，且对于任意的k≥1，均有f(k)≥k 2成立B ．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)<k 2成立C ．若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)<k 2成立D ．若f(4)＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k 2成立 二、填空题(每小题4分，共12分)6．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2 (n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________．7．(2018·南京模拟)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是______________．8．凸n 边形有f(n)条对角线，凸n ＋1边形有f(n ＋1)条对角线，则f(n ＋1)＝f(n)＋________.三、解答题(共38分)9．(12分)用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n (n∈N*)．10．(12分)(2018·新乡月考)数列{a n}满足a n>0，S n＝12(a n＋1a n)，求S1，S2，猜想S n，并用数学归纳法证明．11．(14分)(2018·郑州月考)已知函数f(x)＝1x2e－1|x|(其中e为自然对数的底数)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)在(－∞，0)上求函数f(x)的极值；(3)用数学归纳法证明：当x>0时，对任意正整数n都有f(1x)<n！·x2－n.学案39 数学归纳法自主梳理1．一般结论完全不完全 2.(1)P1P0(2)P k P k＋13．(1)n0 (n0∈N*) (2)n＝k (k≥n0，k∈N*) n＝k＋1自我检测1．C [当n＝1时左端有n＋2项，∴左端＝1＋a＋a2.]2．B [由n＝2成立，根据递推关系“P(n)对于n＝k时成立，则它对n＝k＋2也成立”，可以推出n＝4时成立，再推出n＝6时成立，…，依次类推，P(n)对所有正偶数n成立”．]3．D [当n＝2时，中间的式子1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.]4．C [当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22<22＋1；当n＝3时，23<32＋1；当n＝4时，24<42＋1.而当n＝5时，25>52＋1，∴n0＝5.]5．A [假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．]课堂活动区例1解题导引用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式证明设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)假设当n ＝k (k≥1且k ∈N *)时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k －1)·2＋k·1 ＝16k(k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1 ＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝16k(k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． 由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立． 变式迁移1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k≥1，k ∈N *)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12 k＋1 ， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立，所以由(1)(2)知对任意的n ∈N *等式都成立．例2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12 k＋1 －1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2 k＋1 ＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 变式迁移2 证明 (1)当m ＝1时，原不等式成立；当m ＝2时，左边＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x ，因为x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；(2)假设当m ＝k(k≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即(1＋x)k≥1＋kx ，则当m ＝k ＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0.于是在不等式(1＋x)k≥1＋kx 两边同时乘以1＋x 得，(1＋x)k ·(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2≥1＋(k ＋1)x.所以(1＋x)k ＋1≥1＋(k ＋1)x ， 即当m ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)(2)知，对一切正整数m ，不等式都成立．例3 解题导引 用数学归纳法证明整除问题，由k 过渡到k ＋1时常使用“配凑法”．在证明n ＝k ＋1成立时，先将n ＝k ＋1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理，最终将其变成一个或多个部分的和，其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除，从而由部分的整除性得出整体的整除性，最终证得n ＝k ＋1时也成立．证明 (1)当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)＝a 2＋a ＋1能被a 2＋a ＋1整除．(2)假设当n ＝k (k≥1且k ∈N *)时， a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除， 则当n ＝k ＋1时， a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a·a k ＋1＋a·(a＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，∴a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1也能被a 2＋a ＋1整除， 即n ＝k ＋1时综合(1)(2)知，对任意的n ∈N *变式迁移3 证明 (1)当n ＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，(2)假设当n ＝k (k≥1，k ∈N *)时，f(k)＝32k ＋2－8k －9能被64整除． 则当n ＝k ＋1时， 32(k ＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋9·8k＋9·9－8(k ＋1)－9＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1) 即f(k ＋1)＝9f(k)＋64(k ＋1) ∴n ＝k ＋1时综合(1)(2)可知，对任意的n ∈N *， 课后练习区1．D [A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数．] 2．D3．D [由题意可知，P(n)对n ＝3不成立(否则P(n)对n ＝4也成立)．同理可推P(n)对n ＝2，n ＝1也不成立．]4．D [∵当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.]5．D [f(4)＝25>42，∴k≥4，均有f(k)≥k 2. 仅有D 选项符合题意．] 6．2k ＋1解析 ∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添加的代数式为(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.7.12k＋1 2k＋2解析 不等式的左边增加的式子是 12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k＋1 2k＋2 . 8．n －1解析 ∵f(4)＝f(3)＋2，f(5)＝f(4)＋3， f(6)＝f(5)＋4，…，∴f(n ＋1)＝f(n)＋n －1.9．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32， 当n ＝2时，左边＝1＋22＝2；右边＝12＋2＝52，∴2<1＋12＋13＋14<52，(2)假设当n ＝k(k≥2，k ∈N *)时即1＋k 2<1＋12＋13＋…＋12k <12＋k ，(6分)则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k·12k ＋1＝1＋k ＋12.(8分)又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时， 由(1)(2)可知，10．解 ∵a n >0，∴S n >0，由S 1＝12(a 1＋1a 1)，变形整理得S 21＝1，取正根得S 1＝1.由S 2＝12(a 2＋1a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)，变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n.(4分) 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (6分)(2)假设当n ＝k 时，结论成立，即S k ＝k. 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k )＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k )． 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．(11分)由(1)、(2)可知，对一切n ∈N *，S n ＝n 都成立． (12分)11．(1)解 ∵函数f(x)定义域为{x ∈R|x≠0}且f(－x)＝1 －x 21xe --＝1x 21x e -＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．(4分)(2)解 当x<0时，f(x)＝1x 21x e ，f′(x)＝－2x 31x e ＋1x 21x e (－1x2)＝－1x41x e (2x ＋1)，(6分)令f′(x)＝0有x ＝－12，当x 变化时，f′(x)，f(x)由表可知：当x ＝－12时，f(x)取极大值4e －2，无极小值．(8分)(3)证明 当x>0时f(x)＝1x 21x e -，∴f(1x )＝x 2e －x.考虑到：x>0时，不等式f(1x)<n ！·x 2－n 等价于x 2e －x <n ！·x 2－n ⇔x n <n ！·e x(ⅰ)(9分)所以只要用数学归纳法证明不等式(ⅰ)对一切n ∈N *都成立即可．①当n ＝1时，设g(x)＝e x－x(x>0)，∵x>0时，g′(x)＝e x－1>0，∴g(x)是增函数，故g(x)>g(0)＝1>0，即e x>x(x>0)．所以当n ＝1时，不等式(ⅰ)成立．(10分)②假设n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，不等式(ⅰ)成立，即x k <k ！e x，当n ＝k ＋1时，设h(x)＝(k ＋1)！·e x －x k ＋1(x>0)，h′(x)＝(k ＋1)！e x －(k ＋1)x k ＝(k ＋1)(k ！e x －x k)>0，故h(x)＝(k ＋1)！·e x －x k ＋1(x>0)为增函数， ∴h(x)>h(0)＝(k ＋1)！>0，∴x k ＋1<(k ＋1)！·e x，即n ＝k ＋1时，不等式(ⅰ)也成立，(13分)由①②知不等式(ⅰ)对一切n ∈N *都成立，故当x>0时，原不等式对n ∈N *都成立．(14分)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第39课 双曲线1.双曲线的定义a .双曲线定义中的限制条件(1)(经典题,5分)已知F 1(－5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ,当a 为3和5时,点P 的轨迹分别是( )A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线 答案:D解析:依题意得|F 1F 2|＝10,当a ＝3时,|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6＜|F 1F 2|,故点P 的轨迹为双曲线的右支；当a ＝5时,|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝10＝|F 1F 2|,故点P 的轨迹为一条射线.故选D.b .利用双曲线的定义解决焦点三角形的相关问题(2)(2019汇编,15分)(Ⅰ)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2－y 2＝2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|＝2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45 答案:C解析:由题意可知a ＝b ＝2,∴c ＝a 2＋b 2＝2,∴|F 1F 2|＝2c ＝4.∵|PF 1|＝2|PF 2|,设|PF 2|＝x ,则|PF 1|＝2x ,∴|PF 1|－|PF 2|＝x ＝2a ＝22,∴|PF 1|＝42,|PF 2|＝2 2.利用余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.故选C .(Ⅱ)已知F 为双曲线C: x 29－y 216＝1的左焦点,P ,Q 为C 右支上的点.若|PQ |＝16,点A (5,0)在直线PQ 上,则△PQF 的周长为( )A.12B.28C.44D.60 答案:C解析:显然点A (5,0)为双曲线C : x 29－y 216＝1的右焦点. ∵P ,Q 为双曲线C 右支上的点,∴|PF |－|P A |＝6,|QF |－|QA |＝6,两式相加得|PF |＋|QF |－|P A |－|QA |＝|PF |＋|QF |－|PQ |＝12.又∵|PQ |＝16,∴|PF |＋|QF |＝28,∴△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝44.故选C .(Ⅲ)设P 为双曲线x 216－y 29＝1上一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点,若∠F 1PF 2＝60°,则△PF 1F 2的面积为( )A.923 B.9 3C.92 D.9 答案:B解析:(法一)由双曲线的方程x 216－y 29＝1得a ＝4,b ＝3,c ＝16＋9＝5,∴|F 1F 2|＝2c ＝10.由双曲线的定义,得||PF 1|－|PF 2||＝8,两边平方,得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝64①,在△PF 1F 2中,由余弦定理,得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°,即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝100②.②－①,得|PF 1|·|PF 2|＝36,∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝12×36×32＝9 3.故选B .(法二)根据双曲线焦点三角形的面积公式,可得12PF FS ∆＝b 2tan∠F 1PF 22＝9tan 30°＝9 3.故选B .(3)(2016浙江,4分)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2.若点P 在双曲线上,且△F 1PF 2为锐角三角形,则||PF 1＋||PF 2的取值范围是________.答案:(27,8)解析: △PF 1F 2为锐角三角形,不妨设P 在第一象限,点P 在P 1与P 2之间运动(不与P 1,P 2重合),如图所示.由题意可知a ＝1,b ＝3,c ＝a 2＋b 2＝2.在Rt △P 1F 1F 2中,∠F 1P 1F 2＝90°,∴|P 1F 1|2＋|P 1F 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16.又∵|P 1F 1|－|P 1F 2|＝2,∴|P 1F 1|·|P 1F 2|＝－12[(|P 1F 1|－|P 1F 2|)2－(|P 1F 1|2＋|P 1F 2|2)]＝6,此时|P 1F 1|＋|P 1F 2|＝|P 1F 1|2＋|P 1F 2|2＋2|P 1F 1|·|P 1F 2|＝16＋2×6＝27.在Rt △P 2F 1F 2中,∠P 2F 2F 1＝90°,∴2P x ＝2,易知2P y ＝3,此时|P 2F 1|＋|P 2F 2|＝|P 2F 2|＋2＋|P 2F 2|＝2|P 2F 2|＋2＝8.∴当△PF 1F 2为锐角三角形时,|PF 1|＋|PF 2|∈(27,8).变式思考:(Ⅰ)已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若P 为双曲线D 右支上任意一点,则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.(Ⅱ)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,若||PF 1＋||PF 2＝6a ,且△PF 1F 2最小内角的大小为30°,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0答案:(Ⅰ)⎝⎛⎦⎤0，12 (Ⅱ)B 解析: (Ⅰ)∵双曲线D :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的渐近线是y ＝±3x ,∴ba ＝3,可得b ＝3a ,c ＝a 2＋b 2＝2a .∵P 为双曲线D 右支上一点,∴|PF 1|－|PF 2|＝2a .而|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2c ,∴0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤2a 2c ＝a c .∵c ＝2a ,∴a c ＝12,∴|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. (Ⅱ)由题意不妨设|PF 1|－|PF 2|＝2a ,∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,∴|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c >2a ＝|PF 2|,∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2＝30°,∴在△PF 1F 2中,由余弦定理得4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×cos 30°,解得c ＝3a ,∴c 2＝3a 2,∴a 2＋b 2＝3a 2,∴b ＝2a ,故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ,即2x ±y ＝0.故选B .c.利用双曲线的定义转化双曲线上的点到焦点的距离(4)(2015全国Ⅰ, 5分)已知F 是双曲线C :x 2－y 28＝1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,66).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________.答案:12 6解析:由已知得双曲线的右焦点F (3,0).设双曲线的左焦点为F ′,则F ′(－3,0).由双曲线的定义及已知得|PF |＝2a ＋|PF ′|＝2＋|PF ′|.∵|AF |＝|AF ′|＝（66）2＋32＝15,∴△APF 的周长最小等价于|P A |＋|PF |最小,而 |P A |＋|PF |＝|P A |＋2＋|PF ′|≥|AF ′|＋2＝17,当且仅当点P 为线段AF ′与双曲线左支的交点时取等号,故此时△APF 的周长最小.设此时P 点坐标为(x 0,y 0),y 0>0,易得直线AF ′的方程为x －3＋y66＝1,联立直线AF ′与双曲线的方程,得⎩⎨⎧x －3＋y 66＝1，x 2－y28＝1，消元得y 2＋66y －96＝0,解得y ＝26或y ＝－86,所以y 0＝2 6.故当△APF 的周长最小时,该三角形的面积S ＝S △AF ′F －S △PF ′F ＝12×6×(66－26)＝12 6.d .椭圆和双曲线共焦点的问题(5)(2018四川南充模拟,5分)已知椭圆C 1:x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0,b 2>0)有相同的焦点F 1,F 2.若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点,且||F 1F 2＝2||PF 2,设C 1与C 2的离心率分别为e 1,e 2,则e 2－e 1的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫13，＋∞C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案:D解析:(法一)设椭圆与双曲线的焦距||F 1F 2＝2c ,||PF 1＝t ,则||PF 2＝c .由题意可得t ＋c ＝2a 1,t －c ＝2a 2,∴t ＝2a 1－c ＝2a 2＋c ,∴a 1－a 2＝c .由e 1＝c a 1,e 2＝c a 2可知1e 1－1e 2＝a 1－a 2c ＝1,∴e 1＝e 2e 2＋1,∴e 2－e 1＝e 2－e 2e 2＋1＝e 22e 2＋1＝1⎝⎛⎭⎫1e 22＋1e 2.∵e 2>1,∴0<1e 2<1,∴0<⎝⎛⎭⎫1e 22＋1e 2<2,∴e 2－e 1>12.故选D .(法二)设椭圆与双曲线的焦距||F 1F 2＝2c ,||PF 1＝t ,则||PF 2＝c .由点P 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点,可知c <t <3c .由题意知t ＋c ＝2a 1,t －c ＝2a 2,故e 1＝c a 1＝2c 2a 1＝2c t ＋c ,e 2＝c a 2＝2c2a 2＝2c t －c ,e 2－e 1＝2c t －c －2c t ＋c ＝4c 2t 2－c 2.∵c <t <3c ,∴c 2<t 2<9c 2,∴0<t 2－c 2<8c 2,∴4c 2t 2－c 2>12,∴e 2－e 1>12.故选D .2.双曲线的标准方程a .两种双曲线标准方程的理解(6)(2016全国Ⅰ,5分)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A.(－1,3)B.(－1,3)C.(0,3)D.(0,3) 答案:A解析:∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0，m 2＋n ＋3m 2－n ＝4① 或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n <0，3m 2－n <0，（n －3m 2）＋（－m 2－n ）＝4，② 由①得m 2＝1,－1＜n ＜3；②无解. 综上,n 的取值范围是(－1,3).故选A .b .利用定义法求双曲线的标准方程(与双曲线有关的轨迹问题)(7)(经典题,6分)设动圆C 与两圆C 1:(x ＋5)2＋y 2＝4,C 2:(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切,另一个外切,求动圆圆心C 的轨迹方程.答案:x 24－y 2＝1解:易知圆C 1和C 2的圆心坐标分别为C 1(－5,0),C 2(5,0),半径均为2.设圆C 的圆心C的坐标为(x ,y ),半径为r ,由题设知r ＞2,于是有⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜25＝|C 1C 2|,∴动圆圆心C 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,4为实轴长的双曲线,(4分)∴动圆圆心C 的轨迹方程为c .利用待定系数法求双曲线的标准方程(8)(2017全国Ⅲ,5分)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ,且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点,则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案:B解析:(法一)∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ,∴b a ＝52①. ∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点,∴双曲线的半焦距c ＝12－3＝3,∴a 2＋b 2＝c 2＝9②. 由①②解得a ＝2,b ＝5,∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B .(法二)∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点,∴双曲线C 的方程可设为x 212－λ－y 2λ－3＝1(3<λ<12),∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±λ－312－λx . 又∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x , ∴λ－312－λ＝52,解得λ＝8, ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B .(法三)∵双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ,即5x －2y ＝0,∴可设双曲线C 的方程为5x 2－4y 2＝λ(λ≠0),即x 2λ5－y 2λ4＝1(λ≠0).∵双曲线C 与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点,∴双曲线的半焦距c ＝12－3＝3,且λ>0, ∴λ5＋λ4＝3,解得λ＝20, ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.(9)(2017天津,5分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左焦点为F ,离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 答案:B解析:(法一)∵e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2,∴a ＝b ,∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .由经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,可得4－00－（－c ）＝4c ＝1,解得c ＝4.又∵a 2＋b 2＝c 2,∴a ＝b ＝22,∴双曲线的方程为x 28－y 28＝1.故选B .(法二)直接根据离心率为2得到双曲线为等轴双曲线,又经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,∴c ＝4.根据a ∶b ∶c ＝1∶1∶2,可得a ＝b ＝22,∴双曲线的方程为x 28－y 28＝1.故选B .变式思考:(2016北京,5分)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a ＝________.答案:2解析:由题意易得∠AOB ＝45°,∴此双曲线为等轴双曲线.∵正方形OABC 的边长为2,点B 为该双曲线的焦点,∴c ＝|OB |＝22＋22＝2 2.根据等轴双曲线的性质a ∶b ∶c ＝1∶1∶2,可得a ＝b ＝2.(10)(2016天津,5分)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案:D解析:易知四边形ABCD 为矩形,不妨设A (x 0,y 0)在第一象限,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝22，①2x 0·2y 0＝2b ，②y 0＝b2x 0，③由①③得x 2＝164＋b 2,④∴y 20＝b 24×164＋b 2＝4b 24＋b 2,⑤ 由②④⑤可得b 2＝12.∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D .3.双曲线的几何性质及其应用 a .利用双曲线的定义求离心率(11)(2016全国Ⅱ,5分)已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1＝13,则E 的离心率为( )A.2B.32 C.3 D.2答案:A解析:(法一)由双曲线的定义得|MF 2|－|MF 1|＝2a ,由已知得sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝13,∴|MF 1|＝a ,|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中,由勾股定理得|MF 1|2＋|F 1F 2|2＝|MF 2|2,即a 2＋(2c )2＝(3a )2,∴c 2＝2a 2,∴E 的离心率为e ＝ca＝ 2.故选A .(法二)∵MF 1与x 轴垂直,令x ＝－c ,解得y ＝±b 2a ,∴|MF 1|＝b 2a.又由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a , ∴|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a .∵sin ∠MF 2F 1＝13,∴|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a＝13,化简得a ＝b , ∴双曲线E 的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝ 2.故选A . (法三)∵MF 1⊥x 轴,且sin ∠MF 2F 1＝13,不妨设|MF 1|＝1,则|MF 2|＝3,∴|F 1F 2|＝|MF 2|2－|MF 1|2＝32－12＝22,∴离心率为e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝223－1＝ 2.故选A .变式思考:(经典题,5分)设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F 1,F 2,||PF 1＝4||PF 2,则双曲线离心率的取值范围是________.答案:⎝⎛⎦⎤1，53 解析:(法一)由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ,与已知|PF 1|＝4|PF 2|联立,解得|PF 1|＝83a ,|PF 2|＝23a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|,得83a ＋23a ≥2c ,解得e ＝c a ≤53.又e >1,∴双曲线离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，53. (法二)由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ,与已知|PF 1|＝4|PF 2|联立,解得|PF 1|＝83a ,|PF 2|＝23a .点P 在双曲线的右支上,由双曲线的几何性质可知|PF 1|≥c ＋a (或|PF 2|≥c －a ),即83a ≥c ＋a ⎝⎛⎭⎫或23a ≥c －a ,即53a ≥c ,∴双曲线的离心率e ＝c a ≤53.又∵e >1,∴双曲线离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，53.b .双曲线渐近线性质的应用(12)(2018全国Ⅰ,5分)已知双曲线C :x 23－y 2＝1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |＝( )A.32B.3C.2 3D.4 答案:B解析:(法一)由题意可得F (2,0),双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x .假设直线MN 与直线y＝－33x 交于点N ,由对称性,不妨设MN ⊥ON ,则直线MN 的斜率为3,方程为y ＝3(x －2),与两渐近线方程联立解得M (3,3),N (32,－32),所以||MN ＝3,故选B .(法二)由双曲线C 的渐近线斜率为±33,可知在△OMN 中,∠MOF ＝∠NOF ＝30°,∠MON＝60°.假设MN ⊥ON ,设||OM ＝m ,||ON ＝n (m >0,n >0).因为||OF ＝2,所以由三角形面积公式可得S △OMN ＝12m ·2·sin30°＋12n ·2·sin30°＝12mn sin60°,且m ＝2n ,解得m ＝23,n ＝3,所以||MN ＝n tan60°＝3,故选B .(13)(2019改编,5分)设P 为双曲线x 2a 2－y 225＝1(a >0)右支上的任意一点, O 为坐标原点,过点P 作双曲线两渐近线的平行线,分别与两渐近线交于A, B 两点,若平行四边形P AOB 的面积为15,则双曲线的渐近线方程为________.答案:y ＝±56x解析:易得双曲线x 2a 2－y 225＝1的渐近线方程为y ＝±5a x ,即5x ±ay ＝0.不妨设OA 的方程为y＝5a x ,P 点坐标为(x 0,y 0),则x 20a 2－y 2025＝1,∴25x 20－a 2y 20＝25a 2.易得P A 的方程为y －y 0＝－5a(x －x 0),联立直线OA 与P A 的方程,解得⎩⎨⎧x ＝5x 0＋ay 010，y ＝5x 0＋ay 02a，∴A ⎝⎛⎭⎫5x 0＋ay 010，5x 0＋ay 02a .∵tan ∠AOx ＝5a ,∴cos ∠AOx ＝a25＋a 2, ∴|OA |＝|x A |cos ∠AOx＝25＋a 2·|5x 0＋ay 0|10a .又∵点P 到直线OA 的距离为d ＝|5x 0－ay 0|25＋a 2,∴S ▱P AOB ＝|OA |d ＝25＋a 2·|5x 0＋ay 0|10a ·|5x 0－ay 0|25＋a 2＝|25x 20－a 2y 20|10a .又∵平行四边形P AOB 的面积为15,∴|25x 20－a 2y 20|10a ＝15,∴25a 210a＝15,解得a ＝6,∴双曲线的渐近线方程为y ＝±5a x ＝±56x .c .双曲线的对称性的应用(14)(2019改编,5分)已知双曲线C: x 2a 2－y 28＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2, O 为坐标原点,P 是双曲线上在第一象限内的点,直线PO ,PF 2分别交双曲线C 左、右支于另一点M ,N ,||PF 1||＝2PF 2,且∠MF 2N ＝60°,则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 28＝1 C.x 26－y 28＝1 D.x 28－y 28＝1 答案:B解析:∵P 是双曲线上在第一象限内的点,∴|PF 1|－|PF 2|＝2a .又∵|PF 1|＝2|PF 2|,∴|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a .易得|OP |＝|OM |,|OF 1|＝|OF 2|,∴四边形PF 1MF 2是平行四边形.又∵∠MF 2N ＝60°,∴∠F 1PF 2＝60°.在△PF 1F 2中,由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°,即4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°,∴c 2＝3a 2,∴a 2＋8＝3a 2,∴a 2＝4,∴双曲线C 的方程为x 24－y 28＝1.故选B .d .构造三角形的中位线进行几何关系的转化(15)(2018安顺模拟,5分)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,若点F 2关于直线bx －ay ＝0的对称点恰好落在以F 1为圆心, ||OF 1为半径的圆上,则双曲线C 的离心率为( )A.2B.2C.3D.3 答案:B解析:由题意得F 1(－c ,0),F 2(c ,0),则点F 2到渐近线bx －ay ＝0b =.设F 2关于渐近线bx －ay ＝0的对称点为M ,F 2M 与渐近线交于点A ,∴|MF 2|＝2b ,A 为F 2M 的中点. 又∵点O 是F 1F 2的中点, ∴OA 是△F 1MF 2的中位线, ∴OA ∥F 1M ,∴∠F 1MF 2＝90°, ∴△F 1MF 2为直角三角形,∴由勾股定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2,即4c 2＝c 2＋4b 2, ∴3c 2＝4(c 2－a 2),∴c 2＝4a 2,∴c ＝2a , ∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝2.故选B.4.直线与双曲线的位置关系的相关问题 a .直线与双曲线位置关系的判断问题(16)(经典题,5分)若直线l :x ＋by ＋2＝0与双曲线x 24－y 23＝1只有一个公共点,则直线l 有( )A.1条B.2条C.3条D.4条 答案:C解析:直线l :x ＋by ＋2＝0与双曲线x 24－y 23＝1的方程联立,消去x ,得(3b 2－4)y 2＋12by ＝0.当3b 2－4＝0时,方程只有一个实根,此时直线与双曲线相交于一点,满足题意的直线有2条；当3b 2－4≠0时,由Δ＝0,即(12b )2－4(3b 2－4)×0＝0,解得b ＝0,此时直线与双曲线相切,满足题意的直线有1条.故当直线l :x ＋by ＋2＝0与双曲线x 24－y 23＝1只有一个公共点时,直线l 有3条,故选C.(17)(经典题,5分)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点,那么k 的取值范围为____________.答案:⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝6，y ＝kx ＋2得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0,∵直线与双曲线的右支交于不同的两点,∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝40－24k 2>0，4k 1－k2>0，－101－k2>0，解得－153<k <－1,即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－153，－1.b .弦长和面积问题(18)(经典题,12分)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0),F 2(2,0),点P (3,7)在双曲线C 上.(Ⅰ)求双曲线C 的方程；答案:x 22－y 22＝1解:由已知得c ＝2.又∵点P (3,7)在双曲线C 上,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，32a 2－（7）2b 2＝1，解得 ∴双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.(5分)(Ⅱ)记O 为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E ,F ,若△OEF 的面积为22,求直线l 的方程.答案:y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2 解:由题意得,直线l 的斜率必定存在, 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.联立直线l 与双曲线C 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 22－y 22＝1，消去y 并整理得 (1－k 2)x 2－4kx －6＝0.(7分)设直线l 与双曲线C 交于E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则x 1,x 2是一元二次方程(1－k 2)x 2－4kx －6＝0的两个不相等的实根,∴1－k 2≠0,且Δ＝16k 2＋24(1－k 2)>0,解得k 2<3且k 2≠1①,此时 x 1＋x 2＝4k 1－k 2,x 1·x 2＝－61－k 2.(9分)（法一）∵△OEF 的面积S △OEF =12|OQ |·| x 1－x 2|=12×2×| x 1－x 2|=| x 1－x 2|=22, 即(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8,∴⎝⎛⎭⎫4k 1－k 22＋241－k 2＝8,∴3－k 2＝(k 2－1)2, 即k 4－k 2－2＝0, ∴(k 2＋1)(k 2－2)＝0.又∵k 2＋1>0,∴k 2－2＝0,∴k ＝±2,经验证符合①式,∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2.(12分)(法二)易得k ≠0,∴可设直线y ＝kx ＋2与x 轴的交点为M ⎝⎛⎭⎫－2k ，0, ∴S △OEF =12|OM |·| y 1－y 2|=12|()|||k x x k -=| x 1－x 2|=22,一下过程同法一.(法三)∵|EF |=| x 1－x 2=原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2, ∴△OEF 的面积S △OEF ＝12|EF |·d ＝12·22|1－k 2|·（1＋k 2）（3－k 2）·21＋k 2＝22·3－k 2|1－k 2|＝22,即(k 2＋1)(k 2－2)＝0.又∵k 2＋1>0,∴k 2－2＝0,∴k ＝±2,经验证符合①式, ∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2.(12分)c .“中点弦”问题(19)(2018抚州模拟,8分)求过定点(0,1)的直线被双曲线x 2－y 24＝1截得弦的中点的轨迹方程.答案:4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1)解:易得直线的斜率存在,故可设直线的方程为y ＝kx ＋1,弦的两个端点坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),弦中点为P (x ,y ).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0, 则4－k 2≠0,且Δ＝4k 2＋20(4－k 2)>0, 解得|k |<5,且k ≠±2.(2分)(法一)∵x 1＋x 2＝2k 4－k 2,x 1x 2＝－54－k 2,∴x ＝12(x 1＋x 2)＝k4－k 2,y ＝12(y 1＋y 2)＝k 2(x 1＋x 2)＋1＝44－k 2.由⎩⎨⎧x ＝k 4－k 2，y ＝44－k 2消去k 得4x 2－y 2＋y ＝0.(5分)∵|k |<5,且k ≠±2,∴－1<4－k 2<0或0<4－k 2≤4, ∴y <－4或y ≥1.综上,弦中点的轨迹方程为4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1).(8分)(法二)⎩⎪⎨⎪⎧4x 21－y 21＝4，①4x 22－y 22＝4，②①－②得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2),易知y 1＋y 2≠0,x 1－x 2≠0,∴x 1＋x 2y 1＋y 2＝y 1－y 24（x 1－x 2）,即x y ＝k4,联立y ＝kx ＋1,整理得4x 2－y 2＋y ＝0.(5分)由x y ＝k 4得x 2＝k 216y 2,而|k |<5,且k ≠±2, ∴14y 2<x 2<516y 2或0≤x 2<y 24,即14y 2<y 2－y 4<516y 2或0≤y 2－y 4<y 24,解得y <－4或y ≥1,∴弦中点的轨迹方程为4x 2－y 2＋y ＝0(y <－4或y ≥1).(8分)随堂普查练391.(2018湖南模拟,5分)已知F 1,F 2分别是双曲线x 29－y 24＝1的左、右焦点, A 为双曲线右支上一点,且2OP →＝OA →＋OF 1→, 2OQ →＝OA →＋OF 2→,则||OQ →||－OP→＝________. 答案:3解析:由题意知,点P 为AF 1的中点,点Q 为AF 2的中点.又∵O 为F 1F 2的中点,∴由中位线定理可得|OQ |＝|AF 1|2,|OP |＝|AF 2|2,∴|OQ |－|OP |＝|AF 1|2－|AF 2|2＝a ＝3.2.(2018安徽模拟,5分)如图41－9所示,F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线分别交于点A ,B ,且A ⎝⎛⎭⎫t ，3427,若△ABF 2为等边三角形,则△BF 1F 2的面积为( )图39－9A.1B.2C.3D.2 答案:C解析:由已知得|BF 2|－|BF 1|＝2a ,|AF 1|－|AF 2|＝2a .又△ABF 2为等边三角形,∴|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|＝2a ,∴|BF 2|＝4a .在△AF 1F 2中,|AF 1|＝6a ,|AF 2|＝4a ,|F 1F 2|＝2c ,∠F 1AF 2＝60°,由余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a ·cos60°,∴c 2＝7a 2,∴b 2＝c 2－a 2＝6a 2,∴双曲线的方程为x 2a2－y 26a 2＝1.由等面积法可知12·6a ·4a ·sin60°＝12·2c ·y A ,将y A ＝3427代入可得a ＝22,∴S △BF 1F 2＝12·4a ·2a ·sin120°＝23a 2＝ 3.故选C.3.(2018大连模拟,5分)双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F ,A ,点P 为双曲线C 左支上一点.若△APF 周长的最小值为6b ,则双曲线C 的离心率为( )A.568 B.857 C.856 D.103答案:B解析:设双曲线的左焦点为F ′,则|PF |－|PF ′|＝2a ,∴△AFP 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋|PF ′|＋2a .∵|AP |＋|PF ′|≥|AF ′|,∴△AFP 周长的最小值是|AF |＋|AF ′|＋2a ＝2b 2＋c 2＋2a ＝6b ,解得7b ＝6a , ∴49b 2＝36a 2,∴49(c 2－a 2)＝36a 2,∴c 2a 2＝8549,∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝857.故选B .4.(2018广州模拟,5分)已知P 是椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0,b 2>0)的一个交点,F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,e 1,e 2分别为椭圆和双曲线的离心率,∠F 1PF 2＝π3,则1e 1·1e 2的最大值是( ) A.233 B. 3C.433D.2 3答案:A解析:不妨设点P 在第一象限,根据椭圆与双曲线的定义得,|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1,|PF 1|－|PF 2|＝2a 2,∴|PF 1|＝a 1＋a 2,|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ,在△PF 1F 2中,由余弦定理得,4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π3,即a 21＋3a 22＝4c 2,两边同除以c 2,得1e 21＋3e 22＝4,∵1e 21＋3e 22≥2·3e 1e 2,即4≥23e 1e 2,∴1e 1e 2≤233,当且仅当1e 1＝3e 2,即⎩⎨⎧e 1＝22，e 2＝62时取等号,∴1e 1·1e 2的最大值为233,故选A.5.(2018临沂模拟,5分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :x ＋2y ＋5＝0,且双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案:A解析:∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :x ＋2y ＋5＝0,且双曲线的一个焦点在直线l 上,l 与x 轴交于(－5,0),∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，c ＝5.又a 2＋b 2＝c 2,∴a ＝25,b ＝5,∴双曲线的方程为x 220－y 25＝1.故选A.6.(2018全国Ⅲ,5分)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |,则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2 答案:C解析:设F 1(－c ,0),F 2(c ,0),取双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ,易得直线PF 2的方程为y ＝－ab(x －c ), 联立方程得⎩⎨⎧y ＝ba x ，y ＝－ab （x －c ），解得点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ,则||OP ＝a , ||PF 1＝⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c 2＋⎝⎛⎭⎫abc 2＝a 4＋c 4＋2a 2c 2＋a 2（c 2－a 2）c2＝c 2＋3a 2. 又||PF 1＝6||OP ,所以c 2＋3a 2＝6a ,整理得c 2a 2＝3,所以C 的离心率为e ＝ca ＝ 3.故选C.7.(2018福建模拟,5分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线上存在点P ,使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac,则该双曲线的离心率e 的范围为( )A.(1,1＋2)B.(1,1＋3)C.(1,1＋2]D.(1,1＋3] 答案:A解析:由题意,易得点P 不是双曲线的顶点,否则sin ∠PF 2F 1＝0.在△PF 1F 2 中,由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1＝|PF 2|sin ∠PF 1F 2.又a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1,∴|PF 1||PF 2|＝c a ,即|PF 1|＝ca·|PF 2|>|PF 2|, ∴点P 在双曲线右支上,由双曲线的定义,得|PF 1|－|PF 2|＝2a , ∴ca |PF 2|－|PF 2|＝2a , ∴|PF 2|＝2a 2c －a.(法一)∵|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 2|⎝⎛⎭⎫c a ＋1＝2a 2c －a ·⎝⎛⎭⎫c a ＋1＝2a 2＋2ac c －a ,|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|,∴2a 2＋2acc －a >2c ,即c 2－2ac －a 2<0, ∴e 2－2e －1<0,解得－2＋1<e <2＋1.又e >1,∴双曲线的离心率e 的范围是(1,1＋2).故选A. (法二)由双曲线的几何性质,知|PF 2|>c －a , ∴2a 2c －a >c －a ,即c 2－2ac －a 2<0, ∴e 2－2e －1<0,以下同法一.8.(2018山东模拟,5分)如图41－10所示,已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右顶点为A ,O为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的其中一条渐近线交于P ,Q 两点,若∠P AQ ＝60°,且OQ →＝3OP →,则双曲线C 的离心率为( )图39－10A.233B.72C.396D. 3 答案:B解析:如图,过点A 作AM ⊥PQ 于点M .由题意知,△APQ 是正三角形,由OQ →＝3OP →,不妨设|OQ |＝3,则|OP |＝1,|PQ |＝2, ∴|AM |＝3,|PM |＝1,∴|OM |＝2. 在Rt △AOM 中,易求得tan ∠AOM ＝32,即b a ＝32, ∴双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a2＝1＋34＝72.故选B.9.(2018河南模拟,5分)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△ABE 是钝角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(1,2)C.(1,1＋2)D.(2,＋∞) 答案:D解析:(法一)如图,根据双曲线的对称性可知,|EA |＝|EB |,故若△ABE 是钝角三角形,显然∠AEB 为钝角,因此EA →·EB →<0.由于AB 过左焦点且垂直于x 轴,∴A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a , B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a .又∵E (a ,0),∴EA →＝⎝⎛⎭⎫－c －a ，b 2a , EB →＝⎝⎛⎭⎫－ c － a ，－ b 2a ,∴EA →·EB →＝(－c －a )2－b 4a 2<0,化简整理得 a (a ＋c )<b 2,∴a 2＋ac <c 2－a 2,即c 2－ac －2a 2>0,两边同时除以a 2,得e 2－e －2>0,解得e >2或e <－1(舍去),即该双曲线的离心率e 的取值范围是(2,＋∞).故选D.(法二)如图,根据双曲线的对称性可知,|EA |＝|EB |,故若△ABE 是钝角三角形,则∠AEB 为钝角,即90°＜∠AEB ＜180°,∴∠AEF ＝12∠AEB ＞45°,∴在Rt △AEF 中有|AF |>|EF |,即b 2a >a ＋c ,∴a 2＋ac <c 2－a 2,以下过程同法一.10.(经典题,5分)已知过点P (1,1),斜率为k 的直线l 与双曲线x 2－y 24＝1只有一个公共点,则k 的值为________.答案:52或±2解析:由题意得直线l :y ＝k (x －1)＋1,代入双曲线的方程,得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.若4－k 2＝0,即k ＝±2,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点；若4－k 2≠0,则Δ＝(2k －2k 2)2－4(4－k 2)(－k 2＋2k －5)＝0,解得k ＝52.综上,可得直线l 的斜率k的值为52或±2.11.(2018济南模拟,5分)过双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的左焦点作直线l 与双曲线交于A ,B 两点,使得|AB |＝4,若这样的直线有且仅有两条,则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.(2,＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，2 D.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2,＋∞) 答案:D解析:要使满足条件的直线有且仅有两条,可以分为两种情况讨论.第一种情况:当直线与双曲线的左支相交于两点时,有222b a a =＜4,且2a ＞4,解得a ＞2；第二种情况:当直线与双曲线的左右两支相交于两点时,有222b a a=＞4,且2a ＜4,解得0＜a <12,综上可得,a ＞2或0＜a <12,∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2,＋∞).故选D.课后提分练39 双曲线A 组(巩固提升)1.(2018全国Ⅱ,5分)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22xD.y ＝±32x答案:A解析:因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率e ＝ca＝3,所以c ＝3a .①又因为a 2＋b 2＝c 2,将①代入,可得b 2＝2a 2,即b a ＝2,所以双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .答案选A.2.(2016浙江,5分)已知椭圆C 1: x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2:x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则( )A.m >n 且e 1e 2>1B.m >n 且e 1e 2<1C.m <n 且e 1e 2>1D.m <n 且e 1e 2<1 答案:A解析:由题意可得m 2－1＝n 2＋1,即m 2＝n 2＋2.又m >1,n >0,∴m >n .∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1,∴e 1·e 2>1.故选A .3.(2018聊城模拟,5分)已知F 1,F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P , PF 1与双曲线相交于点Q ,且||PQ ＝2||QF 1,则该双曲线的离心率为( )A. 5B.2C. 3D.52答案:A解析:设|QF 1|＝m ,则|PQ |＝2|QF 1|＝2m ,|PF 1|＝3m .根据双曲线的定义,得|QF 2|－|QF 1|＝2a ,|PF 1|－|PF 2|＝2a ,∴|PF 2|＝3m －2a ,|QF 2|＝m ＋2a .在Rt △PQF 2和Rt △PF 1F 2中,利用勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧（3m ）2＋（3m －2a ）2＝4c 2，（2m ）2＋（3m －2a ）2＝（m ＋2a ）2， 解得m ＝43a ,且5a 2＝c 2,故该双曲线的离心率为ca ＝ 5.故选A.4.(2018天津,5分)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1＋d 2＝6,则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 答案:C解析:因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为2,所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2,即a 2＋b 2＝4a 2,所以b ＝3a .由c ＝2a ,可得双曲线右焦点的坐标为F (2a ,0).根据双曲线的对称性,可知点A ,B 关于右焦点对称,所以点A ,B 到同一条渐近线的距离之和等于右焦点到这条渐近线的距离的2倍.设右焦点到渐近线的距离为d 0,则2d 0＝d 1＋d 2＝6,解得d 0＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的其中一条渐近线的方程为y ＝bax ＝3x ,所以右焦点F (2a ,0)到渐近线y ＝3x 的距离为d 0＝|3×2a －0|（3）2＋（－1）2＝23a 2＝3a ＝3,解得a ＝3,所以b ＝3,所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.5.(2015全国Ⅰ,5分)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22－y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案:A解析:由题意知a 2＝2,b 2＝1,∴c 2＝a 2＋b 2＝3.不妨设F 1(－3,0),F 2(3,0),则MF 1→＝(－3－x 0,－y 0),MF 2→＝(3－x 0,－y 0),∴MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20<0.∵点M 在双曲线C 上,∴x 202－y 20＝1,∴x 2＝2＋2y 20,∴3y 20－1<0,解得－33<y 0<33,即y 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－33，33.故选A.6.(2018衡阳模拟,5分)已知直线l 与双曲线C :x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ,B 两点,若AB 的中点在该双曲线上,O 为坐标原点,则△AOB 的面积为________.答案:2解析:由题意得,双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±x ,则OA ⊥OB .设A (x 1,x 1), B (x 2,－x 2),则|OA |＝2|x 1|,|OB |＝2|x 2|,AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1－x 22,∴⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222－⎝⎛⎭⎫x 1－x 222＝2,即x 1x 2＝2,∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·2|x 1|·2|x 2|＝|x 1x 2|＝2.7.(2018黑龙江一模,5分)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ,B 两点,F 为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB <90°,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,2)C.(1,2)D.(2,＋∞) 答案:B解析:双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的两条渐近线方程为y ＝±b a x ,x ＝a 2c 时,y ＝±abc .不妨设A (a 2c ,ab c ),B ⎝⎛⎭⎫a 2c ，－ab c ,F (c ,0),∵60°<∠AFB <90°,c >a 2c ,∴33<k FB <1,∴33<ab c c －a 2c<1,∴33<a b <1,∴13<a 2c 2－a2<1,∴1<e 2－1<3,∴2<e <2.故选B.8.(2018浙江模拟,4分)已知A ,B ,P 为双曲线x 2－y 24＝1上不同三点,且满足P A →＋PB →＝2PO →(O为坐标原点),直线P A ,PB 的斜率记为m ,n ,则m 2＋n 24的最小值为( )A.8B.4C.2D.1 答案:B解析:由P A →＋PB →＝2PO →得点O 为线段AB 的中点,设A (x 1,y 1),P (x 2,y 2),则B (－x 1,－y 1),∴直线P A 的斜率m ＝y 2－y 1x 2－x 1,直线PB 的斜率n ＝y 2＋y 1x 2＋x 1,故mn ＝（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝y 22－y 21x 22－x 21.由于点A ,P 在双曲线上,∴x 21－y 214＝1,x 22－y 224＝1,即x 21＝1＋y 214,x 22＝1＋y 224.代入上式中,有mn ＝y 22－y 2114（y 22－y 21）＝4,∴m 2＋n 24≥2m 2·n 24＝mn ＝4,当且仅当m 2＝n 24,即n ＝2m 时取等号,故m 2＋n 24的最小值为4.故选B .9.(2018四川模拟,5分)已知双曲线y 2－x 22＝1与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于M ,N 两点,线段MN 的中点为P ,设直线l 的斜率为k 1,直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2＝( )A.12B.－12 C.2 D.－2 答案:A解析:设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 0,y 0),则y 21－x 212＝1,y 22－x 222＝1,两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝（x 1－x 2）（x 1＋x 2）2,∴直线l 的斜率为k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22（y 1＋y 2）＝x 02y 0.又∵直线OP 的斜率为k 2＝y 0x 0,∴k 1k 2＝x 02y 0·y 0x 0＝12.故选A.10.(2018山西模拟,5分)已知双曲线C :x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ,Q 两点,且点P 的横坐标为2,则△PF 1Q 的周长为( )A.1633B.5 3C.1433D.4 3答案:A解析:∵c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2,∴F 2(2,0).∵点P 的横坐标为2,∴PQ ⊥x 轴,由223－y 2＝1,解得y ＝±33,∴|PQ |＝233.∵点P ,Q 在双曲线C 的右支上,∴|PF 1|－|PF 2|＝23,|QF 1|－|QF 2|＝23,∴|PF 1|＋|QF 1|＝43＋|PF 2|＋|QF 2|＝43＋|PQ |＝43＋233＝1433,∴△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |＝1433＋233＝1633.故选A.11.(经典题, 12分)已知定点F (3,0)和动点P (x ,y ),H 为PF 的中点,O 为坐标原点,且满足||OH －||HF ＝2.(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；答案:x 24－y 25＝1(x ≥2)解:取F ′(－3,0),连接PF ′.∵O 是FF ′的中点,H 是PF 的中点,∴|OH |＝12|PF ′|,|HF |＝12|PF |.又∵|OH |－|HF |＝2,∴|PF ′|－|PF |＝4,由双曲线定义知,点P 的轨迹是以F ′,F 为焦点的双曲线的右支.(3分)∵a ＝2,c ＝3,∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5,∴点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2).(5分)(Ⅱ)过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于A ,B 两点,点C (2,0),直线AC ,BC 与直线x ＝43分别交于M ,N .试证明:以MN 为直径的圆恒过点F .答案:见证明过程证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M ⎝⎛⎭⎫43，m ,N ⎝⎛⎭⎫43，n ,显然直线l 的斜率不为0, ∴可设直线l 的方程为x ＝ty ＋3.(6分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 24－y 25＝1，整理得(5t 2－4)y 2＋30ty ＋25＝0, ∴5t 2－4≠0且⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－30t5t 2－4，y 1·y 2＝255t 2－4.∵A ,C ,M 三点共线,∴y 1x 1－2＝m 43－2,∴m ＝－23·y 1x 1－2,同理n ＝－23·y 2x 2－2,即M ⎝⎛⎭⎫43，－23·y 1x 1－2,N (43,－23·y 2x 2－2),(9分) ∴FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫43－3，－23·y 1x 1－2·(43－3,－23·y 2x 2－2) ＝259＋49·y 1·y 2（ty 1＋1）（ty 2＋1） ＝259＋49·y 1y 2t 2y 1y 2＋t （y 1＋y 2）＋1 ＝259＋49·255t 2－4t 2·255t 2－4＋t ·－30t5t 2－4＋1＝259＋49·2525t 2－30t 2＋5t 2－4 ＝259＋49×⎝⎛⎭⎫－254 ＝259－259＝0. 又∵M ,N 均不与F 重合,∴FM →⊥FN →,即∠MFN ＝90°, ∴以MN 为直径的圆恒过点F .(12分)B 组(冲刺满分)12.(2018北京朝阳模拟,5分)已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左,右焦点,且||F 1F 2＝b 2a ,I 为△PF 1F 2的内心.若1122IPF IPF IF F S S S λλ∆∆∆＝＋成立,则λ的值为________.答案:2＋1解析:设F 1(－c ,0),F 2(c ,0),△PF 1F 2内切圆的半径为r ,由|F 1F 2|＝b 2a ,得2c ＝b 2a ,即2ac ＝b 2＝c 2－a 2,∴e 2－2e －1＝0.又∵e >1,∴e ＝2＋1.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ,由1122IPF IPF IF F S S S λλ∆∆∆＝＋,可得λ·12|PF 1|·r ＝λ·12|PF 2|·r ＋12|F 1F 2|·r ,即λ·(|PF 1|－|PF 2|)＝|F 1F 2|,∴λ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝2c2a ＝e ＝2＋1.13.(2018大连模拟,5分)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的右焦点F 作一条直线,当直线斜率为1时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,2)B.(1,10)C.(2,10)D.(5,10) 答案:C解析:(法一)由题意可知双曲线渐近线的斜率的范围为1<ba <3.∵双曲线的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2,∴2<e <10.故选C. (法二)当直线斜率为1时,直线方程为y ＝x －c ,代入双曲线的方程中,整理可得(b 2－a 2)x 2＋2a 2cx －a 2c 2－a 2b 2＝0,由题设可得222222a c ab b a+--<0, 即b 2>a 2,∴b 2a2>1,∴双曲线的离心率e ＝1＋b 2a2>2；当直线斜率为3时,直线方程为y ＝3(x －c ),代入双曲线的方程中,整理可得 (b 2－9a 2)x 2＋18a 2cx －9a 2c 2－a 2b 2＝0,由题设可得－。