2014年中考数学压轴题专题复习
杭州中考数学历年压轴题集锦(2014-2021)
杭州中考压轴题集锦2021年浙江省杭州市中考数学试卷10．已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1+M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2具有性质P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1D．y1＝﹣和y2＝﹣x+116．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE 折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝度．22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q ＝2，求证：P+Q＞6．23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．2019年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y ＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣116．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．22．（12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．2018年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S216．（4分）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．22．（12分）设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．23．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设＝k．（1）求证：AE＝BF．（2）连结BE，DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β．求证：tanα＝k tanβ．（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值．2017年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜010．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan△ACB=y，则（）A．x﹣y2=3B．2x﹣y2=9C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=2116．（4分）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3（用元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉千克．含t的代数式表示．）22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．23．（12分）如图，已知△ABC内接于△O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE△BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与△O交于点G，设△GAB=ɑ，△ACB=β，△EAG+△EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求△O半径的长．2016年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）（2016•杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+2mn+n2=0B．m2﹣2mn+n2=0C．m2+2mn﹣n2=0D．m2﹣2mn﹣n2=010．（3分）（2016•杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：△若a@b=0，则a=0或b=0△a@（b+c）=a@b+a@c△不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2△设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A．△△△B．△△△C．△△△D．△△△16．（4分）（2016•杭州）已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是．22．（12分）（2016•杭州）已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．△求证：2a+b=0；△当1＜x＜时，比较y1，y2的大小．23．（12分）（2016•杭州）在线段AB的同侧作射线AM和BN，若△MAB与△NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且△ACB=60°时，有以下两个结论：△△APB=120°；△AF+BE=AB．那么，当AM△BN时：（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出△APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长．2015年浙江省杭州市中考数学试卷9．（3分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（）A．B．C．D．10．（3分）设二次函数y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2＝dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝dC．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x1+x2）2＝d15．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y＝的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP．若反比例函数y＝的图象经过点Q，则k＝．16．（4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝．23．（12分）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？2014年浙江省杭州市中考数学试卷10．（3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）A．1+tan∠ADB＝B．2BC＝5CFC．∠AEB+22°＝∠DEF D．4cos∠AGB＝15．（4分）设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．16．（4分）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH＝AC，则∠ABC所对的弧长等于（长度单位）．22．（12分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝4，动点P在线段BD上从点B向点D 运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP＝x．（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1＝S2，求x的值．23．（12分）复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．。
2014冲刺中考专题复习题
如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．已知△ABC中，AB=AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．x轴的距离为4，（1）求抛物线的解析式；（2）过A、B、C三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴，y轴于点F、G，．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．（Ⅰ）探究新知如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．（1）求证：内切圆的半径r1=1；（2）求tan∠OAG的值；（Ⅱ）结论应用（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；（2）如图③，若半径为r n的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙O n依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O n与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙O n均与AB相切，求r n 的值．如图，△ABC中，∠B=45°，O为AC上一个动点，过O作∠POQ=135°，且∠POQ与AB交于P，与BC交于Q．（如图3）已知：四边形ABCD为正方形，P为BC延长线上的一点，E为直线DP上的一动点，过点E作直线，分别交直线CD和直线AB于M、N两点．（3）如图3，若E点在PD的延长线上，MN⊥PE于E，在EN上截取EG=ED试问：DM •PB与MN•MG有何种数量关系？为什么？如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=3，OC=4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q．（1）当点P在线段AB上运动（不与A，B重合）时，求证：OA•BQ=AP•BP；（2）在（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．．顾客李某于今年“五•一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：顾客李某：A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题营业员：不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的．。
2014中考数学26题专项训练有答案2014中考数学26题专项训练有答案
2014中26题专项训练训练目标1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
答题规范动作1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。
2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。
3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。
4.20分钟内完成。
实力才是考试发挥的前提。
若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。
下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。
课程名称：2013中考数学难点突破之动点1、图形运动产生的面积问题2、存在性问题3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题）3、2013中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）一、图形运动产生的面积问题一、 知识点睛 1. 研究_基本_图形 2. 分析运动状态：①由起点、终点确定t 的范围；②对t 分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．3. 分段画图，选择适当方法表达面积． 二、精讲精练已知，等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在△ABC 的边AB 上，沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积．（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．1题图 2题图如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB＝ CD高CE＝，对角线AC 、BD 交于点H ．平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发，沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ，当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x 秒．AB C M N QPAB CHD CBAAB CDH H D CBAA B C DMN R QF G HE HD C B A H DC BA（1）填空：∠AHB ＝____________；AC ＝_____________；（2）若213S S ，求x ．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点P 、Q 同时从点C 出发，以1cm/s 的速度分别沿CA 、CB 匀速运动，当点Q 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．过点P 作AC 的垂线l 交AB 于点R ，连接PQ 、RQ ，并作△PQR 关于直线l 对称的图形，得到△PQ'R ．设点Q 的运动时间为t （s ），△PQ'R 与△PAR 重叠部分的面积为S （cm 2）．（1）t 为何值时，点Q' 恰好落在AB 上？（2）求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（3）S 能否为98？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =2cm ，AC =4cm ，动点P 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动，动点Q 从点B 同时出发，沿BA 方向以1cm/s 的速度向点A 运动．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．以AP 为边向上作正方形APDE ，过点Q 作QF ∥BC ，交AC 于点F ．设点P 的运动时间为t s ，正方形APDE 和梯形BCFQ 重叠部分的面积为S cm 2．（1）当t =_____s 时，点P 与点Q 重合； （2）当t =_____s 时，点D 在QF 上；（3）当点P 在Q ，B 两点之间（不包括Q ，B 两点）时， 求S 与t 之间的函数关系式．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，1）、D （-2，0），作直线AD 并以线段AD 为一边向上作正方形ABCD ．（1）填空：点B 的坐标为________，点C 的坐标为_________．（2）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线DA 向上平移，直至正方形的顶点C 落在y 轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为S ，求S 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围．CBAABCPRQ Q'lABC如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y =12x 与直线l 2：y =-x +6相交于点M ，直线l 2与x 轴相交于点N ．（1）求M ，N 的坐标．（2）已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD 与△OMN 重叠部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）．求S 与自变量t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围．一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍． 二、精讲精练如图，已知点P 是二次函数y =-x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =-2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点. 若以AB 为直角边的△PAB 与△OAB 相似，请求出所有符合条件的点P 的坐标．尽兴,爽快;“淋、抛物线134y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．点P 在抛物线上，直线PQ //BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求直线BQ 的函数解析式；（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上（点D 不与点Q 重合），另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标．yOyxOOxy y x O O x y y x O O x y x AB C DNMOy如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10，OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合．（1）若抛物线c bx x y ++-=231经过A 、B 两点，求该抛物线的解析式：______________；（2）若点M 是直线AB作MN ⊥x 轴于点N ．是否存在点M ，使△AMN与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标； 若不存在，说明理由．已知抛物线2=23y x x --经过A 、B 、C 三点，点P （1，k）在直线BC ：y=x -3上，若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线2212-+=x x y 与y 轴交于点C ，与直线y =x 交于A (-2，-2)、B (2，2)两点．如图，线段MN 在直线AB上移动，且MN =M 的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ．以P 、M 、Q 、N为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．COyBA xxA ByO C C O yBAx三、二次函数与几何综合一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程：整合信息时，下面两点可为我们提供便利：①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k 、b ；②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练1. 如图，抛物线y =ax 2-5ax +4（a ＜0）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A在x 轴上，点C 在y2. B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC 、CD ，∠ACD =90°．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B 、A 、F 、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．3. 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．4. 已知，抛物线212y ax ax b =-+经过A (-1，0)，C (2，32)两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点 （不与点B 重合），点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ =45°，设线段OP =x ，MQ=22y ，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围．5. 已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A (1，0)，C (0，-3).（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），①如图1，当△PBC 的面积与△ABC 的面积相等时，求点P 的坐标；②如图2，当∠PCB =∠BCA 时，求直线CP 的解析式．1.如图，在直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，BC ⊥x 轴于点C ，A (1，1)，B (3，1)．动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P 作PQ ⊥OA ，垂足为Q ．设点P 移动的时间为t 秒（0<t <4），△OPQ 与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ．2.如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标．（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标．（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ．若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′，是否存在点P ，使点Q ′恰好在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3.（11分）如图，已知直线112y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线的另一个交点为E ．（1）请直接写出C ，D 两点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止，设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C ，E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．4.（11分）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 交x 轴于点A (-3，0)，点B (1，0)，交y 轴于点E (0，-3)．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线，交直 线CD 于点H ，交抛物线于点G ，求线段HG 长度的最大值； （3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以A ，C ，M ， N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标．5.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x=-与 抛物线214y x bx c =-++交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B （1）求抛物线的解析式．（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE ⊥AB 于点E ．①设△PDE 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值．②连接P A ，以P A 为边作图示一侧的正方形APFG ．随着点P 正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F 或G 恰好落在y 直接写出对应的点P 的坐标．6.（11分）如图1，点A 为抛物线C 1：2122y x =-的顶点，点B 的坐标为 (1，0)，直线AB 交抛物线C 1于另一点C ． （1）求点C 的坐标；（2）如图1，平行于y 轴的直线x =3交直线AB 于点D ，交抛物线C 1于点E ，平行于y 轴的直线x =a 交直线AB 于点F ，交抛物线C 1于点G ，若FG :DE =4:3，求a 的值；（3）如图2，将抛物线C 1向下平移m （m >0）个单位得到抛物线C 2，且抛物线C 2的顶点为P ，交x 轴负半轴于点M ，交射线AB 于点N ，NQ ⊥x 轴于点Q ，当NP 平分∠MNQ 时，求m 的值．图1 图2附：参考答案一、图形运动产生的面积问题1. （1）当t =32时，四边形MNQP 平方厘米．（2） 当0＜t ≤1时，+2S =；当1＜t ≤2时，2S =；当2＜t ＜3时，2S =+2．（1）90°；4 （2）x =2. 3．（1）当t =125时，点Q' 恰好落在AB 上. （2）当0＜t ≤125时，23-+38S t t =；当125＜t ≤6时，29(8-)56S t =（3）由（2）问可得，当0＜t ≤125时，239-388t t += ；当125＜t ≤6时，299(8-)568t =；解得，8t =4t =98S =.4．（1）1 （2）45（3）当1＜t ≤43时，29-24S t t =；当43＜t ＜2时，29-10-84S t t =+. 5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2） （2）当0＜t ≤12时，25S t =；当12＜t ≤1时，55-4S t =；当1＜t ≤32时，225-515-4S t t =+. 6．（1）M （4，2） N （6，0）（2）当0≤t ≤1时，24t S =；当1＜t ≤4时，1-24t S =； 当4＜t ≤5时，231349--424S t t =+；当5＜t ≤6时，13-2S t =+； 当6＜t ≤7时，()217-2S t =二、二次函数中的存在性问题1.解：由题意，设OA =m ，则OB =2m ；当∠BAP =90°时，△BAP ∽△AOB 或△BAP ∽△BOA ； ① 若△BAP ∽△AOB ，如图1，可知△PMA ∽△AOB ，相似比为2：1；则P 1（5m ，2m ），代入x x y 32+-=，可知2513=m ，)2526,513(1P ② 若△BAP ∽△BOA ，如图2，可知△PMA ∽△AOB ，相似比为1：2；则P 2（2m ，2m），代入x x y 32+-=，可知811=m ，)1611,411(2P当∠ABP =90°时，△ABP ∽△AOB 或△ABP ∽△BOA ；③ 若△ABP ∽△AOB ，如图3，可知△PMB ∽△BOA ，相似比为2：1；则P 3（4m ，4m ），代入x x y 32+-=，可知21=m ，)2,2(3P ④ 若△ABP ∽△BOA ，如图4，可知△PMB ∽△BOA ，相似比为1：2；则P 4（m ，m 25）， 代入x x y 32+-=，可知21=m ，415(,)24P2.解：（1）由抛物线解析式()21134y x =--+可得B 点坐标（1，3）要求直线BQ 的函数解析式，只需求得点Q 坐标即可，即求CQ 长度.过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点D 作DF ⊥QP 于点F .则可证△DCG ≌△DEF .则DG =DF ，∴矩形DGQF 为正方形.则∠DQG =45°，则△BCQ 为等腰直角三角形.∴CQ =BC =3，此时，Q 点坐标为（4，0）可得BQ 解析式为y =－x +4.（2）要求P 点坐标，只需求得点Q 坐标，然后根据横坐标相同来求点P 坐标即可.而题目当中没有说明∠DCE =30°还是∠DCE =60°，所以分两种情况来讨论.① 当∠DCE =30°时，a ）过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点D 作DK ⊥QP 于点K .则可证△DCH ∽△DEK .则DH DC DK DE==在矩形DHQK 中，DK =HQ，则DHHQ=在Rt △DHQ 中，∠DQC =60°.则在Rt △BCQ中，BCCQ=∴CQQ 点坐标为（,0）则P 点横坐标为代入()21134y x =--+可得纵坐标.∴P （b ）又P 、Q 为动点，∴可能PQ 由对称性可得此时点P 坐标为（194） ② 当∠DCE =60°时，a) 过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥QP 于点N .则可证△DCM ∽△DEN .则DMDC DN DE == 在矩形DMQN 中，DN =MQ ，则DM MQ =. 在Rt △DMQ 中，∠DQM =30°.则在Rt △BCQ 中，BC CQ =∴CQ =Q 点坐标为（1+0）则P 点横坐标为1+代入()21134y x =--+可得纵坐标.∴P （1+154－）.b ）又P 、Q 为动点，∴可能PQ 在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P 坐标为（1－154－） 综上所述，P 点坐标为（94），（194），（1+154－）或（1－154－）.3．解：（1）∵AB =BC =10，OB =8 ∴在Rt △OAB 中，OA =6 ∴ A （6，0）的快乐”“要敢于说不化学教案不要害怕拒绝他4.解：满足条件坐标为：1(3M 2(3M 3(1-+M 4(1-M思路分析：A 、M 、N 、P 四点中点A 、点P 为顶点，则AP 可为平行四边形边、对角线；(1)如图，当AP 为平行四边形边时，平移AP ；∵点A 、P 纵坐标差为2 ∴点M 、N 纵坐标差为2； ∵点M 的纵坐标为0 ∴点N 的纵坐标为2或-2 ①当点N 的纵坐标为2时 解：2232--=x x 得16=±x又∵点A 、P 横坐标差为2 ∴点M 的坐标为： 1(36,0)-M 、2(36,0)+M ②当点N 的纵坐标为-2时解：2232--=-x x 得12=±x又∵点A 、P 横坐标差为2 ∴点M 的坐标为： 3(12,0)-+M 、4(12,0)--M (2)当AP 为平行四边形边对角线时； 设M 5（m ,0） MN 一定过AP 的中点（0，-1）则N 5（-m ，-2），N 5在抛物线上 ∴2232+-=-m m12=-±m （负值不符合题意，舍去）∴12=-+m ∴5(12,0)-+M 综上所述:符合条件点P 的坐标为：1(36,0)-M 2(36,0)+M 3(12,0)-+M 4(12,0)--M5．解：分析题意，可得：MP ∥NQ ，若以P 、M 、N 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，只需MP =NQ 即可。
中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。
解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。
2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
2014年中考数学专题复习七
2014年中考数学专题复习七代数几何综合题【知识链接】1、用待定系数法求直线及抛物线的解析式；2、建立函数关系式求最值；3、掌握探究以下问题的方法：①三角形相似；②构成特殊四边形；③构成特殊三角形；④其它；4、掌握解决存在性问题和动点问题的一般方法.【题型示例】例题1.（2013凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．例题2. （2013•荆州）已知：如图①，直线y=－3x+ 3与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a(x－k)2+h(a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG.设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，运动时间为t秒.（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式.xyOBA图①图②例题2图例题3.（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。
中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习附答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，BE=33PE=33x米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数3．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.（2）①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，②过点P作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得，点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A即：由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完全程所需时间为考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置4．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数5．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）()()()()243x 430x 3331333x x 3x 5232S {23x 1235x 93543x 9x +≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）． （2）当0≤x≤3时， 如图1，OI=x ，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ； 由题意可知直线l ∥BC ∥OA ， 可得EF PE DC 31==OQ PO DO 333==，∴EF=13（3+x ）， 此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形（）（）当3＜x≤5时，如图2，)HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ243331333 3x 3=∆=-=-⋅⋅=+---梯形梯形当5＜x≤9时，如图3，12S BE OAOC 312x 2323 =x 1233=+⋅=--+（）（）。
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．类型一 动点函数图象问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判断图象的变化．例1 (2016·济南) 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是A B 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）【分析】 由点Q 从点N 出发，沿折线NDDCCE 向点E 运动，确定出点Q 分别在ND ，DC ，CE 运动时对应的t 的取值范围，再根据t 所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象．【自主解答】过点D 作DF ⊥AB 于点F （如图1），则DF ＝BC ＝4．第15题图 A BCDM N Q∵AD ＝5，DF ＝4，∴AF ＝3．∴sin ∠A＝DF AD ＝45，MF ＝3－1＝2，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2，DC ＝BF ＝2．∵AD ＝5，AN ＝3，∴ND ＝5－3＝2．（1）当0≤t ≤2时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图2），此时AP ＝AM ＋MP ＝1＋t ，AQ ＝AN ＋NQ ＝3＋t ．∴S ＝12AP •AQ •sin ∠A ＝12(1＋t )(3＋t )×45＝25(t ＋2)2―25．当0≤t ≤2时，S随t 的增大而增大，且当t ＝2时，S ＝6．由此可知A 、B 选项都不对．（2）当t ＝5时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图3），此时BP ＝1，PE ＝BC －BP －CE ＝4－1－1＝2．∴S ＝12AB •PE ＝12×5×2＝5．∵6＞5，∴选项D 正确．变式训练1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4，D 为AB 上的动点，DP ⊥AB 交折线A －C －B 于点P.设AD ＝x ，△ADP 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是( )2．(2016·烟台)如图，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条相互垂直的直径，图1 DC B A E M N QP F 图2 A B C D E M N Q P F 图3 A B C D E (Q )M N F P点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动．设AP＝x，sin∠APB ＝y，那么y与x之间的关系图象大致是()类型二二次函数的实际问题解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续的问题．一般来说，选择的坐标系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要．例2 (2017·金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．【分析】（1）①将点P（0，1）代入y=﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【自主解答】解：（1）①当a=﹣时，y=﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，解得：h=；②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：，解得：，∴a=﹣．变式训练3．(2017·沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润．4、（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．【自主解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，，解得，，∴x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．类型三二次函数的综合题二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答，计算量很大，且题目较为综合．例3 (2017·泰安) ）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【自主解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．变式训练5．(2016·襄阳) 如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC 于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？解：（1）令x=0代入y=﹣x+3∴y=3，∴C（0，3），令y=0代入y=﹣x+3∴x=4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），∴a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，∴顶点D的坐标为（1，）；（2）当DP∥BC时，此时四边形DEFP是平行四边形，设直线DP的解析式为y=mx+n，∵直线BC的解析式为：y=﹣x+3，∴m=﹣，∴y=﹣x+n，把D（1，）代入y=﹣x+n，∴n=，∴直线DP的解析式为y=﹣x+，∴联立，解得：x=3或x=1（舍去），∴把x=3代入y=﹣x+，y=，∴P的坐标为（3，）；（3）由题意可知：0≤t≤6，设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，得：，∴解得，∴直线AC的解析式为：y=x+3，由题意知：QB=t，如图1，当∠NMQ=90°，∴OQ=4﹣t，令x=4﹣t代入y=﹣x+3，∴y=t，∴M（4﹣t，t），∵MN∥x轴，∴N的纵坐标为t，把y=t代入y=x+3，∴x=t﹣2，∴N（t﹣2，t），∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t，∵MQ∥OC，∴△BQM∽△BOC，∴，∴MQ=t，当MN=MQ时，∴6﹣t=t，∴t=，此时QB=，符合题意，如图2，当∠QNM=90°时，∵QB=t，∴点Q的坐标为（4﹣t，0）∴令x=4﹣t代入y=x+3，∴y=9﹣t，∴N（4﹣t，9﹣t），∵MN∥x轴，∴点M的纵坐标为9﹣t，∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3，∴x=2t﹣8，∴M（2t﹣8，9﹣t），∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，∵NQ∥OC，∴△AQN∽△AOC，∴=，∴NQ=9﹣t，当NQ=MN时，∴9﹣t=3t﹣12，∴t=，∴此时QB=，符合题意如图3，当∠NQM=90°，过点Q作QE⊥MN于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，设QE=a，令y=a代入y=﹣x+3，∴x=4﹣，∴M（4﹣a，a），令y=a代入y=x+3，∴x=﹣2，∴N（﹣2，0），∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣2a，当MN=2QE时，∴6﹣2a=2a，∴a=，∴MF=QE=，∵MF∥OC，∴△BMF∽△BCO，∴=，∴BF=2，∴QB=QF+BF=+2=，∴t=，此情况符合题意，综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或6．(2017·潍坊) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF =S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．。
中考数学_三年经典中考压轴题专题4：代数之不等式组(组)问题
三年经典中考压轴题专题4：代数之不等式组（组）问题一、选择题1. （2014年内蒙古包头、乌兰察布3分）关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 0+-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1+x 2＞0，x 1x 2＞0，则m 的取值范围是【 】 A. 1m 2≤ B. 1m 2≤且m≠0 C. m ＜1 D. m ＜1且m≠0 【答案】B ．【考点】1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程根与系数的关系；3.解一元一次不等式组．2. （2014年四川德阳3分）已知方程3a 1a a 44a --=--，且关于x 的不等式组x a x b ≥⎧⎨≤⎩只有4个整数解，那么b 的取值范围是【 】A ．﹣1＜b≤3B ．2＜b≤3C ．8≤b ＜9D ．3≤b ＜4【答案】D.【考点】1.解分式方程；2.一元一次不等式组的整数解．故选D.3.（2013年山东潍坊3分）对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若x 4510+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是【 】. A.40 B.45 C.51 D.564. （2012江苏常州2分）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a cb d<，给出下列四个不等式： ①a c a+b c+d <；②c a c+d a+b <；③d b c+d a+b <；④b d a+b c+d <。
其中不等式正确的是【 】A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③二、填空题1. （2014年江苏镇江2分）读取表格中的信息，解决问题. n=1 1a 223=+ 1b 32=+ 1c 122=+ n=2a 2=b 1+2c 1 b 2=c 1+2a 1 c 2=a 1+2b 1 n=3a 3=b 2+2c 2 b 3=c 2+2a 2 c=a 2+2b 2 …… … … 满足()n n na b c 201432132++≥⨯-++的n 可以取得的最小整数是 ． 【答案】7．【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2. 二次根式化简；3.不等式的应用．2.（2013年浙江台州5分）任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[][]13,44==，现对72进行如下操作：1727288221⎡−−−→=−−−→=−−−→=⎣第次第2次第3次，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .3. （2013年宁夏区3分）若不等式组x a 012x x 2+≥⎧⎨--⎩＞有解，则a 的取值范围是 ．4.（2013年四川乐山3分）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n 为非负整数．．时，若11n x n 22<-≤+，则<x>＝n ，如<0.46>=0，<3.67>=4。
2014年各地中考数学压轴题精选(有详细解析)2014年各地中考数学压轴题精选(有详细解析)
2012年各地中考数学压轴题精选61~70_解析版 61.【2012吉林】 26.问题情境如图，在x 轴上有两点(,0)A m ,(,0)B n （0n m >>）.分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线2y x =于点C 、点D .直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ,点E 、点F 的纵坐标分别记为.E y 、Fy .特例探究 填空： 当1m =,2n =时，.E y =____,F y =______.当3m =,5n =时，.E y =____,F y =______.归纳证明对任意m ,n （0n m >>）,猜想.E y 与Fy 的大小关系，并证明你的猜想拓展应用.若将“抛物线2y x =”改为“抛物线2(0)y ax a =>”,其它条件不变，请直接写出.E y 与Fy 的大小关系.连接EF ，AE ．当.3OFEOFEB S S =△四边形时，直接写出m 和n 的关系及四边形OFEA 的形状．[答案] 特例探究2,2；15,15.归纳证明 猜想E Fy y =.证明（略）拓展应用(1)E Fy y =.(2)四边形OFEA 是平行四边形．[考点] 一次函数、二次函数综合运用，函数图象上的点与函数解析式的关系，平行四边形的判定.[解析] 特例探究当1m =,2n =时，(1,1)C ，(2,4)D ，所以直线OC 的解析式为：y x =；直线OD 的解析式为：2y x =；此时解2x y x =⎧⎨=⎩，得(2,2)2E E y ⇒=.解12x y x =⎧⎨=⎩，得(1,2)2F F y ⇒=. 所以，此时122E F y y ==⨯=当3m =,5n =时，(3,9)C ，(5,25)D ，所以直线OC 的解析式为：3y x =；直线OD 的解析式为：5y x =；此时解53x y x =⎧⎨=⎩，得(5,15)15E E y ⇒=.解35x y x =⎧⎨=⎩，得(3,15)15F F y ⇒=.所以，此时3515E F y y ==⨯=归纳证明 猜想：对任意m ,n （0n m >>）,都有：E Fy y =.证明：对任意m ,n （0n m >>）时，2(,)C m m ，2(,)D n n ，所以直线OC 的解析式为：y mx =；直线OD 的解析式为：y nx =；此时解x ny mx =⎧⎨=⎩，得(,)E E n mn y mn ⇒=.解x m y nx =⎧⎨=⎩，得(,)F F n mn y mn ⇒=. 所以，此时E F y y mn==.拓展应用(1)若将“抛物线2y x =”改为“抛物线2(0)y ax a =>”,其它条件不变，仍然有：E Fy y =.此时，2(,)C m am ，2(,)D n an ，所以直线OC 的解析式为：y amx =；直线OD 的解析式为：y anx =；此时解x n y amx =⎧⎨=⎩，得(,)E E n amn y amn ⇒=.解x my anx =⎧⎨=⎩，得(,)F F n amn y amn ⇒=.62.【2012济南】28．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），∴933030a ba b-+=⎧⎨-+=⎩，解得a=1，b=4，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=2 2．在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=221310 +=．如答图1所示，连接O1B、O1B，由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°，∴△BO1C为等腰直角三角形，∴⊙O1的半径O1B=22BC=5．（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x= -2．又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（-4，3）．又∵点M为BD中点，B（-1，0），∴M（52-，32），∴BM=22533 [(1)]()2 222---+=；在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=2，BC=10，PC=25．∵△BMN∽△BPC，∴==BM BN MNBP BC PC，即32221025==BN MN，解得：3102=BN，MN35=．设N（x，y），由两点间的距离公式可得：2222223(1)(10)253()()(35)22x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪++-=⎪⎩， 解之得，117232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221292x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴点N 的坐标为（72，32-）或（12，92-）．【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N 有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N 的坐标．63.【2012达州】23．如图1，在直角坐标系中，已知点A （0，2）、点B （－2，0），过点B 和线段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D 的坐标为（ ），点E 的坐标为（ ）.（2）若抛物线2y ax bx c(a 0)=++≠经过A 、D 、E 三点，求该抛物线的解析式. （3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围.②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.【答案】解：（1）D （－1，3），E （－3，2）。
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第 1 页 共 1 页 2014年中考数学压轴题专题复习 第一章 在函数图象中，点的存在性问题 目录 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2013年上海市中考第24题 例2 2012年苏州市中考第29题 例3 2012年黄冈市中考第25题 例4 2010年义乌市中考第24题 例5 2009年临沂市中考第26题 例6 2008年苏州市中考第29题
1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题 例2 2012年扬州市中考第27题 例3 2012年临沂市中考第26题 例4 2011年湖州市中考第24题 例5 2011年盐城市中考第28题 例6 2010年南通市中考第27题 例7 2009年江西省中考第25题
1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 2013年山西省中考第26题 例2 2012年广州市中考第24题 例3 2012年杭州市中考第22题 例4 2011年浙江省中考第23题 例5 2010年北京市中考第24题 例6 2009年嘉兴市中考第24题 例7 2008年河南省中考第23题
1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题 例2 2012年福州市中考第21题 例3 2012年烟台市中考第26题 例4 2011年上海市中考第24题 例5 2011年江西省中考第24题 例6 2010年山西省中考第26题 例7 2009年江西省中考第24题 第 2 页 共 2 页
1.5 因动点产生的梯形问题 例1 2012年上海市松江中考模拟第24题 例2 2012年衢州市中考第24题 例4 2011年义乌市中考第24题 例5 2010年杭州市中考第24题 例7 2009年广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 2013年苏州市中考第29题 例2 2012年菏泽市中考第21题 例3 2012年河南省中考第23题 例4 2011年南通市中考第28题 例5 2010年广州市中考第25题 例6 2010年扬州市中考第28题 例7 2009年兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 2012年河北省中考第25题 例3 2012年无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 2013年天津市中考第25题 例2 2012年滨州市中考第24题 例3 2012年山西省中考第26题
第二章 图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题 例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 2012年连云港市中考第26题 例4 2010年上海市中考第25题
2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 2013年菏泽市中考第21题 例2 2012年广东省中考第22题 例3 2012年河北省中考第26题 例4 2011年淮安市中考第28题 例5 2011年山西省中考第26题 例6 2011年重庆市中考第26题 第 3 页 共 3 页
第三章 图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 2013年南京市中考第26题 例2 2013年南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 2013年江西省中考第24题
第一章 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2013年上海市中考第24题 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM，求∠AOM的大小； （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
图1 动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似． 请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。
思路点拨 1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小． 第 4 页 共 4 页
2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．
满分解答
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
所以AH＝1，OH＝3．所以A(1,3)． 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， 设y＝ax(x－2)，代入点A(1,3)，可得
33a． 图2
所以抛物线的表达式为23323(2)333yxxxx． （2）由2232333(1)3333yxxx， 得抛物线的顶点M的坐标为3(1,)3．所以3tan3BOM． 所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． （3）由A(1,3)、B(2,0)、M3(1,)3，
得3tan3ABO，23AB，233OM． 所以∠ABO＝30°，3OAOM． 因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． △ABC与△AOM相似，存在两种情况：
①如图3，当3BAOABCOM时，23233BABC．此时C(4,0)．
②如图4，当3BCOABAOM时，33236BCBA．此时C(8,0)． 第 5 页 共 5 页
图3 图4 考点伸展 在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标． 如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．
图5 例2 2012年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线211(1)444byxbx（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 第 6 页 共 6 页
图1 动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．
思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等． 2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, 4b)． （2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．
所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝1152428bxbxbx＝2b．
解得165x．所以点P的坐标为(1616,55)．
图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得A(1, 0)，OA＝1． ①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． 当BAQAQAOA，即2QABAOA时，△BQA∽△QOA．
所以2()14bb．解得843b．所以符合题意的点Q为(1,23)． ②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA．
当BAQAQAOA时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． 第 7 页 共 7 页
所以C、Q、B三点共线．因此BOQACOOA，即14bQAb．解得4QA．此时Q(1,4)． 图4 图5 考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况． 这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置． 如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？ 如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例3 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()yxxmm (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1 动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体