二元一次方程加减法
二元一次方程组的解法(加减法)
七年级下册第十章第2节二元一次方程组的解法教学设计一、 教学目标1、使学生进一步了解解方程组的基本思想是“消元” 2、使学生了解加减法的一般步骤 3、 会运用加减法解一般形式的二元一次方程组二、 重、难点重点：用加减法解二元一次方程组难点：消元，熟练运用加减法解二元一次方程组三、 教学过程课前延伸1、解二元一次方程组的基本思路是什么？基本思路:消元: 二元一元2、用代入法解方程的步骤是什么？变形----------用一个未知数的代数式表示另一个未知数代入----------消去一个元求解----------分别求出两个未知数的值写解----------写出方程组的解用代入消元法法解下面的二元一次方程组① ②⎩⎨⎧=-=+753135y 2x y x课内探究1、自主学习① ②思路一： 解：把 ② 变形得 ③把③带入①不就把X 消除掉了思路二：把②变形得 可以直接代入①！就把Y 消除掉了思路三： ①② 5y 和-5y 互为相反数，将方程①与②的两边分别相加，得（2x ＋ 5y ）+（3x - 5y ）=13 + 72x+5y +3x - 5y=205x+0y =205x=20X=4加减消元法的概念：通过两个方程相加或相减消去一个未知数，从而转化为解一元一次方程。
方程组的这种解法叫做加减消元法，简⎩⎨⎧=-=+753135y 2x y x 375+=y x 735-=x y ⎩⎨⎧=-=+753135y 2x y x称加减法。
2、小组合作学习用加减消元法解方程组x+y=7300 ①y-x=6100 ②方法一：将方程①与方程②的两边分别相加，得（x+y）+(y-x)=7300+6100即2y=13400解得y=6700将y=6700带入方程①，得X+6700=7300解得 x=600所以 x=600Y=6700方法二：将方程与方程的两边相减，得（x+y）-(y-x)=7300-6100解得 x=6003、精讲点拨解方程组5x+2y=-9 ①3x-4y=-8 ②解①×2，得10x+4y=-18 ③②+③，得13x=-26解这个一元一次方程，得x=-2把x=-2带入方程①，得-10+2y=-9解得 y=0.5所以 x=-2Y=0.5课后提升如果关于m,n的二元一次方程组 3m-an=16 的解是 m=7,那么关2m-bn=15 n=1于x,y的二元一次方程组 3（x+y）-a(x-y)=162(x+y)-b(x-y)=15小结加减消元法解方程组的基本思路是什么？基本思路：加减消元，二元变一元主要步骤：变形-----同一个未知数的系数相同或互为相反数加减-----消去一个元求解-----求出两个未知数的值写解-----写出方程组的解二元一次方程组的解法：代入法加减法。
《二元一次方程组解法》(二)--加减法 配套知识讲解 人教七年级下
二元一次方程组解法（提高）知识讲解【学习目标】1. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；2. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；3．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．【要点梳理】要点一、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．要点诠释：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．要点二、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．【典型例题】类型一、加减法解二元一次方程组1.（2020春•澧县期末）用加减消元法解方程组34659 23x y x y++==【思路点拨】先将原方程写成方程组的形式后，再求解. 【答案与解析】解：此式可化为：349(1) 2659(2) 3x yx y+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由(1)：3x+4y=18 (1) 由(2)：6x+5y=27 (2) (1)×2：6x+8y=36 (3) (3)－(2)：3y=9y=3代入(1)：3x+12=183x=6x=2∴23 xy=⎧⎨=⎩【总结升华】先将每个式子化至最简，即形如ax+by=c的形式再消元. 举一反三：【变式】方程组201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为：.【答案】12x y =-⎧⎨=-⎩2.已知关于x 、y 的方程组ax by cex dy f+=⎧⎨+=⎩的解为31x y =⎧⎨=⎩，求关于x 、y 的方程组()()()()a x y b x y ce x y d x y f-++=⎧⎨-++=⎩的解． 【思路点拨】如果用一般方法来解答此题，很难达到目标，观察发现，两方程的系数相同，只是未知数的呈现方式不同，如果我们把x -y ，x+y 看作一个整体，则两个方程同解． 【答案与解析】解：方程组的解仅仅与未知数的系数有关，与未知数选用什么字母无关，因此把(x -y )与(x+y )分别看成一个整体当作未知数，可得3,1.x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得：2,1.x y =⎧⎨=-⎩【总结升华】本例采用了类比的方法，若把其中的x+y 和x -y 分别看作整体，则第二个方程组与第一个方程组相同，即x+y ＝1，x -y ＝3． 举一反三：【变式】三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：． 【答案】 解：由方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，得1112223434a b c a b c +=⎧⎨+=⎩，上式可写成111222352105352105a b c a b c ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，与111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩比较，可得：510x y =⎧⎨=⎩．类型二、用适当方法解二元一次方程组3.解方程组36101610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩【思路点拨】解决本题有多种方法：加减法或代入法，或整体代入法，整体代入法最简单. 【答案与解析】解：设,610x y x ym n +-==，则原方程组可化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩①②解得12m n =⎧⎨=⎩即16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ，所以620x y x y +=⎧⎨-=⎩解得137x y =⎧⎨=-⎩所以原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．【总结升华】解一个方程组的方法一般有多种方法，我们要根据方程组的特点选择最简便的求解方法. 举一反三：【变式】【答案】解：去分母，整理化简得，9112061925x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，②×3－①×2得，3535y =，即1y =， 将1y =代入①得，99x =，即1x =， 所以原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩. 4.试求方程组27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩的解．【答案与解析】解：27526x y x y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩①②①－②，整理得513y y -=-③ ∵50y -≥，∴13－y ≥0，即y ≤13，当513y ≤≤时，③可化为513y y -=-，解得9y =； 当5y ≤时，③可化为513y y -=-，无解. 将9y =代入②，得23x -=，解得15x =-或.综上可得，原方程组的解为：19x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩.【总结升华】解含有绝对值的方程组，一般先转化为含绝对值的一元一次方程，再分类讨论求出解. 举一反三：【变式】（2020春•杭锦后旗校级期末）若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值． 【答案】 解：方程组，①×3+②得：11x=22， 解得：x=2，将x=2代入①得：6﹣y=7， 解得：y=﹣1， ∴方程组的解为，将代入y=kx+9得：k=﹣5，则当k=﹣5时，（k+1）2=16． 第二课时 【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.（2020春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a＞b＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
二元一次方程组的解法之加减消元法
3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程
二元一次方程加减法解题步骤
二元一次方程加减法解题步骤嘿，朋友们！今天咱就来唠唠二元一次方程加减法解题步骤这个事儿。
咱先想想啊，这二元一次方程就好像是一道有点复杂的迷宫，而加减法呢，就是咱手里的那把能打开迷宫大门的钥匙。
首先啊，得把方程摆好，就像准备起跑的运动员一样，得站对位置。
然后呢，咱得观察这两个方程，看看它们有没有什么特别的地方。
比如说，有没有某个未知数的系数是相等的或者是互为相反数的。
要是找到了这样的情况，那可就太好了！就好比在迷宫里找到了一条直直的通道。
比如说，x 的系数相等，那咱就可以把两个方程相减，这样 x 就被消掉啦，直接就能求出 y 来。
这就像是去掉了一层迷雾，路一下子就清楚了。
要是没那么巧咋办呢？别急呀！咱可以想办法让它们变得有那样的情况呀。
比如说，给其中一个方程乘个合适的数，让它的某个系数和另一个方程的对应系数相等或者互为相反数。
这就像是给迷宫加了个指示牌，让咱能更顺利地走下去。
然后呢，就按照前面说的方法去做，求出一个未知数的值。
这就像咱终于找到了迷宫的出口一样开心。
求出一个未知数了，再把它代回到原来的方程里，那另一个未知数不也就出来啦。
举个例子吧，就像解方程 x + 2y = 5，2x - y = 1。
你看，这里 x 的系数就不一样，那咱可以给第一个方程乘 2，变成 2x + 4y = 10，这样和第二个方程里的 2x 不就对应上了嘛。
然后相减，就能求出 y 的值啦。
这二元一次方程加减法解题步骤，说起来好像有点麻烦，但真去做的时候，就会发现其实也没那么难，对吧？就像爬山一样，看着山挺高，真爬起来，一步一步的，也能到山顶呀！咱可别小瞧了这加减法，它可是解决二元一次方程的得力小助手呢！它能帮咱在那些复杂的数字和符号里找到答案，就像在茫茫大海里找到正确的航向一样。
所以呀，朋友们，下次再遇到二元一次方程，别害怕，就用这加减法解题步骤去试试，说不定一下子就解开啦！加油哦！。
8.2.3 加减法解二元一次方程组
②左边
= ①右边 ②右边
左边与左边相减所得到的代数式 和右边与右边 相减所得到的代数式有什么关系？
解方程组: 3x 5 y 5 3x 4 y 23 分析:
①左边
① ②
②左边 = ①右边
②右边
3x 5 y 3x 4 y = 5 23
将y=-2代入①,得: 3x 5 2 5
3x 5 y 3x 4 y 18 9 y 18 y 2 即
3 x 10 5 3 x 5 10 3x 15
即
x5
x 5 所以方程组的解是 y 2
3x 7 y 9 例2：解方程组: 4 x 7 y 5
8.2.2解二元一次方程组—加减法
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c . (等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc .(等式性质2) 2、用代入法解方程的关键是什么？ 消元 二元 一元 转化 3、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 消元: 二元 一元
1 、下列方程组求解过程对吗？若 有错误，请给予改正：
7x 4 y 4 （ 1） 5 x 4 y 4
① ②
解：①一②，得：2x=4-4 x=0
（2）
3x 4 y 14 5x 4 y 2
①
②
解：①一②，得：-2x=12 x=-6
（ 3）
3x 4 y 16 5x 6 y 33
③
解：①×3，得：9x+12y=16
②×2，得：5x-12y=66
二元一次方程组加减消元法
小结
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？ 同一个未知数的系数相同或互为相反数 特点: 或成整数倍 使得同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元
一元
基本思路: 加减消元: 二元
主要步骤： 变形 加减 求解 写解
分别求出两个未知数的值 写出原方程组的解
例:用加减法解方程组:
①
2x+3y=-1 ②
由 ②－①得:8y＝－8
由①+②得: 5x=20
当同一个未知数的系数互为相反数时，用 加法；
当同一个未知数的系数相同时，用减法。
一.填空题：
2x+7y=17
1.已知方程组 两个方程 4x-7y=6 分别相加 就可以消去未知数 y 只要两边 23x-9y=18
2.已知方程组
两个方程
2
知识的升华
a+2b=8 1、已知a、b满足方程组 2a+b=7 则a+b= 5
2、选做题：当m为何值时,关于x、y的
方程组{
2x+3y=m
3x+5y=m+2
得的解的和为12?
练一练
用适当方法解下列方程组.
4s+3t=5
5x-6y=9 7x-4y=-5
2s-t=-5
二元一次方程组解法有 代入法、加减法 .
③+④得 19x=114 x=6
把x=6代入① 得: y＝－
所以原方程组的解是
1 2
2
把y =
1 2
代入① 得: x＝６
x 6 y
1 2
所以这个方程组的解是
x6 y1 2
7.2《二元一次方程组的解法》(加减法2)
原方程组可化为
④- ③,得 -16y-(-21y) = 20-30, 5y = -10 y = -2. 把y=-2代入①,得 2x-7× ( -2 ) = 10, 2x+14=10, x = -2, 所以 y = -2. 2x =10-14, 2x = -4, 即 x = -2.
解二元一次方程组的基本思想是
解方程组: (4)
2x - 3y = 8,
5y -7x = 5. 解 2x - 3y = 8, ① 原方程组可化为 -7x+5y = 5. ② ① ×5,得 10x - 15y = 40, ③ ② ×3,得 -21x+15y = 15. ④ ③+④,得 -11x = 55, x = -5. 即 把x=-5代入②,得 5y-7×(-5) = 5, 5y+35 = 5, 5y = 5-35, 5y = -30, 即 y = -6. 所以
想一想
x y 25, 2 x y 8.
x 11, 解得 y 14.
作业
消去y
x = -5, y = -6.
5y-7x = 5. 解 2x - 3y = 8, ① 原方程组可化为 -7x+5y = 5. ② ① ×7,得 14x - 21y = 56, ③ ② ×2,得 -14x+10y = 10. ④ ③+④,得 -11y = 66, y = -6. 即 把y= - 6代入①,得 2x - 3×(-6) = 8, 2x+18 = 8, 2x = 8-18,
解
3x - 4y =10 ① 5x+6y = 42. ②
③
消去y
① ×3,得 9x - 12y = 30,
② ×2,得 10x+12y = 84. ④ 19x = 114, ③+ ④,得 即 x = 6. 把x=6代入②,得 5×6+6y = 42, 30+6y = 42, 6y = 42-30, 6y = 12, 即 y= 2. x= 6, 所以 y= 2.
加减法解二元一次方程组
3x+2y +5x － ຫໍສະໝຸດ y＝19+58x=24
3x 2y 19 ① 5x 2y 5 ②
解: 由①+②得: 8x=24
x＝3
把x＝3代入①，得
y＝5
所以原方程组的解是
x 3 y 5
例2 解下面的二元一次方程组
3x 2y 8 3x - 4y 2
思路1：
19 2y 由 ①变形得： x 3 代入② ，即可消去 x
3x 2y 19 ① ② ② 5 x 2 y 5
①
思路2：由②变形得 2y 5x 5
可以直接代入①
2y
和
2y
互为相反……
3x 2y 19 ① 思路 3： 5x 2y 5 ② 分析：（3x ＋ 2y）+（5x － 2y）＝19 + 5
① ②
解：由 ① － ②得（3x+2y） － (3x － 4y)=8－ 2 3x+2y － 3x +4y=8－ 2
6 y＝6
把y ＝1代入①，得
即y=1
x=2
3x+2╳1＝8
x 2 所以原方程组的解是 y 1
总结：
当两个二元一次方程组中同一未知数的系数互为相反数 或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就可 以消去这个未知数得到一个一元一次方程，这种方法称 之为加减消元法，简称加减法。 注意：加减消元基本思路：二元
一元
前提：同一未知数的系数的绝对值相等
例3
用加减法解方程组
{ 3x-2y= -1 ②
解：①+②，得 4x=8,