《运筹学》胡运权清华版-12-02矩阵对策基本定理.ppt
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运筹学PPT完整版胡运权
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
线性规划问题的数学模型
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
Page 30
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵 r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
运筹学的历史
“运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 的变0换 可令 xj x，j 显x然j 0
Page 23
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
线性规划问题的数学模型
Page 25
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
运筹学胡运权第02章
•极大化问题的每个约束对应于极小化问题 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 x1 a12 x 2 a1n x n (, )b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n (, )b2 a x a x a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x j 0( 0, 或符号不限) j 1 ~ n
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2
对偶变量 y1 y2′
y2″
y3′
非 对 偶 形 式 的 原对 偶 问 题
例2-4
b2 y2 b3 y3 min w b1 y1 b2 y2
令各约束对应的对偶变量分别为y1、y2′、y2″、 -y3′
（2.4a） （2.4b） （2.4c）
（2.4d）
先转换成对称形式，如下：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a x a x a x a x b 2 21 1 22 2 23 3 23 3 s.t. a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b 2 a x a x a x a x b3 31 1 32 2 33 3 33 3 x1 0，x2 0，x3 0，x3 0
a11 y1 a21 y2 a21 y2 a31 y3 c1 a y a y a y a y c 2 12 1 22 2 22 2 32 3 s.t. a13 y1 a23 y2 a23 y2 a33 y3 c 3 a y a y a y a y c 3 23 2 33 3 13 1 23 2 y1 0，y2 0，y2 0，y3 0
《运筹学》胡运权清华版-12-02矩阵对策基本定理
《运筹学》胡运权清华版 -12-02矩阵对策基本定理
运筹学中，矩阵对策是重要的决策分析工具。通过这个矩阵对策基本定理， 我们能够更好地理解并应用它在实际问题中。
Байду номын сангаас
矩阵对策的背景和定义
矩阵对策是一种决策分析方法，通过建立决策者与对手之间的策略矩阵，来 寻求最佳决策方案。它在解决有限决策问题中具有广泛的应用。
矩阵对策在实际问题中有广泛的应用，如在市场竞争、资源分配、风险管理 等领域。通过矩阵对策的应用，我们能够做出更明智和有效的决策。
矩阵对策在经济领域的案例分 析
矩阵对策在经济领域有着丰富的案例分析。通过深入研究这些案例，我们可 以更好地理解和应用矩阵对策的方法和技巧。
矩阵对策的优势和局限性
矩阵对策具有许多优势，如能够考虑多个因素和决策变量，以及能够量化和 比较各种策略。然而，它也存在一些局限性，如对信息和参数的需求较高。
矩阵对策的基本定理
矩阵对策的基本定理可以帮助我们确定最佳对策和策略组合。通过对矩阵对 策进行精确分析，我们能够得到优化的决策结果。
矩阵对策的解决方法
矩阵对策有多种解决方法，如通过优化算法和约束条件来求解最优解。同时， 可以利用计算机模拟和博弈理论等工具来辅助分析和决策。
矩阵对策在实际问题中的应用
结论和总结
矩阵对策是一种强大的决策分析工具，能够帮助我们做出更明智和优化的决 策。通过学习和应用矩阵对策，我们能够提高决策的准确性和效果，从而更 好地解决现实生活和工作中的问题。
运筹学中，矩阵对策是重要的决策分析工具。通过这个矩阵对策基本定理， 我们能够更好地理解并应用它在实际问题中。
Байду номын сангаас
矩阵对策的背景和定义
矩阵对策是一种决策分析方法，通过建立决策者与对手之间的策略矩阵，来 寻求最佳决策方案。它在解决有限决策问题中具有广泛的应用。
矩阵对策在实际问题中有广泛的应用，如在市场竞争、资源分配、风险管理 等领域。通过矩阵对策的应用，我们能够做出更明智和有效的决策。
矩阵对策在经济领域的案例分 析
矩阵对策在经济领域有着丰富的案例分析。通过深入研究这些案例，我们可 以更好地理解和应用矩阵对策的方法和技巧。
矩阵对策的优势和局限性
矩阵对策具有许多优势，如能够考虑多个因素和决策变量，以及能够量化和 比较各种策略。然而，它也存在一些局限性，如对信息和参数的需求较高。
矩阵对策的基本定理
矩阵对策的基本定理可以帮助我们确定最佳对策和策略组合。通过对矩阵对 策进行精确分析，我们能够得到优化的决策结果。
矩阵对策的解决方法
矩阵对策有多种解决方法，如通过优化算法和约束条件来求解最优解。同时， 可以利用计算机模拟和博弈理论等工具来辅助分析和决策。
矩阵对策在实际问题中的应用
结论和总结
矩阵对策是一种强大的决策分析工具，能够帮助我们做出更明智和优化的决 策。通过学习和应用矩阵对策，我们能够提高决策的准确性和效果，从而更 好地解决现实生活和工作中的问题。
运筹学胡运权第五版课件
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。 少
补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
s.t.
2 x1+2 x2 12 标准化
4x1
16
z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
4x1
16
5 x2
1x510， x2 0
此为有约束极值问题
h
9
1-2 线性规划问题的数学模型
1、原型：现实世界中人们关心、研究的实际对象。 模型：将某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 数学模型：对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，
根据内在规律做出必要的简化假设,并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。
应如何裁剪可使做成的容器的容积最大？
解：如图设四个角上减去的小正方形边
x 长为x，则容器体积为：
a
Va2x2x (0 x a) 2
由 dV 0 dx
有 xa 6
时，容积最大
此为无约束的极值问题
h
7
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定，生产每件产品的单位利润、消耗三种设 备的工时以及各种设备工时的限额如下表：
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4 x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2, x3, x4, x5 0
h
28
P1 P2 P3 P4 P5
运筹学课程09-对策论(胡运权 清华大学)
18
设s i是第i个局中人的一个策略，则n个局中人的策略形成的 策略组合s＝(s1，s2,…,sn) 就是一个局势。若记S为全部局势的集合，则 S＝S1×S2×…×Sn
NEUQ
当一个局势s出现后，应该为每一局中人 i规定一个赢得值 (或所失值)Hi(s)。显然，Hi(s)是定义在S上的函数，称为局中 人i的赢得函数。在“齐王赛马”中，局中人集合I＝{1,2}，齐 王和田忌的策略集可分别用 S1 {1 , 2 ,L , 6 }、S2 {1 , 2 ,L , 6 } 表示。这样 , 齐王的任一策略α i 和田忌的任一策略β j 就构成 了—个局势sij，如果α1=(上,中,下)，βl＝(上,中,下)．则在 局势s11下，齐王的赢得为H1(s11)＝3，田忌的赢得为H2(s11)= -3 当局中人、策略集和赢得函数这3个要素确定后，一个对策 模型也就给定了。 19
矩阵对策问题解的假设：
具有鞍点的矩阵对策
例：设有一矩阵博弈G={S1，S2；H}，其中
－6 １ －8 ３ ２ ４ ９ － 1 － 10 －3 ０ ６
26
H=
NEUQ 如果双方部不想冒险、都不存在侥幸心理，而是考虑到 对方必然会设法使自己所得最少这一点，就应该从各自 可能出现的最不利的情形中选择一个最有利的情形作为 决策的依据，这就是所谓“理智行为”，也是对策双方 实际上可以接受并采取的一‘种稳妥的方法。 从各自可能出现的最不利的情形中选择一个最有利的 情形作为决策的依据
6
约翰· 福布斯· 纳什
NEUQ
7
NEUQ
《美丽心灵》是一部关于一个真实天才的极富人 性的剧情片。故事的原型是数学家小约翰-福布斯 -纳什(Nash),普林斯顿大学的著名教授，诺贝尔 经济学奖的获得者(1994年)，他在博弈理论方面 的巨大发现甚至改变了我们的日常生活。但另一 方面，纳什也是一个悲剧人物，他的一生为精神 分裂症所困。在历经苦痛的人生里，纳什一方面 在运用自己那优美绝伦的大脑，另一方面也在与 他的大脑进行着顽强的抗争。最终理性为他带来 了心灵的和平，纳什终于摘取了科学事业上的桂 冠。
设s i是第i个局中人的一个策略，则n个局中人的策略形成的 策略组合s＝(s1，s2,…,sn) 就是一个局势。若记S为全部局势的集合，则 S＝S1×S2×…×Sn
NEUQ
当一个局势s出现后，应该为每一局中人 i规定一个赢得值 (或所失值)Hi(s)。显然，Hi(s)是定义在S上的函数，称为局中 人i的赢得函数。在“齐王赛马”中，局中人集合I＝{1,2}，齐 王和田忌的策略集可分别用 S1 {1 , 2 ,L , 6 }、S2 {1 , 2 ,L , 6 } 表示。这样 , 齐王的任一策略α i 和田忌的任一策略β j 就构成 了—个局势sij，如果α1=(上,中,下)，βl＝(上,中,下)．则在 局势s11下，齐王的赢得为H1(s11)＝3，田忌的赢得为H2(s11)= -3 当局中人、策略集和赢得函数这3个要素确定后，一个对策 模型也就给定了。 19
矩阵对策问题解的假设：
具有鞍点的矩阵对策
例：设有一矩阵博弈G={S1，S2；H}，其中
－6 １ －8 ３ ２ ４ ９ － 1 － 10 －3 ０ ６
26
H=
NEUQ 如果双方部不想冒险、都不存在侥幸心理，而是考虑到 对方必然会设法使自己所得最少这一点，就应该从各自 可能出现的最不利的情形中选择一个最有利的情形作为 决策的依据，这就是所谓“理智行为”，也是对策双方 实际上可以接受并采取的一‘种稳妥的方法。 从各自可能出现的最不利的情形中选择一个最有利的 情形作为决策的依据
6
约翰· 福布斯· 纳什
NEUQ
7
NEUQ
《美丽心灵》是一部关于一个真实天才的极富人 性的剧情片。故事的原型是数学家小约翰-福布斯 -纳什(Nash),普林斯顿大学的著名教授，诺贝尔 经济学奖的获得者(1994年)，他在博弈理论方面 的巨大发现甚至改变了我们的日常生活。但另一 方面，纳什也是一个悲剧人物，他的一生为精神 分裂症所困。在历经苦痛的人生里，纳什一方面 在运用自己那优美绝伦的大脑，另一方面也在与 他的大脑进行着顽强的抗争。最终理性为他带来 了心灵的和平，纳什终于摘取了科学事业上的桂 冠。
16738-数学建模-运筹学PPT完整版胡运权
线性规划问题的数学模型
Page 18
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
线性规划问题的数学模型
Page 29
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件
方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x3 2(
x
3
x3) x3)
真实系统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
《运筹学教程》胡云权 第五版 运筹学--6对策论--矩阵对策PPT35页
《运筹学教程》胡云权 第 五版 运筹学--6对策论--矩阵
对策
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
对策
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
运筹学胡运权PPT课件
22
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8Leabharlann 1610275
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4
28
5
32 第9页/共89页4
新设备购置费 50
50
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
不过，实际中尚有许多不包含时 间因素的一类“静态”决策问题，就其 本质而言是一次决策问题，是非动态决 策问题，但是也可以人为地引入阶段的 概念当作多阶段决策问题，应用动态规 划方法加以解决。
第11页/共89页
§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
4）资源分配问题：便属于这类 静态问题。如：某工业部门或公司， 拟对其所属企业进行稀缺资源分配， 为此需要制定出收益最大的资源分配 方案。这种问题原本要求一次确定出 对各企业的资源分配量，它与时间因 素无关，不属动态决策，但是，我们 可以人为地规定一个资源分配的阶段 和顺序，从而使其变成一个多阶段决 策 问 题 ( 后第1面2页/共我89们页 将 详 细 讨 论 这 个 问
第24页/共89页
§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
(1) 阶 段 指 标 函 数 （ 也 称 阶 段 效 应 ） 。 用
gk(sk,uk)表示第k段处于sk状态且所作决策 为uk(sk)时的指标，则它就是第k段指标函 数，简记为gk 。图7-1的gk值就是从状态 sk到状 态 sk+1的 距离。 譬如， gk(A,B1)=4, 即A到B1的距离为3。
运筹学PPT完整版
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值
（max 或 min）来表示；
1978年11月，在成都召开了全国数学年会，对运筹学的理论 与应用研究进行了一次检阅，1980年4月在山东济南正式成立了 “中国数学会运筹学会”，1984年在上海召开了“中国数学会运 筹学会第二届代表大会暨学术交流会”，并将学会改名为“中国 运筹学会”。
运筹学的发展趋势
绪论
成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化
“运作研究(Operational Research)小组”: 解决复杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空 袭
2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受 德国潜艇攻击时损失最少；
3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的 爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤 力等。
绪论
在生产管理方面的应用，最早是1939年前苏联的康特洛为奇提 出了生产组织与计划中的线性规划问题，并给出解乘数法的求解方 法，出版了第一部关于线性规划的著作《生产组织与计划中的数学 方法》。
线性规划问题的数学模型
5. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件：
am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值
（max 或 min）来表示；
1978年11月，在成都召开了全国数学年会，对运筹学的理论 与应用研究进行了一次检阅，1980年4月在山东济南正式成立了 “中国数学会运筹学会”，1984年在上海召开了“中国数学会运 筹学会第二届代表大会暨学术交流会”，并将学会改名为“中国 运筹学会”。
运筹学的发展趋势
绪论
成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化
“运作研究(Operational Research)小组”: 解决复杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空 袭
2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受 德国潜艇攻击时损失最少；
3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的 爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤 力等。
绪论
在生产管理方面的应用，最早是1939年前苏联的康特洛为奇提 出了生产组织与计划中的线性规划问题，并给出解乘数法的求解方 法，出版了第一部关于线性规划的著作《生产组织与计划中的数学 方法》。
线性规划问题的数学模型
5. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件：
am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
运筹学_胡运权
标准型的向量形式：
max Z c j x j
j 1 n
标 准 型
n p j x j b s.t. j 1 x 0 j 1,2,, n j
a1 j a2 j 其中： p j a mj
标 准 化
把一般的LP化成标准型的过程称为 线性规划问题的标准化 方法： 1 目标标准化 min Z 等价于 max ( - Z ) max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式 加松弛变量、减剩余变量 3 变量非负化 x j 0 做变换 x j x j xj 0 或 x j x j x j 4 右端非负
目标函数 max z 2 x1 x2
数 学 模 型
5 x2 15 6 x 2 x 24 2 约束条件 s.t. 1 x1 x2 5 x1 , x2 0
(1.1a) (1.1b) (1.1c)
(1.1d)
max: maximize的缩写， “最大化”， s.t. subject to的缩写， “受限制于……”
一般形式：
目标函数
概 念 和 ห้องสมุดไป่ตู้ 型
max（或min） Z c1 x1 c 2 x2 c n xn a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 约束条件 a x a x a x (, )b 2n n 2 21 1 22 2 s.t. a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0 0,自由
标 准 化
2 x 2 x x x x 9 2 3 3 4 1 3x x 2 x 2 x x 4 1 2 3 3 5 s.t. 4 x1 2 x2 3 x3 3 x3 6 x1 , x2 , x3 , x3 , x4 , x6 0
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(1) VG2 VG1
(2) T (G1) T (G2 )
16
定理9——
设G1={S1,S2;A} 为一矩阵对策，且 A=-AT，则
(1) VG 0 (2) T1(G) T2 (G)
其中T1(G) 和T2(G)分别为局中人I和II 的最优策略集。
17
max
xS1*
w
x S1* xi 1, xi 0
i
6
综上，局中人I的问题——
max w
aij xi w j 1,2...n
i
xi 1
i xi 0
线性规划问题I
7
同理分析局中人II
理性假设下，局中人II选取混合策略 y*的目标是使
v2
min
yS
* 2
max
xS1*
E(x,
y)
若y固定，局中人I采用纯策略x=αi， 则局中人II的期望损失
E(i, y) aij y j (12.15)
j 8
若y固定，局中人I采用任意一个混 合策略x时，由（12.17）
max E(x, y) max
xS1*
xS1*
i
E(i, y)xi v
易知 v max E(i, y) i
即 E(i, y) v i
9
由（12.15） E(i, y) v i
aij y j v i 1,2...m
j
局中人II的目标是
v2
min
yS2*
max
xS1*
E(x,
y)
min
yS2*
v
y
S
* 2
y j 1, y j 0
j
10
综上，局中人II的问题——
min v
aij y j v
j
y j 1
j
j
E(x, j) aij xi (12.16)
i
2
进一步
E(x, y)
aij xi y j aij y j xi
ij
ij
E(i, y)xi i
(12.17)
E(x, y)
aij xi y j aij xi y j
ij
ji
E(x, j) y j j
(12.18)
min E(x, y) min
yS
* 2
yS
* 2
E(x, j) y j w
j
易知 w min E(x, j) j
即 E(x, j) w j
5
由（12.16） E(x, j) w j
aij xi w j 1,2...n
i
局中人I的目标是
v1
max
xS1*
min
yS
* 2
E(x,
y)
y
j
0
i 1,2...m
线性规划问题II
11
• 问1：上述两个线性规划问题关系？ 互为对偶问题
•问2：上述两个线性规划问题解的情况？
易知 x (1,0,....0), w min a1j | j 1,2...n
是问题I的一个可行解
y (1,0,....0), v maxai1 | i 1,2...m
i
14
定理7——
设有两个矩阵对策G1={S1,S2;A1}和 G2={S1,S2;A2}，其中
A1 =(aij)， A2 =(aij＋L)， 则
(1) VG2 VG1 L (2) T (G1) T (G2 )
15
定理8——
设有两个矩阵对策G1={S1,S2;A}和 G2={S1,S2;αA}，其中 α>0为任意常数， 则
是问题II的一个可行解
12
因此两个问题都有可行解，根据对 偶理论，这两个问题都有最优解，且目 标值相等 max w=min v。
v1
max
xS1*
min
yS2*
E(x,
y)
max
xS1*
w
v2
min
yS2*
max
xS1*
E(x,
y)
min
yS2*
v
所以max min E(x, y) min max E(x, y)
四、矩阵对策基本定理
定理5——
矩阵对策G={S1,S2;A} 在混合 策略意义下必定有解。
1
现引入记号：
i——αi，局中人I的纯策略 j——βj，局中人II的纯策略 E( i,y)——局中人I取纯策略αi时的赢得值 E( x,j)——局中人II取纯策略βj时的赢得值
则
E(i, y) aij y j (12.15)
xS1* yS2*
yS2* xS1*
即矩阵对策在混合策略意义下必定有解。 13
五、矩阵对策若干性质
定理6—— 互补松弛性定理
设（x*,y*）是G的解，v=VG ，则
(1) xi* 0
aij
y
* j
v
j
(2) y*j 0 aij xi* v
i
(3)
aij
y
*
j
v
xi*
0
j
(4)
aij xi* v y*j 0
3
矩阵对策基本定理证明分析——
理性假设下，局中人I选取混合策略 x*的目标是使
v1
max
xS1*
min
yS
* 2
E(x,
y)
若x固定，局中人II采用纯策略y=βj， 则局中人I的期望收益
E(x, j) aij xi (12.16)
i 4
若x固定，局中人II采用任意一个混 合策略y时，由（12.18）
(2) T (G1) T (G2 )
16
定理9——
设G1={S1,S2;A} 为一矩阵对策，且 A=-AT，则
(1) VG 0 (2) T1(G) T2 (G)
其中T1(G) 和T2(G)分别为局中人I和II 的最优策略集。
17
max
xS1*
w
x S1* xi 1, xi 0
i
6
综上，局中人I的问题——
max w
aij xi w j 1,2...n
i
xi 1
i xi 0
线性规划问题I
7
同理分析局中人II
理性假设下，局中人II选取混合策略 y*的目标是使
v2
min
yS
* 2
max
xS1*
E(x,
y)
若y固定，局中人I采用纯策略x=αi， 则局中人II的期望损失
E(i, y) aij y j (12.15)
j 8
若y固定，局中人I采用任意一个混 合策略x时，由（12.17）
max E(x, y) max
xS1*
xS1*
i
E(i, y)xi v
易知 v max E(i, y) i
即 E(i, y) v i
9
由（12.15） E(i, y) v i
aij y j v i 1,2...m
j
局中人II的目标是
v2
min
yS2*
max
xS1*
E(x,
y)
min
yS2*
v
y
S
* 2
y j 1, y j 0
j
10
综上，局中人II的问题——
min v
aij y j v
j
y j 1
j
j
E(x, j) aij xi (12.16)
i
2
进一步
E(x, y)
aij xi y j aij y j xi
ij
ij
E(i, y)xi i
(12.17)
E(x, y)
aij xi y j aij xi y j
ij
ji
E(x, j) y j j
(12.18)
min E(x, y) min
yS
* 2
yS
* 2
E(x, j) y j w
j
易知 w min E(x, j) j
即 E(x, j) w j
5
由（12.16） E(x, j) w j
aij xi w j 1,2...n
i
局中人I的目标是
v1
max
xS1*
min
yS
* 2
E(x,
y)
y
j
0
i 1,2...m
线性规划问题II
11
• 问1：上述两个线性规划问题关系？ 互为对偶问题
•问2：上述两个线性规划问题解的情况？
易知 x (1,0,....0), w min a1j | j 1,2...n
是问题I的一个可行解
y (1,0,....0), v maxai1 | i 1,2...m
i
14
定理7——
设有两个矩阵对策G1={S1,S2;A1}和 G2={S1,S2;A2}，其中
A1 =(aij)， A2 =(aij＋L)， 则
(1) VG2 VG1 L (2) T (G1) T (G2 )
15
定理8——
设有两个矩阵对策G1={S1,S2;A}和 G2={S1,S2;αA}，其中 α>0为任意常数， 则
是问题II的一个可行解
12
因此两个问题都有可行解，根据对 偶理论，这两个问题都有最优解，且目 标值相等 max w=min v。
v1
max
xS1*
min
yS2*
E(x,
y)
max
xS1*
w
v2
min
yS2*
max
xS1*
E(x,
y)
min
yS2*
v
所以max min E(x, y) min max E(x, y)
四、矩阵对策基本定理
定理5——
矩阵对策G={S1,S2;A} 在混合 策略意义下必定有解。
1
现引入记号：
i——αi，局中人I的纯策略 j——βj，局中人II的纯策略 E( i,y)——局中人I取纯策略αi时的赢得值 E( x,j)——局中人II取纯策略βj时的赢得值
则
E(i, y) aij y j (12.15)
xS1* yS2*
yS2* xS1*
即矩阵对策在混合策略意义下必定有解。 13
五、矩阵对策若干性质
定理6—— 互补松弛性定理
设（x*,y*）是G的解，v=VG ，则
(1) xi* 0
aij
y
* j
v
j
(2) y*j 0 aij xi* v
i
(3)
aij
y
*
j
v
xi*
0
j
(4)
aij xi* v y*j 0
3
矩阵对策基本定理证明分析——
理性假设下，局中人I选取混合策略 x*的目标是使
v1
max
xS1*
min
yS
* 2
E(x,
y)
若x固定，局中人II采用纯策略y=βj， 则局中人I的期望收益
E(x, j) aij xi (12.16)
i 4
若x固定，局中人II采用任意一个混 合策略y时，由（12.18）